TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

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1 TEMA ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS

2 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO... Método geerl de resolució de ecucioes EJEMPLO: Resolver (+7) = ( ).. ECUACIONES CUADRÁTICAS Y BICUADRADAS... Ecucioes cudrátics U ecució de segudo grdo co u icógit es u iguldd que se puede epresr de l form c 0 co c R y 0. Pr resolver ecucioes se segudo grdo utilizmos l fórmul que os d sus solucioes: 4c. ECUACIONES INCOMPLETAS: + = 0 + c=0

3 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS... Ecucioes icudrds. Ls ecucioes icudrds so ecucioes de curto grdo de l form: 4 () c 0. Ests ecucioes se resuelve trsformdo l ecució e otr de segudo grdo por medio de u cmio de vrile. Efectivmete si relizmos el cmio de vrile t l ecució iicil se trsform e: () t c 0 t. Por cd solució t de l ecució () otedremos dos solucioes de l ecució ():.. EJERCICIOS: t y t. Por ejemplo vmos resolver l siguiete ecució: Resuelve ls siguietes ecucioes: 4 ) 6 0 ) c) 6 5 0

4 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.. Ecucioes poliómics... Regl de Ruffii Pr dividir u poliomio P() por u iomio de l form ( ) eiste u procedimieto ltertivo lgoritmo de l divisió deomid Regl de Ruffii que os proporcio el cociete y el resto de l divisió de estos dos poliomios. 6 5 Por ejemplo Cosideremos los poliomios p ( ) y q ( ) 6. Utilizdo l Regl de Ruffii oteemos: Ejemplo. Aplicr l Regl de Ruffii pr oteer cociete y resto de ( 7 ) : ( )

5 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS... Fctorizció de poliomios. Diremos que u poliomio P () es irreducile si solo es divisile por sí mismo o por u poliomio de grdo 0. Por ejemplo: so irreduciles y 5. El poliomio ( ) es irreducile pues úicmete es divisile por el poliomio de grdo 0. El poliomio ( ) o es irreducile pues tiee dos divisores ( )( ). El poliomios es irreducile pues o tiee ríces reles. Diremos que es u ríz del poliomio P () si P ( ) 0 es decir si es u solució de l ecució P ( ) 0. E ese cso el iomio ( ) es u fctor del poliomio P (). 4 Cosideremos el poliomio P ( ) 8 8 si plicmos l Regl de Ruffii pr dividir P () y el iomio ( ) oteemos que el resto de l divisió es ulo. Diremos etoces que el poliomio tiee u ríz e =. Además podrímos firmr que P ( ) ( 6 6) ( ) es decir el iomio ( ) es u fctor divisor del poliomio P ().

6 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.. Ecucioes poliómics... Fctorizció de poliomios (Método) Si P () es u poliomio de grdo myor que dos etoces deemos ecotrr ls ríces del poliomio teiedo e cuet que u poliomio de grdo tiee lo sumo -ríces reles (Teorem Fudmetl del Álger). Pr ecotrr ls ríces plicremos secuecilmete l Regl de Ruffii. Por ejemplo: Se el poliomio como sus coeficietes so eteros etoces sus ríces eters puede ser Si plicmos l regl de Ruffii Luego ( )( )( 4)... EJERCICIOS Resuelve ls siguietes ecucioes poliómics: ) ( 5)( )( 4) 0 ) 6 ( )( )( 4) 0 4 c) d)

7 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.4. Ecucioes co rdicles. Ecucioes rcioles..4.. Ecucioes co rdicles. Cudo e u ecució l icógit prece e lguo de los térmios detro del sigo rdicl decimos que es u ecució co rdicles. Pr resolver ls ecucioes co rdicles se sigue los siguietes psos: ) Aislr e u miemro de l ecució los térmios e los que l icógit está detro de u sigo rdicl. ) Elevr los dos miemros de l ecució l cudrdo. ) Si y o eiste rdicles se resuelve l ecució resultte teiedo e cuet que ls solucioes de l últim ecució puede o ser solucioes de l ecució iicil por lo que es ecesrio compror cuáles de ls solucioes oteids e l últim ecució so solucioes de l ecució iicil. Si todví eiste icógits detro de u rdicl iicimos co est ecució el pso ). EJEMPLO. Resolver ls siguietes ecucioes co rdicles: ) 4 5 )

8 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.4. Ecucioes co rdicles. Ecucioes rcioles..4.. Ecucioes rcioles. Ls ecucioes e ls que l icógit prece e u frcció lgeric se deomi ecucioes rcioles. Pr resolver ecucioes co frccioes lgerics multiplicmos ls frccioes por el m.c.m. de los deomidores y después resolvemos l ecució oteid. Ls solucioes resulttes deerá ser comprods e l ecució iicil. EJEMPLO: 6.4. EJERCICIOS 9. Resuelve ls siguietes ecucioes: ) 5 5 ) 5 c) d). Resuelve ls siguietes ecucioes rcioles: ) ( ) ).

9 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.5. Ecucioes epoeciles y logrítmics..5.. Ecucioes epoeciles. So ecucioes e ls que l icógit está e el epoete de u poteci. Se resuelve utilizdo vris técics: ) Epresdo los dos miemros de l ecució como potecis de l mism se y cotiució escriiedo l ecució formd por l iguldd de los epoetes. Ejemplo: 5 6 ) Tomdo logritmos e mos miemros de l ecució y plicdo ls propieddes de los logritmos. Ejemplo: )Efectudo el cmio de vrile Ejemplo: 4 4 t.

