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1 Este documeto es de distribució grtuit y lleg grcis Cieci Mtemátic El myor portl de recursos eductivos tu servicio!

2 Los poliomios de Beroulli y sus pliccioes Pblo De Nápoli versió 0.. Los poliomios de Beroulli Deició. Los poliomios de Beroulli B (x) se dee como los coecietesde l fució geertriz ze zx e z = B (x) z ( z < π)! Es u fució eter (tiee u sigulridd evitble e z = 0), por lo que est serie de potecis coverge e todo el plo complejo. Se llm úmeros de Beroulli los úmeros B = B (0). El siguiete teorem prueb que ls fucioes B (x) so efectivmete poliomios, y que está determidos por los úmeros de Beroulli: Teorem. Se cumple que: B (x) = ( ) B x Prueb: Teemos que: ( B (x) z = z ) ( B z! e z exz =! y efectudo el producto de Cuchy, ecotrmos que: ( ) B x = z! ( )! ) x! z Etoces, por l uicidd del desrrollo e serie de potecis, obteemos que: B (x) =! B! x ( )! = ( ) B x

3 U regl pr recordr este teorem es: B (x) = (B + ) dode ls potecis B que prece l desrrollr el biomio, debe etederse como los úmeros de Beroulli. Teorem. Pr todo se cumple que: db + (x) dx Prueb: Por el teorem terior, E cosecueci, = ( + )B (x) + ( ) + B + (x) = B x + db + (x) dx = = ( + ) ( + )!!( + )! B ( + )x ( ) B x = ( + )B (x) Teorem.3 Pr todo 0 se cumple:. B (x + ) B (x) = x. E prticulr, pr, teemos que: B (0) = B ().. Como cosecueci: 3. Esto su vez implic que: x = B +(x + ) B (x) + m = = Prueb: Teemos que: m+ = x+ x B (t)dt B (x) dx = B +(m + ) B + + e z z ezx e z = z ezx e z e xz e z z ez(x+) = z ezx (e z ) e z = ze zx

4 Desrrolldo mbos e serie l primer y l últim de ests expresioes teemos: e z z ezx e z = z ez(x+) B (x + ) B (x) z, ze zx =! x! z Utilizdo l uicidd del desrrollo e serie de potecis se obtiee el resultdo. Teiedo e cuet que B = B (0) = B () el teorem. os proporcio l siguiete relció recursiv que permite clculr los úmeros de Beroulli: Teorem.4 Pr, se cumple que: B = ( ) B Podemos expresr est fórmul simbólicmete como B = (B + ). Los primeros úmeros de Beroulli so B 0 =, B =, B = 6, B 3 = 0, B 4 = 30 B 5 = 0, B 6 = 4, B 7 = 0, B 8 = 30, B 9 = 0,... Los umerdores y deomidores de los úmeros de Beroulli crece muy rápidmete por ejemplo B 30 = , B 40 = Teorem.5 Si es impr y 3, etoces B = 0 Prueb: Cosidermos f(z) = z e z + z = Notmos que f es pr luego f(z) f( z) = z e z + z z e z + z ( = z + + ez + e z ) e z e z = 0 = B! Por lo tto, B = 0 pr culquier impr co. Los primeros poliomios de Beroulli so: B 0 (x) = Clculdos e SAGE co el comdo beroulli Clculdos e SAGE co el comdo beroulli_polyomil 3

5 B (x) = x B (x) = x x + 6 B 3 (x) = x 3 3x + x B 4 (x) = x 4 x 3 + x 30 B 5 (x) = x 5 5x4 + 5x3 3 x 6. Fórmul de Euler-Mcluri Los poliomios de Beroulli so útiles pr deducir u form mejord de l fórmul de sumció de Euler. Pogmos B (x) = B (x [x]). Ls fucioes B se deomi fucioes de Beroulli. Teorem. (Fórmul de Euler-Mcluri) Supogmos que C + [, b] co, b Z. Etoces < b f() = f(x)dx + r=0 ( ) r+ (r + )! (f (r) (b) f (r) ()B r+ + R dode R = ( ) ( + )! B + (t)f (+) (t) dt Prueb: Como e el cso de l fórmul de sumció de Euler, l ide básic es itegrr por prtes. Pr Z teemos que: + f(t) dt = + f(t)b (t)dt = f( + )B (( + ) ) f()b ( + ) + f(t)b (t)dt dode otmos que, omo B (t) es discotiu e los eteros, l itegrr por prtes prece los límites lterles: B (( + ) ) =, B ( ) = Sumdo pr =, +,..., b se tiee que: f(t) dt = b = f() + f( + ) f (t)b (t) dt 4

