Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2.

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1 Biomio de Newto Teorem del biomio de Newto Teorem: Se, b dos úmeros reles o ulos, y se N u úmero turl. Etoces: b b b b b b L expresió l derech se deomi el desrrollo biomil de b. Observmos que este desrrollo tiee térmios. Deotmos por T b,,,,, l -ésimo térmio del desrrollo biomil. Al coeficiete lo llmmos el -ésimo coeficiete biomil de b. Comprobemos este teorem pr,, y 4. : Es clro que b b. Por otr prte: b b b. : Sbemos que: b b b. Por otr prte: b b b b b.

2 : Sbemos que: b b b. Por otr prte: b b b b b b b. 4 : Sbemos que: b b 6 b 4b b 4. Por otr prte: b b 4 b 4 b 4 b b 6 b 4b b 4. Co esto hemos comprobdo el teorem pr,,, 4. U demostrció del teorem del biomio se puede hcer por iducció. Los coeficietes biomiles y triágulo de Pscl Los coeficietes biomiles los podemos distribuir de l siguiete form: b b b b 4 Si reemplzmos estos coeficietos biomiles por sus respectivos vlores obteemos el llmdo Triágulo de Pscl: b b b b 4

3 Observmos que cd coeficiete e el triágulo de Pscl es l sum de los dos que tiee imeditmete ecim. Esto correspode l siguiete propiedd y coocid de los coeficietes biomiles: Ejercicios sobre fctoriles. Si >, demuestre que!!,,,,.. Si, demuestre que!!!. Si >, demuestre que!!! 4. Determie todos los N pr los cules!! 5. Determie todos los pres de eteros positivos m y de mer que m! m!! 6. Resuelv l ecució pr etero positivo! 9! 7. Dig si so verdders o flss ls siguietes firmcioes. Demuestre o de u cotrejemplo si es el cso.!! m!;!!; y m! m!! 4 Ejercicios sobre coeficietes biomiles. Ls siguietes so propieddes de los coeficietes biomiles que debe etederse coceptulmete. ; ; ; ;. Si, etoces. Este ejercicio, juto co demostrrse, debe etederse coceptulmete. m m m

4 4. m m m 5. Determir úmeros turles y b de modo que 6 b N. 6. Escrib [ 6 como poliomio e, utilice el hecho que es siempre u úmero r turl, y pruebe que 5 es múltiplo de 6 pr todo N. 7. Demuestre por iducció mtemátic que pr culquier s N: ] i s i i 5 Biomio de Newto s s. Determie el coeficiete del térmio idepediete de x e el desrrollo biomil de x x 6.. Dd l poteci y 4 y 4, ecuetre los térmios de l expsió biomil e los cules los expoetes de y se úmeros turles.. Determie u relció etre y de modo que e el desrrollo de prezc dos térmios cosecutivos igules. 4. Pruebe que m m N pr todos m, N. 5. Pruebe que j j pr todo N. 6. Clcule j j j. 7. Determie l sum de todos los coeficietes del poliomio respecto de x que result de l expsió biomil de x Usdo el triágulo de Pscl ecuetre el desrrollo biomil de xy 7. x 9. Ecuetr el coeficiete de x e el desrrollo biomil de y y. x. Ecuetr el térmio cetrl de e el desrrollo biomil de b 4. 4

5 6 Triomio de Newto. Geerlizdo.. Si es u úmero turl, y,, so úmeros eteros tles que i, i,, y, defimos,,!!!!. L siguiete fórmul Teorem del triomio geerliz el Teorem de biomio. b c b c,, Por ejemplo, pr est fórmul se escribe: b c,, b c,, b,, c,,......,, b,, c b,, b,, c c,, bc,, bc,, Pruebe est fórmul pr, y.. Usdo l fórmul del triomio, clcule x x 4 ; b b ;. Desrrolle l poteci b b co el desrrollo del triomio. Luego desrrolle b 4 por teorem del biomio, y compre coeficietes. Qué puede cocluir? 4. E cso de existir, obteg el coeficiete de x 7 e el desrrollo triomil de x x x 8 5. Obteg el coeficiete de x 8 e el desrrollo de x x 9. 7 Combitori. Repsdo.. De cuáts forms puede extrer elemetos del cojuto A {, b, c, d, e}? Escrib todos estos tríos. Observe que estos so todos los subcojutos de elemetos de A. 5

6 Cuátos subcojutos tiee A? Pruebe que A tiee ttos subcojutos de elemetos, como subcojutos de elemetos.. Cosidere el cojuto A del ejercicio terior. Cuáts -tupls ordeds se puede costruir co los elemetos del cojuto A? Escríbls tods. Cuáts -tupls ordeds se puede costruir co los elemetos del cojuto A? Escríbls tods. Alici tiee 5 cmiss, dos de ells ls evirá l lvdo, y ls otrs ls podrá u ecim de l otr e su rmrio. Cuáts so ls posibiliddes e que podremos ecotrr ordeds ls cmiss que quedro pr gurdr? 6

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