LISTA TEMÁTICA PARA EL ORAL (ALUMNOS LIBRES Y REGLAMENTADOS)

Transcripción

1 LISTA TEMÁTICA PARA EL ORAL (ALUMNOS LIBRES Y REGLAMENTADOS) ATENCIÓN Se eser que el estudite, o solo coozc ls defiicioes y teorems que rece e est list, sio que se cz de resoder stisfctorimete culquier regut ivolucrd co dichs defiicioes y teorems, y se recurriedo otrs defiicioes y teorems (los cules deerá coocer), riddo ejemlos o resolviedo ejercicios de licció. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Def. de roducto crtesio. Def. de relció. Def. de relció de equivleci. Def. de clse de equivleci. Se u cojuto A (o vcío), u relció R de equivleci defiid e A, y, A, se cumle que: R [] []. Def. de cojuto cociete. Def. de rtició. Ddo u cojuto A (o vcío) y u relció R de equivleci defiid e A, se cumle que A es u rtició de A. R (si demostrció) Se u rtició de A. Defiimos l relció R e A de modo que dos elemetos de A está relciodos si, y solo si, erteece l mismo elemeto de l rtició. Etoces, dich relció es de equivleci y el cojuto cociete que est relció R determi es l rtició. Def. de fució. Clsificció de fucioes: fució iyectiv, soreyectiv y iyectiv. Def. de fució ivers. (si demostrció) f : A B es u fució iyectiv f -1 : B A es u fució y es iyectiv.

2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Def. de oerció iri. Proieddes de ls oercioes iris. Suestructur. Trsmisió de roieddes de l estructur mdre l suestructur. Def. de gruo, illo, domiio de itegridd y cuero. Proieddes que se cumle e u estructur de gruo: Se cosider el gruo (G, ). 1) cumle co l roiedd cceltiv: es cceltiv,, c G, ( c c) ( c c) 2) G, ( ')' 3), G, ( )' ' ' 4) e, siedo e el elemeto eutro r NÚMERO REAL Axiom de cuero y de orde. Def. de meor, myor, meor o igul y myor o igul. (Mootoís de l dició y de l multilicció comtiilidd co ls oercioes.) 1) c c Mootoí de l dició 2) c d Mootoí geerlizd de l dició c d 3). c. c c Mootoí de l multilicció 4). c. c c Mootoí de l multilicció Def. de vlor soluto. 1) 2 2 2, x x x x 2) x x y y x y 2

3 3) x. y x. y, x, y 4) x x x, x Def. de cojuto iductivo. Def. del Cojuto de los Número Nturles (). : es iductivo. de Iducció Comlet. : L sum de turles es u úmero turl:,. :,0 1. Def. de cojuto cotdo suerior e iferiormete, y de cojuto cotdo. Def. de máximo y míimo de u cojuto de reles. : Priciio de ue ordeció. Def. del Cojuto de los Números Eteros (). :,.. Def. del Cojuto de los Números Rcioles (). Def. de extremo suerior e iferior. Axiom de comletitud o del extremo suerior. 2 (H) Cosideremos el cojuto A x x (T) 1) extr( A), l cul llmremos L 2) L 2 2 Def. del Cojuto de los Número Irrcioles. / 2. : Todo cojuto de reles o vcío y cotdo iferiormete tiee extremo iferior. : El cojuto de los úmeros turles o está cotdo sueriormete. de Arquímedes. 3

4 Proieddes () Si x y, etoces: (i) x y (ii) x y () Si x y, etoces: (i) xy. (ii) x y : Desidd de e (H),, (T) c / c Def. de oteci de se rel y exoete turl : Desiguldd de Beroulli (solo demostrció de l roiedd 3)) Cosideremos y m,. E codicioes de existeci se cumle: Si 1 1) 1, 2) Si m 3) k, / k * m Si 0 1 4) 1, 5) Si m 6), / * m Def. de oteci de se rel y exoete etero (solo demostrció de l roiedd 1)) Cosideremos, y, q. E codicioes de existeci se cumle: q q 1). q 2) q 3). (. ) 4) 5) q ( ). q 4

