LOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los

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1 LOS NÚMEROS REALES Los úmeros,, so usdos pr cotr Normlmete se los cooce como el cojuto de los úmeros turles, dicho cojuto se lo deot ormlmete co l letr N, sí N {,,K } Si se sum dos úmeros turles el resultdo es otro turl, pero si se rest el resultdo o ecesrimete es u úmero turl El cojuto de los úmeros eteros Z { K,,,,0,,, K} es cerrdo jo ls opercioes de sum, rest multiplicció, esto quiere decir que si relizmos culquier de ests tres opercioes etre dos úmeros eteros el resultdo es u úmero etero Pero este cojuto o es cerrdo jo l divisió, es decir que si dividimos dos úmeros eteros el resultdo o ecesrimete es u úmero etero El cojuto de los úmeros rcioles, Q, formdo por todos los úmeros que puede ser epresdos de l form, dode, m so úmeros eteros co m distito de cero, es cerrdo jo ls m cutro opercioes Si emrgo o cotempl todos los úmeros que podemos coseguir Por ejemplo π que es el perímetro de u circufereci de rdio, o es u úmero rciol Tmpoco K es u úmero rciol, este úmero represet l solució de l ecució h es u úmero que está e l turlez pues él es l logitud de l hipoteus de u triágulo rectágulo co los dos ctetos igules Estos úmeros que o so rcioles, pues o puede ser epresdos de l form m, se llm úmeros irrcioles U difereci etre los úmeros rcioles los irrcioles está dd e su represetció deciml Los úmeros rcioles puede ser represetdos por decimles co u epsió fiit 0 ) o por úmeros decimles ) que se repite idefiidmete 0 0K, K 0090 ) E cmio los úmeros irrcioles so represetdos por úmeros decimles que o termi que o tiee igu periodicidd es decir que o tiee igu secueci que se repit Los úmeros reles so l uió de los úmeros rcioles e irrcioles El úmero es u irrciol por tto rel Este cojuto es deotdo por l letr R Ejemplo - Dig cules de los siguietes úmeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles reles: ) - ) c) 0 d) π e) 0 Solució: ) - es u úmero etero, tmié es rciol pues puede ser escrito como es rel

2 ) es u úmero rciol pues puede ser escrito como Tmié es rel c) 0 es u úmero rciol pues puede ser escrito como Tmié es rel 0 d) π es irrciol Oserve que como π es irrciol su epsió deciml es ifiit o periódic l sumrles d como resultdo u úmero cu epsió tmié es ifiit o periódic Es u úmero rel e) 0 es turl, etero, rciol es rel Ejercicio de desrrollo- Dig cules de los siguietes úmeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles reles: ) π ) c) - Cometrio: Alguos utores cosider el 0 como u úmero turl Pr evitr cer e polémics os referiremos l cojuto { 0,,, K } como el cojuto de los eteros o egtivos {,, K } como el cojuto de los eteros positivos Los úmeros reles puede ser represetdos e l rect rel Pr ello se trz u líe rect se escoge ritrrimete u puto e ell, él cul represetrá el úmero 0 Se escoge u uidd de medid prtir del 0 se hce medicioes de u uidd tto l izquierd como l derech, los putos medidos represet los úmeros eteros e el orde ddo e l figur Los putos l derech del 0 represetrá los úmeros positivos l izquierd está represetdos los úmeros egtivos L represetció del úmero es u puto que está dos tercios uiddes l derech del El úmero es su form mit: puede ser escrito como Pr represetr geométricmete los úmeros rcioles podemos vleros de co <c,, c Z, este úmero represet, por ejemplo el úmero c c, l represetció es rpidmete oteid trvés del cociete residuo de l divisió de etre Ahor es clro que el úmero está represetdo por el puto e l 0 rect rel que está / uiddes de distci l derech del L represetció del úmero es simétric co respecto l orige del úmero 0 H métodos precisos pr represetr los úmeros irrcioles trvés de costruccioes geométrics, si emrgo e este teto se hrá represetcioes o mu ects de estos úmeros trvés de los primeros dígitos de su represetció deciml Cometrio: Oserve que l prte frcciori de u úmero mito es escrit más pequeñ que l prte eter, pr distiguirlo de u multiplicció de u etero co u frcció Ejercicio de desrrollo: Represete los siguietes úmeros e l rect rel: ) π ) - c) 7

3 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES A cotiució eucimos ls propieddes más importtes de los úmeros reles Asum e lo que qued de secció que,, c d so úmeros reles, teemos etoces: - Propiedd comuttiv de l sum Propiedd comuttiv de l multiplicció Ejemplo - Propiedd socitiv de l sum Propiedd socitiv de l multiplicció ) c c) c) ) c Ejemplo ) 7 7) ) ) Cometrios E mos csos d E mos csos d 0, pero es más rápido el cálculo de l primer El elemeto eutro es quél que co l operció que cosideremos dej ilterle el úmero Esto es * - Elemeto eutro de l sum: 0 Elemeto eutro de l multiplicció: el 0 El iverso de u úmero es quél que co l operció que cosideremos os produce el elemeto eutro de l operció: * elemeto eutro - Propiedd del iverso de l sum: Iverso de l multiplicció: ) 0 El iverso de l multiplicció tmié es deotdo por Esto es El úmero 0 o tiee iverso pr l multiplicció que o eiste igú úmero que multiplicdo por 0 de - Propiedd trsitiv: Si c etoces c Ejemplo: Si semos que etoces - Propiedd distriutiv Propiedd distriutiv c) c) c Ejemplo ) ) Cometrios E todos los csos d L rest se defie como u sum: ) Recuerde que ) es el iverso u opuesto de

4 Muchs veces usmos l defiició l escriir u rest como u sum: 9 9) Pr defiir el producto c usmos l propiedd socitiv c c) A cotiució listmos u serie de propieddes de los úmeros egtivos de much utilidd: Propieddes Ejemplos Cometrios ) ) Reescritur del opuesto como u producto ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7) 7 El sigo meos se distriue c) c ) L distriutiv se cumple co l difereci tmié Ejemplo - Demostrr que Solució: Teemos que ) Ahor por l propiedd comuttiv ) ) Por l propiedd trsitiv de l sum result que ), quitdo los prétesis e el ldo derecho teemos l iguldd desed E geerl teemos que: Ejercicios de desrrollo: Demostrr: ) ) ) ) ) ) Propieddes del cero Si 0 etoces 0 ó 0 L divisió, es defiid trvés de l multiplicció: Si 0, etoces dode es el iverso de pr l multiplicció Pr l divisió tmié se emple l otció Recorddo que, l divisió tmié puede ser defiid co l siguiete otció ) Co est otció podemos iterpretr por ejemplo que es cico veces 7 7

5 L propiedd del cero permite justificr porque l divisió etre 0, 0, o está defiid Si c 0 0 etoces 0 0 c, pero o es cero 0 0 tmpoco está defiid Si c 0 0 etoces 0 0 c es decir que 0 etre 0 pudiese dr culquier vlor lo cul o tiee setido E el siguiete recudro presetmos ls propieddes más importtes de frccioes: Propieddes Ejemplos Cometrios El sigo meos se puede trsferir culquier prte de l frcció c c c ± ± Sum o difereci co igul deomidor d c c d d c ± ± Sum e cruz, recomedle cudo los deomidores o tiee fctores comues d c d c Multiplicció de frccioes c c 7 )7 ) 7 Frccioes equivletes Le de Ccelció: c es u fctor e el umerdor el deomidor c c c Multiplicció de u úmero etero por u frcció c c c Reescriturs c c Reescriturs c d d c d c Divisió plicdo l dole C c d d c d c Divisió trvés de u multiplicció d d d Divisió etre u úmero u frcció c c c Divisió etre u frcció u úmero Ejemplo - Eprese como u sum ) Solució: Se us primero l propiedd distriutiv ) Se reescrie el como u frcció pr efectur el producto

