TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

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1 TEMA. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2 . UN REPASO DE LOS NÚMEROS REALES

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) IN {,, 3, 4, 5,...}. L sum + b y el producto b de dos úmeros turles culesquier tmbié es u úmero turl. El cojuto IN de los úmeros turles es cerrdo pr ls opercioes sum y producto de úmeros. Si embrgo e el cojuto de los úmeros turles IN: No puedo quitrle (restr) 5 No puedo dividir e 5 prtes

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los eteros egtivos y el cero surge pr resolver ecucioes tles como x + 5 o resolubles pr úmeros turles. El cojuto de los eteros positivos, los eteros egtivos y el cero form el cojuto de los úmeros eteros. Z {...-4,-3,-,-,0,,,3,4...}. El cojuto Z es cerrdo pr l sum, pr l rest y pr el producto. N Z. Si embrgo, e el cojuto de los úmeros eteros Z: No puedo dividir e 5 prtes

5 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los úmeros rcioles surge pr permitir resolver ecucioes como 5x ; o,e geerl, bx co b 0 que o se puede resolver e el cojuto de los úmeros eteros. Podemos defiir el cojuto de los úmeros rcioles como: Q : Z,b Z,b 0 b Q cojuto de los úmeros decimles periódicos. 5 0,3 0,4; , ; 0, ; 6 3, , El cojuto Q es cerrdo pr l sum, pr l rest, pr el producto y pr l divisió. N Z Q. 3 7

6 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los úmeros irrcioles tles como: 3, π, 5, e, L so úmeros que NO puede expresrse como /b pr Z, b Z, b 0. Escribiremos este cojuto de úmeros como II: II cojuto de los úmeros decimles o periódicos. Por ejemplo:, l; π 3, ; e, ;...

7 CONJUNTOS NUMÉRICOS L uió disjut del cojuto de los úmeros rcioles y del cojuto de los úmeros irrcioles form el cojuto de los úmeros reles IR Q II Reles Rcioles Irrcioles Los úmeros reles se puede represetr e u rect si dejr gujeros, que llmremos l rect rel. Hy u correspodeci biyectiv etre el cojuto de los úmeros reles y el cojuto de los putos de l rect geométric. A cd úmero rel le correspode u puto de l rect geométric y cd puto de l rect geométric u úmero rel.

8 DEFINICIÓN DE IR E IR hy dos opercioes iters l sum y el producto. (u operció iter hce correspoder cd pr de úmeros reles otro úmero rel) IR co dichs opercioes preset estructur de cuerpo comuttivo puesto que verific ls siguietes propieddes: Propieddes de l sum: ) Comuttiv α, β IR; α + β β + α ) 3) Asocitiv Existeci α, β, γ IR; ( α + β ) + γ α + ( β + γ ) de u elemeto eutro : 0 IR, α IR; α α α 4) Pr cd úmero rel existe u opuesto : α IR, α IR; α + ( α ) ( α ) + α 0

9 DEFINICIÓN DE IR Propieddes de l multiplicció: 5) Comuttiv α, β IR; αβ βα 6) Asocitiv α, β, γ IR; ( αβ ) γ α ( βγ ) 7) Existeci de u elemeto uidd: IR, α IR; α α α 8) Todo úmero rel distito de 0 tiee iverso : α IR, α 0, IR; α α α α α Propiedd distributiv de l multiplicció respecto de l sum α, β, γ IR; α ( β + γ ) αβ + αγ

10 ORDEN EN IR El cojuto de úmeros reles l derech de 0 so los úmeros positivos (P). El cojuto de úmeros l izquierd de 0 so los úmeros egtivos. El úmero 0 o es i positivo i egtivo (o es mbs coss). > b b P ( está situdo l derech de b) < b b > (b está situdo l derech de ) b > b ó b b < b ó b

11 Propieddes: ) > b ó b ó < b ORDEN EN IR ) > b y b > c > c 3) > b ± c > b ± c pr culquier c IR 4α) > b y c > 0 c > b c 4β) > b y c < 0 c < b c > b y c > 0 > c > b y c < 0 < c b c b c

12 INTERVALOS EN IR Se, b IR co < b Itervlo ABIERTO de extremos y b IR: (, b) { x IR : < x < b} b Itervlo CERRADO de extremos y b IR: [, b] { x IR : x b} b Itervlo CERRADO e y ABIERTO e b: [, b) { x IR : x < b} Itervlo ABIERTO e y CERRADO e b: b (, b] { x IR : < x b} b

