La integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región
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- José Carlos Saavedra Romero
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1 APÍTULO L itegrl.5 efiició de l itegrl. Sums de Riem.5. Aproimció del áre de u regió E est secció precismos lgus ides epuests previmete, co respecto l problem de ecotrr el áre de l regió bjo l gráfic de u fució f./ cotiu o egtiv, e u itervlo cerrdo Œ; b. f./ b U prtició del itervlo Œ; b es u cojuto de putos P f 0 ; ; ; : : : ; g, que cumple co 0 < < < : : : < b de tl mer que el itervlo origil puede descompoerse e u uió de subitervlos: Œ; b Œ 0 ; Œ ; Œ ; : : : Œ ; : cek.zc.um.m: 0/ 5/ 05/ 57
2 álculo itegrl Observe que es el úmero de subitervlos e que se prte el itervlo origil. El cho de cd subitervlo, que deotremos k, es l difereci formd por su etremo derecho meos el izquierdo, es decir: E geerl, 0 ; ; : : k k k pr k ; ; ; : : : ; : o much frecueci ls prticioes del itervlo Œ; b que tomremos e los ejemplos so de tl form que los putos cosecutivos está igulmete espcidos (uque o se requiere forzosmete que se sí), es decir, está dispuestos de tl form que : : : b ; e ese cso o será ecesrio distiguir los k co u subídice escribimos simplemete pr idicr el cho de culquier subitervlo; si h subitervlos de igul logitud etoces es clro que cd uo tiee u logitud de: b Tmbié podemos decir e este cso que tedremos : 0 ; ; ; : : : ; k k; : : : ; b: Así por ejemplo, pr prtir el itervlo Œ; 0 e subitervlos igules, teemos que co esto se defie ls i 0 9 0:75 0 ; :75; :5; :5; ; 5 :75; 5:5; 7 :5; 8 7; 9 7:75; 0 8:5; 9:5; 0: Ahor bie, pr l prtició dd P f 0 < < : : : < b g del itervlo Œ; b deotemos pr cd i ; ; : : : ;, m i míimo de f./ e el subitervlo Œ i M i máimo de f./ e el subitervlo Œ i i u puto del subitervlo Œ i ; i I ; i I ; i elegido rbitrrimete. M i f. i m / i f./ i i i b i > 0
3 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem Etoces e cd subitervlo Œ i ; i, m i f. i / M i debido que el cho i > 0 de cd subitervlo es positivo: m i i f. i / i M i i ; pr i ; ; : : : ; : Lo que e l figur se trduce e que el rectágulo de ltur f.i / tiee mor áre que el rectágulo de ltur m i l vez tiee meor áre que el rectágulo de ltur M i ; sucediedo ésto e cd subitervlo. Tmbié, si summos ls teriores desigulddes, válids pr cd subitervlo Œ i ; i desde i hst i, obteemos m : : : m f. / : : : f. / M : : : M : (.) Utilizdo l otció pr sums podemos escribir est doble desiguldd de mer más compct como sigue: m i i f.i / i M i i : (.) f./ f./ M : : : m M M M : : : m m m 0 : : : b 0 : : : E l doble desiguldd (.) podemos idetificr e el etremo izquierdo l sum de áres de los rectágulos iferiores (figur izquierd terior) e el etremo derecho l sum de ls áres de los rectágulos superiores (figur derech terior). Tmbié se puede firmr que se cumple ls siguietes desigulddes: m i i A.R/ M i i : (.) Ls desigulddes (.) (.) so similres, pero o ecesrimete podemos cocluir del precido etre ells que A.R/ f.i / i; sio solmete que A.R/ es proimd por f.i / i, es decir, A.R/ f.i / i: b
4 álculo itegrl Lo que sí se puede firmr es que, pr culquier prtició P f 0 < < : : : < b g, tto el áre A.R/ como l sum f.i / i está cotds (limitds) por ls sums iferior S I m i i superior S S M i i. Etoces, si hcemos más fi l prtició (lo que se logr ñdiedo cd vez más putos e cosecueci teiedo subitervlos cd vez más pequeños) se esper que el vlor de l sum iferior S I umete el vlor de l sum superior S S dismiu, propicido co ésto que l difereci etre est sums (S S S I ) se cd vez más pequeñ tied cero. Al suceder: S I A.R/ S S I S I f.i / i S S &.S S S I /! 0; se esper que A.R/ l sum f.i / i esté cd vez más próimos, es decir: f.i / i! A.R/: Esto es, podemos defiir el áre A.R/ de l regió R medite.5. Sums de Riem A.R/ lím! f.i / i : efiició. Pr u prtició P f 0 < < : : : < b g del itervlo Œ; b, si i es u puto del itervlo Œ i ; i rbitrrimete elegido pr i ; ; : : : ;, l sum f.i / i se le deomi sum de Riem pr l fució f./ co respecto l prtició P. Ejemplo.5. lculr l sum de Riem A.R/ pr u fució f./ 0 que es costte por itervlos. H. osideremos por ejemplo l fució máimo etero defiid pr R medite f./ Œ máimo etero meor o igul ; 0: u gráfic es: 0
