Teoría: Sucesiones y Series SUCESIONES EN R

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1 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series SUCESIONES EN R Prerrequisitos: Desigulddes de úmeros reles Coceptos geerles de fucioes: domiio, cots, crecimieto, Coocimieto de ls propieddes de ls fucioes elemetles: poliómics, rcioles, expoeciles, logrítmics, trigoométrics y del vlor bsoluto. Cálculo de límites, idetermicioes y regl de L Hopitl Cálculo de derivds y estudio del crecimieto de u fució Métodos de demostrció: iducció y reducció l bsurdo. Objetivos:. Teer clros los siguietes coceptos: Qué es u sucesió Sucesió cotd, sucesió moóto, sucesió covergete/divergete/oscilte Relció etre cotció, mootoí y covergeci de u sucesió Propieddes de los límites de sucesioes Órdees de mgitud de u sucesió: o Sucesioes del mismo orde o Sucesioes equivletes o Sucesió de orde superior/iferior 2. Sber hcer: Estudir l covergeci de u sucesió 2 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

2 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I o Técics de límites o Regl del sádwich o Teorem del ecje o El producto de u ifiitésimo por u sucesió cotd es u ifiitésimo o Sucesioes recursivs Determir el orde de mgitud de u sucesió Comprr el orde de ifiitud de u sucesió DEFINICIONES BÁSICAS Dos sucesioes { } y { } b so igules si = b pr todo N. U sucesió dmite u represetció e l rect rel y e el plo: Sucesioes moótos Defiicioes: A) U sucesió ( ) se deomi moóto creciete si verific: 2 3 Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 3

3 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series esto es si se cumple + N Si verific < + N, se llm estrictmete creciete. B) Aálogmete, u sucesió ( ) se deomi moóto decreciete si se cumple N + Si verific > + N, se llm estrictmete decreciete. C) U sucesió se deomi moóto si es moóto creciete o moóto decreciete. Ejemplos : Applet Lbortorio Sucesioes L sucesió -, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9... o es moóto. L sucesió de térmio geerl L sucesió de térmio geerl estrictmete creciete. ( ) = tmpoco es moóto. = es moóto creciete y tmbié L sucesió, -, 0, 0,,, 2, 2... es moóto creciete, pero o es estrictmete creciete. 2 L sucesió de térmio geerl = es moóto decreciete y es tmbié estrictmete decreciete. 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

4 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I L sucesió,,,,,,,,, es moóto decreciete, si embrgo o es estrictmete decreciete. Not práctic: E lguos csos, pr probr que u sucesió es moóto creciete result útil probr que 0 N y pr sucesioes de + térmios positivos tmbié se puede demostrr probdo que se cumple: + N Aálogmete, pr ls sucesioes moótos decrecietes se probrá que N, o bie, si es de térmios positivos, que verific N Teiedo e cuet que u sucesió es u plicció de los úmeros turles e los reles, pr cierts sucesioes, se puede utilizr técics de cálculo diferecil pr estudir l mootoí. Bstrá cosiderr l fució resultdo de cmbir por x e el térmio geerl de l sucesió. Si = f( ) y f '( x ) > 0 (respectivmete ( ) etoces es creciete (respectivmete) pr f ' x < 0) pr x> o x>. o Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

5 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Applet Lbortorio Sucesioes Sucesioes cotds. A) Decimos que u úmero rel k es cot superior de l sucesió ( ) si verific k N Se deomi supremo l meor de ls cots superiores. Si el supremo es u térmio de l sucesió se deomi máximo. Aálogmete, dicho úmero k será cot iferior de l sucesió ( ) si verific k N Llmmos ífimo l myor de ls cots iferiores. Si el ífimo es u térmio de l sucesió se deomi míimo. B) U sucesió ( ) decimos que está cotd superiormete si tiee lgu cot superior. De form álog, diremos que l sucesió está cotd iferiormete si tiee lgu cot iferior. 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

6 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I C) U sucesió ( ) decimos que es cotd si está cotd superior e iferiormete. Applet Lbortorio Sucesioes LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Decimos que el límite de u sucesió ( ) es L, y lo escribimos sí o tmbié lim = L L Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

