Sucesiones de números reales

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1 Tem 5 Sucesioes de úmeros reles Defiició 5.1 Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: IN IR y l represetremos por { } =1, dode = f(. Por comodidd, diremos tmbié que l sucesió es el cojuto ordedo de ls imágees e IR, { } =1 = { : IN} IR. Defiició 5.2 Diremos que u sucesió { } =1 es cotd si existe lgú K IR+ tl que K, pr todo IN. 5.1 Límite de u sucesió. Defiició 5.3 Diremos que l sucesió { } =1 tiee por límite, y lo deotremos por =, si pr cd ε > 0 existe 0 IN tl que 0 se verific que < ε. Defiició 5.4 Diremos que = +, si pr cd K > 0 existe 0 IN tl que 0 se verific que > K. Diremos que =, si pr cd K > 0 existe 0 IN tl que 0 se verific que < K. Pr simplificr, escribiremos e ocsioes L pr represetr = L Opercioes co los límites. Sum de ĺımites 5.5 Si existe el = IR y existe el b = b IR, etoces existe el ( + b y se tiee que ( + b = + b. Además, cudo y b puede ser ifiitos, se segur l existeci del límite de l sum e los csos que prece e el siguiete cudro: Producto de ĺımites 5.6 Si existe el b = b IR b = + = IR + b + = = IR y existe el existe el ( b y se tiee que ( b = b. b = b IR, etoces Además, cudo y b puede ser ifiitos, se segur l existeci del límite del producto e los csos que prece e el siguiete cudro: = + + < 0 + b 0 b = > 0 b 0 b + = Sucesioes y Series de Fucioes. 64

2 5.1 Límite de u sucesió. Cociete de ĺımites 5.7 Si existe el = IR y existe el b = b IR, co b 0, etoces existe el b y se tiee que b = b. Además, cudo y b puede ser ifiitos y b = 0, se segur l existeci del límite del cociete e los csos que prece e el siguiete cudro: = + b + < 0 0 b b + b 0 = > 0 0 b b + b 0 = + b + + e los csos pr b = 0 o se grtiz l existeci del límite, uque sí que b +. Potecis de ĺımites 5.8 Si existe el = IR, co > 0, y existe el b = b IR etoces existe el b y se tiee que b = b. Además, cudo y b puede ser ifiitos ó = 0, se segur l existeci del límite de l poteci e los csos que prece e el siguiete cudro: = < < 1 + b 1 b 0 = > 1 0 b 1 b + = Not: Recordemos que l opercio b, cudo y b so úmeros reles, se defie medite b = e b l y, por tto, debe ser > 0. Sólo e el cso e que b Z ( o puede usrse u egtivo, pues etoces = ( ; como e ( 1 3 = ( 1( 1( 1 = 1. Observció 5.9 E los csos de los cudros e blco o hy u criterio geerl y, segú se ls sucesioes { } =1 y {b } =1, el límite puede ser culquier vlor o o existir. E estos csos e que l operr co límites o se puede decidir priori cul será el resultdo de l operció se dice que teemos u idetermició o que el límite está idetermido, y hbrá que mipulr los térmios de ls sucesioes que iterviee pr sber si existe o o dicho límite. Ejemplo.- Se { = 2 + 1} =1 y {b = } =1, etoces = (2 + 1 = + y b = = +, por lo que operdo e el cociete formdo, se tiee 2+1 está priori idetermido ( = = = = 2. ( + +. Pero, Sucesioes y Series de Fucioes. 65

3 5.2 Subsucesioes Otros resultdos pr el cálculo efectivo de límites. Defiició 5.10 Dos sucesioes, { } =1 y {b } =1, se dice que so sucesioes equivletes si b = 1 Proposició 5.11 Se { } =1, {b } =1 y {c } =1 sucesioes umérics. Si { } =1 y {b } =1 so equivletes y c = L, etoces b c = L. b b c = c = ( b ( c = 1 L = L. Proposició 5.12 Se { } =1 u sucesió. Si existe f: [1, IR tl que f( =, IN, y f(x = L, etoces = L. x + Si f(x = L, etoces pr cd ε > 0 existe K > 0 tl que si x > K, se verific que x + f(x L < ε. E prticulr, pr todo > K, se verific que f( L < ε y, por tto, que L = f( =. El resultdo es válido tmbié si L = ±. Observció 5.13 Este último resultdo es especilmete itereste, pues puede plicrse tod l teorí sobre fucioes l cálculo de límites de sucesioes: cotiuidd, derivció, L hôpitl, Tylor, etc. 5.2 Subsucesioes Defiició { 5.14 } Llmremos subsucesió de l sucesió { } =1 form = { j 1, 2, 3,..., j,...}, dode j { } j=1 =1 1 < 2 < 3 < < j <. culquier sucesió de l y los ídices verific que Proposició 5.15 Se { } =1 u sucesió y { j } j=1 u subsucesió de { } =1. Si existe el, etoces existe el j y se tiee que j =. E efecto, si = L IR, pr culquier ε > 0 existe 0 tl que pr todo 0 se verific que L < ε, e prticulr, pr todo j 0 se verific que j L < ε, luego j = L. Si = +, pr culquier K > 0 existe 0 tl que pr todo 0 se verific que > K, e prticulr, pr todo j 0 se verific que j > K, luego j = +. Aálogmete pr =. Proposició 5.16 Se { i } i=1 y { k } k=1 subsucesioes de l sucesió { } =1, tles que { i } i=1 {k } k=1 = { } =1. Etoces, si i = i k = L se tiee que = L. k Sucesioes y Series de Fucioes. 66

