UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

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1 CAPITULO 4: CÁLCULO INTEGRAL 4.. Primitivs e itegrció idefiid UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Hst este istte hemos resuelto el prolem: dd u fució, hllr sui derivd. E muchs pliccioes importtes prece el prolem iverso: dd l derivd de u fució, hllr l fució origil. Por ejemplo: Hllr u fució F cuy derivd es F ()=. Como d d =, etoces l respuest es F() = L fució F se llm tiderivd de F. Coviee usr l frse: F() es u tiderivd de f(). E efecto, como tmié d 4 d + =, etoces tmié es respuest F() = + 4. Más u, l derivd de + C, siedo C u costte culquier, implic que l respuest será: F() = + C. Defiició: U fució F se llm tiderivd (o primitiv) de u fució f, si F () = f(). Luego, u primer resultdo serí: Si F es u tiderivd de f, etoces G es u tiderivd de f si y sólo si G es de l form dode C es u costte ritrri. G() = F() + C Notció: Si y = F() es u tiderivd de f, etoces se dice que F() es u solució de l ecució dy f() d = Note que efectivmete se trt de u ecució pues hy u iguldd y u icógit, l fució y. Ddo que l icógit está sufriedo l cció de l derivd, est ecució se llm ecució diferecil. Cudo se resuelve u ecució de este tipo, es coveiete escriirl e su form diferecil equivlete dy =f()d L operció que permite hllr tods ls solucioes (o solució geerl) de est ecució se llm itegrció y se deot por el símolo. 6

2 dode f() se llm itegrdo, l diferecil que compñ f() os idic l vrile de itegrció y C se llm costte de itegrció. L epresió f()d se llm itegrl idefiid de f respecto de. Los térmios itegrl idefiid y primitiv geerl so sióimos. El hecho que u operció se l ivers de l otr, se reflej de l siguiete mer: L itegrció es l ivers de l derivció: st sustituir F () por f() e l defiició terior: F'()d = F() + C L derivció es l ivers de l itegrció: d f()d = f() d pues f()d = F() + C. Est relció etre derivció e itegrció, os permite oteer lgus fórmuls de itegrció directmete de ls fórmuls de derivció. E efecto REGLAS BASICAS DE INTEGRACIÓN Fórmuls de derivció Fórmuls de itegrció d [ c ] = d d = C d [ k ] = k, k d kd = k + C, k d [ kf() ] d = kf '() kf()d = k f()d d f() g() f '() g'() d [ ± ] = ± [ ± ] = ± f() g() d f()d g()d d + = d Ejemplos:. d = d = + C = C + d= + C, + 7

3 . ( ) + d = d + d = + + C = + + C. d = d = + C = + C 4. d = d = + C = + C 4 4 d = 4 d = + + C 5. ( ) 4. Codicioes iiciles y solucioes prticulres Hemos dicho que l ecució y =f()d dmite ifiits solucioes que difiere e u costte. Esto sigific que ls gráfics de dos primitivs culesquier de f so trslcioes verticles u de l otr. Por ejemplo, e l figur de l izquierd mostrmos vris gráfics de primitivs de l form: y = ( )d = + C (solució geerl) pr diversos vlores eteros de C. Cd u de ess primitivs es u solució de l ecució dy = d U solució prticulr de est ecució será u úic primitiv, es decir, coocemos el vlor de l costte C. E muchs pliccioes de l itegrció, hy iformció suficiete como pr coocer este vlor prticulr de C. Est iformció se llm codició iicil (que revimos como c.i.), omre deido l hecho que e ls pliccioes, geerlmete l vrile idepediete es el tiempo t. Por ejemplo, e el cso terior, u c.i. serí que l curv dee psr por el puto (, 4). Pr hllr est curv e prticulr, usmos l iformció: F() = +C (solució geerl) F() = 4 (codició iicil) Result que C = -, como puede deducirse fácilmete. Como ejemplo, vemos u plicció reltiv l grvitció: 8

