La Integral Definida

Transcripción

1 Cpítulo 5 L Itegrl Defiid 5.. Prtició U cojuto fiito de putos P = {x, x, x,, x } es u prtició de [, b] si, y solmete si, = x x x x = b. 5.. Sum Superior y Sum Iferior Se y = f(x), u fució cotiu e [, b]. Desigemos por m y M sus vlores míimo y máximo, respectivmetem, e este itervlo. Se l prtició de [, b], medite los putos = x, x, x,, x = b, siedo x < x < x < x y llmemos x x = x, x x = x,, x x = x. Desigemos hor los vlores míimo y máximo de l fució f(x), e el itervlo [x, x ], por m y M, e [x, x ] por m y M, e [x, x ] por m y M, respectívmete, formemos ls sums: S = m x + m x + + m x = S = M x + M x + + M x = i= i= m i x i M i x i

2 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid : S llmmos sum iferior y S llmmos sum superior. Propieddes. Como m i M i i es imedito S S.. Se m el vlor míimo de f(x) e [, b]; luego teemos m i m etoces: S = m x + +m x m x + +m x = m( x + + x ) = m(b ) = S m(b ). 3. Se M el vlor máximo de f(x) e [, b], M i M, etoces: S M(b ). 4. m(b ) S S M(b ) Defiició Itegrl defiid e setido de Riem. Si u fució f(x) está defiid e [, b] y = x < x < x < < x = b sí e cd uo de los itervlos [x, x ], [x, x ],, [x, x ] elijmos u puto que desigmos respectívmete por ξ, ξ,, ξ, luego: x < ξ < x, x < ξ < x,, x < ξ < x e cd uo de los putos evluemos: f(ξ ), f(ξ ),, f(ξ ), y formemos l sum: S = f(ξ ) x + f(ξ ) x + + f(ξ ) x = f(ξ i ) x i se llm sum itegrl de l fució f(x) e el itervlo [, b], obsérvese que: m i x i i= f(ξ i ) x i i= i= M i x i S S S i= Desigemos por máx [x i, x i ], l myor logitud de los itervlos [x o, x ], [x, x ],, [x, x ]. Cosideremos diferetes prticioes de [, b] e los itervlos [x i, x i ] tles que máx [x i, x i ]. Si pr culquier prtició del itervlo [, b], tl que máx x i culquier que se los putos ξ i, l sum f(ξ i ) x i, tiede u mismo límite I, se dice i=

3 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3 que l fució f(x) es itegrble e [, b] l límite I se llm itegrl defiid de l fució f(x) e [, b] y se desig por: Etoces podemos escribir: f(x)dx lím máx x i f(ξ i ) x i = i= f(x) dx los úmeros y b se llm, respectívmete, límite iferior y superior de l itegrl, x se llm vrible de itegrció. Observcioes:. Notemos que, el máx x i es equivlete firmr que, si pues tmbie f(ε i ) x i = f(x)dx lím i=. Idiquemos si demostrció que si l fució y = f(x) es cotiu e [, b], es itegrble e [, b]. 3. Si f(x) es cotiu: lím máx x i m i x i = i= f(x)dx = lím máx x i M i x i= 4. Etre ls fucioes discotius hy fucioes itegrbles y o itegrbles. 5. Si grficmos y = f(x), e [, b], f(x), l itegrl f(x)dx será uméricmete igul l áre A del llmdo trpecio curvilíeo formdo por l curv y = f(x), ls rects x =, x = b y el eje X.

4 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4 6. Observemos que l itegrl defiid depede sólo de l form de f(x) y de los límites de itegrció, pero o de l vrible de itegrció, luego: f(x)dx = f(t)dt = = f(z)dz 7. Hemos supuesto < b. Si b <, por defiició teemos: f(x)dx = 8. Si = b, por defiició, f(x) tedremos: b f(x)dx f(x)dx = Teorem de existeci de l Itegrl. f(x)dx existe, idepedi- (Eucido). Se f cotiu e [, b] etoces: ete de l elecció de los subitervlos Propieddes elemetles de l Itegrl Defiid. Todo fctor costte se puede scr fuer del sigo de l itegrl, si c = costte: cf(x)dx = c f(x)dx. L itegrl de u sum lgebric de vris fucioes es igul l sum lgebric de ls itegrles de los sumdos, sí: 3. c R se tiee que: [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx = c f(x)dx ± f(x)dx + f(x)dx g(x)dx

5 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 4. i) Si f(x), x [, b] etoces f(x)dx. ii) Si e [, b], < b, ls fucioes f(x) y g(x) stisfce l codició f(x) g(x), etoces: f(x)dx g(x)dx 5. Si m y M so los vlores míimo y máximo, respectívmete, de l fució f(x) e el itervlo [, b] etoces: m(b ) f(x)dx M(b ) 6. Teorem del vlor medio. Si l fució f(x) es cotiu e el itervlo [, b], existe e éste itervlo u puto ξ tl que se verific: 5.5. Itegrles Idefiids f(x)dx = (b )f(ξ), ( < ξ < b). Es clro que l itegrl de u fució depede de los límites de itegrció si, si dejmos el límite iferior fijo y el superior vrible, obtedremos u fució. Defiició Se f(x) u fució cotiu ø(x) = f(u)du se le llm Itegrl Idefiid de f. x Observció Se u itegrl idefiid ø(x) = x f(u)du, de u fució f etoces culquier otr itegrl idefiid de f difiere de l primer e u costte.

