Unidad 4. Función Exponencial

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1 Fució Epoecil Uidd Cocepto Al bombrder u átomo de urio co eutroes, su úcleo se divide e dos úcleos más livios, liberdo eergí y eutroes. Bjo cierts codicioes, es decir, si eiste u ms crític de urio, se iici u recció e cde: cd uo de los eutroes liberdos choc l úcleo de otro átomo, l que divide e dos úcleos, liberdo e cd colisió gr ctidd de eergí y tres eutroes, y sí sucesivmete, como muestr l igur. Si costruimos u tbl de vlores pr l ució que relcio l ctidd de eutroes liberdos e cd choque, co el úmero de choque y l choque, o mometo iicil, co el eutró que bombrde el primer átomo y lo gricmos, obteemos: : Nº de choque F() Ctidd de eutroes U ució es epoecil si se epres de l orm ( ) k. Siedo u úmero rel positivo distito de y k u úmero rel distito de cero( k 0). Se llm ms crític de urio l ctidd de ms míim que se ecesit pr mteer u recció e cde.

2 Uidd Nª se deomi bse y k, coeiciete de l ució epoecil proviee de que l vrible igur e el epoete. Alizremos hor l ució ( ) dode ( k ) Pr ello gricremos l siguiete ució: ( ) ( ) X El domiio turl de l ució epoecil es el cojuto de los úmeros Reles dom ( ) R. Mietrs que l imge so los reles positivos Im ( ) R> 0, siedo el eje de ls bsciss u sítot horizotl. L ució es creciete y ps por el puto ( 0,), que es l orded l orige. Al teer sítot e el eje de ls bsciss, l ució o tiee ríces. Qué psrá hor co l ució Es decir 0 < < ( ) o ( ) Asítot es u rect l cul l curv se proim ideiidmete, si llegr tocrl ES crecimieto vertigioso se deomi crecimieto epoecil

3 Fució epoecil y rítmic ( ) - ( ) - ( ) - ( ) Como puedes observr, l ució hor es decreciete, pero mteiédose ls misms crcterístics del domiio, imge, orded l orige y sítot horizotl. Es decir que mbs so simétrics co respecto l eje de ls ordeds.

4 Uidd Nª Alizremos el comportmieto de ls ucioes decir co > Si lo gricmos, obteemos: ( ) ( ), g( ) y t( ) g( ) t( ) ( ) g 9 9, es ( ) t ( )

5 Fució epoecil y rítmic ( ) Los gráicos de ls ucioes de l orm, co > tiee crcterístics comues: Ls curvs tiee l mism orded l orige y es el puto (0;). Ls curvs so crecietes, y crece tto más rápido cuto myor se l bse. L imge tom vlores positivos, es decir Im R> 0 L curv o cort l eje de ls bsciss, ose que tiee l mism sítot y est es y 0 Que cosidersioes podemos hcer si l bse est compredid etre 0 y, es decir 0 < <. Vemos los siguietes gráicos: g t( ) ( ) ( ) ( ) Los gráicos de ls ucioes de l orm, co 0 < < tiee crcterístics comues: Ls curvs tiee l mism orded l orige y es el puto (0;). Ls curvs so decrecietes, y decrece tto más rápido cuto meor se l bse. L imge tom vlores positivos, es decir Im R> 0 L curv o cort l eje de ls bsciss, ose que tiee l mism sítot y est es y 0 Gráico de ucioes de l orm ( ) k co > y k > 0 Estudiremos que ilueci tiee el coeiciete de l ució epoecil (k), e l ( ) ució, co k igul 5; ;. 5

6 Uidd Nª Pr ello hremos l siguiete tbl. ( ) g( ) 5 h( ) t( ) Gricdo, obteemos Si lizmos este gráico, veremos que 0, o se es l orded l orige Ls curvs so decrecietes, y decrece tto más rápido cuto meor se l bse. Ls curvs cort l eje de ls ordeds e el puto ( ;k). L vrible y tom todos los vlores positivos, es decir, Im ( ) R> 0 6