4 Se lz u ol hci rri, como muestr l figur de l izquierd, co u velocidd iicil de 64 pies/s y desde u ltur iicil de 8 pies. ) Hllr l fució posició que descrie l ltur s e fució del tiempo t. ) Cuádo lleg l ol l suelo? Solució: Se t = el istte iicil (lo que o sorprede die ), luego ls c.i. so: s()=8 ltur iicil, y s ()=64 pies/s l velocidd iicil. Tomdo l celerció de grvedd como -pies/s, podemos escriir s (t) = -. Itegrdo, s (t) = s''(t)dt = dt = t + C Como s ()=64= -()+C C = 64. Aálogmete, itegrdo s (t) oteemos s(t) = s'(t)dt = ( t + 64)dt = 6t + 64t + C Usdo l ltur iicil, s()=8=-6( )+64()+C C =8. NOTA: Sospechmos que deímos itegrr dos veces, es decir, deerímos teer dos costtes de itegrció. Por est rzó, usmos C y luego C. Co los cálculos teriores, teemos l respuest ): s(t)= -6t +64t+8. Pr respoder ), deemos resolver l ecució s(t)=, es decir, -6t + 64t +8=. Luego, -.6(t +)(t-5)= t = -,5. Como t >, cocluimos que l ol toc el suelo 5 segudos después de ser lzd. NOTA: L fució posició tiee l form: s(t) = gt + v t + s iicil y s es l ltur iicil, como vimos e EJERCICIOS II de l secció.. EJERCICIOS I, dode g = -, v es l velocidd. E los siguietes ejercicios clcule l itegrl idefiid y compruee el resultdo por derivció. ) d ) d c) d d) ( + )d e) d f) d / g) ( + + )d h) d i) ( + )d j) ( ) 4 ( 4 + )d k) y + y+ dy l) y t + dt t m) (z ) dz ). E los siguietes ejercicios hllr l ecució de l curv dd su derivd y el puto que se idic. 9 y ydy

5 . E los siguietes ejercicios hllr y = f() que verifique ls codicioes propuests ) f () =, f () = 5, f() = ) f () =, f () = 6, f() = / c) f () =, f (4) =, f() = / d) f () =, f () =, f(9) = U gloo que sciede co velocidd de 6 pies/s suelt u sco de re desde u ltur de 64 pies sore el ivel del suelo. ) Cuátos segudos trdrá e chocr co el suelo? ) Co qué velocidd lleg l suelo? Resp. ),56 s ) -65,97 pies/s 5. E el mometo que el semáforo se poe e verde, u utomóvil iici l mrch co celerció costte de m/s. E ese mismo mometo u cmió que llev velocidd costte de m/s le delt. ) A qué distci lczrá más delte el utomóvil l cmió? ) A qué velocidd irá e ese istte? Resp: ) 4 m, ) 4 m/s 4. Ares Ahor lizremos u uevo prolem, que pretemete d tiee que ver co los tems y trtdos: clculr el áre de lgu regió pl. Si emrgo, veremos que este prolem del 4

6 cálculo de áres y l itegrl está muy relciodos ví u teorem llmdo teorem fudmetl del cálculo. Aprecerá sum de muchos térmios que requiere de u uev termiologí: l otció sigm, omre deido l uso de l letr grieg myúscul NOTACIÖN: L sum de térmios,,,., se deot por i i= = , dode i se llm ídice de l sum, i i-ésimo térmio de l sum, y los límites superior e iferior de l sum so y respectivmete. El límite iferior o tiee por qué ser, pero mos dee ser costtes co respecto l ídice de l sum. Ejemplos: NOTA: Culquier letr se puede usr como ídice, uque se prefiere i, j k, l. Es fácil compror ls siguietes propieddes de l otció sigm: k k i [ i ± i] = i ±. =. i i= i= FÓRMULAS ÚTILES DE SUMAS i= i= i= i I=. C= c. i= ( + ) i =. i i= ( + )( + ) = 6 4. i= i (+ ) = 4 () Ejemplo: Clculr = = 55 fórmul ) (u iño fue el que descurió est + + Ejercicio: ) Compruee que i = i= ) y que los vlores de ls sums pr =, =, = y =. so,65,,55,,55 y,55 respectivmete. 4

7 Del ejercicio terior deducimos que medid que crece el vlor de podemos escriir: + lim = Co el siguiete ejemplo, isistimos sore esto i= i Defimos s() como = ( + ) ( ) fórmuls teriores, teemos Cosideremos l regió del plo cotd por l gráfic de l fució f() = - +5, el eje de ls y ls rects verticles = y =. Notmos que se trt de u regió que está sore el eje, es decir, f() es positiv e el itervlo [,]. Dividiedo ese itervlo e 5 prtes igules, podemos formr 5 rectágulos de dos forms: u 4 + se cerc ½, es decir, s() y clculemos el limite de s() cudo. Usdo ls ( i ) ( ) s() = + i= 4 + 4i + i = i= = ( 4 + 4i + i ) i= = 4 + 4i + i i= i= i= ( + ) ( + )( + ) = = Luego, lim s() = lim =. A este resultdo se lleg dividiedo el umerdor y 6 deomidor por l myor poteci de, esto es. Volviedo l tem que os preocup, el cálculo de áres, semos de l Geometrí que el cálculo de lgus áres so secillos, como: cudrdos, rectágulos, triágulos, círculos, etc. Otrs más complejs, se divide e u úmero fiito de triágulos, y sí. Los tiguos griegs fuero cpces de ecotrr fórmuls pr clculr áres de regioes (priciplmete limitds por cóics) medite el método de ehució (Arquímedes, 87- AC). E eseci, se trt de u proceso l límite dode l regió e estudio qued ecjd etre dos polígoos, uo iscrito y el otro circuscrito, cuys áres respectivs se puede clculr (o muy fácilmete, por cierto ). El proceso que estudiremos cotiució es precido l de Arquímedes. Aproimdo el áre de u regió pl