6 Se reliz l multiplicció de frccioes Se simplific usdo l le de ccelció Oserve: e este tipo de situció se distriue luego se simplific Ejemplo - Clcule ls siguietes epresioes umérics: ) ) ) ) c) Solució: ) Se reescrie el opuesto como u producto ) ) ) ) ) Se us l propiedd socitiv ) ) ) ) )) ) Podemos distriuir primero Se reliz l multiplicció de frccioes 0 Cometrio- E est prte pudimos tmié resolver l difereci de frccioes primero luego multiplicr por Al relizrlo de l mer como se hizo se elimió los deomidores sí se evito resolver l sum de frccioes c) Usmos primero l propiedd socitiv de l sum Ls frccioes etre prétesis tiee igul deomidor Se reliz l sum e cruz 7 Ejemplo -Simplifique l epresió : ) Solució: Teemos l divisió etre u frcció u úmero etero Se relizrá trvés de l dole C Aprovechmos pr justificr porque los sigos meos se ccel, reescriiedo cd opuesto como l multiplicció por meos uo ) ) ) Se us l le de ccelció co -) se reescrie el -

7 7 Se plic l dole C 8 8 ) Pr epresioes umérics se dee tomr e cuet que lo primero que se resuelve o elimi so los prétesis más iteros, o ie hciedo l operció iter o ie plicdo lgu propiedd de los úmeros reles Luego se procede relizr ls multipliccioes o divisioes plteds de izquierd derech filmete ls sums rests Ejemplo - Relice simplifique: ) ) ) c) ) Solució: ) Resolvemos primero l difereci dd e el umerdor de 0 Posteriormete e este teto se relizr ls sums de frccioes usdo l técic del míimo comú múltiplo de los deomidores ) Resolvemos el prétesis relizdo primero l operció detro del mismo luego l multiplicció plted ) ) ) ) Aplicmos l dole C pr resolver l divisió plted, Se simplific se reliz l difereci plted Resolvemos l difereci: Relizmos l multiplicció plted:

8 8 7 c) E est prte, preferimos elimir los prétesis usdo l propiedd distriutiv, pues oservmos que l plicrl e este ejemplo desprece el deomidor ) 0 0 Ejercicio de desrrollo- Relice simplifique ls siguietes epresioes umérics: ) ) ) ) EJERCICIOS ) Dig cules de los siguietes úmeros so turles, eteros, irrcioles, rcioles reles: ) ) π ) ) 0 ) ) ) Represete proimdmete los siguietes úmeros e l rect rel ) - ) ) - ) π ) ) 7) 8) 7 ) Relice simplifique ls siguietes epresioes umérics: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 0 ) ) ) 7) 0 ) 7) 8) ) ) 9) 0) ) 9 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 7) ) 8) )0 9) ) 0) ) ) ) ) ) ) ) Simplifique ls siguietes epresioes: ) ) ) 9 ) Eprese como u sum o difereci, segú correspod Simplifique su respuest: ) )

9 9 ) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so verdders Justifique ) ) L difereci etre dos úmeros rcioles es u úmero rciol ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) 8) ) L difereci de dos úmeros irrcioles puede ser rciol 9) ) El cociete de dos úmeros irrcioles es siempre irrciol Respuests: ) es u úmero etero, tmié es rciol es rel ) es u úmero irrciol es rel ) es u úmero irrciol es rel ) es u úmero etero, tmié es rciol es rel, ) es u úmero etero, tmié es rciol es rel ) es u úmero turl etero, tmié es rciol es rel ) ) ) 0 ) ) ) ) 7) 0 8) 9) 0) 0 ) No está defiido ) ) ) ) )- 7) 8) - 9) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) V) Se c d dos rcioles, etoces d c es rciol ) V)por l propiedd c d c d comuttiv) ) F) L propiedd distriutiv o vle co ls dos multipliccioes Si ls dos vrile vle etoces el ldo izquierdo d el derecho d 9 ) F) No se sum los deomidores, ) )V) el ldo izquierdo es ), esto es el ldo derecho ) F) No se puede ccelr los, el del deomidor o es u fctor Pr igul 0 l iguldd o se cumple: 0 es distito / 7) V) si se sum el ldo derecho d el ldo izquierdo: 8) V) Los úmeros puede ser mos so irrcioles pero su rest es 0, rciol 9F) El cociete etre los úmeros es u etero

10 0 EJERCICIOS ADICIONALES ) Relice simplifique ls siguietes: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ) 9 7) ) 8) ) 9) ) Dig cuáles de ls siguietes proposicioes so verdders Justifique ) ) Todo úmero etero es rciol ) ) Cero es u úmero rciol ) ) Si 0 0 etoces 0 ) ) Si etoces ó ) ) Todo puto e l rect rel se puede idetificr co u úmero rciol ) ) 7) ) 8) ) c) ) c Respuests: ) ) ) V) Culquier etero z como 7 8 ) ) ) ) V) El úmero 0 puede ser escrito como 7 ) 7) 8) 9) 0 z z, etero sore etero por tto rciol 0 0, etero sore etero por tto rciol ) V) Propiedd del cero ) F) Si el producto es iguo de los dos es ) F) El puto puede ser l represetció de u úmero irrciol )V) Si se reliz l multiplicció se simplific d el ldo derecho 7) V) Se us l le de ccelció, es u fctor tto e el umerdo como e el deomidor, por tto se puede ccelr 8) L propiedd socitiv o vle co el operdor difereci Si sustitues, c por el ldo izquierdo vle el derecho vle -, o se cumple l iguldd

11 EXPONENTES Y RADICALES L potecició o otció epoecil es u otció pr revir u multiplicció: Notció: L, pr u etero positivo 0 veces Se lee como elevdo l o más revido: l es llmd l se el epoete o poteci e idic el úmero de veces que se repite el fctor Presetmos cotiució vrios ejemplos ilustrtivos Ejemplo - ) 8 ) ) ) ) ) c) d) e) ) ) ) Oservcioes: - Si es egtivo etoces es positivo si es pr egtivo si es impr, como podemos precir e el ejemplo terior e d - U epresió como o simplemete es u escritur revid de ), dode se puede lizr que l coveció es que primero se hce l poteci luego l multiplicció por De mer similr represet ) quiere decir ) ) - ) Coveció: L poteci es l primer operció que se ejecut frete multipliccioes, divisioes, sums, rests o cmios de sigos Ejemplo - Evlur ) ) c) ) Solució: ) 7 ) ) c) ) ) ) ) ) 9 APLICACIÓN EN ECONOMÍA Ejemplo - U compñí pretede umetr su producció e los próimos ños, duplicdo l producció co respecto l ño terior Cuál será su producció ul detro de ños, si l ctul es de 00 rtículos por ño? Solució: Oserve que después de u ño l producció es 00 A los dos ños se tedrá el dole del primer ño 00) A los tres ños se tedrá el dole del segudo ño 00) 00 A los cutro ños se tedrá el dole del tercer ño 00) rtículos