5 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem 5 Pr pr poder obteer u áre fiit teemos que restrigir el domiio de l fució. Por ejemplo; el áre A.R/, bjo f./ sobre el eje etre 0, se obtiee tomdo l prtició: 0 0; ; ; ; I restrigiedo l elecció de los i culquier puto del subitervlo diferete l ldo derecho, por ejemplo i i. Se tiee que, medite A.R/ f. i / 0 : Pr culquier fució esclod el áre A.R/ se obtedrá tomdo como putos de l prtició precismete los putos e dode l fució tiee sus discotiuiddes. Así, e geerl, si f./ c i pr i i e i ; ; : : : ; el áre es: A.R/ f.i / i c i. i i /: Ejemplo.5. Pr l fució f./ utilizr sums de Riem pr proimr el áre A.R/ bjo su gráfic, sobre el eje, desde 0 hst, eligiedo i i ; cosiderdo:. subitervlos,. subitervlos,. subitervlos. 7 f./ 5 H. o subitervlos teemos 0 0; ; ; ; 0 ; A.R/ f.i / f. i / f./ f./ f./ 5 7 5: 5
6 álculo itegrl. o subitervlos teemos 0 0:5, sí que 0 0; 0:5; ; :5; ; 5 :5; I A.R/ f.i / f. i / Œf.0:5/ f./ f.:5/ f./ f.:5/ f./.0:5/. o subitervlos teemos 0 Œ 5 7.0:5/ :5: I f. i / i e cosecueci, l sum que proim A.R/ es: i 0 i 0 i ( ) i i I ( ) i I A.R/ f.i / f. i / ( i ) ( i ) ] i ] i ]. / Hemos podido scr de l sumtori que es u fctor costte co respecto l ídice i. Se pudo scr de l sumtori que es u fctor costte co respecto l ídice i. Se h usdo l sum de los primeros eteros positivos. Œ. /. / 9 9 : Observe que e est estimció, medid que umet, el vlor de l sum se proim. Los resultdos de ls sums co & que clculmos tes, tmbié se obtiee co l terior fórmul: Si : A.R/ Si : A.R/ 9 9 :5 :5. Así teemos que tomdo el límite cudo!, A.R/ lím! f.i / lím! ( f. i / lím 9 ) :! Vle l pe cometr que el áre A.R/ se puede obteer ltertivmete sumdo el áre de u rectágulo (bse, ltur ) u triágulo (bse, ltur ), como se muestr e l siguiete figur.
7 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem Ejemplo.5. Pr l fució f./ ecotrr l sum de Riem que proim el áre A.R/ bjo su gráfic, sobre el eje etre 0, pr u úmero de subitervlos, tomdo i i. H Si usmos subitervlos tedremos 0 por lo que Por lo tto: A.R/ f.i / f. i /, los i so i 0 i 0 i i ; f. i / f. i/ i. /. / ( ) i i : ( i )( ) 8 ( ) i 8. /. / ( ) ( ) 8 : E l iguldd (*) terior hemos empledo l fórmul pr l sum de los cudrdos de los primeros eteros positivos. Así por ejemplo si 8 (como se muestr e l figur) etoces: 7
8 8 álculo itegrl A.R/ 8 ) A.R/ 8 8.8/ :875: e uevo podemos observr que: si l umetr el úmero de subitervlos l proimció mejor, etoces l tomr el límite cudo! deberímos obteer el vlor rel de A.R/. Este vlor es A.R/ lím (! ) ( lím )! 8 : Ejemplo.5. Pr l fució f./ ecotrr l sum de Riem que proim el áre A.R/ bjo su gráfic, sobre el eje etre b, pr u úmero de subitervlos de igul logitud tomdo i i (el etremo derecho de cd subitervlo). H Si usmos subitervlos de igul logitud tedremos b los putos i so: ( ) b i i i I i ; ; : : : ; ; : Por lo que: Luego: ( ) b f.i / f. i/ i i i I i ; ; : : : ; ; : ( )] ( ) ( ) ( )] b b b b f. i / i i ( ) b ( ) ] ( ) b b ( ) ] b i i ( ) ( ) ] ( ) b b. / b b ]. /.b / b ( )].b / b ( )] : Por lo tto: f. i / i.b / b ( )] : (Sum-) E l iguldd./ de este desrrollo hemos empledo l fórmul pr l sum de los primeros turles: i. / : Ejemplo.5.5 Pr l fució f./ obteer l sum de Riem que proim el áre A.R/ limitd por su gráfic, sobre el eje etre b, pr u úmero de subitervlos de igul logitud tomdo i i (el etremo derecho de cd subitervlo). 8