8 grupo de ellos está iscrito e l regió y el otro está circuscrito e l regió, como se oserv el l siguiete figur. Primero clculemos ls áres de los rectágulos que está iscritos e l regió, evludo f() e los putos termiles de l derech de cd uo de los siguietes itervlos (figur ) [,/5] [/5, 4/5] [4/5, 6/5] [6/5, 8/5] [8/5, /5] El cho de cd rectágulo es /5 y los putos etremos derechos so + i, i =,,...,5. Por lo tto l sum de ls áres de los 5 cico rectágulos es i i= i= i= i i f( )( ) = ( ) + 5 ( ) = = [ ] = 6,48 5 Cocluimos que el áre de l regió es myor que 6,48. Esto tmié se epres diciedo que hemos clculdo el áre de l regió por defecto. Ahor clculremos el áre usdo l figur ), es decir, por eceso. Evlumos f e los putos etremos de l izquierd de los itervlos, que viee ddos por + 5 oteemos (i ), i =,,...,5 y Deducimos que 5 5 i i f( 5 )( 5) = ( 5 ) + 5 ( 5) = 8,8 i= i= es decir, el áre uscd es meor que 8,8 6,48 < áre de l regió < 8,8. Evidetemete que si umetmos el úmero de rectágulos, l proimció será cd vez mejor. Cuádo podemos teer el vlor ecto del áre de l regió? Ud. Puede sospechr que si es el úmero de rectágulos, etoces el vlor ecto será cudo, es decir, ecesitmos psr l límite. Geerlicemos este procedimieto, cosiderdo u fució culquier f() que se positiv sore u itervlo culquier [, ].tl como muestr l figur de l izquierd. E color somredo idetificmos l regió jo l curv de l cul uscmos su áre. Es decir, l regió está cotd por l gráfic de l curv f(), el eje y ls rects verticles = y =. Evidetemete que l clculr áres deemos cotr co uiddes de medid, pero eso o dee preocupros por hor. Dividimos el itervlo [, ] e prtes de igul logitud = (-)/. Los etremos de los itervlos so: + ( ) < + ( ) < + ( ) <... < + ( ) dode el primer puto es =, el segudo es,..y el último es = 4

9 No es descelldo pesr que l fució f() lcz u máimo y u míimo l iterior de cd uo de esos itervlos. Se f(m i ) el vlor míimo de f() e el i-ésimo itervlo y se f(m i ) el respectivo vlor máimo, como idic l figur de l izquierd. Luego, áre rectágulo iscrito = f(m i ) f(m i ) = áre rectágulo circuscrito. Sumdo ests áres teemos Sum iferior = s() = Sum superior = S() = f(m i ) (áre rectágulos iscritos i= f(m i ) (áres rectágulos circuscritos) i= Por lo tto s() áre regió S(). Si f() es positiv, etoces cudo los límites de s() y S() eiste y so igules, y ovimete lim s() = lim S() = áre regió. DEFINICIÓN: Este límite, que represet el áre de l regió jo l curv f(), el eje y ls rects = y = se llm itegrl defiid de f etre y. NOTACIÓN: áre regió = f()d. Es turl pregutrse si este símolo de l itegrl defiid tiee relció co l itegrl idefiid o primitiv, y que oservmos represet coss totlmete diferetes: E efecto, l itegrl idefiid represet u fmili de fucioes y l itegrl defiid represet u úmero. Ates de ver est relció etre ms itegrles, vemos lgu propieddes de l itegrl defiid que se deduce fácilmete co yud de u gráfico. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS f()d = f()d = f()d c < f()d = f()d + f()d, < c c kf()d = k f()d 5. [ ] f() ± g()d d = f()d + g()d 44