6 E cosecueci: < b f() = f(t) dt + f (t)b (t)dt f(b) f() () que es el cso = 0 del teorem, y que B =. Si f es de clse C, como B (t) = B (t) e el itervlo (, + ) podemos volver itegrr por prtes: + f (t)b (t) dt = + f (t) B (t) dt = f (+) f () + B (t)f(t) dt (Ahor o teemos que preocupros por los límites lterles pues como B (0) = B () si, etoces B (t) es cotiu pr ). Ddo que B (0) = B (0) = B, sumdo pr =, +,..., b obteemos que: f (t)b (t) dt = (f (b) f ())B y reemplzdo este resultdo e (), deducimos que: < b f() = f(t) dt f (t)b (t) dt f (t)b (t) dt {(f(b) f())b + (f (b) f ())B } Est es l fórmul del eucido pr =. Itegrdo por prtes sucesivs veces prtir de l relció B (t) = B (t) e el itervlo (, + ), podemos probr l fórmul del eeucido por iducció e. Ejemplo: Mejoremos el resultdo sobre ls sums prciles de l serie rmóic. Tomdo f(t) = t, =, b = x, = teemos que: = log x + ( ) + ( ) x x x 3 B 3 (t) t 4 dt x de modo que: x = log x + x B 3 (t) t 4 dt + x x Como γ = lím x log x x 5

7 hciedo que x +, teemos que: γ = B 3 (t) t 4 dt dode l itegrl coverge pues l ser B 3 (t) cotd, podemos comprrl co dt. Por el mismo motivo: t 4 x x B 3 (t) t 4 ( ) dt = O x 3 co lo que result que: = log x + γ + x + ( ) x + O x 3 Otro ejemplo: Si z C y rg(z) < π δ dode δ > 0, se tiee que log(z + j) = j=0 ( z + + ) ( log(z + ) z ) B (x) log z + 0 z + x 3. Los vlores de l fució zet e los eteros pres El siguiete teorem relcio los vlores de l fució zet e los eteros co los úmeros de Beroulli. Teorem 3. ζ() = ( )(/)+ (π) B! pr pr, Por ejemplo ζ() = π π4 6, ζ(4) = 90, etc. E prticulr, como ζ() > 0, esto dice que los sigos de los B co pr se lter. Dremos dos pruebs de este teorem: u utilizdo álisis complejo, y otr utilizdo series de Fourier. 3.. Prueb utilizdo álisis complejo Cosidermos l fució f(z) = π cot(πz) = π cos(πz) se(πz) 6

8 tiee polos simples e los eteros, co residuo. Cosidermos el cotoro C N e el plo complejo que cosiste e el borde del cudrdo de vértices (N + /)(± ± i) (orietdo positivmete). Por lo tto g(z) = z f(z) tiee polos simples e los eteros z = co 0, co residuo / Etoces por el teorem de los residuos Ddo que es pr, π g(z) dz = C N N = N, 0 N = N, 0 + Res(g(z), z = 0) N = Por otr prte, es fácil ver 3 que l fució f(z) es uiformemete cotd sobre el cotoro C N : f(z) A z C N (co A idepediete de N). E cosecueci, utilizdo l estimció usul: g(z) dz A C N (N + /) log(c A N) = 4(N + ) 0 (N + /) cudo to +, y se obtiee que: = = = Res(g(z), z = 0) Nos qued pues, clculr este residuo: pr ello observmos que utilizdo ls fórmuls de Euler: cot(πz) = cos(πz) se(πz) = i eπiz + e πiz e πiz = i coth(πiz) e πiz Por otr prte, teemos que: coth(z/) = ez/ + e z/ e z/ e = e z/ (e z + ) z/ e z/ (e z ) = z ( = z B ()! z + 3 ver por ejemplo [Spiegel], cpítulo 7, problem 4 ) B (0) z! ( ze z e z z ) e z 7

9 Pero como B () = B (0) = B slvo si =, y B = 0 si 3 es impr, deducimos que: B choth(z/) = ()! z E cosecueci obteemos el siguiete desrrollo de Luret, g(z) = π cot(πz) z = πi z B ()! (πiz) = y e prticulr mirdo el térmio co = : ( ) π B z ()! y por lo tto si es pr. Res(g, z = 0) = ( ) / π B! ζ() = = = ( )/+ (π) B! 3.. Prueb medite series de Fourier Como ls fucioes B (x) so períodics de período dmite u desrrollo de Fourier. A prtir del derrollo de Fourier B (x) = ( se(πx) + se(4πx) se(6πx) ) +... π 3 3 y se obtiee por itegrcioes sucesivs que: (/)+ (!) B (x) = ( ) (π) (+)/ (!) B (x) = ( ) (π) = = cos(πx) se(πx) pr pr pr impr E prticulr evludo el primero de estos desrollos e x = 0, obteemos l fórmul del teorem. Referecis [Court-Joh] R. Court. F. Joh. Itroducció l cálculo y l álisis mtemático. Ed. Limus. (985). Volume, Cpítulo 8 (series trigoométrics). [Apostol] T. Apostol, Itroducció l Teorí Alític de Números. Ed. Reverté (980). 8

10 [Ivorr] C. Ivorr. Teorí de Números. Dispoible e ivorr/libros/numeros.pdf [Rm Murty] M. Rm Murty. Problems i lytic umber theory. Grdute texts i mthemtics ; 06. Berli: Spriger, 00. [Spiegel] M. Spiegel. Vrible Complej (serie Schum). Mc. Grw-Hill, 99. 9