7 Fució epoecil y rítmic Ls curvs o cort l eje de ls bsciss, es decir o tiee ríces reles; cudo los vlores positivos de umet, los correspodietes vlores de y se cerc cero, pero o lcz uc ese vlor. Respecto de ls ucioes epoeciles ( ) k, co k < 0, presetmos el siguiete gráico pr k igul -; - y -, como ejemplo. Como puedes observr posee crcterístics similres l terior. Podrís decir cules so ls dierecis? Trslcioes de ls ucioes epoeciles Trslció verticl, es u trslció verticl de l u- L ució epoecil de l orm ( ) + b ció geéric g ( ). Pr ello gricremos ls siguietes ucioes epoeciles: ( ) + ( ) t, y su ució geéric g( ). ( ) ( ) + g t ( ) ;

8 Uidd Nª Si gricmos ests ucioes epoeciles, obteemos: ( ) + t ( ) sítots Comprdo los gráicos, podemos scr ls siguietes coclusioes: L ució se h desplzdo b uiddes hci rrib o bjo, o modiicdo su orm. L orded l orige es el puto ( 0 ;b) L sítot es l ució y b. El domiio es el cojuto de los úmeros reles y l imge so los úmeros reles myores b Im ( ) R> b. Hcer ls cosidercioes pr los distitos vlores de k. Trslció horizotl, es u trslció horizotl de l u- ( c) L ució epoecil de l orm ( ) ció geéric g ( ). ( ) Pr ello gricremos ls siguietes ucioes epoeciles: ( ) + ( ) ; ( ) y su ució geéric g( ). t, Pr simpliicr el gráico, modiicremos, solmete, los vlores de ls bsciss pr obteer el mismo vlor de l ució ( ) ( ) ( ) + g ( ) t ( ) 6

9 0 0 6 Si gricmos ests ucioes epoeciles, obteemos: Fució epoecil y rítmic ( ) ( ) + t ( ) ( ) Ahor, lizdo los gráicos, podemos scr ls siguietes coclusioes: L ució se h desplzdo c uiddes hci l derech o izquierd, e sigo cotrrio l vlor de c, o modiicdo su orm. L sítot es l ució y 0, por lo tto o tiee ríces. El domiio es el cojuto de los úmeros reles y l imge so los úmeros reles myores 0, Im ( ) R> 0. Ejercicio. Hcer ls cosidercioes pr los distitos vlores de k.. Cómo serí u ució epoecil co dos desplzmietos, uo horizotl y el otro verticl? Ecucioes epoeciles U ecució e l que l icógit prece e u epoete, se llm ecució epoecil. Pr eteder, observ el siguiete problem: Queremos verigur el tiempo que trd e duplicrse ls mebs e u cierto cultivo. Pr ello hcemos l siguiete eperieci: Colocmos cutro mebs e cultivo y, l cbo de tres dís justos, cotmos ls que hy: 6.. Nos pregutmos cuáts veces se h duplicdo. 9

10 Uidd Nª Si pltemos l epresió, teemos: 6. Dode es el úmero de prticioes que se produce cd dí. Como ves, est es u ecució epoecil y podrás resolverl si recuerds ls propieddes de ls potecis y de ls ríces, que se estudiro e ños teriores. Ahor vmos resumirls: p q p+ q p q p q.- ( ) 5.- p p ( ) p.- p b b 6.- p.- p q p q p U poteci cuyo epoete es u rcció de deomidor pr(por ejemplo ), o tiee setido pr vlores egtivos de l bse. Por eso, cudo se trbj co ucioes o ecucioes epoeciles, l bse será siempre u úmero positivo. Si volvemos l problem terior, pr resolverl, es coveiete epresr mbos miembros e potecis de bse dos 6. Por propiedd de producto de potecis de igul bse ( + ) Si plicmos propiedd cceltiv, l bse, teemos: + Hy muchs orms de ecucioes epoeciles, pero siempre que se pued, será coveiete epresr como poteci de l mism bse. Ahor resolveremos otro tipo de ecucioes epoeciles: p. Trbjdo co los epoetes se plte + 0