10 NOTA: Ls dos últims propieddes (que o os sorprede) se llm propieddes de lielidd. Además l propiedd 5 vle pr u úmero fiito de sumdos. 6. Si f() e [, ] etoces f()d 7. Si f() g() e [, ] etoces f()d g()d Ejemplo: Hllr el áre de l regió limitd por l gráfic de f() = 4- y el eje. SOL: Lo primero que deemos hcer es el gráfico de est fució pr hllr el itervlo sore el eje y pore el cul deemos hcer l itegrció. Este gráfico se muestr e l figur de l derech. Oservmos que l curv cort el eje e = y = 4. Luego, éstos so los límites de itegrció. Es decir, Áre de l regió = 4 (4 )d Cómo se clcul ests itegrles defiids?. Pr respoder est pregut, estudiemos 4.4 El Teorem Fudmetl del Cálculo. Hst este mometo hemos tocdo ls dos prtes más importtes del Cálculo: el cálculo diferecil, que fue itroducido l estudir el prolem de l tgete y tss de cmio isttáe, y el cálculo itegrl que fue itroducido co el prolem del áre. E pricipio, o prece her rzó pr relcior mos prolems. Si emrgo, l coeió es estrech y fue descuiert idepedietemete por Isc Newto (64-77) y Gottfried Leiiz (646-76), mos pdres del cálculo. L coeió es el teorem fudmetl del cálculo: Se f u fució defiid e u itervlo [, ] y F u fució culquier tl que F () = f(). Etoces, Ejemplos: [ ] f()d = F() = F() F() d= = = NOTA: E l itegrl defiid o precer l costte de itegrció. 45

11 .. ( )d = = d = d = = 4 4. Hllr el áre de l regió limitd por l gráfic de y = +. el eje y ls rects verticles = y =. SOL: Como es hitul, empezmos por diujr l curv y sí cotr l regió clculr su áre. De cuerdo lo terior, áre = = ( + )d + = = El teorem del vlor medio pr itegrles Semos que el áre de u regió culquier es myor que el áre de u rectágulo iscrito e ell, y meor que el áre del rectágulo circuscrito. El teorem del vlor medio estlece que eiste u rectágulo cuy áre está compredid etre ls áres de los rectágulos iscritos y circuscritos y cuyo vlor es ectmete el áre de l regió. Se f u fució defiid e u itervlo [, ]. Etoces eiste u úmero c e ese itervlo tl que f()d = f(c)( ) Ide gráfic: NOTA: Oserve o se especific cómo hllr ese vlor c, el teorem sólo dice que eiste c. 46

12 El vlor de f(c) se llm vlor medio de f sore [, ], es decir el vlor medio de f sore el itervlo [, ] se defie por f() = f()d. Ejemplo: Hllr el vlor promedio de f() = - e el itervlo [, 4] SOL; f() = 4 4 ( )d = = 6. Fucioes defiids por itegrles Ls itegrles defiids sore u itervlo [, ] so úmeros, pues se trt de l difereci de los vlores que tom l fució primitiv e los úmeros y. Si, por ejemplo es u vrile, etoces el resultdo de l itegrció es u fució e es vrile. E efecto, si l vrile de itegrció es t por ejemplo, y el vlor hor es l vrile, etoces el resultdo de l itegrció será u fució que depede de. Ejemplo: Hllr el vlor de F() = ( t )dt e =,,.,, y. 4 4 SOL. Podrímos remplzr e l itegrl los diferetes vlores de y luego hcer ls respectivs itegrles, pero tmié podemos itegrr directmete cosiderdo como u costte, y plicr el teorem fudmetl del cálculo. ( t )dt = t t = () = Es decir, F() =. Filmete, evlumos F() e los diferetes vlores ddos. 47

13 Segudo Teorem Fudmetl del Cálculo Culquier se el úmero d d f(t)dt = f() Ejemplo: Clculr SOL; d d t + dt = + d d t + dt EJERCICIOS. ). E los ejercicios -4 clculr l itegrl defiid. 48

14 ). E los ejercicios 5- clculr el áre de l regió somred. c). E los ejercicios -4, hllr el áre de l regió limitd por l gráfics de ls ecucioes dds. y = +, =, =, y =. y = +, =, = 4, y =. y = +, =, y = 4. y = - +, y = d) El volume V e litros de ire e los pulmoes durte u ciclo respirtorio de 5 segudos viee ddo proimdmete por el modelo V =, 79t +,5t,74t dode t es el tiempo e segudos. Aproimr el volume promedio de ire e los pulmoes durte u ciclo. e) L velocidd v del flujo de sgre u distci r del eje cetrl de l rteri de rdio R viee ddo por v = k(r r ) dode k es u costte de proporciolidd. Hllr el flujo medio de sgre lo lrdo de u rdio de rteri, tomdo los límites de itegrció etre y R. 49