12 DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO Los csos co epoetes egtivos o cero se defie como sigue: Cometrio: 0 0 o está defiido Ejemplo - ) 8 ) 0 c) ) 0 d) ) ) e) ) 0 Ejercicio de desrrollo- Complete l iguldd: ) 0 ) π ) ) PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES E l siguiete tl se preset ls propieddes más importtes de epoetes Propiedd Ejemplo Justificció del - sólo pr el cso turl) m m Producto de potecis de igul se Se coloc l mism se se sum los epoetes ) ) m veces m veces m veces m L L L L m m ) Poteci de u poteci 8 ) m veces m m L L ) ) Poteci de u producto ) 8 ) L veces ) ) ) Poteci de u cociete L L L m m 9 m m m m 0 m m 9 Ejercicio 7 / / 8 m m m Ejercicio Defiició: Si 0 se defie 0 si u etero positivo

13 Etederemos que u epresió que cosiste e productos, cocietes potecis de vriles está simplificd cudo prece u sol vez cd vrile u sol vez cd se uméric que o tiee fctores comues co tods ls demás ses umérics es l epresió simplificd de Ejemplo - Simplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos ) ) ) ) c) Solució: ) ) ) ) Se plicó l propiedd de l poteci de u producto Se sum los epoetes de igul se 7 ) ) ) ) Se usó l propiedd de l poteci de u cociete 8 Se usó l propiedd de l poteci de u poteci 8 8 c) Se efectu el producto de frccioes se simplific E c) tmié se pudo usr l propiedd 7 Se plico l propiedd de l poteci de u cociete Tmié se pudo ivertir l frcció cmido el sigo l epoete Se tiee que simplificr, epresdo cd fctor co epoete positivo Pr ello grupmos ls misms ses: l poteci del umerdor se ps l deomidor l poteci del umerdor l deomidor pr que de u vez quede ls potecis positivs Se grup los fctores co l mism se fi de simplificr

14 Ejercicio de desrrollo- Simplifique l siguiete epresió Eprese su respuest usdo epoetes positivos El lector hrá podido drse cuet de l siguiete: Etesió de ls propieddes : m k k mk k k ) ) m k k mk m k m k k mk ) k ) ) Ejercicio Los epoetes sirve pr represetr ctiddes mu grdes usdo l otció cietífic Recordemos lo siguiete Defiició: Se dice que es u ríz -ésim de si Es clro que l ríz -ésim de 0 es 0, esto se deot como: 0 0 pr los otros vlores de teemos que hcer cosidercioes cerc del sigo de l pridd del ídice, ls cules so mostrds e l siguiete tl: pr ejemplo ) > 0 H dos ríces reles: U positiv otr egtiv L positiv se deot por se llm l ríz pricipl L egtiv se deot por 8 8 so ls ríces curts de 8 Oserve que ) 8 < 0 No eiste ríces reles: Por ejemplo si, vemos que o eiste tl que Oserve que el sigo de es positivo imprejemplo ) H u sol ríz rel Se deot por siempre es positiv 7 es l ríz cúic de 7 ) 7 H u sol ríz rel Se deot por siempre es egtiv 7 es l ríz cúic de -7 porque ) 7 Notció: Si etoces colocmos Oservcioes: - ±, es l ríz positiv, el sigo se omite es simplemete - pr impr - Pr pr teemos si 0 si < 0

15 Por ejemplo ) ) E el resto del cpítulo, meos que se dig lo cotrrio, supodremos que tods ls vriles represet úmeros positivos Pr defiir los epoetes rcioles se us rdicles Defiició- Se m, úmeros eteros, si fctores comues, > Si eiste, etoces se defie m / m Se eceptú de l defiició el cso e que m es egtivo cero Ejemplo - Eprese los siguietes rdicles como poteci de epoetes rcioles ) ) c) 8 Solució: ) / ) / c) / 8 8 L siguiete tl muestr ls propieddes de los rdicles, se h colocdo e el ldo derecho l propiedd equivlete usdo l otció co epoete rciol Propiedd Ejemplo Escritur e epoete frcciorio ) / ) / / Ríz de u producto ) ) / m m m ) m Si es pr es egtivo l propiedd o es válid 8 ) / ) / ) / / / / 7 / m / m ) ) ) 8 m / / m ) Oserve que est últim propiedd se usó pr evlur epresioes como Este úmero es el mismo que ) 8 Ejemplo - Evlúe ls siguietes ctiddes: ) Solució: ) Descompoemos / / 8000) 0 ) ) / / ) 0 / ) / 8000) ) 0) Se itet epresr cd fctor como potecis co epoete múltiplo del ídice de l ríz

16 0 0 0 ) Primero usmos l defiició de epoetes egtivos 0 ) Escriimos 0, pr luego usr l propiedd del cociete de l ríz 0) Se plicó l propiedd del cociete de u ríz 00 Se simplific frccioes 0 8 Ejercicio de desrrollo- Simplifique l siguiete epresió Eprese su respuest usdo epoetes / positivos: ) 00 ) ) / 0 07 c) 9 Ejemplo - Simplifique ls epresioes dds Evite rdicles e su respuest, use epoetes positivos ) 8 ) ) c) Solució: ) 8 8 Se uso l propiedd de l riz de u cociete de derech izquierd ) Se reescrie e l otció frcciori ) ) / ) c) Recuerde que este tipo de epresioes está simplificd si prece u sol vez cd fctor Pr simplificr se grup ls misms ses sumdo los epoetes Se distriuó el epoete itero multiplicdo etre los epoetes iteros

17 7 Ejercicio de desrrollo- Simplifique ls epresioes dds Evite rdicles e su respuest, use ) epoetes positivos: ) ) ) / Ejemplo - Elimie los epoetes egtivos los rdicles e ls siguietes epresioes: ) ) c) ) Solució: ) / / ) ) / c) ) ) / / Se plic l dole C Ejemplo - Escri ls forms epoeciles dds e otr form que ivolucre rdicles / / ) ) ) Solució: / ) E l epresió, es l epresió que está elevd l ½ Así que covertimos est epresió co epoetes frcciorios e u co rdicles / ) E este cso es ) que está elevdo l -/ Primero elimimos el sigo meos, psdo l epresió l deomidor: / ) Es importte que remrcr que e est situció el / ) prétesis o se puede omitir, este prétesis v idicr que l ríz se v plicr l epresió Tipificció de errores Error Cometrios / ) / / L propiedd o es co l sum sio co l multiplicció ) m m Los epoetes de igul se se sum, o se multiplic L poteci es l primer operció cosiderr, fect sólo

18 8 Pr poder simplificr dee ir todo el rdicdo elevdo l ) )

19 9 EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: Pr evlur ls epresioes umérics mits eiste u coveció e el orde de ejecutr ls opercioes Est es: ero - Se resuelve ls opercioes delimitds por los prétesis más iteros do - Se ejecut ls potecis rdicles de izquierd derech ero - Se cosider ls multipliccioes divisioes de izquierd derech to - Se resuelve ls sums rests de izquierd derech Ejemplo - Evlur ls siguietes epresioes umérics: ) ) c) 7 Solució: ) Resolvemos primero el prétesis plicdo l propiedd de l poteci de u cociete: 7 7 Se reliz ls potecis Se reliz etoces l multiplicció Se procede co l difereci de frccioes Se simplificó ) Se clcul simultáemete el umerdor el deomidor E cd prte de l frcció se clcul primero ls potecis idicds, luego se ps resolver ls multipliccioes 9 8 Se reliz ls diferecis de cd prte de l frcció 7 Se simplificó 0 c) Se reliz primero l rdicció, pr ello deemos resolver l operció idicd e el rdicdo 9 Simultáemete podemos trjr ls opercioes del deomidor Se tom ríz e el umerdor se reliz l rest e el deomidor 9