6 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Cotiuidd de ls Itegrles Idefiids Teorem Se f(x) u fució cotiu e u itervlo [, b], se α u puto rbitrrio de [, b], etoces l itegrl idefiid: ø(x) = L demostrció qued propuest. Propieddes x α f(u)du es cotiu e [, b]. ) Si f > etoces ø(x) = b) Si f < etoces ø(x) = c) Si f = etoces ø(x) = x α x α x α f(u)du es u fució creciete. f(u)du es u fució decreciete. f(u)du = = fució costte Ls Fucioes: Logritmo y Expoecil E este texto hemos estdo usdo ls fucioes logritmo y expoecil, provechdo los coceptos que cd lector tre cosigo cerc de ests fucioes, pero debido su gr importci e el álisis mtemático y co l yud de l itegrl defiid, repsremos uque desde otro puto de vist dichos coceptos. Por rzoes obvis, sólo estudiremos el logritmo turl, es decir, e bse e (e =, ) es decir logx Defiició Pr x > ; l fució: logx = x recibe el ombre de logritmo turl o logritmo eperio l fució es moóto creciete, como log = dt = se deduce tmbié que logx < t pr < x < y que logx >, pr x >. L rect x = es u sítot t dt

7 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 7 verticl ddo que: lím logx = (Figur ) x + Por medio de l defiició de l itegrl defiid es fácil verificr: t dt = du = log u ( ) b ; (b > ) Se hor x, x dos úmeros positivos rbitrrios. Empledo l regl de ditividd, teemos: x x x log(x x ) = t dt = x x t dt + x t dt ( ) x x = log(x ) + log = log(x ) + log(x ) x Por lo tto, los logritmos turles stisfce e todo su domiio l ecució fuciol f(x x ) = f(x ) + f(x ). De quí se sigue, demás, que: ) log ( x x ) = log(x ) log(x ) b) log(x ) = logx ( etero ) c) log x = log(x) ( etero ) De ls dos últims regls, obteemos filmete que log(x r ) = r log(x), siedo r culquier úmero rciol. Defiició L fució ivers de y = log(x) se llm fució expoecil eperi y se represet por f(x) = exp x ó f(x) = e x y evidétemete por ser ivers se tiee: f(x) R +, x R x R, es moóto creciete y verific ls siguietes idetiddes: log(exp x) = x, exp(log(x)) = x, por lo tto: exp() = exp(log()) = Ahor se x e y dos úmeros reles y r u úmero rciol, luego:

8 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 8 ) exp(x + y) = (exp x)(exp y) b) exp(x y) = exp x exp y c) (exp x) r = exp(xr) Nots. E este texto usremos logx, exp x y e x.. Nótese que prtir de l siguiete defiició x >, α R : x α = e αl(x) ; podemos volver estudir l fució potecil: f(x) = x α, por ejemplo decir de pso pr α >, f(x) es estrictmete creciete y pr α < ; f(x) es estrictmete decreciete,... etc. 3. El lector estusismdo co l itegrl t fudmetl e el álisis, debe cosultr etre otros, por ejemplo: Joseph Kitche Jr. Clculus of oe vrible ó de Court y Joh. Itroducció l Cálculo y l álisis Mtemático, pr fizr sus coocimietos e cuto l Teorí Problems Resueltos. Si f(x) = x sobre [, ] y l prtició P = {,.5,.7,.9, }. Hllr : S 4 y S 4 Solució. ) S 4 = 4 M i x i =.5(.5 ) +.49(.7.5) i= +.8(.9.7) + (.9) =.485 b) S 4 = 4 m i x i = (.5 ) +.5(.7.5) +.49(.9.7) i= +.8(.9) =.9

9 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 9. ) Dé u ejemplo de u fució pr l cul l itegrl iferior se igul l itegrl superior. si x irrciol b) Si f(x) = si x rciol Solució. demuestre S o es igul S. ) Supogmos f(x) = 3 x [, b]. Si P = {x, x,, x } es u prtició de [, b], etoces m i = M i = 3, por lo tto, S = 3(x i x i ) = 3(b ); S = i= luego S = S. 3(x i x i ) = 3(b ) i= b) Si P = {x, x,, x }, es u prtició, etoces m i =, porque existe u úmero irrciol e [x i, x i ] y M i =, porque existe u úmero rciol e [x i, x i ], por lo tto: S = o(x i x i ) =, S = i= (x i x i ) = (b ) i= = S S. 3. Se f : [, ] R defiid como: x si x es rciol f(x) = si x es irrciol y se P = {,.,.,,.9, },. Determie S, S y clcule cosiderdo S Solució. f(x)dx

10 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid S = S = i= i= (x i x i ) =, +, +, + +, = m i (x i x i ) =, +,, +,, + +, 9, =.(, +, +, 3 + +, 9) =.45 Se P = {x, x,, x } [, ]; S = x + x + x x S = ( x + x + + x ) = = luego lím = 4. Clculr l itegrl Solució. kx dx, (b > ) f(x)dx = lím S = Desde el puto de vist geométrico, el problem se reduce l cálculo del áre del trpecio limitdo por ls rect y = kx, x =, x = b e y =. Dividmos el itervlo [, b] e prtes igules l logitud x de cd itervlo prcil será igul x = b, x si. Ls coordeds de los putos de divisió so: = x, x = + x, x = + x,, x = + x, como ξ i tomemos los extremos izquierdos de cd subitervlo, se:

11 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid ξ =, ξ = + x, ξ 3 = + x,, ξ = + ( ) x S = f(ξ i ) x i = k ξ x + kξ x + + kξ x i= = k x + k( + x) x + + k[ + ( ) x] x = k{ + ( + x) + ( + x) + + [ + ( ) x]} x = k{ + [ x + x + + ( ) x]} x = k{ + [ ( )] x} x, como x = b, teemos: [ ] [ ( ) (b ) (b ) S = k + = k + ] (b ) (b ), por lo tto, kxdx = k b. [ lím S = k + b ] (b ) = k b sí: 5. Demuestre que: Demostrció. x dx = b3 3. Dividimos el itervlo [, b] e prtes igules medite los putos: x =, x = x, x = x,, x = x = b = x = b, x si, como ξ i tomemos los extremos derechos de cd itervlo: S = x x + x x + + x x = [( x) x + ( x) x + + ( x) x] = ( x) 3 [ ]