15 4.5 Itegrció por sustitució Se trt de u método de itegrció, es decir, cudo o podemos plicr directmete ls fórmuls de itegrció, deemos usr lgu herrmiet pr oteer l itegrl pedid. U de ess herrmiets es l itegrció por sustitució. Empecemos co u ejemplo, Clculr ( + )d. Oservmos que podemos efectur l multiplicció idicd y luego seprr e dos itegrles. Si emrgo, podemos hcer lo siguiete. Defiimos u uev fució, digmos u() = + y clculmos su diferecil: du = d. De este modo podemos escriir ( + )d = udu Pero est últim se puede clculr fácilmete u udu = + C u ( + ) Ahor deemos volver l vrile origil, esto : es decir, + C= + C. Evidetemete que si C es u costte ritrri (costte de itegrció), seguirá siedo ritrri co vrile o co culquier otr. Por lo tto, ( + ) ( + )d = + C. Qué hemos hecho? U prte de l itegrd l hcemos igul u fució u(), y luego clculmos su diferecil du, y oservmos que el producto u()d es tod l itegrd dd. Luego itegrmos legremete. Si emrgo, veces el producto u()d o es tod l itegrd. Si l difereci es u costte multiplictiv, etoces o hy prolem, y podemos itegrr si dificultd. E efecto, Clculr ( + ) d SOL: Hcemos u() = + y sí du = d. Pero hor el producto u du o coicide co l itegrl: os sore el fctor. Por lo tto, deemos dividir por l itegrd co l vrile u: Es decir, u ( + ) ( + )d = u du C C = + = + 6 MORALEJA: E este método, l difereci etre ms itegrds (l origil y l uev e vrile u), sólo puede ser u costte multiplictiv. Clculr d SOL: Se u() = -, luego du = d. Por lo tto u d = u du C u C ( ) = + = + = + C. 5

16 A veces l difereci etre ms itegrles o es u costte multiplictiv. E lguos csos, u es posile clculr l itegrl. Vemos u ejemplo Clculr d SOL: Se u() = - du = d, es decir, d = ½du, y como e l itegrd prece, u+ verigüemos su vlor e térmios de u: De u = -, result = Por lo tto, u+ du d = u 4 = (u + u )du 5 u u = + + C = ( ) + ( ) + C Verifique que d = ( ) + C. Co l gudez que os crcteriz, os perctmos que hor podemos geerlizr l fórmul de itegrl de u poteci: Si u = g() etoces u = udu C Ejemplos ( ) ( ) d = + C 5 ( + ) ( + )( + )d = + C ( ) d = + C 4. 4 ( ) d = + C. ( ) Cmio de vrile e itegrles defiids. E l itegrció defiid, los límites de itegrció so respecto de l vrile de itegrció, luego si cmimos l vrile, deemos cmir los límites. Vemos dos ejemplos 5

17 . Clculr ( + ) d SOL: Se u() = + du = d. Como vrí etre y, etoces: = u = + = y cudo = u = + =. Ahor sustituimos pr oteer. Clculr el áre de l regió somred 5 El áre está dd por A = d. Se u = u u + = - = d = udu. Ahor clculmos los uevos límites de itegrció Cudo =, u = =, cudo = 5, u = = Ahor sustituimos pr oteer + ( ) 5 u 6 d = udu = (u + )du = u Notr que cudo cmimos l vrile de itegrció de u, o sólo cmimos los límites de itegrció sio que tmié l fució. L uev fució es (u + ), cuy gráfic prece l izquierd. Cocluimos que ls áres de ls dos regioes somreds so ls misms! EJERCICIOS. E los ejercicios siguietes del 5 8, hllr l itegrl idefiid y verificr el resultdo por derivció: 5

18 . E los ejercicios del 9 8 clculr l itegrl usdo el método de sustitució mostrdo e u ejemplo terior. 5