20 0 Ejercicio de desrrollo- Evlur l siguiete epresió uméric 7 Ejemplo * - Simplificr ls siguietes epresioes umérics: 7 8 ) ) c) Solució: ) Primero scmos fctores cudráticos fctorizdo e los rdicdos Se plic l propiedd de l ríz de u producto Agrupmos térmios co rdicles igules Se plic l propiedd distriutiv e los térmios co 0 0 ) 0 Se sumo detro del prétesis se plicó propiedd comuttiv ) De uevo, lo primero que hcemos es scr fctores cudráticos, u ltertiv de hcerlo es descompoiedo e fctores primos 7 8 Se epres cd poteci de primo como u producto dode el epoete de uo de los fctores es múltiplo del ídice 0 Agrupmos térmios co rdicles igules 0 0) ) Se plic l propiedd distriutiv de derech izquierd e los térmios co Este tipo de epresioes se suele epresr co el deomidor rciolizdo E el cso que eist u solo térmio e el deomir se multiplic divide por u úmero que complete l poteci del ídice Así

21 ) ) ) c) Rciolizmos el deomidor del segudo térmio e Tmié se pudo relizr l sum de frccioes luego rciolizr el deomidor Ejemplo * - Rciolizr el deomidor e l epresió uméric Solució: Se usc completr el ídice de l ríz Ejercicio de desrrollo- Simplificr ls siguietes epresioes umérics: 7 ) 8 ) c) 8 8 EJERCICIOS ) Simplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) Evlúe ls siguietes epresioes umérics: ) ) ) 7 ) ) ) / / 00) ) 7000) 7) ) / 8) 9) ) / 0) 009) / ) 8000) / ) Escri ls forms epoeciles e otr form que ivolucre rdicles / / / / / / / / ) ) ) ) ) ) ) / / / / / ) ) 7) 8) 9) ) ) Escri ls forms dds e otr que use epoetes positivos, evite rdicles epoetes egtivos: ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) 8)

22 9) ) 0) ) ) ) Simplifique ls epresioes dds Eprese sus respuests usdo epoetes positivos Evite rdicles ) ) 7) 0) 7 ) ) ) 8) ) ) 7 ) ) 9) ) ) ) ) Evlúe ls siguietes epresioes mits: / 7 ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) / 7) ) 8) 8 9) 7 9 0) ) ) 9 7 * ) Simplificr ls siguietes epresioes umérics: 08 7) 8 7 7) 8 7) 8 7) 8 7) 7) 8 8 ) 77) ) 8 8) Dig cuál de ls siguietes proposicioes so verdders Justifique 8) ) m m 9 8) ) ) ) 8) ) 8) ) 8) ) 8 8) ) 87) ) 89) ) 88) ) ) ) ) 80) ) 9 8) ) 8 8) ) 0 9

23 8) ) pr egtivo 8) ) / / / ) 8 / PROBLEMAS DE ECONOMÍA ) El úmero N de uiddes producids usdo uiddes de trjo k uiddes de cpitl está dd / / proimdmete por N 90 k Ecució de Co-Dougls) Estime ls uiddes producir empledo uiddes de trjo de cpitl Respuest: 0 Respuests: ) 8 ) ) ) ) 8 ) 8 7) ) 7 ) ) ) 0 ) 0 ) 0 7)- 8) 9) 000 0) ) ) ) ) ) 7 00 ) ) 7) / / 8 8) 9) ) ) ) ) / ) ) ) ) ) 8) 9) / ) / ) ) ) 0) ) 8 ) ) 8 / 7) 9 / ) / 7) ) ) ) 8) 9) / / / ) / / / 9 0) ) ) ) ) ) - ) / / ) ) 7 0 ) : ) 7) 8) 9) 0) ) ) 7) ) 7) 7 7) 7) 7) 7) 77) 0 78) 8) F ) m m m 9 9 8) V ) ) ) 8) F ) No se puede ccelr el cudrdo co l ríz Si el ldo izquierdo es el ldo derecho es, distitos 8) V ) El deomidor ps l otro ldo de l frcció co epoete cmido de sigo: 8) V ) El ldo derecho es igul 8 8) F ) El ldo izquierdo i siquier está defiido 9 87 ) F ) L poteci es l primer operció que se reliz ) F ) El epoete o se distriue e u sum Si se tom el vlor tto pr como, el ldo izquierdo es el izquierdo, el ldo izquierdo es distito l derecho 89 ) F ) El meos o se distriue e u poteci El ldo izquierdo es u úmero egtivo el derecho es u úmero positivo 80) F ) No se puede ccelr el cudrdo co l ríz Si tommos como el ldo izquierdo es 0 el ldo derecho es, distitos 8 ) V ) ) 8) V ) Se descompoe el 0 se plic l propiedd de l 8 ríz de u producto 0 8) V ) 8) F ) ) Pr itroducir el detro de l ríz h que elevrlo l cudrdo / /

24 EXPRESIONES ALGEBRAICAS U grupo de vriles represetds por letrs juto co úmeros reles que se comi co opercioes de sum, rest, multiplicció, divisió, poteci o etrcció de ríces es llmd u epresió lgeric Ejemplo - Los siguietes so ejemplos de epresioes lgerics: - E este cso l vrile es - ) Aquí teemos u epresió lgeric e ls vriles c- Si sumimos u costte, ést es u epresió lgeric e l vrile Est epresió lgeric tiee tres térmios Recordemos que u térmio es u sumdo de u epresió E este cso los térmios so, - Como represet u úmero fijo etoces es el coeficiete de es el coeficiete umérico El térmio - es el térmio costte Ls epresioes lgerics co u solo térmio se ls cooce como moomios Por ejemplo Ls que tiee dos térmios se ls deomi iomios Ls que tiee tres térmios triomios El ejemplo tl como está escrit es u iomio el c u triomio Cudo tiee más de tres térmio se les llm u multiomio L epresió c es coocido tmié como u poliomio U poliomio es u epresió de l form K 0, co u etero o egtivo Si 0, etoces es el grdo del poliomio es coocido como el coeficiete pricipl Por ejemplo: es u poliomio de grdo co coeficiete pricipl / es u poliomio de grdo, el coeficiete pricipl es L epresió o es u poliomio porque el epoete o es etero Tmpoco es poliomio porque el epoete de l es egtivo U poliomio muchs veces es represetdo por P ), sí ) K P 0 OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Como ls vriles represet úmero reles, ls propieddes de los úmeros reles puede ser usds pr operr epresioes lgerics co l ide de ir oteiedo epresioes equivletes pero más secills A cotiució idicremos como proceder co sums, rests, multipliccioes divisioes ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El primer ejemplo que mostrmos es mu riguroso e el uso de ls propieddes De este ejemplo itetremos etrer los psos más importtes pr proceder de mer más rápid e los siguietes U clve e este tipo de mipulció es l sum de los térmios semejtes Se dice que dos térmios so semejtes si so igules slvo e el coeficiete umérico Por ejemplo l epresió: tiee dos térmios semejtes