9 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem 9 H Si usmos subitervlos de igul logitud b tedremos los putos: ( ) b i i i I i ; ; : : : ; ; : Por lo que: f. i / f. i/ i Œ i i ( )] b I i ; ; : : : ; ; : Por lo que: ( )] b ( ) ( ) ( ) ( ) ] b b b b f. i / i i i ( ) b ( ) b ( ) ] b i i ( ) b ( ) ( ) b b ] i i ( ) ( ) ( ) ] b b. / b. /. / ( ) ] b.b /. /. /.b /. /.b / ].b /.b / (.b /.b / ).b / ( )] : Por lo tto: f. i / i i ( i.b /.b / ).b / ( )] : (Sum- ) E l iguldd./ de este desrrollo hemos utilizdo ls fórmuls pr l sum de los primeros turles pr l sum de los cudrdos de los primeros turles: i. /. / : Ejemplo.5. Pr l fució f./ obteer l sum de Riem que proim el áre A.R/ bjo su gráfic, sobre el eje etre b, pr u úmero de subitervlos de igul logitud tomdo i i (el etremo derecho de cd subitervlo). H Usdo subitervlos de igul logitud b tedremos los putos: ( ) b i i i I i ; ; : : : ; ; : Por lo que: f. i / f. i/ i Œ i i ( )] b I i ; ; : : : ; ; : 9
10 0 álculo itegrl Por lo que: ( )] b ( ) b f. i / i ( ) ( ) ( ) b b b ( ) ] b i i i ( ) b ( ) b ( ) b ( ) ] b i i i ( ) b ( ) ( ) b b ( ) b ] i i i ( ) ( ) ( ) b b. / b. /. / ( ) ] b. / ( ) b.b /. /. /. /.b / ]. /.b /.b /.b /.b / ]. /.b /.b / (.b / ) (.b / ) (.b / ) ] : f. i / i i i.b / (.b / ) (.b / ) (.b / ) ] : (Sum- ) E l iguldd./ de este desrrollo hemos usdo ls fórmuls pr l sum de los primeros turles, de los cudrdos de los primeros turles de los cubos del los primeros turles: i. / :.5. efiició de l itegrl 0 efiició. Si P f 0 < < < : : : < b g es u prtició del itervlo Œ; b e subitervlos, de mer que cudo! l máim de ls distcis i i i tiede 0, se defie l itegrl defiid de f./ desde hst b medite b f./ d lím! f.i / i; (.) siempre que el límite eist, dode i deot u puto rbitrrio e Œ i ; i i i i. udo este límite eiste, se dice que f es u fució itegrble e el itervlo Œ; b.
11 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem Observcioes:. L itegrl se h defiido pr fucioes f./ ls que o se eige que cumpl f./ 0.. L otció que se emple pr l itegrl fue itroducid por Leibitz, quie l represetó origilmete medite l letr S lrgd (por sum); co el tiempo fue lrgádose más hst teer su form ctul. Los vlores, b se llm etremos o límites de itegrció; es el iferior, b es el superior. A l fució f./ se le deomi itegrdo. L epresió d se llm diferecil de. El b símbolo de itegrl, el itegrdo, los límites de itegrció l diferecil de d correspode, respectivmete, l símbolo de sum. /, los vlores f. i / de l fució, los vlores míimo máimo del ídice i (i hst ) los chos de los subitervlos. i /. Esquemáticmete: f. i / i b f./ d Z b. Si bie el proceso medite el cul se clcul f./ d es lgo complicdo, pues ivolucr sums que se debe simplificr tes de tomr el lím! ; veremos e ls seccioes siguietes que eiste vris forms de simplificr dicho proceso. e tod l discusió previ podemos decir lo siguiete: efiició. Si f./ 0 es u fució cotiu e el itervlo Œ; b, etoces el áre A.R/ de l regió del plo bjo l gráfic de f./, sobre el eje etre & b es A.R/ b f./ d: Ejemplo.5.7 emostrr que: b d b : H Usdo l iguldd (Sum-) de l pági 8 obteid cudo se clculó l sum de Riem de l fució f./, tomdo el límite lím u poco de álgebr:! f. i / i.b / b ( )]!.b / b lím! ].b /.b / b.b b / b b b b :
12 álculo itegrl Ejemplo.5.8 emostrr que: b d b : H Usdo l iguldd (Sum- ) de l pági 9 obteid cudo se clculó l sum de Riem de l fució f./, tomdo el límite lím u poco de álgebr:! f. i / ( i.b /.b / ).b /!.b / lím!.b / b :.b / ].b b / ( )]! lím! b b b ].b / b b ] Ejemplo.5.9 emostrr que: b d b : H Usdo l iguldd (Sum- ) de l pági 0 obteid cudo se clculó l sum de Riem de l fució f./, tomdo el límite lím u poco de álgebr:! f. i / Si multiplicmos.b colums: i.b / (.b / ) (.b / ).b / ( ) ]!.b / lím.b /.b / ].b / :! / por cd térmio del sumdo l derech colocmos térmios semejtes por.b / b I.b /.b / b b I.b /.b / b b b I.b /.b / b b b b ; obteemos el resultdo desedo: b. Ejercicios.5. Sums de Riem. Solucioes e l pági 5. Aproimr el áre A.R/ de l regió R bjo l gráfic de l fució f./, sobre el eje desde hst 5, utilizdo u sum de Riem. osidere subitervlos de igul logitud tmbié i i.. Aproimr el áre A.R/ de l regió R bjo l gráfic de l fució f./ 7, sobre el eje desde hst utilizdo u sum de Riem. osidere subitervlos de igul logitud tmbié i i.