7 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series si es posible coseguir que L se t pequeño como quermos, si más que sigrle vlores t grdes como se ecesrio. Es decir, lim = L ε> 0 existe N N tl que L < ε > N o 0 L defiició terior sigific que si queremos que los térmios de l sucesió se leje de L u distci meor que ε, lo podemos coseguir pr todos los térmios posteriores u cierto úmero turl N0. Cuto más pequeño se ε más grde hbrá que tomr el vlor de N0. L defiició terior se lee límite cudo tiede ifiito de igul L. Tmbié se puede escribir pues sólo puede teder ifiito. lim = L Ls sucesioes que tiee límite se deomi covergetes. Applet Lbortorio Sucesioes 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

8 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Sucesioes divergetes: L sucesió ( ) tiede ifiito ( ) si culquier que se el úmero rel k fijdo, por grde que este se, podemos coseguir que los térmios de l sucesió supere dicho vlor si más que tomr vlores de myores que u úmero turl N0. Simbólicmete esto puede escribirse sí k R N N tl que k N lim = 0 > > 0 Applet Lbortorio Sucesioes L sucesió ( ) tiede meos ifiito ( ) si culquier que se el úmero rel k fijdo, por grde que este se, podemos coseguir que los térmios de l sucesió se meores que k, si más que tomr vlores de myores que u úmero turl N0. Simbólicmete esto puede escribirse sí k R N N tl que k N lim = 0 < > 0 Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

9 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Uicidd del límite: Si l sucesió ( ) tiee límite, fiito o o, este es úico. Demostrció: Se ( ) u sucesió covergete y supogmos que tiee dos límites L siedo L < y L2, L2. A prtir de u cierto vlor 0, todos los térmios de l sucesió debe perteecer, simultáemete, los etoros ( L ε, L + ε) y ( L ε, L + ε) 2 2 L2 L lo cul es imposible e cuto tomemos vlores ε. 2 Sucesioes osciltes Existe otrs sucesioes que o tiee límite, pero tmpoco tiede ifiito i meos ifiito. Vemos lguos csos Ejemplos : L sucesió cuyos primeros térmios so los siguietes,, 3,, 5,, 7, Est sucesió o es covergete, pero tmpoco tiede i. Los térmios impres se hce ifiitmete grdes medid que crece. Si embrgo, los térmios pres tiede 0, pr suficietemete grde. Se dice que est sucesió o tiee límite o bie que su crácter es oscilte. Ejemplos : L sucesió de térmio geerl so: = ( ), cuyos primeros térmios 0 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

10 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I -, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,... Los térmios de est sucesió tmpoco se cerc u úmero cocreto. Tiede los térmios pres y tiede los térmios impres. Por tto, tmpoco tiee límite. Como coclusió, ls sucesioes de los dos ejemplos teriores se deomi osciltes. Resume: Ls sucesioes se clsific segú l existeci o o de límite e los siguietes tipos: Covergetes tiede u úmero fiito L No covergetes Divergetes tiede tiede - Osciltes Propieddes de los límites: Si lim siguietes propieddes: =, y lim = co, b R se cumple ls () lim = (2) lim( λ ) = λ (3) lim( b ) = b (4) lim = si b 0 b b Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

11 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series b (5) lim( ) b b 0 = siempre que 0. Idetermicioes: Teorem (Acotció): Tod sucesió () covergete es cotd. Demostrció: Pr demostrr que u sucesió está cotd, teemos que demostrr que está cotd superior e iferiormete. Si l sucesió () es covergete, tommos ε =, etoces todos los térmios de l sucesió perteece, prtir de uo de ellos, l etoro (L-ε, L+ε ); e cosecueci. Cosidermos el vlor más pequeño de los térmios de l sucesió que o está e ese itervlo y de L-ε Si llmmos m ese vlor todos los térmios de l sucesió será myores que m. Cosidermos M el vlor más grde de los térmios de l sucesió que o está e el itervlo (L-ε, L+ε ) y el vlor L-ε, es fácil ver que todos los térmios de l sucesió so meores que M. E coclusió, l sucesió () está cotd, y que hemos ecotrdo u cot iferior (m) y u cot superior (M) de dich sucesió. Observció: El recíproco del teorem terior o es cierto: l sucesió, 2,, 2,, 2,... es cotd y, si embrgo, o es covergete. 2 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