25 E, sólo pues difiere e lgo más que su prte uméric so térmios semejte, o sí, Ejemplo - Determie l sum ) ) Simplifique tto como se posile Solució: Podemos quitr los prétesis ) ) )) Se plic propiedd comuttiv, se grup los térmios semejtes Aplicmos l propiedd distriutiv pr relizr Relizmos l sum lgeric de los térmios costtes Oserve como e el ejemplo terior termimos sumdo lgericmete los coeficietes de los térmios semejtes Podemos ovir el pso de l propiedd comuttiv l plicció de l propiedd distriutiv de u vez sumr lgericmete los coeficietes de los térmios semejtes r r r colocr l prte o uméric: ) Vemos el siguiete ejemplo, dode provechremos este cometrio: Ejemplo - Determie ) ) Simplifique tto como se posile Solució: Reescriimos l rest como u sum luego quitmos los prétesis plicdo l propiedd distriutiv: ) ) ) ) ) )) ) Cometrio: Cudo h u rest podemos proceder elimir el prétesis tomdo e cuet que el sigo meos cmi el sigo de cd térmio de l epresió que estmos restdo, como efectivmete ocurrió e el ejemplo terior Ejemplo - Determie ) ) Simplifique tto como se posile Solució: E est ocsió hcemos uso del cometrio terior, elimimos el prétesis cmido el sigo cd térmio de l segud epresió Se sum lgericmete ) ) los coeficietes de térmios semejtes so térmios semejtes Igulmete Se sum lgericmete los coeficietes de térmios semejtes Se recomied e l reescritur de epresioes lgerics trjr cd iguldd e otr líe, de est mer se podrá cotrstr lo que reescriió lo que le flt Trje siempre de mer orded espcios Ejercicio de desrrollo- Determie ) ) Simplifique tto como se posile

26 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Pr multiplicr epresioes lgerics podemos usr l propiedd distriutiv o ie si es el cso plicr u producto otle de uso frecuete, los cules se prede de memori se deduce rápidmete usdo l propiedd distriutiv U form mu frecuete de ellos ser usd está dd por Teemos tmié los siguietes: ) ) ) ) Productos Notles: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) E el siguiete ejemplo se preset distitos csos dode es propido usr lguos de los productos otles ddos rri Ejemplo - Relizr los siguietes productos: ) ) ) ) ) ) c) ) ) d) ) e) ) Solució: ) Lo idetificmos co el producto: ) ) ) e este cso Así: ) ) ) 9 8 ) Este producto lo idetificmos de uevo co ) ), e este cso Teemos etoces: ) ) )) ) c) E este cso teemos l form Aquí idetificmos Aplicdo l formul propieddes de epoetes oteemos: ) ) ) 9 d) L form propid plicr es l co Etoces teemos ) ) e) Lo idetificmos co el producto otle, co Así ) ) ) ) Recuerde que: Se recomied e l reescritur de epresioes lgerics trjr cd iguldd e otr líe

27 7 Los productos otles será clves e l fctorizció de epresioes lgerics Ejercicio de desrrollo- Relizr los siguietes productos: ) ) ) ) ) c) ) E el siguiete ejemplo teemos csos dode es propido usr l propiedd distriutiv L prte ) será mu eplictiv, luego se procederá de u mer más rápid Ejemplo - Relizr los siguietes productos Simplifique ) ) ) ) ) Solució: Usmos e mos csos l propiedd distriutiv ) ) ) E este cso iterpretremos -) como el fctor que se distriue e ) ) ) -) -) --) Ahor iterpretmos, como los fctores que se distriue e -) - ) - )--) Filmete, distriuimos los sigos summos térmios semejtes - Cudo emimos l primer líe del ejemplo, vemos que e relidd cd térmio de cd fctor se multiplic co cd térmio del segudo fctor: De est mer procederemos e el siguiete ejemplo: Ejemplo - Relizr los siguietes productos Simplifique ) ) ) ) ) ) Solució: ) ) ) ) ) ) 9 8 Se sum los térmios semejtes 8 ) ) ) Se sum los térmios semejtes Oserve que l ejecutr el producto el ldo izquierdo es reescrito como u sum de térmios Ejercicio de desrrollo- Relizr los siguietes productos Simplifique ) ) ) ) ) )

28 8 OPERACIONES COMBINADAS U epresió como { [ ) ]} ) ) puede ser escrit de u mer más secill tto pr evlur como e su propi escritur Como l vrile represet u úmero rel, pr relizr este tipo de operció se dee cosiderr el orde estlecido pr los úmeros reles: primero elimir los prétesis o delimitdores más iteros, itetdo co este criterio de ir elimido todos los prétesis o seprdores, respetdo el orde susiguiete de ls potecis, multipliccioes por último de ejecutr ls sums rests Este pediete si el prétesis es pr idicr u poteci, u producto o u difereci E ocsioes es útil usr ls propieddes socitiv, comuttiv o lgu otr dd Alicemos lgus epresioes: Ejemplo - Eprese cd epresió lgeric como u sum de térmios o semejtes ) 8 t ) ) 8 t ) c) 8 t ) ) d) ) ) ) e) { [ ) ]} ) ) Solució: Pr epresrlos como u sum deemos ejecutr los prétesis, poteci productos idicdos de cuerdo l orde de jerrqui, por último qued sumdos que se grup los semejtes ) Primero se resuelve el prétesis más itero, e este cso h uo sólo 8 t ) 8 t ) 8t 8 Se grup termios o semejtes 0 8t 8t 0 ) Aquí iterpretmos que 8 está multiplicdo l epresió t ) Luego de oteer el resultdo de este producto se reliz l rest lgeric etre 8 t ) Relizmos etoces primero el producto que es otle H que mteer el prétesis pr idicr que -8 est multiplicdo el resultdo completo de t ) 8 ) 8 t ) 8 t t Resolvemos el prétesis pr ello distriuimos primero el -8 8t t 8 t ) 8t t c) E este cso, podrímos ejecutr primero 8t-) luego est epresió elevrl l cudrdo Si emrgo, se le sugiere l estudite plicr l propiedd ) De est mer [8 t )] 8 t ) ) Oserve como hemos reescrito 8 t ) ) como u t t ) sum de térmios secillos t 8t Recuerde que se recomied e l reescritur de t epresioes lgerics trjr cd iguldd e otr líe 8t d) Primero efectumos los productos de los dos térmios de l epresió ) ) ) Pr el segudo térmio usmos l propiedd socitiv: ) ) ) ) ) ) Oserve l ecesidd de mteer los prétesis ) ) 9) ) Ahor se us l propiedd distriutiv Cuiddo!!! 8 t ) t ) 8 Se sum térmios semejtes e) Est epresió cost de dos térmios, los cules podemos trjr simultáemete E el primer termio desrrollmos l poteci E el segudo térmio tedremos l precució de colocr prétesis que este producto se ve fectdo por el meos

29 9 { [ ) ]} ) ) { [ )] } { ) ) } { [ ] } { 9} Se elimió el delimitdor más itero e este cso ) { [ ] } 9 Se procede elimir el delimitdor más itero de est epresió [ ] { } 9 9 Se sum térmios semejtes Ejercicio de desrrollo-epresr: semejtes ) ) ) como u sum de termios o EVALUACIÓN DE POLINOMIOS Ls epresioes poliómics K 0 so represetds por P ) El poliomio se llm P el sigo o otció: ) sigific que este es u poliomio e l vrile El vlor umérico de u poliomio P e c úmero rel) es el vlor umérico oteido l sustituir por c Este vlor umérico se deotrá por P c) Tmié hlmos de P evludo e c Así que P c) sigific el vlor umérico de P e c o P evludo e c Recomedció: E el mometo de sustituir por c cosidere l ecesidd o o de colocr prétesis Ejemplo - Se P ) ) Clculr el vlor de P e - ) Clculr P ) c) Evlur P e Solució: E cd u de ests prtes se pide evlur o coseguir el vlor de P e distitos vlores ) Nos pide ecotrr P ) Pr ello sustituimos por - P ) ) ) Recordemos que deemos colocr etre prétesis el - ) P ) ) ) ) 7 c) Teemos que ecotrr P ) P ) ) ) E este cso o hcí flt colocr el prétesis EJERCICIOS ) Relizr los siguietes productos, simplifique tto como pued: ) ) ) 9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) / 7) ) 8) t ) t ) 9) ) ) 0) ) ) ) ) ) ) ) ) t) ) ) ) z ) ) ) 7) ) z 8) ) 9) ) ) 0) ) ) ) ) ) ) / / ) ) / ) ) ) ) ) ) t )t ) ) ) ) /

