Integral Definida. Aplicaciones

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1 Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució f tiee u vlor míimo m i y u vlor máximo M i..... Figur : L fució f(x x + e el itervlo [,, ] y sus vlores míimos e u prtició de este itervlo.... Figur : L fució f(x x + e el itervlo [,, ] y sus vlores máximos e u prtició de este itervlo Est divisió del itervlo [, b] e subitervlos igules recibe el ombre de prtició del itervlo

2 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes Se S l sum de ls áres de todos los rectágulos de bse x i x i b y lturs m i. Se S l sum de ls áres de todos los rectágulos de bse x i x i b y lturs M i: ( ( ( b b b S m + m ( b S M + M ( b + + m + + M ( b i ( b m i ( b M i i.... Figur : L fució f(x x + e el itervlo [,, ] y los rectágulos que d lugr S y S Pr culquier prtició del itervlo [, b] se cumple que S < S. Restdo mbos vlores result: ( ( b b S S (M m + +(M m ( b (M i m i Si e el itervlo [, b] tommos u prtició co u myor úmero de subitervlos, los vlores S y S estrá más próximos. Por tto, si hcemos que tied ifiito, L difereci S S tederá cero. Teemos pues l siguiete defiició. Defiició. Se defie l itegrl defiid de f e el itervlo [, b] como el úmero ( b ( b S lím S lím S lím m i lím M i y se desig como i S f(xdx. Itegrl defiid. Propieddes A cotiució se idic ls priciples propieddes de l itegrl defiid, que so cosecueci imedit de l defiició. i i

3 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes.. (f(x + g(xdx λ f(xdx λ. Si < c < b, etoces f(xdx + f(xdx λ R f(xdx c g(xdx. Si f(x g(x pr todo x [, b], etoces f(xdx + c f(xdx f(xdx g(xdx. Teorem del vlor medio pr itegrles: Se f : [, b] R cotiu. Etoces existe l meos u x [, b]tl que f(xdx f(x (b Gráficmete sigific que existe u rectágulo de bse b y ltur f(x cuy áre coicide co el áre ecerrd bjo l curv.... f x.. y f x. 6 8 Figur : Iterpretció gráfic del teorem del vlor medio pr itegrles Vemos hor dos resultdos muy importtes que relcio l itegrl co l derivd. 6. Teorem Fudmetl del Cálculo: Se f : [, b] R cotiu. Se defie l fució F : [, b] R dd por F (x x f(tdt. Etoces F es u fució derivble y se cumple que F (x f(x pr todo x [, b]. 7. Regl de Brrow: Se f : [, b] R cotiu y se G(x u primitiv de l fució f(x. Etoces se cumple que f(xdx G(b G( L difereci de los vlores que tom l fució primitiv de f e los extremos del itervlo se suele otr trdiciolmete como [G(x] b, co lo que l regl de Brrow se suele escribir sí: f(xdx [G(x] b G(b G(

4 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes L Regl de Brrow os permite clculr el vlor de u itegrl defiid prtir del vlor que tom u primitiv de l fució e los extremos del itervlo de itegrció: [ ] x x dx 8 [ ] x (x ( ( dx x e x dx [l x]e l e l π se xdx [ cos x] π cos π ( cos +. Áres de recitos plos A cotiució veremos lguos prtdos dode se muestr l utilidd de l itegrl l hor de resolver problems geométricos... Áre determid por u fució positiv Dd u fució positiv, queremos determir el áre del recito que form su gráfic, y el eje X etre dos vlores ddos. Se f : [, b] R o egtiv, cotd e itegrble. Se cosider el cojuto R {(x, y R /x [, b], y [, f(x]}. Si Llmmos A(R l áre del recito R, se cumple: A(R f(xdx Figur : Áre bjo l gráfic de l fució f(x ex etre y Aplicdo l Regl de Brrow, el áre terior se clcul sí: A(R (e x dx [e x x] (e ( e u

5 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes.. Áre determid por u fució egtiv Y sbemos clculr el áre de recitos plos limitdos por l gráfic de u fució positiv y el eje X. Vemos que ocurre si l fució f o es positiv. Se f : [, b] R egtiv, cotd e itegrble y cosideremos hor el cojuto R {(x, y R /x [, b], y [f(x, ]}. Si clculmos f(xdx el resultdo es u úmero egtivo, el cul o represet el vlor del áre del recito R, y que el áre es siempre u vlor positivo. E vist de esto, vmos cosiderr l fució f : [, b] R, que es positiv e este itervlo, cotd e itegrble l serlo f y tomemos hor el recito R {(x, y R /x [, b], y [, f(x]} Figur 6: Áre delimitd por el eje X y l gráfic de l fució f(x cos x etre π y π Ls gráfics de ls fucioes f y f so simétrics respecto l eje X, co lo que A(R A(R. Por tto, como A(R ( f(xdx f(xdx result que A(R f(x dx Usdo l terior expresió podemos hllr el áre de l figur : π A(R π ( cos xdx [se x] π π se( π se( π ( u.. Áre determid por u fució que cmbi de sigo Hst quí hemos estudido los csos e que f o cmbi de sigo. Vemos qué hcemos cudo esto ocurre. Supogmos f : [, b] R u fució cotd e itegrble, tl que f(c co c ], b[. Supogmos que f(x > e [, c[ y f(x < e ]c, b]. El recito R que determi l fució f, el eje X y ls rects x y x b se puede dividir e dos prtes: R {(x, y R /x [, c], y [, f(x]} R {(x, y R /x [c, b], y [f(x, ]} Por tto A(R A(R + A(R ( c f(xdx + b c f(xdx

6 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes.... Figur 7: Áre delimitd por el eje X y l fució f(x (x etre y A(R c f(xdx + ( c f(xdx A prtir de l expresió terior podemos determir el áre de l figur : A(R A(R + A(R [ (x (x dx (x dx ] [ ] (x x x 8.. Áre determid por dos curvs Cudo ls gráfics de dos fucioes se cort e dos o más putos, puede determir u recito cuy áre es posible clculr. u 8 6 Figur 8: Regió del plo limitd por ls gráfics de ls fucioes f(x x+ y g(x x x + 6

7 IES Motevives. Dpto. de Mtemátics Itegrl Defiid. Apliccioes E este cso hy que hllr previmete los putos de itersecció de mbs fucioes. Como regl geerl coviee siempre que se posible hcer u represetció gráfic del recito y ver cómo puede obteerse. E geerl si teemos dos curvs y f(x e y g(x y se cumple que x y x b so ls bsciss de dos putos de itersecció de mbs gráfics y cumpliédose que f(x g(x e el itervlo [, b], etoes el áre de l regió compredid etre mbs curvs viee dd por A(R (g(x f(xdx Pr clculr el áre del recito de l figur terior procedemos sí: E primer lugr se determi los putos de corte de mbs gráfics. Pr ello igulmos ls expresioes de mbs fucioes: { x + x x + x x b Clculdos los putos de corte, como l fució f(x x + se hll por ecim de l fució g(x x x + e el itervlo [, ], el áre del recito se clcul sí: [ ( ] x A (x + x + dx (x x dx [x x 6 ] u R {(x, y/ x b, f(x y g(x} 7

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