11 Fució epoecil y rítmic ± ±. + ( ) + + ( ) ( ) Epresmos todos los úmeros e potecis de Por propiedd del cociete de potecis de igul bse Trbjdo co los epoeciles se obtiees ( ) ( + ) + Aplicmos propiedd distributiv Ests ecucioes epoeciles o se puede resolver por el método descrito teriormete, por o poder descompoer los úmeros 00 y 0 e potecis de bse Ls resolveremos, cudo termiemos de ver los siguietes tems. Número e E mtemátics, úmero de gr importci, t sólo comprble l de π (pi), por su gr vriedd de pliccioes. El úmero e suele deiirse como el vlor que tom l epresió + cudo tiede hci iiito. Alguos vlores de est epresió pr determidos vlores de l se muestr e l tbl siguiete: Observdo l colum de l derech de l tbl terior, se puede ver que medid que crece el vlor de l epresió se proim, cd vez más, u vlor límite. Este vlor es,5... L iterpretció geométric o es t secill como el úmero π. Aprece e l ució epoecil e, es l úic ució cuyo icremeto es igul

12 Uidd Nª su propi mgitud, y es por tto l ució básic de ecucioes que describe crecimieto u otros tipos de cmbios. Ests ucioes prece e los problems de poblció, desitegrció, iterés bcrio, etc., como vemos e el siguiete cudro. Aplicció Crecimieto ilimitdo Ecució Gráic Ejemplos prácticos Crecimieto corto plzo de kt poblcioes. y c e c, k > 0 Iversioes de cpitl iterés cotiuo. Desitegrció rectiv. kt Circuitos y c e Eléctricos. c, k > 0 Absorció de luz. Decrecimieto epoecil Crecimieto limitdo kt ( e ) y c c, k > 0 Apredizje. Ritmo de vets. Puto de sturció Crecimieto ístico M y + c e c, k, M > 0 kt Crecimieto lrgo plzo de poblcioes. Vets de productos uevos.

13 Fució epoecil y rítmic E geometrí, el úmero e es u compoete ecesrio pr describir muchs curvs, como l cteri ( ) e + e, l supuest orm de u cuerd o cde suspedid por sus etremos, como vemos e los tedidos eléctricos. E el estudio de los úmeros imgirios, el úmero e prece e l ecució etrordiri i i π e. Logritmo E u rector ucler, se produce u recció e cde cotrold, como l descript e l situció iicil. Nos iteres sber e qué úmero de choque uero liberds cierts ctiddes de eutroes: ; 500; 59.09; 0.000;..90. Revis l tbl, correspodiete l órmul ( ), que relcio el úmero de choque co l ctidd de eutroes liberdos. : Nº de choque F() Ctidd de eutroes Como ves, los vlores del úmero de choque pr ; so 5 y 0 respectivmete. El úmero 500 o igur e l tbl, pero podemos decir que está compredido etre el quito y seto choque, se puede segurr que o es poteci eter de. Por lo tto, co igú úmero de choque se liber es ctidd. Los úmeros y..90 o igur e l tbl terior y so myores l décimo choque, por lo tto hbrí que cotiur l tbl. Nos pregutmos hor, como podemos despejr de u epresió k. Se podrí hcer si se coocier u ució ivers de g( ), como puedes ver e l siguiete igur.