30 0 ) Relice ls siguietes opercioes, simplifique tto como pued: ) ) ) ) z z ) z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) ) 8) ) ) 9) ) ) 0) [ )] ) ) ) { [ ) )] ) } ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Relice ls siguietes opercioes, simplifique tto como pued: ) z ) ) 8) ) ) ) ) ) ) ) ) ) t t )t ) 7) ) 8) ) ) 9) ) ) ) ) 0) ) ) ) Cosidere el poliomio P ) ) Clculr el vlor de P e ) Clculr P ) ) Evlur P e 0 ) Cosidere el poliomio P ) epresdo como u producto P ) ) ) ) Eprese P como u sum Es decir reescri P relizdo los productos ) Evlúe P e de dos mers: Usdo l epresió oteid e ) usdo P ) ) ) Compruee que ms respuests d igul c) Repit ) pero co Respuests: ) 9 ) 8 ) ) 8 ) 9 ) 7) 9 8) t t / 9) 0) 7 9 ) / / ) ) 9 t t ) ) z ) 7) 9 z 8) 9) 0) / ) ) 8 ) ) / / / ) t t 8 ) ) 8 ) z z ) ) ) ) ) 8 7) 8) 8 9) 9 0) ) ) ) ) ) 8 8 ) 9z z ) 8 8 ) ) 8 ) ) t t t t t 7) 8) 8 9) 7 0) ) ) ) /

31 DE LA DESCRIPCIÓN VERBAL AL LENGUAJE MATEMÁTICO Dremos e los próimos cpítulos muchs pliccioes de ls Mtemátics Ates de drls es coveiete que el estudite empiece mejr l trducció del leguje verl l leguje lgerico L vrile represet u vlor: muchs veces u vlor cmite, otrs veces u vlor descoocido que h que clculr Se us u letr pr represetr l vrile Muchs veces e ls epresioes verles veremos como u ctidd es cmid o se d u relció etre est ctidd otr L iformció o descripció de los cmios de u ctidd o l relció eistete co otr dee trducirse u leguje mtemático E los siguietes ejemplos se d epresioes verles que so llevds u epresió mtemátic Se tiee que reclcr que o se plte igu ecució, l epresió lgeric puede ser prte de u formul l vrile e est situció es u vlor cmite o puede ser tmié prte de u ecució, e este último cso l vrile es u vlor que h que determir que tmié recie el omre de icógit Ejemplo - Escri ls siguietes epresioes verles como epresioes lgerics e térmios de l vrile p, dode p el precio ctul de u rtículo A cotiució ) El precio se umet e uiddes El uevo precio es p ) El precio se umet u % El umeto es p 0 p El uevo precio es p 0 p p 00 c) L mitd del precio es p / d) El precio se dismiue e dos uiddes moetris El uevo precio es p- e) U perso teí 0UM compr el rtículo u precio de p Ahor le qued 0-p f) Tres veces el precio: p Veite veces el precio: 0p g) Se vede u doce de rtículos El vlor de los rtículos es p E el siguiete ejemplo veremos tmié como podemos epresr u ctidd descoocid e térmios de otr Ejemplo - Se h l ltur de u rectágulo Escri ls epresioes verles dds como epresioes lgerics e térmios de l vrile h: ) El cho es uiddes más grde que l ltur El cho es etoces: h ) L ltur dismiue u % Etoces l ltur dismiue 00h L uev ltur es h 0 0h 0 9h c) L mitd de l ltur es h / d) El cho es dos veces l ltur: h e) L ltur tiee dos uiddes más que el cho: h h h f) L rzó el cociete) etre l ltur el cho es Etoces De quí Ejemplo - U perso v ivertir u ctidd de cpitl e u oo que pg el 9% de iterés ul el dole de diero e otro oo que pg el % Escri e térmios de ) El eeficio totl l co de u ño ) El cpitl totl l co del primer ño de iversió Solució: ) El primer oo otedrá l co del ño por cocepto de itereses 0 9, el segudo oo otedrá 0 ) el eeficio etre los dos oos será de ) El cpitl totl l co de u ño es el cpitl iicil más el iteres totl l co de u ño, e térmios lgerico esto es 0 Ejercicio de desrrollo- Eprese ls siguietes proposicioes verles como u epresió lgeric e térmios de l vrile dd ) U orero trj 8 hors e u serrdero De ese tiempo se dispodrá hors e pelr trocos Eprese el tiempo restte e térmios de ) L ctidd de kilos de tomte que produce u fic es q Otr fic produce % meos que l primer ) Eprese l producció de l segud fic e térmios de l primer ) Eprese l producció totl de ls dos fics e térmios de q c) L producció de u truchicultur es q kilos semles L de otr truchicultur es veces más que l primer ) Eprese l producció seml de l segud truchicultur e térmios de q ) Eprese l producció totl e térmios de l primer

32 MAGIA O MATEMÁTICAS? Piese u úmero: Súmele Clcule el triple de ese resultdo Réstele Quítele el úmero origil que pesó Clcule l mitd del úmero terior Si le rest otedrá el úmero origil que pesó Vemos l justificció Si represet el úmero que se pies etoces ls opercioes so: Súmele : El triple : ) Réstele : ) Quítele el úmero origil que pesó: ) L mitd Si le rest otedrá el úmero origil que pesó: EJERCICIOS ) Eprese ls siguietes proposicioes verles e leguje lgerico ) L distci etre dos ciuddes A B es 0 km Se quiere costruir u estció de servicio etre ls dos ciuddes Si es l distci de A l futur estció Eprese l distci de l futur estció B e térmios de ) Se c el costo de dquisició de u ever El comercite fij el precio de cuerdo l siguiete regl: Al costo de dquisició le sum el costo de evío que es de 0UM por ever Luego l ctidd resultte l triplic Eprese el precio de vet de l ever e térmios de c ) U cpitl de 000 se v ivertir e dos oos, uo que pg el % ul otro que pg el % ul Si ivierte e el primer oo lo demás e el otro oo Eprese el iterés totl geerdo l co de u ño ) Se p el precio mrcdo e l etiquet de u pred de vestir L tied plic u rej del 0% sore el precio mrcdo luego sore este uevo precio se vuelve plicr u rej del 0% Eprese el precio del rtículo rejdo e térmios del precio de l etiquet ) U tied tiee u rtículo u precio p L otr tied tiee el mismo rtículo UM más cro Eprese el precio del rtículo e l segud tied e térmios del precio de l primer ) U señor tiee dos truchiculturs co redimietos distitos E l primer truchicultur por cd iversió de UM se sc kilos de truchs, e l segud por cd UM se sc e promedio kg Si se hce u iversió totl de 000UM etre ls dos represet l ctidd ivertid e l primer truchicultur Eprese ) l producció de l primer truchicultur ) l producció de l segud truchicultur c) l producció totl d) Si l idustri tiee como costumre reglr kilos de truchs cudo hce u iversió de 000UM, epres l ctidd de truchs que tiee pr l vet 7) Se tiee u lote de 00 pe-driver Los primeros se vede UM cd uo, el resto se vede UM cd uo Eprese l vet totl e térmios de 8) El precio del corte e u rerí es de 0UM A ese precio cude 0 clietes l sem Se estim que por cd umeto de u uidd moetri e el corte dejrá de ir l rerí clietes ) Eprese el precio e termio de, úmero de icremetos de u uidd moetri e el precio ) Eprese el úmero de clietes l sem e térmios de ) Cuáto d l siguiete sucesió de istruccioes? Justifique - Se u úmero - Se le rest - A est ctidd se l multiplic por - Al resultdo se le rest el triple del úmero origil - Al úmero oteido se le rest 0 - Clcule hor l mitd ) Cree su propio truco pr divir u úmero Justifique Respuests: ) c ) ) 0 p ) p)) kilos) 000 ) c) 000 ) d) 000 ) kilos 7) 00 ) 8) 0 0 ) 0 ) p ) ) )