12 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid S = b3 ( + )( + ) 3 = b3 6 6 ( + ) ( + ), lím S = b3 () () = lím 6 S = b3 3 luego x dx = b Probr que: Prueb e x dx = e b e Dividmos el itervlo [, b] e prtes igules: x =, x = + x,, x = + x; x = b, como ξ i, tomemos los extremos izquierdos, y formemos l sum: S = e x + e + x x + + e x+( ) x x = e ( + e x + e x + + e ( ) x ) x, l expresió etre prétesis es u P.G. cuy rzó es e x y su primer térmio es, luego: S = e e x e x x = e (e x x ) e x ; x = y como lím x (e x =, sí lím )/ x S = e (e b ) = e b e 7. Pr qué δ > se deduce l relció π de l desiguldd máx x i < δ? Solució. sexdx seξ i x i <. i= Como S < I < S, etoces pr que se cumpl l desiguldd pedid bst co que < S S <,, pero S S = (M i m i ) x i < δ (M i m i ) i= i=

13 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3 dode M i y m i los vlores máximo y míimo de l fució sex e [x i, x i+ ](i =,,, ). Eligiedo pr simplificr x = π como uo de los putos de divisió y como [ sex es moóto e, π ] [ π ] y, π se tiee: (M i m i ) = (se π ) se = i= Por lo tto, se stisfce l desiguldd pedid si δ <,, es decir, δ <, Demuestre que: π sex dx = Demostrció. Procediedo e form álog l ejercicio N 5 se tiee: x = π y l sum de los extremos derechos es S = (se k x) x luego se tiee que: S = k= se k x se x se x = k= k= [ ( cos k ) ( x cos k + ) ] x se x S = cos x ( cos + ) x se x x = cos x ( cos π + x ) se x x S = x se x cos x sí: x lím S = lím x se x cos x =

14 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4 9. Medite l defiició, clculr l itegrl ) b) x p dx; p ; < < b x dx; < < b Solució. Pr ) y b) tomremos l mism prtició de [, b], es decir los putos ( ) ( ) i b siguietes: x =, x = b,, xi = = b que form u ( ) b P.G. de rzó q = > ( ); ótese evidétemete que los xi o so igules y vle x i = q i (q ). Por lo tto, l logitud máxim de los subitervlos es igul : máx x i = q (q ) = ( ) ( b b ) y tiede cero cudo crece, y que lím q =, hor tomemos como los ξ i los extremos: ξ i = q i+ (i =,,,, ( )) y formmos l sum pr ) sumdo S = ξ p i x i = p q (i+)p q i (q ) i= i= S = p+ (q )q p [ + q p+ + + q ( )(p+) ], = p+ p q (p + ) (q )q q p+ = (b p+ p+ )q p q q p+

15 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 Clculdo el límite de l sum cudo máx x i, es decir q, se tiee lím S = (b p+ p+ ) lím q p q q q q p+ = (b p+ p+ ) lím q p q q p + q p + + q = bp+ p+ p + Pr b), l sum qued: S = i= x i = ξ i i= (q ) q i+ qi (q ) = q E (*) tomemos logritmos y qued: log(q) = log ( b por lo tto: lím S = lím log q q log. Demostrr que: ( ) b (q ) qlog(q) = log ( ) b = log(b) log(). log(e) ( ) b lím q x p dx = p+ x p dx; R, p N ), = ( ) b log log(q), log[ + (q + )] q q Demostrció. De imedito, teemos: x p dx = lím i= ( i ) p = p+ lím i= ( ) i p = p+ x p dx

16 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 6. Se f u fució itegrble tl que f(c x) = f(c + x), pr u cierto úmero fijo c. Demostrr prtir de l defiició de itegrl que: c c f(x)dx = c+ c f(x)dx Demostrció. Teemos que: dode: x i = = lím c c c (c ) f i= f(x)dx = lím = c + c f(ξ i ) x i () i= ( c + i ) = lím =, sí cotiudo co (), i= [ ( c i )] plicdo l codició f(c x) = f(c+x), se tiee que: lím se i = k hor si i = = k = ; lím k= [ c + k i= [ c + ( i) ], si i = = k = sí qued: ] c+ = f(x)dx. Demuestre usdo l defiició de itegrl que: c ) b) c) f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = k +k +k kb f( x)dx k f(x k)dx f ( x k ) dx, (k ) Demostrció.

17 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 7 ) f(x)dx = lím x i f(x i )(x i+ x i ) i= = lím x i f(x i )[( x i ) ( x i+ )] i= y se x i = t i luego x i = = t i = y x i = = t i =, ótese que si x i = t i = lím t i = i= f( t i )(t i t i+ ) = lím t i f( x)dx = f( x)dx f( t i )(t i+ t i ) i= b) +k +k x i = f(x k) = lím x i b + k ( + k) f(x i k) x i, pero ótese que: i= = b = t i dode x i k = t i de quí si x i = + k = t i = y si x i = b + k = t i = b; luego: = lím x i f(t i ) t i = i= c) Por se álogo qued propuesto. f(x)dx 3. Se f itegrble, demostrr usdo l defiició de itegrl que: ) Si f es pr: b) Si f es impr: f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx y f(x)dx f(x)dx = Demostrció.

18 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 8 ) f pr = f(x) = f( x) f(x)dx = lím f(ξ i ) x i = i= dode: x = ( ) por demostrr f(x)dx = lím f( + (i ) x) = i= f[ + (i ) x] x i= = = ; etoces f(ξ i ) x i = i= f(i x) x, i= f(i x), e efecto i= [ f + (i ) ] ( ) ( = f( ) + f + + f ) + i= ( f ) como f es pr: = f ( ) + f( ) ( + + f ) ( + f ) = pr demostrr pero por lo terior f(x)dx = f(x)dx = f(i x) i= f(x)dx, f pr usemos que: f(x)dx + f(x)dx y qued lo pedido. = f(x)dx b) Es ólog, qued propuest.