14 Uidd Nª ( ) g ( ) Est uev ució, se llm ució rítmic de bse, y se epres sí: ( ) Ahor podemos decir que si k etoces, lo que sigiic que es l orded de l ució, cudo k es l bscis E geerl, ( ) es l ució ivers de g ( ) Vmos deiir ritmo: Logritmo de u úmero, respecto de u bse dd, es el epoete que hy que elevr l bse pr obteer el úmero E símbolo y y El úmero se deomi bse, y el úmero y se deomi rgumeto del ritmo. Ejemplos: Propieddes de los ritmos. De dos úmeros reles distitos tiee myor ritmo el myor de esos úmeros, co respecto l mism bse m> m> 6> 6>

15 Fució epoecil y rítmic. Todo úmero rel o positivo o tiee ritmo e el cojuto de los úmeros reles m< 0 m. El ritmo, e culquier bse, de es igul cero 0 0. Pr tod bse, el ritmo de l bse es igul 5. El ritmo de u poteci de l bse es el epoete de dich poteci 6. El ritmo de u producto de dos o más ctores, respecto de culquier bse, es igul l sum de los ritmos de esos ctores, respecto de l mism bse. ( y) + y Demostrció: Supogmos que m m Pero por deiició m Reemplzdo y y y y y m m m+ y m+ ( y) ( ) ( y) m+ ( y) y +. El ritmo de u cociete etre úmeros reles positivos, respecto culquier bse, es igul l diereci etre el ritmo del dividedo y el ritmo divisor, respecto de l mism bse. - y y Demostrció: Supogmos que m m y y Si multiplicmos Aplicmos ritmo e bse e mbos miembros Por propiedd 5 5

16 Uidd Nª y y y m m m y m y Pero por deiició m Reemplzdo y y m ( ) - y Si dividimos Aplicmos ritmo e bse e mbos miembros Por propiedd 5. El ritmo de tod poteci de u úmero rel positivo es igul l epoete por el ritmo de l bse de dich poteci. ( ) Demostrció Supoemos que m Elevmos l Etoces poteci m m ( ) m m ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) Aplicmos ritmo de bse Por propiedd 5 Por deiició de m 9. El ritmo de l ríz eésim de u úmero rel positivo es igul l cociete etre el ritmo del rdicdo y el ídice de l ríz ( ) ( ) Demostrció Sbemos que 6

17 Etoces Por propiedd 9 Ejemplo: ( ) Sbiedo que 0, Clculr, 6 Clculr ( 0, ) 06 Logritmos decimles y turles Fució epoecil y rítmic ( ) ( ) 6, ,6, ( 0,06) ( 0,06) 0, ( 6 000) 6 ( 0 ) ( 6 0) ( 6 9,966) L órmul ( ), co domiio e imge l cojuto de los úmeros reles, deie, pr cd vlor de, u ució. Se epres, tmbié, que es órmul, pr cd vlor de deie u sistem de ritmo. De todos esos sistems os iteres, e prticulr, el de los ritmos de bse 0, deiido por l órmul: ( ) 0 o más simplemete: ( )

18 Uidd Nª El sistem recibe el ombre de sistem de ritmo decimles, vulgres o de Briggs. Este sistem tiee l prticulridd que: Si queremos clculr el ritmo de 00, como este úmero está compredido etre 00 y 000, deducimos que su ritmo está etre y. Por lo tto, 00 es u úmero deciml co su prte eter y u prte deciml que o coocemos y o podemos clculrl hor. Más delte veremos que: 00, L prte eter del ritmo recibe el ombre de crcterístic y l prte deciml se distigue co el ombre de mtis. L crcterístic tiee l prticulridd de que es u úmero igul l ctidd de cirs eters meos pr los ritmos de úmeros myores que. Que sucede hor co u umero positivo meor que 0, , , Y l crcterístic del ritmo positivo, meor que l uidd, tiee u úmero de uiddes egtivs igul l úmero que epres el lugr que ocup l primer cir sigiictiv del úmero después de l com deciml. Pr l determició de l mtis podemos usr l clculdor cietíic o tbls relizds. Además podemos decir que l mtis del ritmo de u úmero es l mism mtis del ritmo del úmero que se obtiee l multiplicr o dividir l primer úmero por u poteci de 0, de epoete turl. Ejemplo mtis mtis ( A) mtis ( ( A 0) ) mtis ( ( :0)) ( 0) mtis ( 00) mtis ( ( ) ) 00 Mtemático iglés Hery Briggs, que compiló l primer tbl de ritmos comues (los de bse 0)

