Transformaciones lineales

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1 Trsformcioes lieles [Versió prelimir] Prof. Isbel Arrti Z. 1

2 Se V y W espcios vectoriles sobre el cuerpo R de los úmeros reles. U trsformció liel o plicció liel de V e W es u fució T : V W que stisfce: i) T(u + v) T(u) + T(v); u, v V ii) T( αv) αt(v); α R; v V Si T es u trsformció liel de V e W, etoces Más ú, T( v v ) T(v1) T(v ) T( α1v αv) α1t(v 1) αt(v)

3 Si T es u trsformció liel de V e W, etoces T(0) 0. Esto se euci de mer equivlete sí, T(0 ) 0 Ejemplos de pliccioes lieles T o es plicció liel 1) Cosideremos f : R R l fució f(x) x. Etoces, f(x + ) (x + ) x + f(x) + f() f( α x) ( α x) α(x) α f(x) Luego f es u plicció liel. Pero si defiimos g(x) x +, g o es plicció liel puesto que g(0 ) 0. Observe que l fució g tmpoco cumple ls codicioes i) y ii) exigids pr ser trsformció liel.

4 Ls siguietes fucioes de R e R o so lieles: f ( x ) f ( x ) x e x f(x) f(x) l Cuáles so ls fucioes lieles de R e R? x x f(x) f(x) 1 x cos x ) Se T : R R l fució T(x,y,z) (x y, y + z). Etoces T es u plicció liel. Demuéstrelo! 4

5 Ejercicio: Muestre u plicció de se liel y otr que o lo se. ) Cosideremos Etoces, F( A + B ) F( α A ) F : M ( R) M ( R); F(A) ( A ( α A ) mx t + B ) α t A t A t + xm B t α F( A ) R F( A ) Por lo tto, F es u trsformció liel. dp dx 4) L fució T : P [x] P [x]; T(p) p' es liel; e efecto, T(p + q) (p + q) p + q T(p) + T(q) T ( p) ( p) p T(p), R + e R que A F(B ) t 5

6 Destcmos los siguietes dos ejemplos 5) Si V y W so espcios vectoriles, T : V W; T (v) 0 o o es u plicció liel 6) Si V es u espcio vectoril, l fució I : V V; I(u) es liel; se llm plicció idetidd de V. u W 6

7 El siguiete teorem os eseñ exteder todo el espcio domiio, u plicció liel que se cooce sólo e u bse de dicho espcio. Teorem: Se V u espcio vectoril rel co bse B { v1,..., v} y W u espcio vectoril rel. Si w1,..., w W etoces existe u úic plicció liel T de V e W tl que T( vi ) wi, i 1,..., E efecto, si v V, existe úicos α,... v α1v αv L plicció T de V e W defiid por: T(v) α1w αw stisfce lo requerido e el teorem. 1, α R tles que 7

8 Ejemplo: Cuál es l plicció liel T de R e R tl que T(1, 0) (-, 5) y T(0, 1) (, -4)? Se (, b) R, etoces (, b) (1, 0) + b (0, 1). L plicció T : R R ; T(, b) (-, 5) +b(, -4), o más precismete, T(, b) (- + b, 5-4b), es liel y stisfce lo requerido. Ejercicio: ) Cuál es l plicció liel T de R e R tl que T(1, 0, 0) (, -), T(0, 1, 0) (1, 1) y T(0, 0, 1) (6, 5) 8

9 Ejercicio: Determie l plicció liel T de R e P [x] tl que T (1, 1,1) + x, T(1,1,0) x - x, T(1,0, 0) 1+ x + x Ejercicio: Determie cuál (es) de ls siguietes pliccioes so lieles. 1) ) ) 4) 5) T : R R T : R T : R T :P [x] 1 T : R R P ; R M ; T(x) (x, 0, x) [x]; ; ( R); T(, b) (5 b, + b,1) T(, b) + x + ( 4b)x T( + bx) (, b, + b) b + c T(, b, c) c 9

10 Núcleo e imge Se V y W espcios vectoriles reles y T: V W u trsformció liel. El úcleo o kerel de T es el cojuto, Ker T { v V / T(v) 0 } L imge de T es el cojuto, Im T { w W / v V tlque T(v) w } Ejemplo: Determiemos el úcleo y l imge de l plicció liel T : R R ; T(x, y, z) (x - y, y + z) Ker T {(x, y, z) / T(x, y, z) (0, 0)} {(x, y, z) / x y 0 y + z 0 } 10