12 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorem (Weierstrss): Tod sucesió moóto y cotd es covergete. Tod sucesió moóto y o cotd es divergete. Covergete Acotd Covergete Acotd y Moóto Divergete No cotd Divergete No cotd y Moóto (No so ciertos los recíprocos) (No so ciertos los recíprocos) Número e El úmero e es u úmero irrciol de gr importci e mtemátics superiores. Podemos defiirlo como el límite de l sucesió +. Puede probrse que est sucesió es moóto y cotd por lo que plicdo el teorem de Weierstrss se cocluye que es covergete. El vlor l que coverge es el úmero e. Se trt de u úmero irrciol cuys diez primers cifrs decimles so: CÁLCULO DE LÍMITES Propieddes de los límites de sucesioes reles Si lim =, y lim = co, b R se cumple ls siguietes propieddes: Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 3

13 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series () lim = (2) lim( λ ) = λ (3) lim( b ) = b (4) lim = si b 0 b b (5) lim( ) b b b 0 = siempre que 0. Idetermicioes Criterios de comprció b Teorem del ecje: Se { } y { } = = dos sucesioes covergetes l mismo x = úmero rel L etoces si se tiee otr sucesió { } verificdo x b pr todo ídice slvo u úmero fiito (es decir pr todo prtir x = de u cierto ídice N) etoces l sucesió { } tmbié coverge L. = Teorem: Si { } u úmero fiito se verific ifiito. es u sucesió divergete ifiito y pr todo ídice slvo b etoces { } b = tmbié es divergete Ifiitésimos e ifiitos equivletes Defiició (Ifiitésimo).- Se dice que es u ifiitésimo si lim = 0 Defiició (Ifiito).- Se dice que es u ifiito si lim =± 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

14 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS ) L sum de u úmero fiito de ifiitésimos es u ifiitésimo. 2) Se verific lim = 0 lim = 0. 3) Si ( ) es u ifiitésimo y ( b ) es u sucesió cotd superiormete e vlor bsoluto, etoces, l sucesió producto de mbs ( b ) es covergete y se cumple lim b = 0 Defiició (Sucesioes del mismo orde y sitóticmete equivletes).- - Se dice que y b ifiitésimos (ifiitos) so del mismo orde si lim b = k co k R { 0}. - E el cso prticulr de que k= se dice sitóticmete equivletes. Notció.- Cudo y b ifiitésimos (ifiitos) so del mismo orde se escribe ( b ) =Ο. PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN.- El límite de u sucesió covergete o divergete o se lter l sustituir uo de sus fctores o divisores por otro sitóticmete equivlete. Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

15 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series INFINITESIMOS EQUIVALENTES INFINITOS EQUIVALENTES: Si ( ) etoces log! e 2π ( ) (Fórmul de Stirlig) 0 etoces log p p p p p o p log log > 0 ( ) ( + ) ( log etoces p p p p p o p 0 etoces se k+ k k k k k + 0 etoces tg 0 etoces rcse rctg 0 etoces cos 2 2 Defiició (Ifiitésimos e ifiitos de orde superior).- Se dice que es u ifiitésimo de orde superior respecto de b ó que b es u ifiito de orde superior respecto de lim = 0. b, segú se trte de ifiitésimos o ifiitos, si Potecilexpoecil Fctoril Expoecil Potecil Logritmo (>0)! b (b>) c (c>0) (logq )p (q>, p>0) Tbl.- El orde de los ifiitos dismiuye de izquierd derech 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

16 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I CRITERIO DE STOLZ Si b { } y { } = = so ifiitésimos siedo moóto ó { b } = es divergete E el cso de que exist el siguiete límite lim b b etoces: lim = lim b b b Cosecuecis: lim = lim (Criterio de l medi ritmétic) 2 lim... = lim (Criterio de l medi geométric) Límites de expresioes rcioles Si se trt de u sucesió cociete etre expresioes poliómics, sí p p p = q q q b + b + b + + b q p se resuelve dividiedo umerdor y deomidor por k poliomio de meor grdo. E resume, se cumple que:, siedo k el grdo del Si p>q, lim =± (depede de los sigos de 0 0 Si p=q, lim = b Si p < q, lim 0 0 = y b0) Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

