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1 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. Ejercicios resueltos Estudir l mootoí de ls siguietes sucesioes: 8 b c d Solució: ) Vmos probr que los térmios de est sucesió verific 0, es decir que se trt de u sucesió moóto estrictmete creciete. ( ) () ( )() 0 ( ) ( ) ( ) el crácter positivo del terior cociete está grtizdo porque es u úmero turl. b) E este cso vmos demostrr que b b, co lo cul l sucesió será moóto creciete. 8 8 ( ) b b ( ) lo cul es siempre cierto. c) L sucesió dd es creciete, y que c c, pues c ( ) c ( ) 6 0 l epresió últim l cul hemos llegdo es siempre ciert, luego l desiguldd iicil tmbié lo es. d) E este cso demostrremos que d d, es decir que l sucesió es moóto estrictmete decreciete. Pág.

2 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. d d ( ) ( ) est desiguldd es ciert pr culquier úmero turl, luego se cumple siempre. Mootoí y cotció de Solució: El térmio geerl de est sucesió es u epresió idetermid del tipo, luego o es evidete que se covergete. Se trt de u sucesió de úmeros reles positivos. Comprobmos e primer lugr que l sucesió es creciete. Por plicció de l fórmul del biomio de Newto, teemos... 0 ( ) ( ) ( ) ( )...!!...!! l epresió de cost de sumdos. El térmio siguiete se epresrá sí...!! ( )! Est epresió cost de + sumdos. Como los sumdos de + so myores que sus correspodietes de, slvo el primero que es igul, result que luego l sucesió es creciete. Pág.

3 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. Vmos comprobr hor que l sucesió está cotd. Cosidermos pr ello ls siguietes epresioes:...!!! c b...!!!... progresio geometric Comprádols térmio térmio result que, prtir de =, se verific: b c es decir,, luego l sucesió está cotd. Se puede segurr, por tto, que l sucesió de térmio geerl es covergete, estdo su límite compredido etre y. A este límite se le desig co el ombre de úmero e. Se trt de u úmero irrciol cuys diez primers cifrs decimles so: e Clculr el límite de l sucesió cuyo térmio geerl es:... Solució: Costruimos dos sucesioes pr comprrls co l sucesió terior, cuyos térmios geerles so y b Pág.

4 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. c observmos que se verific b c pr todo, demás y lim b lim lim c lim como lim b lim c, tmbié será lim lim Hllr el límite de ls sucesioes ) 6 8 log se ( 5 ) cos 6 b) log cos ( 5) Solució: () Aplicdo equivlecis, teemos log se 8 lim lim lim ( 5 ) cos ( 5 ) cos lim lim 6 ( ) cos ( ) (b) Tomdo el límite fucio cotd if iitesimo detro de, lim lim log cos ( 5) 0 Pág.

5 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. 5 Clculr l sum de ls siguietes series: b) ) Solució: () Observmos que es u serie geométric de primer térmio ¼ y rzó ½ por lo que (b) Descompoiedo e frccioes simples S S lim 6 ) Determir el crácter de ls siguietes series:.) e.) e e e e b) Clculr el vlor ecto de l serie 9 Solució:.) Teiedo e cuet e e l serie es geométric de rzó r, luego es covergete. e Pág.5

6 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis..) Pr l segud serie se tiee e cuet l epresió de Ch() e fució de l epoecil: e e e Ch e e Ch e e e e e e e e e Comprmos est serie co e y como el límite e e e e lim : lim e e e es distito de cero y de ifiito mbs series tiee el mismo crácter, es decir, covergetes. (b) Como l serie es geométric el vlor de l sum es: Determir el crácter de ls siguietes series y estudir tmbié su covergeci bsolut: ) b) log Solució: ) L serie Leibitz: es u serie lterd covergete por el criterio de log lim lim 0 log es moóto decreciete: Pág.6

7 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. log log log log el log ritmo es u fució creciete Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como log log se tiee que log log log y, por el criterio de comprció es covergete. Luego l serie es bsolutmete covergete. b) L serie es u serie lterd covergete por el criterio de Leibitz: lim lim 0 es moóto decreciete: Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como / por el criterio de comprció es divergete. Luego l serie o coverge bsolutmete. 8 ) Aproimr l sum de l serie lterd cudo se cosider l sum prcil eésim y S 0 estimr el error e l proimció. b) Cuátos térmios es ecesrio sumr pr grtizr que l sum prcil eésim de l serie error meor que 0 0. proim l vlor rel de S co u Solució: () S y el error es meor que Pág.7

8 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. (b) , es decir, 6 9 Determir el desrrollo e serie de potecis de ls siguietes fucioes e los putos que se idic señldo su cmpo de covergeci: 5 f 0 ) c) f 0 f 0 e) b) f rctg 0 d) f f 0 f) g) f log 0 h) f 0 Solució: f 0 ) b) 0 f f c) 0 d) f 0 e) 0 f f f) 0 g) 0 f f h) 0 Pág.8

9 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. 0 Se cosider l serie de úmeros reles. Se pide: ) Estudir pr qué vlores de es covergete dich serie b) Clculr su sum pr =. Solució: ) Como es u úmero rel estudimos e primer lugr l covergeci bsolut, es decir l covergeci de l serie de los vlores bsolutos Aplicdo est últim serie el criterio del cociete: lim lim Si L serie covergete Si L serie coverge bsolutmete y por lo tto es geerl o tiede cero: por lo tto, l serie diverge bsolutmete. Además, el térmio lim si No eiste si o es covergete si. Si =, L serie es covergete por el criterio de comprció por pso l límite si más que comprrl co Si =-, L serie sucesió es covergete por el criterio de Leibiz (l es moóto decreciete y tiede cero). Pág.9

10 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. Clculmos l sum pr =, es decir, el vlor de térmio geerl de l serie e frccioes simples:. Descompoiedo el A B co A, B L sum prcil eésim es: S Clculdo su límite lim y etoces Pág.0

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