5 (solo demostrció de l roiedd 2)) Cosideremos y, q. E codicioes de existeci se cumle: Si 1 x 1) 1, x 2) q Si 0 1 x 5) 1, x 6) q Def. de ríz -ésim de u rel q q Def. de oteci de se rel y exoete rciol (H) Cosideremos,, 1 y A r / r r (T) extr( A) Def. de oteci de se rel y exoete rel Def. de logritmo (solo demostrció de l roiedd 2)) Cosideremos,, ', ', co 1 y ' 1. Se cumle que: 1) log ' ' ' ' log ' log ' 2) log log log 3) log log log 4).log log ( ) 5) log ( cmio de se ) (solo demostrció de l roiedd 1) i)) Cosideremos,. Si 1 : 1) i) log 0 1 ii) log 0 1 2) ' log log ' 5

6 Si 0 1 5) i) log 0 1 ii) log 0 1 6) ' log log ' DIVISIBILIDAD EN N Def. de divisor y múltilo. Def. de divisió exct. Ddos dos úmeros turles y, co 0, existe dos úmeros turles c y r, y so úicos, que verific: 1) c r y 2) r. Def. de divisió eter. Def. de máximo comú divisor. d( ) d( ) d( ) d( r) r q Corolrio MCD(, ) MCD(, r) r q Algoritmo de Euclides. MCD(, ) D i) D D ii) Si x x x D Def. de úmeros rimos etre sí. de Euclides. Def. de míimo comú múltilo. Cosideremos dos turles y o ulos. 6

7 m mcm(, ) i) m m ii) x, x x x m mcm(, ) MCD(, ) co, Def. de úmero rimo y comuesto. : El cojuto de los úmeros rimos o tiee máximo. de Euclides r rimos. COMPLEJOS Def. de l estructur(,., ) Notció crtesi, iómic, trigoométric y olr. :. ' '. ' ' Def. de oteci de se comlej y exoete etero., H) m T) m m m Def. del cojugdo de u comlejo. Se f :, f ( x ) x x... x, co,,...,, y. Si f( ) 0 f( ) 0. : Ddos z,, 2, w, w z. Def. de ríz -ésim de u comlejo. : todo comlejo distito de cero dmite y solmete ríces -ésims distits. 7

8 POLINOMIOS Def. de oliomio. Poliomio costte y ulo. Def. de fució oliómic. Fució oliómic costte y ul. Def. de grdo de u oliomio. Def. de idetidd de oliomios. : iguldd de fucioes oliómics. Def. de oliomio sum. Def. de oliomio roducto. Coocimieto de l estructur Def. de fució oliómic sum. X,,. Def. de fució oliómic roducto. Coocimieto de l estructur P,, Defiició de cociete y resto de l divisió eter de oliomios Def. de ríz de u oliomio. A, B X, B O A B (H) (T) A( ) R( ) R C es ríz de B Corolrio A, B X, B O (H) A es divisile etre B (T) es ríz de A es ríz de B : Ley del resto. de Descrtes. Algoritmo de Ruffii Def. de ríz de u oliomio co orde de multilicidd. 8

9 de descomosició fctoril. (H) Cosideremos F X de grdo y coeficiete ricil, co 1, 2,..., ríces, diferetes dos dos. (T) Q X de grdo y coeficiete ricil, tl que F X X.. Q Corolrio 1 2. X (H) Cosideremos F X / F X X... X, siedo gr( F) y,,...,, ríces diferetes, dos dos, de F. (T) F X X... X Todo oliomio de grdo 1 e X tiee lo sumo ríces distits. de idetidd de oliomios. El illo P,, o tiee divisores de cero. Coocimieto de ls estructurs P,, K y K X,,, siedo K u cuero. 9