11 Resolviedo este sistem de ecucioes lieles obteemos Ker T {(x, y, z) / x y z -y } {(y, y, -y) / y R } < { (, 1, -) } > Es decir, el úcleo de T resultó ser u subespcio de dimesió uo del espcio R. Im T { T(x, y, z) / (x, y, z) R } { (x y, y + z) / x, y, z R } < { (1, 0), (-, ), (0, 1) } > < { (1, 0), (0, 1) } > R 11

12 Cuál es el kerel y l imge de ls pliccioes T : V W; T (v) 0 o o I : V V; I(u) u W El úcleo y l imge de u trsformció liel o so simples cojutos; es fácil demostrr el siguiete teorem. Teorem: Si T de V e W es u plicció liel, etoces el úcleo de T es u subespcio de V y l imge de T es u subespcio de W. L dimesió del úcleo de T se llm ulidd de T y l dimesió de l imge de T es el rgo de T 1

13 L ulidd de T y el rgo de T será deotdos sí, η(t) dim (Ker T) ρ(t) dim (Im T) Y estos úmeros se relcio medite l iguldd, η (T) + ρ(t) dim V Ejemplo: Cosideremos l plicció liel Etoces, T :P [x] R ; T( + bx + cx ) ( b, Ker T { + bx + cx { + bx + cx { + x - x {(1+ x - x < {1+ x - x P P ) } / R} / R} > [x] [x] / ( b, / b + c) + c) (0, 0)} c - } 1

14 Como B {1 + x x } geer Ker T y es lielmete idepediete, B es u bse de Ker T; luego η (T) 1 y ρ(t) dim V - η(t) -1 Si l dimesió de l imge de T es, Im (T) R El siguiete teorem crcteriz ls pliccioes lieles iyectivs, epiyectivs y por tto biyectivs. Teorem: Se T : V W plicció liel. (1) T iyectiv Ker T {0} η( T) 0 () T epiyectiv Im T W ρ( T) dim W 14

15 Isomorfismos Recordemos que u fució f posee fució ivers f 1 si y sólo si f es biyectiv. L fució f 1 result ser biyectiv tmbié y tl que (f 1 of )(x) x y (f of -1 )(x) x U plicció liel y biyectiv se llm isomorfismo. Ejemplo: L plicció liel T : R R defiid por T(x, y, z) (x y, y + z, x + y + z) o es u isomorfismo puesto que Ker T < {(1, 1, -)}> y, e cosecueci, o es iyectiv. 15

16 Ejercicio: Muestre que l siguiete plicció de e R es u isomorfismo, T(x, y, z) (x - y, y + z, x + y + z) R Si T es u plicció de V e W, observe que, T isomorfismo T ivertible T isomorfismo T 1 isomorfismo Y si dimv dimw, etoces T biyectiv T iyectiv T epiyectiv 16

17 Ejercicio: Cuál (es) de ls siguietes fucioes T so ivertibles? 1) ) ) T: R T: R T:M R ( R) P ; [x]; R T(x,y,z) (x, x- y,x+ 4y-z) 4 ; T(,b,c) ( c) + ( + b+ c)x + ( + b+ c)x T c b ( + d, d c, + c, c-d) Si T: V W es u isomorfismo, etoces se dice que los espcios V y W so isomorfos, e cuyo cso se ot. V W 17

18 Ejemplo: Los espcios R y P [x] so isomorfos; el isomorfismo turl etre ellos es T (, b, c) + bx + cx b El isomorfismo T (, b, c, d) estblece que los c d 4 espcios M ( R) R so isomorfos. y Teorem: Todo espcio vectoril rel de dimesió fiit es isomorfo. R 18

19 Apliccioes lieles y mtrices Se A Mmx( R) y cosideremos l plicció, m TA : R R defiid por TA (X) AX Pr X, Y R y α R se tiee que, i) ii) T A T A (X + Y) A (X + Y) A X + A Y ( α X) A ( α X) α(a X) α T A T A (X) (X) + T A (Y) Es decir, T A es u trsformció liel, que se llm plicció liel socid l mtriz A. 19

20 Ejemplo: Se 1 A 4 0 y determiemos l plicció 1 liel socid A. TA : R R ; TA (x, y) T?? 1 x y x 4 0 4x y 1 x + y A : R R ; TA (x, y) (x-y, -4x, x+ y) Ejercicio: ls mtrices Ecuetre l plicció liel socid 1 1 A e I