19 Fució epoecil y rítmic Otros ritmos que se utiliz co much recueci so los ritmos turles( l ), o eperios 5, cuy bse es el úmero e, visto teriormete. Cmbio de bse Como sbemos, los ritmos decimles y turles se puede clculr por clculdor cietíic. Podremos clculr el ritmo de culquier bse por medi de est? Pr respoder est pregut, lizremos ls siguietes relcioes: m m Si plicmos ritmo de otr bse, obteemos m Despejdo m: b ( ) m b b m El ritmo de u úmero e el uevo sistem es igul l recíproco del ritmo de l uev bse, multiplicdo por el ritmo del úmero, tomdos estos dos ritmos del sistem primitivo. Ejemplo: Fucioes rítmics b b b 0,00 9,965 Llmmos ució rítmic tod ució cuy epresió se de l orm: ( ) ( > 0; R; ) Amplido más el cocepto podemos decir que: U ució es rítmic si se epres de l orm ( ) k. Siedo u úmero rel distito de y k u úmero rel distito de cero( k 0). k se deomi coeiciete de l ució rítmic proviee de que l vrible igur e el epoete. Alizremos hor l ució ( ) Pr ello gricremos l siguiete ució: ( ) 5 Es e homeje l mtemático escocés Joh Npier, l que se tribuye l creció del cocepto de ritmo. 9

20 Uidd Nª ( ) El domiio turl de l ució rítmic es el cojuto de los úmeros Reles positivos( dom R ). Mietrs que l imge so los reles( Im R), siedo el eje de ls ordeds u + sítot verticl. L ució es creciete y ps por el puto(,0), que es l bscis l orige. Al teer sítot e el eje de ls ordeds, l ució o tiee orded l orige. Qué psrá hor co l ució ( ) o ( ) ( ) 0

21 Fució epoecil y rítmic Es decir 0 < < ( ) Como puedes observr, l ució hor es decreciete, pero mteiédose ls misms crcterístics del domiio, imge, ríz y sítot verticl. Es decir que mbs so simétrics co respecto l eje de ls bsciss. y Alizremos el comportmieto de ls ucioes ( ), g( ) t( ), es decir co > ( ) ( ) g t ( ) Si lo gricmos, obteemos:

22 Uidd Nª ( ) t ( ) ( ) g Los gráicos de ls ucioes de l orm ( ), co > tiee crcterístics comues: Ls curvs tiee l mism ríz y es el puto ( ; 0). Ls curvs so crecietes, y crece tto más rápido cuto myor se l bse. El domiio debe tomr vlores positivos, es decir Dom R> 0 L curv o cort l eje de ls ordeds, ose que tiee l mism sítot y est es 0 Que cosidersioes podemos hcer si l bse est compredid etre 0 y, es decir 0 < <. Veremos los gráicos, que represet ls siguietes ucioes rítmics: ( ), g( ) y m( ) Como podrás ver los gráicos de ls ucioes de l orm ( ), co 0 < < tiee crcterístics comues: Ls curvs tiee l mism ríz y es el puto (; 0). Ls curvs so decrecietes, y decrece tto más rápido cuto meor se l bse. El domiio debe tomr vlores positivos, es decir Dom R> 0 L curv o cort l eje de ls ordeds, ose que tiee l mism sítot y est es 0

23 Fució epoecil y rítmic g ( ) ( ) Gráico de ucioes de l orm ( ) k co > y k > 0 Estudiremos que ilueci tiee el coeiciete de l ució rítmic (k), e l ució ( ) g, co k igul 5; ;. m ( ) Pr ello hremos l siguiete tbl. ( ) ( ) ( ) g

24 Uidd Nª Gricdo, obteemos ( ) ( ) g ( ) Si lizmos este gráico, veremos que 0, o se es l orded l orige Ls curvs so decrecietes, y decrece segú el vlor de k El domiio es el cojuto de los úmeros reles positivos, es decir, Dom ( ) R> 0. Ls curvs o cort l eje de ls ordeds, por lo tto o tiee orded l orige Ls curvs tiee l mism ríz y es el ( ;) Trslcioes de ls ucioes rítmics Trslció verticl L ució epoecil de l orm ( ) + b ució geéric g( )., es u trslció verticl de l Pr ello gricremos ls siguietes ucioes epoeciles: ( ) + ( ), y su ució geéric ( ). X ( ) ( ) ( ) ;