13 INTERVALOS DE LONGITUD INFINITA EN IR (, + ) { x IR : < x} [, + ) { x IR : x} (-, ) { x IR : x < } (-, ] { x IR : x } (, + ) IR

14 EJEMPLO: RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES Pr qué vlores de x es x +3 ( - x) 4 x? x + 6-3x 4 - x x - 3x + - x - x x 4-6 Solució: (-,] Pr qué vlores de x es x -3x - < 0 x? x - 3x + x < 0 x - x - < 0 Solució: (-3,4) x + 3 x - 4 < ( )( ) 0 ) b) -3 4 ( x + 3) > 0 y ( x - 4) < 0 x > -3 y x < 4-3 < x < 4 ( x + 3) < 0 y ( x - 4) > 0 x < - 3 y x > 4 Imposible

15 VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES Se IR, defiimos : Propieddes: máximo {, } - si < 0 si 0 ) 0 y 0 ) - 0 3) + b + b

16 ) x 3 3 x 3 x EJEMPLOS [ 3,3] ) x - x - x 3 x [,3] Etoro de cetro 0 y rdio 3 Etoro de cetro y rdio 3) x 3 x + 3 x ó ó x, ( ) x + 3 x 5 (, 5] [ + ) -5 -

17 VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES 4) b b 5) si b b b 0 6) 7)

18 DISTANCIA ENTRE NÚMEROS REALES Distci etre los úmeros reles y b: 0 b d(, b) b - b Logitud del itervlo de extremos y b d(,b) Distci etre y el orige 0: d(,0) 0 Iterpretció geométric del vlor bsoluto de u úmero

19 CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES Se S IR, S K IR es cot superior de S si x K pr todo x S k IR es cot iferior de S si x k pr todo x S S está cotdo superiormete si existe u cot superior de S. S está cotdo iferiormete si existe u cot iferior de S. S está cotdo si está cotdo superior e iferiormete.

20 CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES Llmmos supremo del cojuto S, cotdo superiormete, l meor cot superior de S. ) x K pr todo x S K es supremo de S ) Pr culquier ε > 0 x0 S tl que K ε < x 0 Llmmos ífimo del cojuto S, cotdo iferiormete, l myor cot iferior de S. K es ífimo de S ) x k pr todo x S ) Pr culquier ε > 0 x0 S tl que x0 < k + ε

21 CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES K es u máximo del cojuto S, cotdo superiormete, K es u supremo de S y K S. k es u míimo del cojuto S, cotdo iferiormete, k es u ífimo de S y k S. Ejemplo : es u cot superior de S. - es u cot iferior de S. S es cotdo. S,,, 3 4, 5,... es l meor cot superior de S, es el supremo de S, y es el máximo de S. 0 es l myor cot iferior de S, es el ífimo de S. 0 o es el míimo de S, porque 0 S.

22 Cosecueci: Todo cojuto o vcío de IR, cotdo iferiormete, tiee extremo iferior. Ejemplo : CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES T es u cot superior de T. - es u cot iferior de T. T es cotdo. 0,,, 3 3 4, 4,... 5 es l meor cot superior de T, es el supremo de T; pero o es el máximo de T. 0 es l myor cot iferior de T, es el ífimo de T y es el míimo de T. AXIOMA: Todo cojuto o vcío de IR, cotdo superiormete, tiee extremo superior.

23 . SUCESIONES. PROGRESIONES

24 SUCESIONES Como cbmos de ver es frecuete ecotrr cojutos uméricos fiitos o ifiitos ordedos. Ejemplos: S,,, 3 4 5,... A {, -,, -,, -,... };, 3 4 T 0,,,,, B { 6, 9,, 5, 8,...}; C { 4,, -, - 5, - 8,...}; D {,, 4, 8, 6,... }; E,, 4,, 8, 6... ; F {,,, 3, 5, 8, 3,, 34,...}; U sucesió es u regl que cd úmero turl de IN le sig u úico úmero rel s() s. s : IN IR s() s