21 Deotemos por, L( R, R m ) {T: R R m / T liel} Por qué? L( R R m, es u espcio vectoril rel: el espcio de ls pliccioes lieles de R e R. ) m R m Queremos estblecer que el espcio L( R, ) es isomorfo M mx ( R). Pr ello debemos mostrr u fució etre estos espcios que se u isomorfismo. Cosideremos, mx m F :M ( R) L( R, R ) defiid por F(A) T A 1

22 F es u fució bie defiid y demás es liel, puesto que TA + B TA + TB y TαA αta, α R Ejercicio: Demuestre ests igulddes. F es iyectiv pues Ker F { A / TA To } { 0m} F es epiyectiv y que pr cd trsformció m liel T de R e R, existe u mtriz A Mmx( R) tl que F(A) T A T. Est mtriz A es úic, se llm mtriz socid l trsformció liel T, se deot [T] y se determi sí:

23 Se { e1,...,e} y { e1,...,em} ls bses cóics de y m R R respectivmete. Etoces, T(e T(e T(e y l mtriz, 1 ) )... ) 11 1 [T] e e e e e e... m1 m... m t m1 m m e e e m m m es tl que F([T]) T

24 Ejemplo: Cosideremos l plicció liel, T : R R ; T(x, y) (x + y, x - y, 7x y determiemos l mtriz socid T. y) Procedemos evlur T e los vectores de l bse cóic de R y luego, escribir ests imágees como combició liel de los vectores de l bse cóic de R. T(1, 0) T(0,1) (,1, [T] 7) (1, -1, - ) (1, 1(1, Etoces l mtriz socid T es: 0, 0) + 1(0, 1, 0) + t 7 0, 0) 1(0, 1, 0) - (0, 0, 1) (0, 0, 1) 4

25 Ejercicio: Ecuetre l mtriz socid ls pliccioes lieles, T : R T : R R R ; ; T(x, T(x, y, y, z) z) (x + 6y - z, (y - z, x + 4x z, - 5y + z) 9x y + z) Como cosecueci del isomorfismo que se h estblecido teemos que: [T + S] [T] + [S] [ T] [T], úmero rel Además, [T o S] [T] [S] -1-1 ivertible, [T ] [T] y si T es 5

26 Mtriz de cmbio de bse m Se T : R R u plicció liel. Repetiremos el procedimieto relizdo pr obteer l mtriz socid T pero cosiderdo ls bses B {v 1,..., v} m y E {w 1,..., wm} de R y R respectivmete. Evlumos T e los vectores de l bse B y luego, expresmos ests imágees como combició liel de los vectores de l bse E. T(v T(v T(v 1 ) )... ) w w w w w w m1 m m w w w m m m 6

27 L mtriz, m1 m.... m t se deot [T] E B Luego, [T] E B m m m m... m Cudo m y B E, est mtriz se deot [T] B 7

28 E L mtriz [T] B está crcterizd sí: Si ls coordeds de v R co respecto l bse B so [ v] B X (x1,..., x), etoces [T] E B X so ls coordeds de l imge T(v) co respecto l bse E E este cso, el isomorfismo etre trsformcioes lieles y mtrices estblece que: [T + S] [ α T] [ToS] C B E B E B [T] α [T] [T] C E E B + [S] E B, E B [S], E B, α R, T, S L( R T L( R T L( R, R m ),, R m, R ) m ) S L( R m, R k ) 8

29 Ejemplo: Cosideremos l plicció liel, T : R R ; T(x, y, z) (x + y - z, x + E y determiemos l mtriz [T] B dode, B { v (1, 1, 1), u (1, 1, 0), w (1, 0, 0)} bse de E {(, ), (-, -5)} bse de R. Teemos que, T(1, 1, 1) T(1, 1, T(1, 0, 0) 0) (, 4) (, ) (1, ) β α γ (, (, (, ) ) ) + α + β Clculdo ls coordeds obteemos l mtriz: [T] E B 6 4 t 6 + γ (-, - 5) (-, - 5) (-, - 5) 4 R z) y 9

30 Observció: Si B es culquier bse de R, etoces [I ] [I] I l mtriz de l plicció idetidd es. R B B Pero si E es otr bse de, etoces E R [ I] B I. E L mtriz [ I] B B es u mtriz ivertible, su ivers es [I] E y mbs so llmds mtrices de cmbio de bse, ombre que se deriv de lo siguiete: [I] B E [T] E E [I] E B [T] quí, E y B so bses de. R B B, T L( R, R ) 0