17 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Est regl dice que el vlor del límite lo mrc el térmio de myor grdo de mbos poliomios. Límites de expresioes irrcioles Se resuelve multiplicdo y dividiedo por l expresió rdicl cojugd. 0 0 Límites de l form, 0, que: Pr clculr este tipo de límites se puede tomr logritmos, de tl form b b log lim lim = e = e lim b log Observció: E el cso prticulr de que l idetermició se del tipo se cumple que lim = y lim b = luego, b ( ) lim b log lim b lim = e = e 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

18 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I SERIES EN R Prerrequisitos: Coceptos sobre sucesioes vistos e el tem terior Cálculo de primitivs imedits Objetivos:. Teer clros los siguietes coceptos: Serie y sum prcil eésim Covergeci, divergeci de u serie Orde de mgitud de l sum prcil eésim Sum proximd de u serie 2. Sber hcer: Recoocer ls series geométrics y determir su crácter Recoocer ls series rmóic geerlizd y determir su crácter Estudir l covergeci de series de térmios positivos medite los criterios del cociete y de l riz Estudir l covergeci de series lterds co el criterio de Leibiz Estudir l covergeci de series de térmios culesquier medite l covergeci bsolut Hllr l sum proximd de u serie co u cot del error prefijd Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

19 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Sums ifiits Ejemplo : Imgi u cudrdo de ldo uidd y cosider l sum de ls áres coloreds A l vist de l figur cuál crees que es el vlor de su sum? Ejemplo 2: Cuáto es el áre de color mrillo? 20 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

20 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Tmbié puedes pesr e el áre de los triágulos rjs del dibujo siguiete: Ejemplo 3: Imgi el úmero / 3 se escribe e form deciml periódico como / 3= 0,3 dode se etiede que el 3 se repite ifiits veces. Es decir, que brevidmete podemos poer como: / 3= 0,3+ 0,03+ 0,003+ 0, / 3 3 ( 0,) = = pero, qué sigific exctmete l sum ifiit? Está clro que o podemos sumr ifiitos úmeros. Est expresió sigific que si se sum más y más térmios, l sum se v proximdo cd vez más / 3. Defiicioes Dd u sucesió ifiit de úmeros reles { } se defie: Su sum prcil -ésim es: = = S = Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 2

21 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series S Cosidermos l sucesió de sus sums prciles: { } = se tedrá: S Si { } = Además es covergete etoces l serie es covergete. = = = lim S = S Se dirá etoces que S es l sum de l serie. S Si { } S Si { } es divergete etoces l serie = es divergete = es oscilte etoces l serie = es oscilte. = El resto -ésimo de l serie es: = R = = k k= Es fácil ver que: = S + R k k= Propieddes de ls series Propiedd : Si u serie se l suprime o ñde u úmero fiito de térmios su crácter o se ve lterdo. 22 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

22 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Propiedd 2: Si y = b so covergetes y coverge respectivmete los = úmeros reles A y B etoces: ( ) ± b = ± b = A± B = = = b = A B = = observr que ( ) b b = = = ( ) λ = λ = λa = = Propiedd 3 (Codició ecesri de covergeci): Si etoces lim = 0. es covergete = IMPORTANTE.- Se trt de u codició ecesri pero o suficiete. L serie cumple l codició ecesri de covergeci y, si embrgo, es divergete. = 0 SERIES NOTABLES Serie geométric: = 0 r 0. Se cumple: geerl Si r < l serie coverge y demás r r =. r = k k Si r> l serie diverge. r = 0 =. E r Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 23

23 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Serie rmóic geerlizd: = p p> 0. Se cumple: Si 0< p l serie diverge Si p> l serie coverge. CONVERGENCIA DE SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS U serie de térmios o egtivos o bie coverge o bie diverge y que l sucesió de sus sums prciles es moóto. s + = S + + S o egtivo Sum prcil -ésim E geerl pr u fució cotiu f decreciete y positiv e, ) se verific ( ) < ( ) < ( ) + ( ) f x dx f k f f x dx k= 24 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