25 S,,, 3 () s s ( ) s s... ( )... s s 3 4, 5 EJEMPLOS DE SUCESIONES,... T 0, t ( ) t 0 ( ) ( 3) s ( 3) s 3 t t... t ( )... t,, 3 t t , 4,... 5 A {, -,, -,, -,...}; B { 6, 9,, 5, 8,...}; () ( ) ( 3) Térmio geerl de u sucesió ( ) b 6 ( ) b 9 ( 3) b b b ( ) ( ) + - b 3 b( ) b 3 + 3

26 SUCESIONES U sucesió de úmeros reles {x : IN} se dice creciete si x x +, pr todo IN U sucesió de úmeros reles {x : IN} se dice estrictmete creciete si x < x +, pr todo IN U sucesió de úmeros reles {x : IN} se dice decreciete si x x +, pr todo IN U sucesió de úmeros reles {x : IN} se dice estrictmete decreciete si x > x +, pr todo IN.E culquier de los csos teriores decimos que l sucesió es moóto. S,,,,,... es estrictmete decreciete T 0,,,,,... es estrictmete creciete 3 4 5

27 EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e El úmero e desempeñ e fizs y ecoomí el mismo ppel fudmetl que π e geometrí. Problem: Crecimieto de l iversió e u cuet de horro. A pricipio de ño, depositmos u tipo de iterés compuesto ul r. ) Después de u ño l cuet tedrá: ( + r). ) Al fil del segudo ño hbrá el cpitl del ño terior más los itereses que hbrá geerdo ese cpitl: ( + r) + r ( + r) ( + r) ( + r) ( + r). ) Al fil del tercer ño hbrá el cpitl del segudo ño más los itereses que hbrá geerdo ese cpitl: ( + r) + r ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) 3. 3) Después de t ños, hbrá ( + r) t e l cuet.

28 EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Supogmos que el bco bo itereses cutro veces l ño (cpitliz trimestrlmete). Al fil de cd trimestre, pgrá el r/4 del pricipl ctul. ) Después de u trimestre, r l cuet tedrá + 4 ) Después de medio ño, dos trimestres, dos cumulcioes, r + + l cuet tedrá. 4 r 4 + r 4 + r 4 3) Después de u ño, cutro cumulcioes, l cuet tedrá. + r 4 4 4) Después de t ños, l 4t r cuet crecerá hst + 4

29 EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Supogmos hor que el bco bo itereses veces l ño. ) Después del primer r período, l cuet tedrá: + ) Después de u ño, cumulcioes, l cuet tedrá: 3) Después de t ños, l cuet crecerá hst: + + Muchos bcos dice que bo itereses dirimete. Teóricmete se podrí pedir que lo hiciese cotiumete. Por qué fctor hy que multiplicr el diero e el bco l ts de iterés r si el iterés se compoe muy frecuetemete, esto es, si es muy grde? r r t

30 EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Pr simplificr el cálculo comezmos supoemos u ts de iterés ul del 00 por 00; esto es r. Etoces se form l sucesió: s + Como vemos l tbl se v estbilizdo e toro u úmero irrciol que llmmos e. e.7888 co siete decimles exctos. (+/)

31 ; ; 3;...; ; + d; PROGRESIONES ARITMÉTICAS U progresió ritmétic es u sucesió tl que cd térmio se obtiee sumdo l terior u úmero costte, l difereci d de l progresió. + d ; d; B { 6, 9,, 5, 8,...}; b 6; b 6 b 3 + d 3; + ( )3; 3; d + ( ) d; C { 4,, -, - 5, - 8,...}; c 4; d 3; c 4 + ( )( - 3); c 3 + 7;

32 SUMA TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Observr que: + - ( + d) + ( d) d + d + ; ( ) ( ) k + - k... ; Etoces: S ; + pr todo k,,, S ( + ) + ( + ) ( + ) + ( ) S + S - ( ) S + +

33 SUMA TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Hllr l sum de los 4 primeros térmios de l progresió ritmétic B {6, 9,, 5, 8, } b 6; 4 b + ( ) d 6 + ( 4 - ) 3 45; b b + b S 4 Hllr l sum desde el térmio 0 l 0 de l progresió ritmétic C {4,, -, -5, -8, } c 4; c0 + c 0 S c + ( 0 ) d 4 + ( 0 - )( - 3) -3; 0 c + ( 0 ) d 4 + ( 0 - )( - 3) -53; c c 3 + ( 53) 48