19 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Ecotrr el lím, si = Solució. ( ) sex dx x + Sbemos sex, x [, 3], (x + ) sex (x + ) 3 (x + ) = dx 3 (x + ) sex dx 3 (x + ) dx (x + ), hor por el teorem del vlor medio: 3 dx (x + ) = [3 ] = ξ + ξ +, co ( 3 ) dx ξ [, 3] lím = lím (x + ) ξ ξ + =, demás como: 3 dx 3 (x + ) dx = lím (x + ) = 5. Demuestre que: f(x)dx f(x) dx Demostrció. Como f(x) f(x) y f(x) f(x) = f(x) f(x) f(x), x [, b] etoces como: f(x) dx f(x) dx etoces f(x)dx f(x) dx, f(x)dx f(x) dx. 6. Por medio del teorem del vlor medio cote l itegrl: A 5 x x + dx

20 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Solució. Teorem del vlor medio si f(x) cotiu e [, b], ξ [.b] tl que 5 f(x) = (b )f(ξ), luego: x ξ x dx = (5 )f(ξ) = 4 + ξ +, como 4ξ ξ es cotiu e [, 5] y + demás es decreciete (verifíquelo),luego el meor vlor que puede tomr es pr ξ = 5 = 4ξ ξ + = 6 = 4ξ ; y el meor ξ = = 3 ξ + =, luego : 3 4ξ ξ, por lo tto: x x + dx 7. Ecuetre el límite de l siguiete sucesió: + x + x dx = Solució. + x [ + x dx = + ] f(ξ) = [ f(ξ), ξ, + ] ξ = f(ξ) = ; si = ξ luego: ( + ξ) ξ lím = lím =, (este problem se puede resolver tmbié ( + ξ) por el método del problem 6). 8. Como logx = Prueb x du; probr que log e = u

21 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Como e = ø(x) = luego: x α ( lím + ( = log e = log lím + ), l fució ) f(x)dx es cotiu (verifíquelo) etoces log x es cotiu, ( log e = lím log + ( = lím ) log + ) ( demás: log + ) + = 9. Clculr: ) lím x x log Solució. ( ) + x x log e = lím u du = ū ; ū ( ) ū x + b) lím x + dx = lím ū =. (, + ), co lo que: ) lím x x log ( ) + x = lím[log( + x) log( x)] x x [ +x x ] = lím x x t dt t dt = ] lím [( + x ) ξ ( x ) ξ x x dode: < ξ < + x; < ξ < x, se usó el teorem del vlor medio, sí: ( x = lím + x ) x x ξ ξ = lím + lím = + = x ξ x ξ b) + x x + = + x x 3/ + x /, como < x < = + x < =

22 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid + x < () y por otr prte x 3/ + x / > x 3/ () luego por () y () de dode < + x x 3/ + x / < x 3/ < x + x + dx < x 3/ dx, hor por ejercicio resuelto N 9 (), co p = 3/, result: < ( x + x + dx < ), de dode por el teorem del sdwich se tiee: x + lím x + dx = [ (. Demostrr: log lím + x ) ] = x Demostrció. Por l cotiuidd de l fució logritmo, se tiee: [ ( log lím + x ) ] = lím ( log + x ) = lím hor por el teorem del vlor medio; se sigue: = lím ξ x co < ξ < + x, filmete = x lím = x y que si = ξ. ξ + x t dt

23 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3. ) Demostrr usdo l defiició de logritmo, que: log( + x) = x dt, x > + t log( + x) b) Aplicr ) pr demostrr lím = x x Solució. ) log( + x) = +x dt, tomdo l prtició del itervlo [, + x], t como: t = ; t = + t,, t = + t = +x de dode: t = x eligiedo ξ i = + i t = f(ξ i ) = se tiee + i t log( + x) = lím t = lím + i t i= i= + i x x (); por otr prte, pr x + t dt se tiee; t = ; t = t; ; t = t = x de dode: t = x y eligiedo ξ i = i t = f(ξ i ) = + i t, luego: x dt = lím + t i= Por () y () se tiee lo pedido. t = lím + i t i= + i x x () b) De imedito se tiee: log( + x) x lím = lím dt = lím x x x x + t x x (x ) + ξ, co < ξ < x, = lím x + ξ =.

24 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4. Demostrr x x < log( + x) < x, si x > Demostrció. Se t >, etoces: t < < + t de quí luego: t < + t < ; + t > x x ( t)dt < x + t dt < x x dt t dt < log( + x) < x dt x x < log( + x) < x Nótese que el límite de b) tmbié puede demostrrse usdo est desiguldd. 3. Demostrr: ( ) lím + x ) = e x x b) Si >, lím = log() x x Demostrció. ) De imedito por ejercicio. [ ( log lím + x ) ] ( = x lím + x ) = e x b) Se x = z x log() = log (z) x = log(z) ; si x = z log()

25 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 x z z luego: lím = log() lím = log() lím x x z log(z) z z t dt z hor por el teorem del vlor medio = log() lím z (z ) ξ ξ < z de quí result = log() y que si z = ξ co < Not. Compre b) co ejercicio resuelto N 3 (v) del cpítulo 4. Veremos más delte otros métodos pr mostrr estos límites co yud de l derivd. 4. ) Demostrr que N b) Se = log() < < + log() ( ) log. Demostrr que l sucesió de los es estríctmete decreciete. c) Demostrr que l sucesió de los coverge u úmero compredido etre y. Solució. ) Se k < x < k, como f(x) = x es estríctmete decreciete de dode: k k dx < k k k k < x < k x dx = k k < dx = k x k= k () k= k k x dx = < 3 x dx + x dx

26 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid x dx = < + x dx = < + log () De (): k k = k x dx < k dx = k k k x dx < k ( k k= k ) x dx < k= k = x dx < log < log + < = log < (3) sí por () y (3): log < < + log. b) Por demostrr + < [( Se + = ) ] log [( ) ] log( + ). + + = log( + ) log() + = log ( = log + ) + + = ( + ) + t dt, por el teorem del vlor medio + ξ, < ξ < + = = f(ξ) + = ξ, pero como + < ξ < + = ξ > +