4 5.3 Covergeci de sucesioes. Si y si i = L, pr cd ε > 0 existe 1 tl que si 1 se verific que i L < ε, i k = L, pr cd ε > 0 existe 2 tl que si 2 se verific que k L < ε. k Luego tomdo 0 = mx{ 1, 2 }, se tiee que pr cd 0 : ó = i, pr lgú i, luego = i 0 1, de dode L = i L < ε ó = k, pr lgú k, luego = k 0 2, de dode L = k L < ε. Aálogmete se hce si L = ±. 5.3 Covergeci de sucesioes. Defiició 5.17 Se { } =1, u sucesió de úmeros reles. Si Si = L IR, diremos que { } =1 Si = + (ó, diremos que { } =1 Si o existe, diremos que { } =1 es covergete. es divergete hci + (ó. es oscilte. Ejemplo 5.18 Se { } =1 dode = x. Etoces, pr cd x IR elegido,, si x 1 oscilte, si x 1 0, si 1 < x < 1 covergete 0, si x < 1 = x = 1, si x = 1 covergete 1, si x = 1 +, si x > 1, divergete +, si x > 1 Proposició 5.19 Tod subsucesió de u sucesió covergete (divergete es covergete (divergete, y coverge (diverge hci el mismo límite. Es otr form de escribir l Proposició Proposició 5.20 Dos sucesioes equivletes so simultáemete covergetes, divergetes u osciltes. Además, si coverge o diverge lo hce hci el mismo límite. Como b b = 1 = 1, podemos tomr idistitmete o b. Si b = 1 = pr cd ε > 0 existe 0 tl que b 1 < ε, 0. Es decir, tl que 1 ε < b < 1 + ε, 0, y, por tto, tl que (1 εb < < (1 + εb, si b = +, tomdo ε = 1 2 e 5.1, se tiee que 1 2 b <, luego = +. si b =, tomdo ε = 1 2 e 5.1, se tiee que < 3 2 b, luego =. si b = b IR, tomdo límites e 5.1, se tiee que b εb b + εb y, como esto es cierto pr culquier ε > 0, debe ser = b. De lo terior y l observció iicil, se tiee que si u de ells tiee límite, l otr tmbié lo tiee y, e cosecueci, si u es oscilte l otr tmbié lo es. Proposició 5.21 Tod sucesió covergete está cotd. Sucesioes y Series de Fucioes. 67

5 5.4 Ejercicios Si { } =1 coverge, existe L IR tl que L, es decir, pr cd ε > 0, existe 0 IN tl que si 0, etoces L < ε. Luego, pr todo 0, se verific que L ε < < L + ε y, por tto, que mx{ L ε, L + ε }. E cosecueci, si tommos se verific que K, pr todo IN Sucesioes moótos. K = mx{ 1, 2,..., 0, L ε, L + ε }, Defiició 5.22 U sucesió, { } =1, es moóto creciete si +1, IN. U sucesió, { } =1, es moóto decreciete si +1, IN. Proposició 5.23 Tod sucesió moóto creciete y cotd superiormete es covergete. Tod sucesió moóto decreciete y cotd iferiormete es covergete. Se { } =1 moóto creciete y cotd superiormete. Por estr cotd superiormete, existe L = sup{ : IN} IR y, por ser L el superior, pr culquier ε > 0, existe 0 IN tl que L ε < 0 L. Como l sucesió es moóto creciete, pr todo 0, se verific que 0, luego L ε < 0 L < L + ε, pr todo 0, es decir, L. Aálogmete, pr ls moótos decrecietes y cotds iferiormete. 5.4 Ejercicios 5.1 Estudir el crácter de ls siguietes sucesioes, de térmio geerl = ( b = +1 tg 1 +1 l c = d = e = ( e f = ( 1+1 +( Estudir, segú los vlores de los prámetros, el crácter de ls siguietes sucesioes = (k + 1 b = k 1 ; k 0 c = ( 1 l α d = 1 ; α > 0 l α e ( = α e 1 β Probr que l sucesió { } e! =0 es decreciete pr 2 y deducir de ello que coverge. Sucesioes y Series de Fucioes. 68

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