34 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS U progresió geométric es u sucesió tl que cd térmio se obtiee del terior multiplicádolo por u úmero costte, l rzó r de l progresió. ; ; 3 ;...; ;... ; r; 3 r r r... r ; ; E D {,, 4, 8, 6,...}; d ; r ; d d r,, 4, 8, 6 e ; r ; e e r,... ;

35 SUMA TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA S r r... r r r r S Restmos l segud iguldd l primer teiedo e cuet que r + : S r r... r r r r S r S r S ( ) r r S r r S r r - r r -

36 SUMA TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Hllr l sum de los 0 primeros térmios de l progresió geométric D {,, 4, 8, 6, } d ; - r r S0 r r Hllr l sum de los 0 primeros térmios de l progresió geométric E {, /, /4, /8, /6, } e ; S - r 0 r - 0-0,

37 3. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

38 FUNCIONES EN IR Es muy frecuete e geometrí, físic, ecoomí,, hblr de cierts mgitudes que depede del vlor de otrs. Por ejemplo, el áre de u cudrdo depede de l logitud del ldo; el espcio recorrido por u ciclist depede del tiempo que llev pedledo; el cosumo de u ecoomí depede del PIB de l mism; Se D IR IR. U fució es u regl que cd úmero rel x de D le sig u úico úmero rel f(x), que llmmos l imge de x por f. f :D IR x es l vrible idepediete x IR f(x) y f(x) es l vrible depediete (depede del vlor que se sige x)

39 FUNCIONES EN IR Ejemplo : Se u fució que sig cd úmero el cudrdo del mismo. Por ejemplo, l úmero le sigmos el 4; y -3/ el úmero 9/4. Escribimos f() 4 y f(-3/) 9/4. E geerl, represetmos l fució por l fórmul f(x) x. Ejemplo : L fució que sig cd úmero su iverso. Escribiremos g(4) ¼ y g(-) -/. Represetmos, e este cso l fució por l fórmul g(x) /x. D es el domiio de f: D IR IR. Dom(f) Dom(f) IR D { x IR : f(x) IR} IR Dom(g) IR {} 0 f(d) es l imge o recorrido de f: D IR IR. Im(f) f(d) { y IR : x D tl que f(x) y } IR Im(f) IR+ ; Im(g) IR { 0}

40 L gráfic de u fució f: D IR IR es: Grf(f) {( x, f(x) ) IR IR : x D} f( x) x Dom(f) IR Im(f) IR +

41 L gráfic de u fució f: D IR IR es: Grf(f) {( x, f(x) ) IR IR : x D} f( x) x Dom(f) IR Im(f) IR { 0} {} 0

42 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Hy dos tipos de rzoes por ls que el domiio de u fució puede estr restrigido: ) De ídole mtemátic: Ls más comues so que o se puede dividir por cero, que o se puede hllr l ríz cudrd de u úmero egtivo y que sólo los positivos tiee logritmo. Domiio de h (x) x es IR \{-,}. [ 7, + ). Domiio de h (x) x 7 es Domiio de h3 (x) l(x 3) es 3, ( + ) ) De ídole ecoómic: El domiio de u fució puede estr restrigido por l plicció ecoómic e l cul surge l fució. Por ejemplo, si C(x) es el coste de producir x coches, x es turlmete u etero positivo. Pr ls fucioes que surge e pliccioes ecoómics IR +, el cojuto de los úmeros reles positivos, es u domiio muy frecuete.

43 FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES Ls fucioes más secills posibles so los poliomios de grdo 0: ls fucioes costtes f(x) b. So demsido simples pr ser iterestes. Ls fucioes iterestes más simples so los poliomios de grdo : f(x) mx + b. Se llm fucioes lieles porque sus gráfics so líes rects. y m x + b Pediete de l rect Orded e el orige Observr que: m y 0 m y x 0 m 0 pediete de l rect x 0

44 FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES y 4 y -3x + y x + y ( ) x -

45 FUNCIONES LINEALES: ECUACIÓN DE LA RECTA ) l rect cuy pediete es m y cuy itersecció co el eje de ordeds es (0, b) tiee l ecució y m x + b. 0 0 x x y y m 3) l rect que ps por (x 0, y 0 ) y (x, y ), tiee como pediete: 0 0 x x y y m x x y y x x y y ( ) x x x x y y y y cumple que su pediete es: ) l rect que tiee como pediete m y que ps por el puto (x 0, y 0 ) ( ) 0 x 0 m x - y y

46 FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA Se C C(q) m q + b l fució de coste liel que d el coste totl C resultdo de mufcturr q uiddes de output. L gráfic es: L pediete mide el umeto e el coste totl debido l producció de u uidd más. Coste mrgil Coste de hcer u uidd más.