27 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 7 ( ) + sí log c) De imedito por () > + = > + log < < + log < ( ) log < sí: < <, lo que prueb que está cotd y por b), etoces: coverge. 5. Pruebe que: log x dx < log k < k= log xdx + log y clcule Prueb lím (!) Como log x es estríctmete creciete, se tiee log(k ) < log x < log k () Luego si: log x < log k, etoces k k = log xdx < k= k k k k log x dx < log kdx = log k k= k k log xdx < log k

28 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 8 = = logx dx + log x dx < 3 álogmete de (): log x + + log xdx < log k k= log k () k= log(k ) < log x = = log(k ) < = = log x dx = log k < k= k k k k log(k )dx < log x dx = k k log(k ) < k= log(k ) + log < k= de dode por () y (3): b) log x dx < log x dx k k= k k log x dx + log log x dx log x dx + log (3) log x dx < log k < k= log k < k= log x dx + log xlog x < log! < xlog x x +log log x dx + log log ( ) < log! < log + + log log + < log! < log + + log

29 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 9 log + < log! < log + + log + < log (!) < + + log ( lím + ) < lím log (!) < lím ( + + log ) < lím log (!) (!) < = log lím = = lím (!) = e 6. Probr que lím log k= y deducir de este resultdo que: ( ) k = log xdx lím! = e límite que fue clculdo e el ejercicio terior. Prueb Como l fució logrítmic es estríctmete creciete

30 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3 k < x = log = log k= álogmete: ( ) k < log x = ( ) k (k+)/ log < k/ ( ) k < (k+)/ k= k/ log x dx = log x dx log x dx () x < k + ( ) k + = log x < log = (k+)/ k/ log x dx < ( ) k + x log Ests últims desigulddes so válids pr k =, porque l fució logritmo es itegrble e (, ]; por lo tto se deduce log k= ( ) k + > k= (k+)/ k/ log x dx = + log x dx () ( hor, observdo que log =, se ve que ls sums cosiderds e ) () y () so idétics, luego: + log x dx < log k= tediédo l límite y como l itegrl + log x dx, y por lo tto, se tiee lo pedido. Asumiedo que ( ) k < dx / / log x dx tiee por límite + log x dx = (itegrció por prtes como se verá más delte), se tiee de imedito que:

31 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3 y como: lím log k= ( ) k = (3)! 3 u = = = log(u ) = [ ( ) ( ) ( log + log + + log ) ] = log(u ) = log k= se tiee de imedito que u = e. ( ) k = por (3) 7. Se f u fució cotiu, estrictmete creciete y tl, que f() =. Se g su fució ivers. Mostrr gráficmete que, pr todo pr de úmeros positivos y b f(x)dx + g(x)dx b Demostrció. Se > b; de l figur A + A = b+ Are P QRP de dode f(x)dx + itersect sobre y = x = = b. A = Are OARO A = Are OBCO = Are OB P O A + A b g(x)dx b l iguldd se verific cudo ls curvs se 8. Se f u fució moóto y positiv defiid e [, b], < < b. Se g l ivers de f y tómese α = f(), β = f(b). Por medio de l iterpretció de l itegrl como áre, mostrr que:

32 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 3 β α g(y)dy = bβ α f(x)dx Solució. De l figur se tiee: A = f(x)dx y B = β α g(y)dy y de imedito por geometrí A + B = bβ α de dode se obtiee el resultdo. 9. Prtiedo del sigificdo geométrico de l itegrl, demostrr que x x dx = x x + Arc sex, < x Demostrció. x L itegrl x dx expres el áre OAP X de l porció de círculo de rdio que ce e el primer cudrte, sí: Are OAP X = Are OP X + Are OAP. Are del sector OAP, es: Are OP X = xy = x x () Are OAP = θr dode seθ = x y θ = Arc se x,

33 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 33 filmete: x x dx = x x + Arc sex 3. Se f(x) y g(x) itegrbles e (, b), demostrr l desiguldd de Schwrz- Buykovsky: ( f(x) g(x)dx) f (x)dx g (x)dx Demostrció. Se l fució F (x) = [f(x) + λg(x)], de dode λ es u úmero rel culquier, y se sigue [f(x)+λg(x)] λ g (x)dx λ f(x)g(x)dx+ f (x)dx triomio cudrático respecto λ, debido l codició siempre positiv o cero de l desiguldd iicil, se debe teer [ f(x)g(x)dx] de dode se obtiee lo pedido. f (x)dx g (x)dx 3. Demostrr, medite u rzomieto geométrico: ) Si f es creciete y tiee u gráfico cócvo e [, b], etoces: (b )f() < f() + f(b) f(x)dx < (b ) b) Si f es creciete y tiee u gráfico covexo e [, b], etoces: f() + f(b) (b ) < f(x)dx < (b )f(b)

34 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 34 Demostrció. ) Si perder geerlidd, supogmos f(x) >. Por l codició de cocvidd l curv está por debjo de l rect que ue los putos A(, f()) y B(b, f(b)), por lo tto: Are trpezoide ABb es myor que del trpezoide curvilieo ABb, limitdo por rrib por el gráfico f, es decir: y es imedit l desiguldd f() + f(b) f(x)dx < (b ) sí qued lo pedido. f(x)dx > (b )f() b) El rzomieto es álogo, qued propuesto. 3. Demostrr ls siguietes cotcioes: ). b). < c).5 4 dx <. 5 cos x 3 π/3 π/4 / / sex dx <.4 x dx.6 ( x )(4 x ) Demostrció. )

35 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 35 cos x 5 5 cos x cos x dx cos x dx dx b). 4 3 ( π ) M = f = 4 dx.4 <. 5 cos x se π 4 π 4 = 4 π =.9 ( π ) m = f = 3 se π 3 π 3 = 3 3 π =.87 ( π sí etoces,.87 3 π ) 4. <.65 c) qued propuesto. π/3 π/4 π/3 π/4 sex dx.356 <.4 x sex ( π x dx.9 3 π ) = Demostrr. < + x 4 dx <.4 + x Demostrció.

