Ecuaciones de recurrencia

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1 Ecucioes de recurreci Itroducció Comecemos co u ejemplo: Sucesió de Fibocci: ( ) = (,,,3,5,8,3,... ) Cd térmio, prtir del tercero, se obtiee sumdo los dos teriores, o se: 3 = + ( ) U expresió de este tipo, e que el térmio geerl de l sucesió se escribe e fució de lguos térmios teriores, recibe el ombre de relció de recurreci, ecució de recurreci o ecució e diferecis. Pr obteer u térmio cocreto de u sucesió dd e form recurrete debemos ir obteiedo todos los teriores, lo cul o siempre es práctico. Cuál es el térmio de l sucesió de Fibocci? Ecotrr u solució l ecució de recurreci es determir u expresió del tipo = f ( ) e l que el térmio geerl deped solo de l posició que ocup y o de los teriores. Pr que l solució se úic es ecesrio coocer lguos térmios de l sucesió, lo que llmremos codicioes iiciles. E el ejemplo terior = y =. Ejemplo: Ls sucesioes (,, 4, 8, 6,...) y (3, 6,, 4, 48,...) stisfce l mism relció de recurreci =, si. Pero l codició iicil = juto co l relció de recurreci determi de form úic l primer de ests dos sucesioes. L codició iicil = 3 juto co = pr, determi l segud. Defiició: U ecució de recurreci liel de orde k co coeficietes costtes es u relció c + c + c c k k = b, k (I) dode c, c,..., c k so costtes ( ) y ( b ) es u sucesió coocid. Diremos que (I) es homogée si b =. Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - -

2 Ecució de recurreci liel homogée Ecució de recurreci liel de primer orde Se ( ) : = 3 (est expresió o defie u úic progresió geométric, debemos dr ls codicioes iiciles) : = 3, co y = 5 Se etoces ( ) Est ecució de recurreci = 3 depede del elemeto imedito terior, por eso decimos que es de primer orde.... = 5 = 3 = 3 5 ( ) ( ) = 3 = 3 3 = = 3 5 ( ) 3 3 = 3 = = 3 5 = 3 5 est es l solució de l ec. de recurreci Ejercicio : Ecuetr l solució geerl de ls siguietes ecucioes de recurreci b = 6b co, b = 3 E geerl: ) c = c co, c = 7 5 b) L solució de l ecució de recurreci = d co, = A es = A d Ejemplo: Resolver = 7, y = 98 = 7 d = 7 = A d A A A Por lo que l solució es: = 7 98 = 7 = = 7 Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - -

3 Ejercicio : Ecuetr l solució geerl de: ) + =,5 = 3 b) = = 4 Ejercicio 3: Determi si + = 5 >, y = ( Sugereci: cmbio de vrible b = ) Ejercicio 4: U bco pg u iterés (compuesto mesul) del 6% ul. Si se deposit U $ el º de bril, cuáto diero tedrá 3 meses después? Ecució de recurreci liel de segudo orde c + c + c = (homogée) Se busc u solució de l form = Ar Sustituyedo e : c + c + c = c Ar + c Ar + c Ar = Fctorizdo se obtiee: r ( cr c r c ) + + = c r + c r + c = ( y que r ) ( cr c r c ) + + Se le llm POLINOMIO CARACTERÍSTICO Segú ls ríces del poliomio crcterístico ls solucioes de ls ecucioes de recurreci puede ser de dos tipos: ríces distits: r y r (reles o complejs), etoces l solució es = α r + β r Ríces repetids, l solució es Ejemplos: Resolver = α r + β r ) + 6 = =, = Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 3 -

4 El poliomio crcterístico x + x 6 = tiee dos ríces reles distits que so y 3, etoces l solució geerl es = α + β ( ) 3 Pr determir α y β co ls codicioes froter =, = obteemos el sistem α + β = α 3β = cuy solució es α = y β =.Esto permite estblecer que l solució úic de l ecució de recurreci dd es =. b) =, = 5, = c) = =, =, = d) Ahor puedes ecotrr l solució geerl de l sucesió de Fibocci, 3 = + = y = Ecució de recurreci liel o homogée c c c... c k k b, k = co ( b ) f ( ) =... (I) Se le llm ecució de recurreci homogée socid l terior l ecució c + c + c c k k =, k Se ceptrá si demostrció l siguiete propiedd: Culquier solució de l ecució (I), se puede escribir de l form, dode p es u solució prticulr de (I) y = p + h h es l solució de l ecució homogée socid. Y se vio e l prte terior como hllr l solució de l ecució de recurreci homogée. Pr obteer u solució prticulr o hy u método geerl. Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 4 -