47 FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA El cosumo C es proporciol l Ret Nciol Y. Podemos, supoer que l relció Cosumo/Ret Nciol es liel: C C 0 + b Y siedo 0 < b <, y C 0 costtes positivs L gráfic es: b: propesió mrgil l cosumo L pediete es > 0; es decir el cosumo umet co l ret.

48 FUNCIONES POLINÓMICAS DE º GRADO fucioes prbólics f(x) x + bx + c. Vértice de l Prábol V (-b/, _) V (, -)

49 FUNCIONES POLINÓMICAS DE º GRADO fucioes prbólics f(x) x + bx + c. Vértice de l Prábol V (-b/, _) V (, )

50 FUNCIONES RADICALES y x Dom f [ 0,+ )

51 FUNCIONES RADICALES y x 0.5 Dom f [ 0.5,+ )

52 FUNCIONES RADICALES y 4x 4 Dom f [,+ )

53 FUNCIONES POLINÓMICAS

54 y x x FUNCIONES RACIONALES +

55 FUNCIONES EXPONENCIALES

56 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

57 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

58 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y tg( x) 3π π π 3π

59 FUNCIONES EN ECONOMÍA El modelo que describe l ofert y demd del mercdo pr u bie determido relcio el precio (p) por uidd del bie co l ctidd (q) de dicho bie existete e el mercdo. {(q,p) IR IR : q + 5p 40} ojuto de demd D Fució de demd Fució ivers de demd Cojuto de ofert S Fució de ofert Fució ivers de ofert q q + + q D (p) p 40 5p p D (q) {(q,p) IR IR :q 5p 0} + + q S (p) p p 5p-0 (q) q S + 40 q 5 5 0

60 FUNCIONES LINEALES DE OFERTA Y DEMANDA

61 FUNCIONE INVERSAS DE OFERTA Y DE DEMANDA

62 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES f es creciete si su gráfic se desplz hci rrib cudo os movemos de izquierd derech. f creciete x ( x ) f( ) < x f x f estrictmete creciete x ( x ) < f( ) < x f x

63 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES f es decreciete si su gráfic se desplz hci bjo cudo os movemos de izquierd derech. f decreciete x ( x ) f( ) < x f x f estrictmete decreciete x ( x ) > f( ) < x f x

64 FUNCIONES ACOTADAS Se f :D IR IR f está cotd superiormete el cojuto f(d) está cotdo superiormete K IR tl que x D, f(x) K. K es u cot superior de f(d). L meor de ls cots superiores es el supremo de f(d). Cudo hy u x 0 tl que f(x 0 ) f(d) es el supremo de f(d) decimos que f lcz u máximo globl o bsoluto e x 0. f(x 0 ) es el vlor máximo globl o bsoluto de f.

65 Se f :D IR FUNCIONES ACOTADAS IR f está cotd iferiormete el cojuto f(d) está cotdo iferiormete k IR tl que x D, f(x) k. k es u cot iferior de f(d). L myor de ls cots iferiores es el ífimo de f(d). Cudo hy u x 0 tl que f(x 0 ) f(d) es el ífimo de f(d) decimos que f lcz u míimo globl o bsoluto e x 0. f(x 0 ) es el vlor míimo globl o bsoluto de f. f está cotd el cojuto f(d) está cotdo superior e iferiormete. K IR : f( x) K pr todo x D

66 FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE

67 FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE

68 FUNCIÓN ACOTADA

69 MÁXIMOS LOCALES Si u fució f cmbi de creciete decreciete e u puto (x 0, f(x 0 )) se dice que f lcz u máximo locl e el puto x 0. x e u etoro de x 0 l fució f verific que: f(x) f(x 0 ).

70 MÍNIMOS LOCALES Si u fució f cmbi de decreciete creciete e u puto (x 0, f(x 0 )) se dice que f lcz u míimo locl e el puto x 0. x e u etoro de x 0 l fució f verific que: f(x) f(x 0 ).