36 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 36 Usdo + x < + x + x4 4 = + x 4 dx > + x ) ( + x obteemos: + x 4 + x + x 4 dx = + x dx de dode efectudo l divisió: + x4 + x = x + 5 x + luego: x dx 4 dx dx + + x = Arc tg =.87 + x 4 dx >. () + x Por otr prte, plicdo l desiguldd de Schwrz, co f(x) = y g(x) =, se tiee + x4 + x ( + x 4 ) dx ( + x 4 ) + x + x dx + x 4 dx + x x dx 3 + x + x 8 + x dx = dx dx x ; dx x 6 dx + x 4 + x dx x 4 dx π 4 =.43 () sí etoces por () y ():. < + x 4 dx <.4 + x

37 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Demuestre que: < π/ sex dx < π 3 3 Demostrció. Pr x π se verific que: sex x = sex x sex = sex sex de dode: sex sex x; como pr x = π 4 estrict π < < se tiee 4 se cumple l desiguldd π/ sexdx < π/ π/ sex dx < x / dx plicdo resultdos de ejercicios resueltos N os 8 y 9 (I) se tiee lo pedido. 35. Demostrr: π/ e ksex dx < π k ( e k ) (k > ) Demostrció. Como l fució f(x) = sex ( es decreciete e, π ), etoces f(x) = x sex ( π ) > f = x π, por lo tto e este itervlo sex > π x luego e ksex < e k π x y (c) que dice: π/ e ksex dx < π/ e k π x dx, por ejercicio N

38 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 38 pb p f ( ) x dx = p p f(x)dx result : π/ e k π x dx = π k k e x dx y hor por ejercicio N 6, se tiee: π/ 36. Estimr l itegrl e ksex dx < π k (e k e ) = π k ( e k ) + x 4 usdo: ) El teorem del vlor medio. b) El teorem de cotció. c) El resultdo del ejercicio resuelto N 3 (). d) L desiguldd + x 4 < + x4. e) L desiguldd de Schwrz. Solució. ) pero + x 4 dx = + ξ 4 ; ξ < + ξ 4 < < + x 4 dx < =.44 b) Como f(x) = + x 4 es creciete e [, ]; m = f() =, M = f() = que coicide co el resultdo ddo e (). c) Como f(x) = + x 4 es cócv e [, ], (verifíquelo usted), plicdo el ejercicio N 3 (): < + x 4 dx < + =.7

39 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 39 d) De imedito: < + x 4 < + x4 < de dode: < + x 4 dx < dx + + x 4 dx < + =, x 4 dx e) Se f(x) = + x 4, g(x) =, y usemos l desiguldd de Schwrz ( ) + x 4 dx < ( + x 4 )dx + x 4 dx <. =.95 dx 37. Obteer u expresió pr itegrl de f(x). f(ax + B), A e térmios de u Solució. Usdo los resultdos del ejercicio resuelto N (b y c) se tiee, se g(x) = f(ax + B),por (c) hor por (b) = A 38. Demostrr que Demostrció. g(x)dx = A Ab+B A+B Ab A ( x ) g dx = A f(x + B B)dx = A f(x)dx = (b ) Ab A Ab+B A+B f(x + B), f( + (b )x)dx. f(x)dx.

40 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4 Usdo el ejercicio terior se A = b y B =, teemos (b ) = f(x)dx f( + (b )x)dx = (b ) b 39. Clculr los siguietes límites: ) lím b) lím c) lím d) lím π e) lím (b ) + (b ) + k + k + + k ; k costte positiv. k+ ( ) { ( + ) + ( + ) + + } () ( + sec π ) π π + sec + + sec ( se π ) + seπ ) + + se( π f(x)dx Solució. ) k + k + + k lím k+ = lím [ ( ) k + ( ) ] k ( ) k + + = lím i= ( ) i k = x k dx = k + b)

41 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4 ( lím ) = lím + + = lím i= + i + = dx = log( + ) log( + ) = log + x c) { lím ( + ) + ( + ) + + } () = lím ( + ) + ( + ) + + ( + ) = lím i= ( + i ) ( = + ) = + = ( + x) dx d) { lím + sec π } π π + sec + + sec = 4 π lím = 4 π lím { π sec π } π π + sec + + sec sec i π 4 ) π 4 = 4 π/4 sec xdx π i= = 4 (tg π ) π 4 tg = 4 π

42 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 4 Not. Hemos ocupdo que: e) ( π lím se π + seπ i= sec xdx = tgb tg ) + + se( π + se π ) ( ) = lím se iπ π π = sexdx = (resultdo del ejercicio resuelto N 8). 4. Mostrr lím Solució. k= De imedito: lím k= + k < + π 4 + k = + lím k= < + lím dx luego + x lím k= + k + k < + lím (Arctg Arctg) = ( π + π ) = 4 + π 4 4. Demostrr que si u vehículo recorre u cmio de 5 km. co velocidd promedio de 5 km/hr. debe hber u trmo de 5 km., que fue recorrido exctmete e hor. Demostrció.

43 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 43 Por demostrr t tl que t + t v(t)dt = 5 Se se sbe que f(t) = t+ t v(t)dt, v(t)dt + v(t)dt v(t)dt = 5, es decir: f() + f() + f() + + f(9) = 5, csos: ) si tods ls itegrles vle 5 está listo, b) si o ocurre sí, etoces lgu deberá ser myor que 5 y otr meor que 5, pero como f es cotiu, porque v(t) lo es, etoces debe tomr e lgú puto el vlor 5, es decir t tl que f(t ) = U vehículo recorre u cmio de Km. e el lpso de hor; supoiedo que prte del reposo y termi e reposo, demostrr que e lgú istte l celerció debe ser myor o igul que 4km/hr. Demostrció. Supogmos lo cotrrio < 4 4 < < 4. Como < 4 se tiee: v(t) = t (t)dt < y tmbié > 4 se tiee v() v(t) = t ( 4)dt = 4 + 4t luego v(t) < 4 4t. Por lo tto, t t 4dt < 4t (t)dt v(t) = t (t)dt >