5 Ejemplos de como hllr u solució prticulr e diferetes csos : º) + = 3 E este cso b = 3. Se puede sospechr que u solució prticulr de est ecució puede ser de l form p = A(siedo A u costte) Si sustituimos e l ecució se obtiee : A + A = 3 3A = 3 A =. Por lo tto p = es u solució prticulr. º) + = E este cso b p = A + B + C. sucesió del mismo tipo, =. Se prueb si puede ser solució u ( ) Pr eso se sustituye e l ecució ( ) ( ) 3 Resolviedo u sistem se obtiee A = 3, B = 9, C = 7. 3 Por lo tto p = + es u solució prticulr A B C A B C =. 3º) 3 5( 7 = ). E este cso b 5( 7 = ) ( 7 p = A ). Sustituyedo e l ecució se obtiee ( 7 ) 3 ( 7 A A ) 5( 7 ) 35/4. Por lo tto p = ( ) es u solució prticulr., se prueb etoces co u sucesió de l form =, de dode A = E cd uo de los csos teriores se esyó u solució prticulr geerlizdo l expresió dd por b. Se costruyó u solució prticulr prtir de b. Los coeficietes (A, B, C, etc.) se determi sustituyedo y resolviedo u sistem de ecucioes. p e l ecució de recurreci dd L técic que se usó e los tres ejemplos de rrib es válid cudo b, o lgú térmio de b o se solució de l ecució homogée socid. 4º) =. Si se prueb co u solució de l form p = A, l sustituir se obtiee u cotrdicció y que A A = =. Esto sigific que o hy igu solució prticulr de est form (poliómic de grdo ) E estos csos se probrá co solucioes poliómics de grdo superior l que tiee l sucesió b. = A, sustituyedo se obtiee A =. E este cso si se tom u solució prticulr del tipo Por lo tto u solució prticulr es p = 5º) 3 = 5( 3 ), y =. Se prueb co p ( 3 A ) =. Al sustituir A 3 se lleg otr vez u cotrdicció ( =5). No existe etoces igu solució prticulr de l p A 3 p A 3 p = 5 3 es p por ( ) form = ( ). Se esy co u de l form = ( ) y se obtiee que ( ) u solució prticulr. Recordr que e este cso l solució de l homogée socid es plicdo ls codicioes iiciles, e este cso l ser Etoces l solució geerl será de l form 3 53 h = se obtiee α = ). = + o ( 5 ) ( 3 = + ) = α 3 (α se determi Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 5 -

6 E resume: ) Si b es u múltiplo costte de u de ls forms de l primer colum de l tbl siguiete y o es solució de l ecució homogée socid, etoces l solució prticulr p tiee l form que se muestr e l segud colum. b si cos p K A A + B A + B + C r Ar r A + B + C r ( ) ( α ) Asi ( α ) + Bcos ( α ) ( α ) Asi ( α ) + Bcos ( α ) ) Cudo b es u sum de múltiplos costtes de térmios como los de l primer colum (y iguo de estos es solució de l ecució homogée socid), etoces l solució prticulr se form como l sum de los térmios correspodietes e l segud colum. 3) Si b (o lgú térmio de b ) es u múltiplo costte de u solució de l ecució homogée socid, multiplicmos l solució prticulr correspodiete ese sumdo t por l míim poteci de, pr l que igú sumdo de l uev expresió se u solució de l ecució homogée socid (Si p se solp co h, multiplicmos por l meor poteci de que evite dicho solpmieto ). p Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 6 -

7 EJERCICIOS. Ecuetre u relció de recurreci, co u codició iicil, que determie de mer úic cd u de ls siguietes progresioes geométrics: i.,, 5, 5, ii. 6, -8, 54, -6,. Resuelv ls siguietes progresioes geométrics. i. 4 5 =,, = 4 ii. 3 =,, = iii., 3, 9, 7, iv. 7, 4 5, , 5, 3. Si, co, es u solució de l relció de recurreci = d, y = , = , cuáto vle d?. 4. El úmero de bcteris e u cultivo es de 8 (proximdmete) y este úmero umet u 5% cd hor. Use u relció de recurreci pr determir el úmero de bcteris presetes 3 hors después. 5. U bco pg u iterés (ul) del 6% pr cuets de horros, co u iterés compuesto mesul. Utilice u ecució de recurreci pr determir cuáto diero se tedrá depositdo u ño después si se reliz u depósito de $. 6. Resuelve ls siguietes ecucioes de recurreci. ) = 3 = b) 5 = 4 = 5 7. Si = y = 4 3, stisfce l ecució de recurreci = b, dode y b es costte, ecuetre. 8. Resuelve ls siguietes ecucioes de recurreci. = 6 8,, =, = ) = +,, = b) Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 7 -

8 = 7 3,, =, = c) = 5 + 6,, =, = 3 d) + 5 =,, =, = 8 e) + + = + 5,, = f) 3 = + =,, = 7, = 3 g) =,, = 5, = h) + + =,, =, = 3 i) = +, j) = =,, = = k) = + 3, l) = m) = = 3 3, 9. Resuelve ls siguietes ecucioes de recurreci. i. ii. iii = 3, = = = , = = = 7, = = Bibliogrfí: GRIMALDI, Rlph P. Mtemátics discret y combitori. Tercer edició. Editoril Addiso-Wesley Iberomeric ROSEN, Keeth H. Mtemátic discret y sus pliccioes. Quit edició. Editoril Mc Grw Hill Profesor Ptrici Echeique Viñs Mtemátic II- INET - 8 -

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