71 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y f (x-c) es u trslció horizotl de l gráfic de f (x) e c uiddes l derech y x y ( x - )

72 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y f (x+c) es u trslció horizotl de l gráfic de f (x) e c uiddes l izquierd ( x ) y + y x

73 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y f (x)+c es u trslció verticl de l gráfic de f (x) e c uiddes hci rrib. y x + y x

74 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y f (x)-c es u trslció verticl de l gráfic de f (x) e c uiddes hci bjo. y x y x

75 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y -f(x) es u reflexió de f(x) respecto del eje OX. y x y x

76 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y f(-x) es u reflexió de f(x) respecto del eje OY. y x + x + y x x +

77 TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y -f(-x) es u reflexió de f(x) respecto del orige. y x x y x x +

78 FUNCIÓN PAR f es PAR si f(-x) f(x) pr todo x D.(hy u eje de simetrí) f(x)x 4-3x + f(-x)(-x) 4-3(-x) + x 4-3x + f(x)

79 FUNCIÓN IMPAR f es IMPAR si f(-x) -f(x) pr todo x D. (hy u cetro de simetrí) f(x)x 3-3x f(-x)(-x) 3-3(-x) -x 3 +3x -f(x)

80 Se F(D, IR) Defiimos e F(D,IR): ) L sum de fucioes: OPERACIONES CON FUNCIONES { f :D IR IR} Si f, g F(D, IR) etoces f + g F(D, IR) ( f + g)( x) f( x) + g( x) ) El producto de u úmero por u fució: Si α IR y f F(D, IR) etoces αf F(D, IR) ( α f)( x) αf( x) 3) El producto de fucioes: Si f, g F(D, IR) etoces fg F(D, IR) ( fg )( x) f( x) g( x)

81 VISUALIZACIÓN GRÁFICA Sum de fucioes Producto de u úmero por u fució

82 f :D IR g :D COMPOSICIÓN DE FUNCIONES IR IR IR co f(d ) D Defiimos l composició de f y g (que se escribe g f) como: Ejemplo Se f(x) x + ; g(x) /(x-) (g f)(x) g(f(x)) g(x +) /x D x f D f(x) g IR g(f(x)) (g f) (x) g(f(x)) Auque pued clculrse l composició l revés, f g el resultdo o tiee por qué ser el mismo: (f g)(x) f(g(x)) f(/(x-)) /(x-) +

83 FUNCIONES INVERSAS L fució ivers de u fució dd tiee el efecto de deshcer lo hecho por l otr. x f f - y Domiio de f Recorrido de f -. Recorrido de f Domiio de f -. Dd u fució f: A B estmos iteresdos e ecotrr u fució f - : B A tl que pr cd y B el vlor f - (y) x es el úico úmero de A tl que f(x) y. f - ( y) x y f( x) ( x A, y B) f tiee ivers si y sólo si f es iyectiv

84 FUNCIONES INVERSAS L gráfic de f cotiee l puto (, b) si y sólo si l gráfic de f - cotiee l puto (b, ).

85 FUNCIONES INVERSAS U fució g es l ivers de l fució f si: ( f o g)( x) f g( x) ( ) x ( x D( g) ) ( g o f)( x) g( f( x) ) x ( x D( f )) L fució g se escribe f - y se deomi fució ivers de f. Ejemplo: D Fució de demd q q (p) 40 5p D 40 q Fució ivers de demd p p (q) 5 ( D D q o p )( q) D( D q p ( q) ) 40 - q q D 40 - q ( D D p o q )( p) p D ( D q ( p) ) p D ( 40-5p) 40 q ( 40 5p) 5 p

86 FUNCIONES INVERSAS

87 FUNCIONES INVERSAS

88 f FUNCIONES INVERSAS: EJEMPLOS ( ) - x x + ; f (x) x ( - )( ) - f o f x f f( x) ( - )( ) - f o f x f f ( x) ( ) ( ) f x + x + x ( ) ( ) ( ) f x - x + g ( ) x - x e ; g (x) l(x) ( - )( ) - g o g x g g( x) ( -)( ) - g o g x g g ( x) ( ) ( x g e ) l( x e ) x ( ) ( ) lx g lx e x

89 EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO SENO π π

90 EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO TANGENTE