44 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 44 = S() S() = + (4 4t)dt = 4 v(t)dt = v(t)dt + ( ) ( v(t)dt < 4tdt ) 4 ( ) = 4 cotrdicció, y que el desplzmieto o puede ser t grde como, luego 4km/hr. 43. Demostrr que el vlor medio de l fució f(x) cotiu e el itervlo [, b], es el límite de l medi rtimétic de los vlores de est fució tomd sobre itervlos igules del rgumeto x. Demostrció. Subdividmos el itervlo [, b] e prtes igules medite los putos x i = + b i(i =,,,, ) hor formdo l medi ritmétic de los vlores de l fució f(x) e los x i, (i =,,, ). de dode: ȳ = f(x ) + f(x ) + + f(x ) = f(x i ) i= ȳ = b f(x i ) x, i= dode x i = b, y por lo tto, tomdo el límite: lím ȳ = b lím f(x i ) x i = i= f(x)dx b como se pedí.

45 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Ecotrr: lím e [( + )( + ) ( + )] Solució. Se = [(+)(+) (+)] = log( ) = [( log + ) ( + ) ( + ) ] log( ) = k= ( ) = log lím = ( log + k ) = lím log( ) = lím ( ) log lím = log = log sí el resultdo fil es e 4/e. [ ] ( + )( + ) ( + ) k= ( log + k ) log( + x)dx, clculdo por defiició result ( ) 4 lím e = 4 e Ms delte, por el método por prtes est itegrl es imedit. 45. Se A b (f) el vlor medio de f e [, b] ddo por A b (f) = b f(x)dx Si < c < b, demostrr que existe u úmero t que stisfce < t < tl que A b (f) = t A c (f) + ( t) A b c(f) Así pues A b (f) es u medi ritmétic poderd de A c (f) y A b c(f).

46 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 46 Demostrció. Se < c < b, se tiee etoces e [, c], álogmete e [c, b], sumdo () y (). (c )A c (f) + (b c)a b c(f) = A c (f)(c ) = A b c(f)(b c) = c c c f(x)dx + f(x)dx (), f(x)dx () c f(x)dx = (c )A c (f) + (b c)a b c(f) = (b )A b (f) de dode f(x)dx A b (f) = c b Ac (f) + b c b Ab c(f) = c ( b Ac (f) + c ) A b b c(f) se t = c b como c > b > = t >, demás b > c b > c c < t < sí pues < t < co lo que b A b (f) = t A c (f) + ( t)a b c(f), < t < 46. Clculr el vlor medio de l fució f e el itervlo correspodiete. ) f(x) = x e [, b] b) f(x) = sex e [, π ] Solució. ) A b (f) = b b) A π (f) = π c) result: π/ x dx = b 3 (b3 3 ) = 3 ( + b + b ) sexdx, plicdo l propiedd dd e ejercicio

47 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 47 A π (f) = π π/4 set dt = π 47. Hllr l orded medi de l siusoide y = sex e el itervlo [, π]. Solució. De imedito π ȳ = π sex dx = π 5.9. Problems Propuestos. Prtiedo de l defiició, clcule ls siguietes itegrles: ) xdx b) cosx dx c) x dx ( > ) d) dode: < < b pr ), b) y d) x dx Idicció, pr: ) Hcer ξ i = q i (i =,,, ), q = b) Hcer ξ i = x i x i+ (i =,,, ) ( ) b Respuest. ) 3 (b3/ 3/ ) b) seb se c log() d) b

48 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 48. Clculr l itegrl [, 4]: 4 x 3 dx por l defiició, subdividiedo el itervlo ) e prtes igules b) e putos que forme u progresió geométric. E mbos csos elegir ξ i como: ) extremos derechos de los subitervlos ) extremos izquierdos y 3) putos medios de los subitervlos [x i, x i+ ]. Respuest Prtiedo del sigificdo geométrico de l itegrl defiid demostrr que, ) c) π 3 sex dx = b) 3 9 x dx = 9π (x + )dx = 6 4. Si f(x) = x + 3 sobre [, 5] y P = {,, 4, 5}; P = {,,, 3, 4, 5}. Hllr: S 3, S 3, S 5 y S 5 5. Prtiedo de l defiició de itegrl, hllr ddo v y g so costtes. T (v + gt)dt Respuest. v T + gt

49 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Comprobr que l fució d(x) = x [ x ], si x y f() =, es itegrble e el itervlo [, ]. 7. Se f(x) u fució itegrble e [, b] y c f(x) d, pr x b, y se g(x) u fució defiid y cotiu e el itervlo [c, d]. Demostrr que l fució f o g es itegrble e [, b]. 8. Demostrr que uque f(x) o se cotiu e [, b] su itegrl idefiid siempre lo es. (Recordr que f es cotd). 9. Estimr los itegrles siguietes: ) c) π 3 + x 3 dx b) x + 5 x + dx dx e x + d) cosx x + dx Respuest. ) I b) 3 < I < 5 c) 8π 3 ± 4π 3 θ ( θ < ) d). -.5 θ ( < θ < ). Determir, (si clculrls) cuál de ls siguietes itegrles es myor.