13 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem. Aproimr el áre A.R/ de l regió R bjo l gráfic de l fució f./, sobre el eje desde hst. osidere subitervlos de igul logitud tmbié i i.. Pr l fució f./, ecotrr ls sum de Riem que proim el áre A.R/ de l regió R bjo su gráfic sobre el eje desde 0 hst ; use u úmero de subitervlos de igul logitud. osidere i i. 5. Ecotrr l sum de Riem que proim el áre A.R/ de l regió R bjo l gráfic de l fució f./, sobre el eje desde 5 logitud. osidere i i. hst ; use u úmero de subitervlos de igul Z b. do que A.R/ f./ d, determie ls itegrles que se pide pr l fució dd e l gráfic siguiete:. b. c. d. e. Z f./ d. Z f./ d. Z f./ d. Z f./ d. Z f./ d. f. g. h. i. Z f./ d. Z 0 f./ d. Z f./ d. 0 Z f./ d. 7. osiderdo l gráfic de l fució g./ que se muestr cotiució, determie ls itegrles idicds, 0. b. c. Z g./ d. Z 0 g./ d. Z g./ d. 0 d. e. f. Z g./ d. Z g./ d. Z g./ d.
14 álculo itegrl 8. osiderdo l gráfic de l fució g./ que se muestr cotiució, determie ls itegrles idicds, 8. b. Z 0 h./ d. Z h./ d. 0 c. d. Z h./ d. Z h./ d. 9. Se l fució: ; si 5 I p g./ 9 ; si < < I j j ; si 5: etermie ls itegrles idicds cosiderdo el bosquejo de l gráfic de l fució.. b. c. 0 5 g./ d: g./ d: g./ d: d. e g./ d: g./ d:
15 .5 efiició de l itegrl. Sums de Riem 5 Ejercicios.5. Sums de Riem. Preguts, pági. 0.. : / b.. c.. d.. e :5. b. :9. c. : b.. f. g. h. i. 5.. /... d. :88. 9 e.. f. :8. c. 8. d L gráfic de l fució: b. 9. c.. d.. 7 e. 9. 5
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Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir:
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EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS:
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Anillos de Newton Fundamento
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Potencias y Radicales
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1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
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Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática
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Cálculo II (0252) TEMA 5 SERIES NUMÉRICAS. Semestre
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Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios
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el blog de mate de aida CSII: derivadas
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Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González
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1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida
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Sucesiones y series de funciones
Cpítulo 10 Sucesioes y series de fucioes Expoemos este tem siguiedo el cpítulo 11 de [Apostol1], completdo co lgus prtes del cpítulo 7 de [Brtle-Sherbert]. E cd cso iremos ddo l refereci decud. 10.1. Sucesioes
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La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática.
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5 3 = (5)(5)(5) = 125
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Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
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www.mtesxrod.et José A. Jiméez Nieto LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN... Aproximció l cocepto de límite. Vmos cercros l cocepto de límite hlldo lguos térmios de distits sucesioes
CALCULO integral. sucesiones y series de funciones
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Resue: Líites, Cotiuidd y Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. : *? ** *
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EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los
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