10 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.5. Ecucioes epoeciles y logrítmics.5.. Ecucioes logrítmics. So ecucioes e que l icógit está detro del rgumeto de u logritmo. Se resuelve utilizdo ls propieddes de los logritmos y comprodo ls solucioes oteids e l ecució iicil y que solo eiste logritmos de úmeros positivos. EJEMPLO: log( 4) log( 5).5. EJERCICIOS.. Resuelve ls siguietes ecucioes: 5 ) 8 6 c) 6 0 ) 5 6 d) Resuelve ls siguietes ecucioes logrítmics: ) log(4 ) log( ) log log ) log( 4 ) log log(6 ) log log 4 log( ) log( 4) log c) 0

11 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.6. Sistems de ecucioes lieles.6.. Defiició de sistem de ecucioes lieles U ecució es liel e ls vriles... si se puede epresr de l form... dode R.... U sistem de ecucioes lieles co icógits es u cojuto de vris ecucioes lieles e ls vriles... : m m m m siedo R m m m m.

12 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.6. Sistems de ecucioes lieles..6.. Clsificció de los sistems de ecucioes lieles segú sus solucioes. Segú el úmero de solucioes los sistems de ecucioes lieles se clsific e: ) Sistems comptiles: cudo el sistem tiee lgu solució. Si l solució es úic diremos que el sistem es comptile determido y si eiste ifiits solucioes diremos que es comptile idetermido. EJEMPLO:El sistem liel y y es comptile determido y que su úic solució es = y = 0. Gráficmete so dos rects que se cort e el puto (0) es comptile determido úic solució = y=0 ) El sistem y 4 y 4 es comptile idetermido su gráfic cost de dos rects cocurretes ) Sistems icomptiles: si o eiste igu solució. EJEMPLO: El sistem y y es icomptile su gráfic cost de dos rects prlels.

13 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.6. Sistems de ecucioes lieles..6.. Métodos de resolució por sustitució igulció y reducció. SUSTITUCIÓN: Despejr u icógits e u de ls ecucioes y sustituir e ls resttes hst coseguir u ecució co u icógit. IGUALACIÓN: Despejr l mism ecució e tods ls ecucioes e igulr los segudos miemros de ls ecucioes resulttes. REDUCCIÓN: Reducir el sistem otro co meos icógits relizdo opercioes co ls ecucioes. EJEMPLO: Resolvmos u sistem de ecucioes co icógits: 0 utilizdo los tres métodos.

14 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.6. Sistems de ecucioes lieles Método de Guss. Trsformcioes pr costruir sistems equivletes: ) Si sustituimos u ecució de u sistem por el producto de est ecució por u úmero el sistem que se otiee es equivlete. ) Si sustituimos u ecució por l sum o difereci de est ecució co otr ecució del sistem el sistem que se otiee es equivlete. c) Si itercmimos dos ecucioes el sistem que se otiee es equivlete Diremos que u sistem de tres ecucioes co tres icógits es trigulr si tiee l siguiete form: y c z d y c z d c z d U método de resolució ltertivo los métodos clásicos de sustitució igulció y reducció cosiste e covertir u sistem de ecucioes lieles e otro equivlete pero trigulr: MÉTODO DE GAUSS. EJEMPLO: Resolver por el método de Guss: y z y z 6 y z 4

15 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.6. EJERCICIOS.. Resuelve y clsific los siguietes sistems de ecucioes lieles: ) z y z z y ) z y z y z y

16 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.7. Iecucioes..7.. Iecucioes de primer grdo co u icógit U iecució es u desiguldd ( ) etre dos epresioes lgerics e ls que prece u o más icógits y cuy solució es el cojuto de úmeros reles que verific l desiguldd. Ls iecucioes de primer gdo co u icógit so iecucioes que se puede covertir e u de ls siguietes iecucioes reducids: o R. co Pr reducir u iecució de primer grdo utilizmos ls siguietes regls: Si 0: Si 0:.. EJEMPLO:

17 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.7. Iecucioes..7.. Iecucioes poliómics co u icógit So iecucioes que puede reducirse u de ests forms: p ( ) 0 p( ) 0 p( ) 0 p( ) 0 dode p () es u poliomio. Pr resolver ls iecucioes poliómics seguiremos los siguietes psos: ) Simplificr l iecució de mer que e u miemro otegmos u poliomio y e el otro miemro el vlor ulo. ) Fctorizr el poliomio del primer miemro y oteer sus ríces. ) Dividir l rect rel e u cojuto de itervlos. Sore estos itervlos lizmos el sigo de cd uo de los fctores del poliomio pr oteer el sigo del poliomio totl y determir e qué itervlos se verific l iecució. EJEMPLO: 5 6

18 CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.7. Iecucioes..7.. Iecucioes rcioles co u icógit So iecucioes que puede reducirse u de ests forms: r ( ) 0 r( ) 0 r( ) 0 r( ) 0 dode r () es u frcció rciol. Pr resolver ls iecucioes rcioles podemos seguir los siguietes psos: ) Simplificr l iecució u de ls forms reducids idicds. ) Fctorizr los poliomios que compoe umerdor y deomidor. ) Co l ríces del umerdor y deomidor descompoer l rect rel e los itervlos; y lizr los sigos de cd fctor e cd itervlo pr oteer el sigo de l frcció rciol. EJEMPLO: 8 8 0