50 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 ) b) c) d) π + x dx x sex dx e x dx e x cos x dx ó ó ó ó π π x dx x sex dx e x dx e x cos x dx e) xdx ó x 3 dx Respuest. ) l primer b) l segud c) l segud d) l primer e) l primer.. Demostrr que: ) < b) < x 7 dx 3 + x 8 < 8 e x dx < e c) π π/ < + se xdx < π d) π 3 < e) 4 π dx + 3cosx < π 7 + x 3 < 5 3

51 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 f ) 4 e g).69 e x x dx e x x. Demostrr, usdo l desiguldd sex x x3 6 de Schwrz, que: (x ) y l desiguldd.96 < π/ xsexdx <. 3. Hllr el vlor medio de l velocidd de l cíd libre de u cuerpo cuy velocidd iicil es igul v. Respuest. (v + v ) dode v es l velocidd fil. 4. Si f(x) es periódic c período T, demostrr que dode es etero. f(x)dx = +T +T f(x)dx 5. Demostrr (si clculr ls itegrles) que: ) b) c) / / / / ( + x cosxlog x e cosx dx = / sex f(cosx)dx = ) dx = e cosx dx

52 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 5 6. Demostrr, co yud de x sex π x, x π, que 7. Dd l fució < f(x) = π/ sex x dx < π x si x si < x ( x) si < x 3 Probr que l fució es cotiu e [, 3]. F (x) = x f(t)dt 8. Se puede firmr que si existe Respuest. No (estudie u ejemplo). f(x) dx etoces existe f(x)dx? 9. Clculr los límites de ls siguietes sums: ( ) lím ) ( ) b) lím c) lím ( ) [ ] d) lím

53 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 53 e) lím f ) f k= ( + k b ) lím 3 4 g) lím h) lím k= i) lím ( + cos π + cosπ )π + + cos( 4 k k= + 3(k ) ) Respuest. ) b) π 4 c) 3 ( ) d) 3 L() e) i) b f(x)dx f) 3 4 g) π h π 6. Demostrr que ls siguietes itegrles está cotds como se idic ) 3 < b) q < c) /3 /3 + x x dx < (x p ( p y q eteros positivos) + ) q 3x + x 4 dx < 3 Idicció: verifique que 3x < e [ 3, ] 3. Demostrr que si f es cotiu y moóto l itegrl k+ k f(x kx + q)dx está compredid etre f(q k ) y f( + q k ). E prticulr

54 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid 54 demostrr que 3 dx (x 4x + 6) r está etre 4 r y 3 r.. Si f es periódic co período P, demostrr que ) b) +P +P f(x)dx = f(x)dx = P P f(x)dx f(x)dx = P f(x)dx, N 3. Se f u fució tl que f(u) f(v) u v pr todos los vlores de u y v de u itervlo [, b]. ) Probr que f es cotiu e cd puto de [, b] b) Supoiedo que f se itegrble e [, b], demostrr que: f(x)dx (b )f() (b ) c) Ms geerl. Demostrr que pr culquier ξ de [, b], se tiee: f(x)dx (b )f(ξ) (b ) 4. Teiedo e cuet que x = x x demostrr 4 / x dx Utilizr l idetidd + x 6 = ( + x )( x + x 4 ) pr demostrr que pr >, teemos ) ( Se f cotiu e [, b]. Si meos pr u c de [, b]. dx + x f(x)dx =, demostrr que f(c) = por lo

55 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Supógse que f es itegrble y o egtiv e [, b]. Si f(x)dx = demostrr que f(x) = e cd puto de cotiuidd de f ( Idicció: Si f(c) > e u puto de cotiuidd c, existe u etoro de c e el cul f(x) = f(c) ). 8. Supógse que f es cotiu e [, b] y que f(x)g(x)dx = pr tod fució g que se cotiu e [, b]. Demostrr que f(x) = pr todo x e [, b]. 9. Se A b (f) el vlor medio de f e [, b] (ver ejercicio 43). Demostrr que tiee ls propieddes siguietes: A b (f + g) = A b (f) + A b (g) A b (cf) = c A b (f), c u úmero rel culquier. A b (f) A b (g) si f(x) g(x) x e [, b] 3. Clculr el promedio A(f) pr l fució dd f e el itervlo correspodiete: ) f(x) = x + x 3 e [, ] b) f(x) = x 3 e [, 8] [ c) f(x) = cosx e π, π ] [ d) f(x) = sex cosx e, π ] 4 Respuest. ) 7 b) 45 8 c) π d) π

56 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Hllr l logitud medi de tods ls ordeds positivs de círculo x +y =. Respuest. π 4 3. Ddo e π = x dx, hcer uso de ls propieddes de l itegrl pr clculr ls siguietes e fució de π. ) b) c) x dx 4 x dx (x 3) 4 x dx Respuest. ) 9π b) π c) 6π 33. Demostrr que l fució F (x) = f(t)dt dode f(t) es u fució x periódic cotiu de período p, e el cso geerl, es u sum de u fució liel y u fució periódic de período p. x 34. Demostrr que ) ( ) b) (x ) dx = + (!) ( + )! (x ) dx = 6 5 Idicció: Use el teorem del biomio.

57 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Si f es cotd sobre [, b], etoces f es itegrble sobre [, b] sii, ξ > existe u prtició p de [, b], tl que: S(f, p) S(f, p) < ξ 36. Hllr dos fucioes itegrles f y g tl que g o f o lo se. 37. Hllr el límite de l sucesió = 3 se x x + dx Respuest. 38. Se f(x) = si x < c k si x = c si c < x b Probr que f es itegrble y que de k. f(x)dx = b c, idepediete del vlor 39. Dé u ejemplo de dos fucioes cuy sum se itegrble y que ígu de ls dos se itegrble. 4. Se p u etero positivo. Probr que l fució f(x) = {log(x)} p es itegrble e el itervlo (, ] y clculr {log(x)} p dx

58 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Clculr lím ( + )( + ) ( + ) Respuest. e log 4. Clcúlese π/ sex dx y π/ cosx dx. Explíquese e térmios geométricos l rzó por l que tiee que ser igules. Además, explíquese l rzó por l que +π pr todos los vlores de y b. sex dx = +π b cosx dx 43. Demostrr log ( ) b b ( b) Idicció: Aplicr l desiguldd de Schwrz : x dx 44. Demuéstrese que pr todo etero, se cumple ( ) + + log < 3 k= k k 45. Se f(x) y g(x) cotius e [, b], demostrr que si se tiee f(x) g(x) y si l desiguldd estrict f(ξ) > g(ξ) se cumple por lo meos pr u puto del itervlo, etoces l desiguldd estrict se cumple pr ls itegrles f(x)dx > g(x)dx

59 Luis Zegrr. L Itegrl Defiid Clculr: lím [( + )( + ) ( + )] Respuest. ( + )+ e