33 DIVISION LARGA DE POLINOMIO E est secció mostrremos como es l divisió etre poliomios Pr relizr l divisió de u poliomio P etre u poliomio D, P D, dee ocurrir que: grdo P) grdo D) Al igul que e los úmero eteros, eistirá u cociete u residuo Pero e uestro cso el cociete será u poliomio el residuo otro poliomio pero de grdo estrictmete meor que el divisor pso por pso Pr relizr l Vmos relizr l divisió ) ) divisió rreglremos el dividedo e orde decreciete de potecis de, colocdo 0 e los coeficietes que o prece, e este cso el coeficiete de grdo de es 0 colocremos 0 El divisor tmié es ordedo por grdo de mor meor, o hce flt completr térmios El proceso es stte similr l divisió de úmeros eteros Buscmos u moomio tl que cudo se multiplique por primer térmio del divisor) os de primer térmio del dividedo) Este es que se otiee l relizr Multiplicmos cd térmio de divisor por los resultdos los colocmos co sigo cmido e l colum del grdo respectivo Summos todo el dividedo co l fil de dejo de este, recie oteid Oserve como se ps l r complet, si u térmio o prece se sume que d 0 si l sum d cero por l poteci o se coloc d Repetimos el proceso co el poliomio resultte de l sum Dividimos etre, el resultdo es el segudo térmio del cociete, el cul lo multiplicremos por el divisor ) los resultdos lo colocmos co sigo cmido dejo de l últim líe escrit del ldo izquierdo, segú su grdo, procedemos hcer l sum de ests líes repetimos el proceso hst que el grdo de l últim líe del ldo izquierdo el residuo) se meor que el del divisor D) Presetmos cotiució l divisió complet Igul como ocurre e l divisió de los úmeros eteros teemos que P ) D ) C ) R ) E este cso teemos etoces que 7 Recuerde que 7

34 ) ) 7 ) Cociete P ) Ejemplo - Determir el cociete el residuo de l siguiete divisió, dode P ) D ) D ) Solució: Ordemos los poliomios completmos los grdos del dividedo residuo E este cso teemos que el cociete es C ) 9 el residuo es R ) 9 Ejercicio de desrrollo- Determir el cociete el residuo de l siguiete divisió P ) D ), dode P ) D ) Epresr P e térmios del cociete el residuo DIVISIONES ABREVIADAS DE POLINOMIOS - DIVISION ENTRE -c) Método de Ruffii Este método se us cudo el divisor es de grdo Pr dividir L 0 etre c, usdo Ruffii, seguimos los siguietes psos: - Colocmos e orde los coeficietes de mor meor e u líe horizotl, icluedo los coeficietes ceros E l izquierd colocmos c Oserve que es el úmero que compñ l meos e c trzmos ls rs como e l figur L 0 c - Bjmos el Multiplicmos por c lo colocmos dejo de -, summos ests dos ctiddes: c lo colocmos e el último ivel l ldo de Volvemos repetir este proceso hst llegr l últim colum Multiplicr Sumr: como c

35 - El cociete de l divisió es C) L 0 El residuo es R)r Oserve que e este cso el residuo es u úmero, por qué? Ejemplo - Divid P ) etre D ), determie el cociete el residuo, dode P ) D ) Epresr P e térmios del cociete el residuo Solució: Como el divisor es u poliomio de grdo podemos usr Ruffii Recuerde que l divisió plted es cudo se v dividir por u poliomio de l form c, llevmos etoces est form: ), por cosiguiete c Altertivmete podemos pesr que c es dode el poliomio se hce 0) De l relció P ) D ) C ) R ) oteemos que: P ) ) ) ) De est tl teemos que: C ) R ) Ejemplo - Determir el cociete el residuo de P ) D ) Epresr P e térmios del cociete el residuo P ) D)- Solució: De uevo usmos Ruffii 0 De est tl oteemos 9 7 C ) 9 9 El residuo es R ) P puede ser epresdo e térmios del cociete el residuo como: P ) 9) ) Ejercicio de desrrollo- Divid P ) etre D ), determie el cociete el residuo dode P ) D) Epresr P e térmios del cociete el residuo - DIVISION ENTRE UN MONOMIO E el cso que tegmos como divisor u moomio podemos relizr l divisió hciedo uso de l descomposició de l frcció como l sum de frccioes co igul deomidor 7 Ejemplo - Relizr ) ) Solució: El resultdo de ests divisioes o se epres e térmios de cocietes residuos si o como u sum de u poliomio más u prte frcciori ) E este cso l divisió es ect

36 ) E este cso l divisió o es ect - DIVISION ENTRE ) * P ) Supog que se quiere relizr, dode D ), poliomio de primer grdo D ) L siguiete mipulció lgeric os permitirá usr Ruffii pr est divisió P ) P ) R) es el residuo de l divisió de P ) R ) R ) C ) C ) / D ) D ) Así que relizr l divisió de P ) etre, el cociete es el mismo que l relizr l P ) divisió del poliomio etre el residuo de l divisió que os iteres es R ) - Ejemplo - Determir el cociete el residuo de P ) D ) dode P ) D ) P ) Solució: L divisió de etre D ), os permitirá hcer los cálculos rápidmete Es decir dividir el poliomio etre que cotiució se reliz 0 El cociete de P ) D ) es C ) residuo R ) Cometrio- Es clro que está divisió puede hcerse tmié trvés de l divisió lrg EJERCICIOS ) Determir el cociete el residuo de ls siguietes divisioes de P ) etre D ), epresr P e térmios del cociete el residuo ) P ) 9 D ) ) P ) D ) ) ) P D ) 9 ) P ) 9 8 D ) ) P ) 9 D ) ) P ) D ) ) Determir el cociete el residuo de ls siguietes divisioes P ) D ), epresr P e térmios del cociete el residuo Aplique Ruffii ) P ) D ) ) P ) 8 D ) ) ) P 7 D ) ) P ) D ) ) Relice l divisió cort plique el método más coveiete pr cd cso: ) P ) D ) ) P ) D ) P ) /