25 Fució epoecil y rítmic Si gricmos ests ucioes epoeciles, obteemos: ( ) + ( ) ( ) t Comprdo los gráicos, podemos scr ls siguietes coclusioes: L ució se h desplzdo b uiddes hci rrib o bjo, o modiicdo su orm. L sítot es l ució 0. El domiio es el cojuto de los úmeros reles positivos, Dom ( ) R> 0. Cmbi el vlor de l ríz. Trslció horizotl L ució epoecil de l orm ( ) ( c) ució geéric g( ). Pr ello gricremos ls siguietes ucioes epoeciles: ( ) ( ) ( ) ( ), y su ució geéric ( )., es u trslció horizotl de l ; + Pr simpliicr el gráico, modiicremos, solmete, los vlores de ls bsciss pr obteer el mismo vlor de l ució ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26 Uidd Nª Si gricmos ests ucioes epoeciles, obteemos: ( ) ( ) + ( ) t ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) sítots Ahor, lizdo los gráicos, podemos scr ls siguietes coclusioes: L ució se h desplzdo c uiddes hci l derech o izquierd, e sigo cotrrio l vlor de c, o modiicdo su orm. L sítot es l ució c, por lo tto o tiee ríces. El domiio es el cojuto de los úmeros reles myores c, Dom R> y l imge so los úmeros reles, Im ( ) R. ( ) c Ejercicios. Cómo serí u ució rítmic co dos desplzmietos, uo horizotl y el otro verticl? Ecucioes rítmics U ecució e l que l icógit es el rgumeto o l bse de u ritmo, se llm ecució rítmic. 6

27 Fució epoecil y rítmic Pr resolverls, tedremos presete que: Pr despejr u icógit coteid e el rgumeto, se plic l deiició de ritmo. Siempre que se posible, coviee grupr los ritmos e uo solo, pr lo cul se plic ls propieddes. Solo eiste ritmos de úmeros positivos, por lo cul se descrt como solucioes los vlores que o veriique l ecució origil. Resolveremos hor ls siguietes ecucioes:. ( + ) + + Aplicmos l deiició de ritmo Despejmos Por propiedd de l multiplicció. ( + ) + ( + ) ( + ) ± ± 9 ±. ( ) + Aplicmos l deiició de ritmo Aplicmos propiedd distributiv co respecto l sum Resuelvo l ecució de segudo grdo Descrtmos, porqué o eiste u ritmo de u úmero egtivo, por lo tto l solució es.. ( + ) ( + ) Por propiedd de l divisió Aplicmos l deiició

28 Uidd Nª ( + ) Despejmos ( + ) ( + ) Como e u ució rítmic dos vlores distitos del domiio siempre tiee imágees distits, e l ecució, los ritmos de igul bse sólo puede ser igules si los rgumetos so igules, por lo tto: ( ) Despejmos Aplicmos el cmbio de bse l ritmo que teemos e bse 9, pr psrlo bse : Reemplzmos y resolvemos Despejmos Aplicmos ls propieddes de l poteci y l multiplicció Aplicmos l deiició

29 9 Apliccioes de l ució rítmic Sustcis rdictivs Fució epoecil y rítmic Rciolizmos el deomidor Despejmos L reducció de l ms por l desitegrció rdictiv de cierts sustcis, como el crboo-, se describe medite ucioes epoeciles. Co l yud de los ritmos, hor podemos resolver l ecució, que sirve pr verigur l edd de u ósil, y que l ució represettiv es M M o t 0, 66, dode M (e grmos) es l ctidd de crboo- que qued, M o es l ms iicil y t es el tiempo trscurrido, epresdo e miles de ños. Por ejemplo: Se h ecotrdo u ósil co 00 grmos de crboo- y coteí 00 grmos del mismo cudo estb vivo, clculr l edd proimd del ósil? Si pltemos l ecució t M 0, 66 M o ,66 00 t 0,66 00 t ( 0,66 ) t 0,66 t 0,66 t,5 Aplicmos ls propieddes de l divisió y rdicció Si redodemos el vlor de t, podemos decir t ños. Este vlor se deomi período de desitegrció, que es el tiempo que trdó l ms iicil del crboo- e reducirse l mitd. t 9