31 Vlores y vectores propios E lo que sigue, T será u trsformció liel de R e R ; por lo tto culquier mtriz socid T es u mtriz cudrd. U esclr λ R se llm vlor propio de T (o vlor crcterístico) si existe v R, v 0 tl que T(v) λ v. Si λ R es u vlor propio de T, culquier v R, v 0 tl que T(v) λ v se llm vector propio de T (o vector crcterístico) socido l vlor propio λ. 1

32 Ejemplo: λ T : R es u vlor propio de l plicció liel R ; T(x, y) (7x 10y, 75x - 8y) puesto que T(, 5) (4, 10) (, 5). E este cso, v (,5) es u vector propio de T socido l vlor propio. Si λ es u vlor propio de T y deotmos por V λ l cojuto de todos los vectores propio de T socidos l vlor propio λ, etoces es fácil mostrr que V λ result ser u subespcio de R. El subespcio V λ se llm espcio propio de T socido λ. V λ { v R / T(v) λ v}

33 Cómo determimos los vlores y vectores propios de T? v R v R v R λ es u vlor propio de T, v 0 tl que T(v) λ v, v 0 tl que T(v) λ v 0, v 0 tl que (T λ I )(v) 0 v R, v 0, v Ker (T - λ I ) T λ I o ivertible det [T λ I ] 0

34 Observe que p( λ) det [T λ I ] es u poliomio e λ de grdo y, los vlores propios de T so ls ríces reles de dicho poliomio. Por otr prte, V λ { v R { v R { v R Ker (T - λ / T(v) λ / T(v) - λ / (T - λ I ) I v } v 0} )(v) 0} Es decir, los vectores propios de T socidos λ so los vectores del kerel de l trsformció liel (o mtriz) [ T λ I ]. 4

35 Ejemplo: Se T l trsformció liel T : R R L mtriz socid T es crcterístic de T, p( λ) 0 ; det [ λ I -T] 0 T(x, 0 A 1 y) ( y, 1 0 λ 1 x). Como l ecució 1 0 λ o tiee ríces reles, T o tiee vlores propios. Ejercicio: λ Muestre que los vlores propios de l siguiete trsformció liel T so 1 y. T : R R ; T(x, y, z) (x+ y-z, x + y-z, x + y) 5

36 Ejemplo: Los vectores propios de l trsformció liel T: R R ; T(x, y, z) (x+ y-z, x+ y-z, se ecuetr e Ker[ T I] y Ker[T - I] x+ y) Ker[ T I Ker[ T I ] { (x, y, z) R < { (1, 0, ) } > ] { (x, y, z) R < { (1, 1, ) } > / x + y - z 0 x + y - z 0 x + y + z 0 / x - z 0 x + y - z 0 } } 6

37 Digolizció Se dice que u bse B de R digoliz l trsformció liel T si l mtriz [T] B socid T es u mtriz digol. Cudo tl bse B existe, se dice que T es digolizble. U mtriz A M( R) es digolizble si l plicció liel socid A lo es. Cuádo T es digolizble? Teorem: T digolizble si y sólo si existe B bse de R formd por vectores propios de T. 7

38 Ejemplo: L trsformció liel T: R R ; T (x, y, z) (-9x 8y + 4z, 8x+ 7y-4z, -8x 8y+ z) tiee dos vlores propios: y -1. Los espcios propios socidos so, Ker[T - I] < { (1, -1,1) } > Ker[T + I] < { (1, 0, ), (0,1, ) } > Y B {(1, -1, 1), (1, 0, ), (0, 1, )} es u bse de R que digoliz T; e este cso, [ T ] B

39 Ejemplo: L trsformció liel T: R R T (x, y, z) (x+ y-z, x+ y z, x+ y) tiee dos vlores propios: 1 y. Si embrgo, T o es digolizble. Los espcios propios socidos so, ; Ker[T - I ] < { (1, 0, ) } > Ker[T - I] < { (1,1, ) } > Y es imposible ecotrr u bse de R formd por vectores propios de T. 9

40 Ejercicio: Determie si l siguiete trsformció liel T es o o es digolizble. T: R R ; T(x, y, z) (x-y+ z, 7x 5y+ z, -6x+ 6y-z) El hecho que T se digolizble sigific que l mtriz [T] socid T, es similr l mtriz digol [T] B e el setido siguiete: Existe P mtriz ivertible tl que [T] B P 1 [T] P 40

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