19 . E los ejercicios del 9 5 clculr ls itegrles defiids 4. 6 Itegrció uméric U situció comú e ls pliccioes es que o podmos hllr primitivs, como lo estmos hciedo hst hor. Est deficieci puede deerse flt de destrez, pero tmié es posile que se imposile de clculr l itegrl o l meos se muy difícil. Por ejemplo, o eiste fucioes elemetles que teg como derivds o. Por lo tto deemos cotetros co relizr itegrcioes proimds, coocids como itegrció uméric. Hy vrios métodos que prece como surutis de softwre comerciles. Vemos u método (los otros se verá e el Lortorio usdo el softwre MATLAB). Regl de los trpecios Se trt de proimr l superficie somred por trpecios, como muestr l figur de l derech. Supoemos que f es positiv e el itervlo de iterés [, ], y evidetemete que l itegrl defiid f()d represete el áre de l regió e estudio. Dividimos el itervlo [, ] e su itervlos, todos del mismo cho =, medite los putos = < < < < = 54

20 Ahor formmos los trpecios, de cuerdo l figur de l derech, cuys áres viee dds por Filmete l sum de ls áres de los trpecios es Hciedo = (-)/, podemos tomr límite cudo, oteiedo lim f( ) f( )... f( ) f( ) [ ] [ ] f() f() = lim + f( i) i= [ ] f() f() ( ) = lim + lim f( i ) i = = + f()d Por lo tto, teemos el siguiete resultdo: REGLA DE LOS TRAPECIOS: f()d f( ) f( ) f( )...f( ) f( ) [ ] Además, cudo, el miemro de l derech se proim f()d. Ejemplo Clculr el vlor proimdo de A = trpecios. + d, pr = 4 y = 8, usdo l Regl de los 55

21 SOL: Empecemos por hcer los gráficos de l fució pr 4 y 8 suitervlos. Notr que e el itervlo [, ] l gráfic de l fució + prece u rect. Cudo = 4, teemos = ¼, y por l regl de los trpecios 5 6 A , Cudo = 8, es = ⅛ y A , NOTA: E este cso, es posile hllr l primitiv y sí clculr el vlor ecto del áre que es, Itegrció de fucioes logrítmics, epoecil y trigoométrics Rest coocer ls fórmuls pr itegrr ests fucioes: Se u = u() u fució que depede de, etoces REGLA INTEGRACIÓN FUNCIÓN EXPONENCIAL: Ejemplos u u edu= e + C. e + d SOL :u = + du = d + u u + = = + = + luego, e d e du e C e C Note que l difereci etre du y d es u fctor costte. No es posile itroducir fctores vriles. Por ejemplo. e d e (d). 56

22 . Oserve tetmete el siguiete ejemplo UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN = ( ) = + = e d e d e C, evidetemete u. 4. ( ) ( ) + e d = + e + e d = + e + e + C 5. Clculr el áre de l regió cotd por l gráfic de f()= e -, el eje e el itervlo [,]. L regió puede verse l izquierd, y semos que su áre viee dd por A(R) = e d = e = = e ( ) e,6 EJERCICIOS 4.. Clcule ls siguietes itegrles: ) e d ) e d + c) ( )e d d) e d e e e) d f) d (+ e ) (+ e ) e + e e e g) d h) d e e e + e ( ). Hllr u fució f que verifique ls codicioes impuests ) f () = ( e ) e +, f() =, f () = ) f () = + e -, f() =, f () = -½. E los siguietes ejercicios, clculr el áre de l regió cotd por ls ecucioes dds: ) y = e, y =, =, = 5 57

23 ) y = e -, y =, =, = ( ) c) y = e, y =, =, = 4. Usdo MATLAB, clcule ls siguietes itegrles por medio de l regl trpezoidl y l de Simpso co = 4 ) e d ) e d REGLA DEL LOGARITMO PARA LA INTEGRACIÓN du = l u + C U NOTA: Ddo que l fució logritmo sólo eiste pr vlores positivos de l vrile, es comú poer vlor soluto l ctidd sore l cul se plic el logritmo, pr sí segurr que se trt de u ctidd positiv. Ejemplos d. SOL : Se u = du = d = ( ) = = + u luego, d d du l C. Clculr el áre de l regió cotd por l gráfic de y() =, el eje y l rect =. ( + ) SOL: L gráfic de l fució dd y() está l derech y l regió está somred. A = d = d l( ) l,5 = + = + +. U volume iicil de gs de pie cúico, u presió de 5 lirs por pie cudrdo, se epde hst u volume de pies cúicos. Clculr el trjo relizdo por el gs, supoiedo que l presió es iversmete proporciol l volume. SOL: recordmos que el trjo relizdo, l mover u ojeto sore u líe rect deido u fuerz vrile F(), desde u puto u puto, está ddo por W = F()d 58