30 Uidd Nª Itesidd sísmic L escl de Richter, utilizd pr medir l itesidd de los terremotos, es u escl rítmic de bse 0. L mgitud de u terremoto e es escl está dd por l órmul: M p Dode M es el grdo e l escl Richter y p es l poteci, qué idic cuáts veces myor ue l mplitud de l od sísmic del terremoto e comprció co u od de reereci correspodiete l situció orml. Por ejemplo, si u terremoto ue myor que otro co u diereci de grdos e l escl Richter, sigiic que su itesidd ue 0 veces myor. El ctor ph y cidez de ls solucioes L cocetrció de ioes de hidrógeo e u solució determi su grdo de cidez. Como se trt de ctiddes muy pequeñs, se ivetó u escl rítmic que cilit su mejo. L órmul que relcio el ph de u solució co l cocetrció de ioes de hidrógeo es l siguiete: Dode + H ph + H represet los moles de ioes de hidrógeo por litro. El gu tiee ph y se l cosider como eutr. Si el ctor es myor que, se dice que l solució es básic, sio será ácid, si el ctor es meor que este. 0

31 Fució epoecil y rítmic Sítesis Fució epoecil So ucioes de l orm y k co k 0 ; > 0; ; k R, ijos. Gráicos Si > es creciete Si < es decreciete y k > Domiio: R Asítot horizotl: y 0(eje y) Si ls bse so recíprocs, ls ucioes so simétrics co respecto l eje de ls ordeds. ( ) k g( ) k > Si los coeicietes so opuestos, ls ucioes so simétrics co respecto l eje de ls bsciss. > g ( ) ( ) k k

32 Uidd Nª Fució Logrítmic So ucioes de l orm y co > 0 ; b> 0; b ; b R, ijos. Gráicos Si > es creciete Si < es decreciete > ( ) g < ( ) Domiio: R +, ( R > 0) Asítot verticl: 0 (eje ) Si ls bse so recíprocs, ls ucioes so simétrics co respecto l eje de ls bsciss. g ( ) ( > ) ( ) ( ) > Desplzmieto horizotl: y ( b) Domiio: { / R > b} Asítot verticl: b b> ; > ( ) ( b) b< ; > g ( ) ( b)

33 Logritmos c Deiició: c ; ( > 0 ; ; > 0) Propieddes:. 0.. ( y) + y. y y 5. Fució epoecil y rítmic 6. b Cmbio de bse: b Logritmo deciml: so los de bse 0. Geerlmete, l bse o se escribe, es decir: 0 Logritmo deciml: so los de bse e, que es u úmero irrciol. Se los escribe co L, es decir: L e,... Ecucioes Epoeciles So quells e ls que l icógit igur e l meos u epoete. E muchos csos result coveiete epresr mbos miembros como potecis de u mism bse. Pr despejr icógits que prece e el epoete, es útil usr ritmos. Hy que teer e cuet que culquier ritmo puede obteerse co u clculdor cietíic. Ecucioes Logrítmics So ls que tiee l icógit e el rgumeto del ritmo. Pr despejr u icógit coteid e el rgumeto, se plic l deiició de ritmo. E muchos csos result coveiete grupr los ritmos e uo solo, pr lo cul se plic ls propieddes. Sólo eiste ritmos de úmeros positivos, por lo tto debe descrtrse como solucioes los vlores que o pued ser veriicdos e l ecució origil. e

Integral Definida. Aplicaciones

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