24 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Por lo tto l sucesió f( k) verific que k= ( ) < ( ) < ( ) + ( ) f x dx f k f f x dx k= Si l fució es cotiu, creciete y positiv e, ) se verific f( x) dx< f( k) < f( x) dx+ f( ) k= Criterio itegrl Si f es positiv, cotiu y decreciete pr tiee el mismo crácter. ( ) f x dx y x y f( ) k= = etoces: Criterio de comprció Si, y = b so series de térmios positivos verificdo = b pr todo N slvo u úmero fiito etoces: () Si b es covergete etoces = tmbié es covergete = (b) Si es divergete etoces b tmbié es divergete. = = Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 25

25 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Criterios de comprció por pso l límite Se cosider ls series y = b. Etoces = () Si lim b 0 = λ mbs series tiee el mismo crácter (b) Si lim = 0 y l serie b covergete. b es covergete etoces = es = (c) Si lim = y l serie b divergete. b es divergete etoces = es = Criterio del cociete: Se cosider l serie etoces si () Si L< l serie (b) Si L> l serie lim = L ó = cumpliedo = lim + es covergete es divergete = = L Criterio de l ríz: Se cosider l serie (c) Si L< l serie (d) Si L> l serie = cumpliedo lim = es covergete es divergete = = L etoces si 26 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

26 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I SUMA APROXIMADA: SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS Supogmos que teemos l serie de l que coocemos que es covergete pero = o sbemos obteer el vlor excto de l sum. Etoces si sustituimos el vlor de l sum S por l sum prcil -ésim se os plte dos problems: S () Qué error cometo cudo utilizo l proximció S S = ? (b) Cuátos térmios tego que cosiderr pr que l difereci etre S y S se meor que u cierto vlor, es decir, S S < vlor Ambs cuestioes qued resuelts si cosigo cotr el resto -ésimo: R = < cot Ecotrd u cot se tedrá resuelto el problem () si bie est cot debe elegirse de form decud. Pr el segudo problem ddo el error permitido bstrá ecotrr el ídice que verific l siguiete relció: R = < cot< error Es importte hcer otr que l cot depederá de y demás que debe elegirse co cuiddo pr que o se u cotció excesiv que o os dé igu iformció. Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 27

27 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Estimció del error por el criterio itegrl Supogmos que f( ) decreciete y positiv e el itervlo, ) es fiito. Etoces el resto de l serie = pr todo turl, dode f es u fució cotiu,. Supogmos que lim ( ) cumple que: = ( ) 0 R = lim f x dx k= + k k f x dx existe y SERIES ALTERNADAS So de l form ( ) = ( > 0) = TEOREMA DE LEIBNIZ: L serie lterd ( ) ( 0) = > coverge si () l sucesió { } = es moóto decreciete (b) se verific lim = 0. Estimció del error de sustituir l sum de l serie por l sum prcil eésim: Supogmos que se tiee l serie lterd ( ) ( > 0) covergete verificdo = 28 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

28 Teorí: Sucesioes y Series Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I () l sucesió { } = es moóto decreciete (b) lim = 0. Etoces el resto -ésimo es + ( ) ( )... ( ) (...) R = S S = + + = como l sucesió es moóto decreciete el vlor bsoluto del resto -ésimo es: ( ) ( ) R = = es decir, Obsérvese que este error será: R < por exceso si el primer térmio desprecido es egtivo por defecto si el primer térmio desprecido es positivo. Series de térmios culesquier U serie de térmios culesquier,, es bsolutmete covergete si es = covergete l serie de sus vlores bsolutos, es decir, si es covergete. = TEOREMA: Si u serie es bsolutmete covergete etoces es covergete. Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 29

29 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Teorí: Sucesioes y Series Si u serie es covergete pero o es bsolutmete covergete se dice codiciolmete covergete. Not: Si detects lgú error o errt pote e cotcto co l profesor pr su correcció. 30 Profesor: Ele Álvrez Sáiz