24 Luego, k 5 W = dv = dv = 5l V 46,6pies l V V V V i. EJERCICIOS 5 E los ejercicios -6 evlur cd itegrl 59

25 Usdo el ejemplo terior, resuelv los ejercicios 7 y 8, clculdo el trjo relizdo por el gs pr los volúmees y presioes ddos. Supog que l presió es iversmete proporciol l volume 7. U volume iicil de gs de pies cúicos, u presió iicil de lirs por pie cudrdo, que se epde hst ocupr pies cúicos de volume. 8. U volume iicil de gs de pie cúico, u presió iicil de lirs por pie cudrdo, que se epde hst ocupr 4 pies cúicos de volume. 9. U polció de cteris está cmido l ritmo dp = dt +,5t dode t es el tiempo e dís. Supoiedo que l polció iicil es, escriir u ecució que descri el comportmieto de l polció e todo istte. Hllr l polció l tercer dí. 4. Clculr el tiempo ecesrio pr que u ojeto se efríe desde 5 si dicho tiempo viee ddo por t = d l T 5 T Crecimieto y decrecimieto epoecil Ley fudmetl : Si y es u fució del tiempo t y l vrició de y es proporciol l ctidd presete, etoces, esto se epres mtemáticmete por: dy ky dt = El primer miemro es l rzó de cmio (o ts de cmio) y k > es l costte de proporciolidd, Es clro que si l fució y(t) es descoocid, etoces est epresió es u ecució diferecil. Vmos resolver est ecució por u método llmdo seprció de vriles. Empezmos por rescriirl como diferecil dy = kdt, it egrdo y dy = k dt y l y = kt + C, tomdo epoeciles y = e = e e y = Ce kt+ C C kt kt pues e C es u costte ritrri y que C es ritrri, por ello podemos llmrl C. Ahor, cudo t= teemos l ctidd de y() = y ; luego kt y = y e, k > E este cso l ts es creciete, es decir, se trt del crecimieto de u polció de cteris, por ejemplo. Si l ts fuese decreciete, etoces el úico cmio es u sigo meos delte de l 6

26 costte k, y e este cso se trt de decrecimieto rdioctivo, por ejemplo. E el Cpítulo I se estudiro vrios ejemplos. Ahor dmos los tiempos de vid medi de los más comues isótopos rdictivos: Urio (U 8 ) Plutoio (Pu ) Croo (C 4 ) Rdio (R 6 ) Eisteio (Es 54 ) Noelio (No 57 ) 4 5 ños 4 6 ños 5 7 ños 6 ños 76 dís segudos Desitegrció rdictiv Ejemplo: De u muestr de u grmo de rdio, cuáto quedrá después de ños? SOL: Se y(t) l ms e grmos de l muestr, dode t idic el tiempo medido e ños. L rzó de cosiderr est uidd de tiempo está relciod directmete co el tiempo de vid medi (o semivid) del rdio. Dtos: y() =, y(½) = 6. Luego, ½ = e -k(6) de dode k,479. Por lo tto l fució del decimieto rdictivo del rdio es Filmete, y(),65 gr. y(t) = e -,48t Vemos otro tipo de prolem dode prece l fució logritmo turl: Ley de efrimieto de Newto: L rzó de cmio de l tempertur de u ojeto es proporciol l difereci etre l tempertur del ojeto y l tempertur del ire que lo rode. Se y l tempertur e grdos Fhreheit, por ejemplo, de u ojeto que est e u hitció tempertur costte de 6 F. Si se efrí este ojeto de F 9 = F e miutos cuáto tiempo más dee trscurrir pr que l tempertur llegue 8 F? SOL: dy = k(y 6) dt dy = y 6 l y 6 = kt + C kdt (seprdo vr iles) Además, como y= cudo t=, teemos C=l4, lo que implic y 6 kt = l(y 6) l4 = l. 4 Además, como y = 9 cudo t =, teemos que k = l 4. Luego y 6 t l = l 4 4 Filmete, cudo y = 8, 6