37 7 ) P ) 8 D ) ) P ) 8 9 D ) ) P ) D ) ) P ) 9 D ) ) Determir el cociete el residuo de ls siguietes divisioes P ) D ), epresr P e térmios del cociete el residuo Use Ruffii cudo se pued ) P ) ) D ) P ) 8 D ) ) P ) 9 D ) ) P ) Respuests: ) C ) 8 R ) 9 9 D ) P ) ) 8 ) 9 9) ) C ) R ) 8 P ) ) ) 8 ) C ) R ) ) C ) 8 R ) 9 ) C ) R ) 9 P ) ) ) 9) ) C ) 8 R ) ) C ) R ) ) C ) R ) ) C ) R ) 9 ) C ) R ) / ) ) C ) R ) 0 ) ) C ) R ) 7 ) C ) R ) ) C ) R ) ) C ) R ) ) C ) R ) ) C ) R ) ) C ) R ) FACTORIZACIÓN Empezmos est secció recorddo que dos epresioes que se multiplic se llm fctores Por ejemplo, l epresió ) ) está epresd como u producto, dode ) ) so los fctores E ocsioes v ser de sum importci escriir u epresió como u producto, ese proceso de epresrlo como u producto se llm fctorizció Por ejemplo, o es u producto, pero semos que: ) ) Aquí hemos fctorizdo l epresió, idetificdol co u producto otle H vris técics pr fctorizr poliomios, listmos lgus: - Fctor comú - Idetificdo co productos otles - Ríces del poliomio Cometrio: Est últim técic tiee dos vrites: Se determi ls ríces por l ecució de segudo grdo e el cso de poliomios de segudo grdo o por l divisió por Ruffii e el cso geerl

38 8 E geerl uscmos que los fctores se poliomios o costtes de grdos meores que el poliomio origil E este teto se usc l fctorizció e R Esto es: epresrlo como productos de poliomios o costtes de grdos meores que el poliomio origil, tles que los coeficietes de estos poliomios se úmeros reles Si u poliomio o se puede epresr como u producto de poliomios co est propiedd co coeficietes e R diremos que el poliomio es irreducile e R Es clro que todo poliomio de grdo es irreducile Fctorizr completmete u poliomio es epresrlo como productos de poliomios irreduciles Pr logrrlo e ocsioes tedremos que mezclr técics e iterr procedimietos -FACTOR COMÚN: L técic del fctor comú cosiste e plicr l propiedd distriutiv e setido iverso: ) Vemos ejemplos dode es propido usr l técic del fctor comú Ejemplo - Fctorice completmete: ) ) 8 / c) ) ) ) d) / Solució: ) E teemos dos térmios El primer térmio puede ser epresdo como El segudo lo podemos escriir como Podemos ver que es u fctor comú e mos térmios Al idetificr como el fctor que está e los dos térmios plicmos l propiedd distriutiv e setido iverso: Cometrio: tmié es u fctor comú e mos, pero os pide fctorizr completmete l epresió, es por ello que scmos el máimo fctor comú ) E este cso, es u fctor que está e cd térmio de 8 igulmete Oserve que o está e el segudo térmio, por lo tto o es comú Así es el máimo fctor comú etre los tres térmios Etoces 8 ) c) E este ejemplo coviee scr fctor comú ) ) ) ) ) ) ) )) Oserve como teemos dos térmios dode ) es u fctor comú e mos ) ) Simplificmos el segudo fctor ) ) ) d) Aú cudo est epresió o es u poliomio se puede fctorizr Scmos el máimo fctor comú que es l míimo epoete de los térmios E este cso este epoete es / Así / / / )

39 9 - FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES: Est técic cosiste e idetificr u sum lgeric co el resultdo de lgú producto otle cudo se posile Uo de los más usdos es el que sigue: ) ) ) ) Est fórmul está dd e l vrile Los úmeros iterviee e el ldo izquierdo e dos térmios: el coeficiete del térmio e es l sum de estos dos úmeros el térmio costte es el producto Termimos de dr los demás productos otles escritos de derech izquierd ) ) ) ) ) ) ) Coviee prederse de memori otros dos resultdos, por su frecueci e el cálculo: ) ) ) ) ) ) Cometrios: ) Si teemos u poliomio de grdo de tres térmios el coeficiete pricipl es podemos itetr plicr l fórmul Pr ello deemos pesr e dos úmeros que sumdos lgericmete de el coeficiete e multiplicdos de el térmio costte Por ejemplo l fctorizr --, uscmos dos úmeros que multiplicdos de -el sigo os dice que tiee que ser de sigos cotrrios) sumdos -el sigo e este cso os dice que el mor es el egtivo) Estos úmeros so - Efectivmete -)) -- E geerl, se itet de plicr l fórmul cudo el grdo del poliomio es pr, luego otro térmio de grdo l mitd del terior luego l costte, por ejemplo que prezc el térmio tmié uo co luego l costte) ) Se puede itetr usr, o cudo teemos dos térmios Usmos cudo los térmios e l vrile está como u cudrdo perfecto:,,etc Usmos cudo l vrile está como u cuo perfecto:,, etc Vemos los siguietes ejemplos: Ejemplo - Fctorice completmete: ) ) t 9 c) 7 d) 9t, e) Solució: ) Itetmos l form ) ) pues es u poliomio de grdo co tres térmios Buscmos dos úmeros que multiplicdos de sumdos lgericmete de - Oserve que so del mismo sigo lo dice l multiplicció) este sigo dee ser lo idic l sum) Estos úmeros so - - Así ) ) ) Itetmos socirlos co l form ) ) E este cso 9, usmos De est mer: t 9 t t ) t ) t usmos t

40 0 c) Vemos que es de l form ) ) Idetificmos Así Por tto: ) 9), co 7 d) Pr fctorizr 9t usmos ) ) Idetificmos Podemos usr t Por tto: 9t 9t t) t) Altertivmete: Puede reescriir cd térmio como u cudrdo pr visulizr l fctorizció 9t t De quí es clro que ) t ) t) e) Pr fctoriz usmos ) ) Podemos usr Por tto: ) ) Idetificmos Altertivmete: Puede reescriir cd térmio como u cudrdo pr visulizr l fctorizció ) De quí es clro que ) ) Ejercicio de desrrollo- Fctorice completmete: ) ) c) 7 8 d) El siguiete ejemplo muestr u mezcl de los métodos hst hor vistos: Ejemplo - Fctorice completmete: ) 9 ) c) d) ) ) ) Solució: ) Oservmos primero que es fctor comú e cd térmio, por lo tto: 9 9) Este segudo fctor o está completmete fctorizdo, idetificmos co l form ) E este cso 9 Así es efectivmete Etoces filmete: 9 9) ) ) Itetmos socirlos co l form ) ) Aquí se idetific co, de dode es Por otro ldo, sí De est mer: ) ) De ) o podemos co uestrs herrmiets cocluir que o se puede fctorizr más e el cmpo rel, si emrgo ) lo idetificmos de uevo co ) ) El lector etoces puede chequer que ) ) )

41 c) Pr empezr u fctorizció, Se itet primero etrer los fctores comues E este cso es el fctor comú: L fctorizció o es complet pues ) puede seguir siedo ) fctorizdo, pr ello usmos ) Oserve que ) ) Est últim tmié puede ser epresdo como ) ) d) E este ejemplo, se puede e pricipio relizr ls opercioes pr luego fctorizr l epresió resultte, si emrgo es más fácil scr de fctor comú ) ) ) ) )[ )] )[ ] Se fctoriz l últim epresió )[ ) )] ) ) Recuerde que: Se recomied e l reescritur de epresioes lgerics trjr cd iguldd e otr líe Ejercicio de desrrollo- Fctorice completmete: ) ) ) ) EJERCICIOS ) Fctorice completmete los siguietes poliomios: ) 9 ) ) 7 ) t t ) ) 8 7) 8) z z 9z 9) 0) ) 8 ) ) ) 8 ) 0 ) ) ) 7) 9) 8) 8 9) ) ) ) 0) ) ) ) / ) ) 8 8 ) 8 7 Respuests: ) ) ) ) ) ) ) 7) ) ) t ) t ) ) ) ) ) ) ) 7) ) ) 8) z z ) z ) 9) ) 9) 0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) 7) ) ) 8) ) ) 9) 0) / ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) ) ) 9 ) /