27 ( ) ( ) l t = 4,9 mi l Por lo tto, trdrá proimdmete 4,9 miutos más pr lczr los 8 F. EJERCICIOS 6. Completr l siguiete tl pr los isótopos rdictivos señldos: 4 Isótopo Vid medi (ños) Ctidd iicil Ctidd trs Ctidd trs ños ños R 6 6 grmos R 6 6,5 grmos C grmos C grmos Pu 4 6, grmos Pu 4 6,4 grmos, Hllr el tiempo de vid medi de u isótopo que trs u ño qued 99,57 % de l ctidd iicil.. E l escl Richter, l mgitud R de u terremoto de itesidd I viee dd por li li R = l dode I es l itesidd míim utilizd como comprció. Supog I =. ) Clcule l itesidd del terremoto de S Frcisco (96) dode R = 8, ) Clcule l itesidd del terremoto de Vldivi (96) dode R = 9, (creo ) c) Clculr el fctor de crecimieto de l itesidd si l medid e l escl Richter se multiplic por. d) Hllr dr/di. 4. U ojeto, situdo e u hitció que está 7 F, se efrí desde 5 5 F e 45 miutos. Usdo l ley de efrimieto de Newto, determir cuáto tiempo trdrá e efrirse hst los 8 F. 5. Usdo est mism ley, determir l tempertur eterior (e C) si u termómetro se sc de u cs dode hí 68 F, y mrc 5 F y 4 F, respectivmete, trs medio miuto y u miuto después INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como es fácil sospechr, cd fórmul de derivció trigoométric, le correspode u de itegrció. E efecto. 6

28 d d Ddo de ( cosu) du = seu, etoces d UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Aálogmete, seudu = cosu + C. cosudu = seu + C = + sec udu tgu C Ejemplos:. cos d = cos d = se + C (u = ). ( ) se d = se d = cos + C (u = ) seu du. sec d = sec ()d = tg + C (u ) =. sec u du Usdo u idetidd trigoométric. A veces ls itegrles so fáciles de resolver cudo l itegrd correspode u fórmul trigoométric, como vemos e el siguiete ejemplo. 4. tg d = (sec )d = tg + C Itegrció por sustitució. 5. sec d Se u =, luego du = d du = d. Por lo tto, sec d =. sec udu= tgu+ C= tg + C 6. se cosd Se u = se du = cos(d) du cosd =. = = = + = + 9 Sustituyedo e l itegrl, ( ) du u se cosd u u du C se C 6

29 Itegrció por sustitució y regl de ls potecis. 7: L primitiv de l fució tgete 8. Hllr tgd. Est itegrl o prece justrse igu de ls fórmuls y vists. Si emrgo, grcis u idetidd trigoométric, podemos resolverl. E efecto, hciedo u = cos, result tgd = se d cos u' tgd = du = l u + C = l cos + C u Cálculo de áres i) regioes jo u curv: 9. Clculr el áre de l regió cotd por l gráfic de f() = se cos + secos, el eje e el itervlo [, π] SOL: El gráfico puede verse l izquierd. El áre de l regió somred está dd por: π 4 π se se + se cos d = + = + = A= ( se cos )

30 ii) Regioes etre dos curvs. Ls fucioes seo y coseo se cort ifiits veces, cotdo regioes que tiee l mism áre. Clculr el áre de u de ests regioes. SOL: Pr hllr los putos de itersecció de ms fucioes, ls igulmos y resolvemos l ecució trigoométric resultte. se = cos se π 5π = tg = Luego, =, ; π. cos 4 4 π 5 Por lo tto, los límites de itegrció so: = y = π. Además, 4 4 de cuerdo co l figur de l izquierd, se cos sore el itervlo de itegrció. 5 π 5 π 4 4 A = (se cos )d = cos se = + = π π 4 4 Volume de u sólido de revolució Si u fució f() e u itervlo [, ] gir e toro l eje, etoces se form u sólido, llmdo sólido de revolució y cuyo volume se pued clculr co l fórmul V =π ( ). Clculr el volume del sólido geerdo l girr e toro l eje l regió cotd por l gráfic de f() = se y el eje. f() d SOL: π V = π ( se ) = π π sed = -π cos π = π(+) = π d Vlor medio de u fució e u itervlo. L fuerz electromotriz E de u cierto circuito eléctrico viee dd por E = set, dode E se mide e voltios y t e segudos. Clculr el vlor medio de E etre los isttes t = y t =,5 segudos. SOL: El vlor medio de E viee ddo por 65

31 EJERCICIOS 7.,5,5,5 setdt = 6 setdt = ( cos() + ),79 voltios Clculr ls siguietes itegrles. (se + cos )d.. 4. (t set)dt ( sec )d θ + θ θ (sec se )d θ θ θ 5. sed 6. cos 6d cos d sec d se 9. d cos tg sec d sec d tg cos t dt + set se cos d cos e cose d se e cosd Clculr ls siguietes itegrles defiids 66

32 ... π cos d π sed π π sec d π 4. ( + ) π cos d 5. π 8 se cosd. Clcule el áre de l regió somred de los ejercicios 45 l 5 67

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