z 2 16 z Por tanto concluimos que log 3 2 z 5 Por tanto concluimos que z 2 Por tanto concluimos que log log 3 z 2 log a p p que resulta evidente

Transcripción

1 UNIDAD.- LOGARIMOS. APLICACIONES (tem del libro). LOGARIMO DE UN NÚMERO Cosideremos l ecució: 8. Como vemos l icógit está e el epoete, lo que l hce diferete todos los tipos vistos hst hor. es el epoete l que teemos que elevr pr que de cómo resultdo 8. E mtemátics diremos que es el ritmo e bse de 8 E este ejemplo es fácil ver que = pues 8 Defiició: Llmmos ritmo e bse u º rel (positivo distito de ) de u º rel b (positivo) como el epoete l que teemos que elevr pr que de cómo resultdo b. b Mtemáticmete se represet sí: Vemos ejemplos pr etederlo mejor: Ejemplos: ) Por tto cocluimos que b) c) Por tto cocluimos que Por tto cocluimos que Propieddes imedits de los ritmos: El ritmo e culquier bse del º es 0 0 pues 0 El ritmo e culquier bse de l bse es pues b d) Por tto cocluimos que e) 9 9 Por tto cocluimos que 9 f) Por tto cocluimos que 7 0 El ritmo e culquier bse de u º que se u poteci de l bse es el epoete de dich poteci p p que result evidete Sólo tiee ritmos los úmeros positivos, pues como sbemos el resultdo de u poteci siempre es positivo. No tiee setido, por ejemplo, ( ), o eiste UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

2 Logritmos decimles Se llm ritmos decimles quellos cu bse es 0. mbié se les cooce como vulgres e su represetció o se poe l bse 0, por tto se ot Ejemplos: ) 00 b) - c) Estos ritmos se puede obteer co l clculdor, usdo l tecl LOG que prece e ell Ejemplos: ) b) d) -00 Error c) Logritmos eperios de úmeros egtivos No eistes ritmos El º irrciol e = 7888 se us mu meudo como bse de ritmos. Se llm ritmos eperios quellos cu bse es e. mbié se les cooce como turles su represetció es l ó L Hbitulmete hbrá que obteerlos medite l clculdor usdo l tecl correspodiete l ó L segú el modelo de clculdor. Ejemplos: ) l b) c) l L e L e. PROPIEDADES DE LOS LOGARIMOS ) El ritmo de u producto es igul l sum de los ritmos de los fctores m m Ejemplo: Obteer si clculdor 9 9 Ejemplo: Sbiedo que obteer si clculdor Como b) El ritmo de u cociete es igul l difereci etre el ritmo del dividedo del divisor m Ejemplo: Obteer si clculdor m UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

3 8 8 8 c) El ritmo de u poteci es igul l producto del epoete por el ritmo de l bse Ejemplo: Clculr m m e e l l l l e e e e l e d) El ritmo de u rí es igul l ritmo del rdicdo dividido por el ídice de l rí Ejemplo: Clculr m m e) Relció etre ritmos de distits bses El ritmo e bse de u úmero se puede trsformr e el ritmo de otr bse b culquier medite l epresió: m b b m : l l Ejemplo: Obté co l clculdor de dos forms distits 9 Psdo ritmo deciml:... Psdo ritmo eperio:.... ECUACIONES EXPONENCIALES U ecució es epoecil cudo l icógit prece e el epoete de u poteci Como ejemplos so ecucioes epoeciles ls siguietes. ; No h u procedimieto geerl pr resolver este tipo de ecucioes, sólo co l práctic prederemos resolverls. Ejemplo: Resuelve 9 (igulmos epoetes) UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

4 Ejemplo: Resuelve Si os fijmos es el epoete l cul teemos que elevr pr que de, es decir, es el ritmo e bse de clculdor 9 De form geerl, si teemos u ecució epoecil del tipo defiició de ritmo. Ejemplo: Resuelve 9 rsformmos l ecució pr que Hcemos u cmbio bse deciml pr poder usr l m m por l propi prec sólo Ahor hcemos lo que se llm u cmbio de vrible Co lo cul sustituedo e l ecució os qued otr más fácil de resolver Hcemos comú deomidor opermos Por último deshcemos el cmbio resolvemos: Ejemplo: Resuelve rsformmos l ecució pr que 0 prec sólo, os qued: Hcemos el cmbio 8 sustituedo os qued: Deshcemos los cmbios pr cd solució Si 8 8 es u solució de l ecució epoecil ( Si ), que como sbemos o eiste pues o h ritmos de úmeros egtivos o cero. SISEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES U sistem de ecucioes es epoecil si l meos u de sus ecucioes es epoecil. No eiste métodos fijos de resolució, l práctic os portrá l eperieci pr resolverlos. Ejemplo: Resuelve (igulmos epoetes) resuelve por el método que quermos l solució es Se UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

5 Ejemplo: Resuelve Opermos pr dejr preprdo el sistem sólo co t 807 icógits: sustituimos, quedádoos el sistem como t t 9 t 807 t 807 Guss (E -E ) t 8 t t cmbio resolvemos: t. ECUACIONES LOGARÍMICAS Hcemos hor u cmbio de vribles o U ecució es rítmic cudo l icógit prece fectd por u ritmo. Pr resolverls tmpoco h u método fijo, pero priciplmete usremos: L defiició de ritmo: m m Iguldd de ritmos: p Propieddes de los ritmos m Ejemplo: Resuelve p m Aplicdo ls propieddes de los ritmos, Aplicmos l defiició de ritmo Ejemplo: Resuelve iguldd de ritmos, 0 00( ) Resolvemos por Por último deshcemos el l( ) l( ) l( ) l( ) l Por l UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

6 7 egtivos que o eiste e el cmpo rel. NOA: L solució o es válid pues l sustituir sle ritmos. SISEMAS DE ECUACIONES LOGARÍMICAS U sistem de ecucioes es rítmico si, por lo meos, u de ls ecucioes es rítmic. Ejemplo: Resuelve E l segud ecució, plicmos ls propieddes de los ritmos su defiició 0 0 Y resolvemos por sutitució 0 ( Ejemplo: Resuelve ) ( ) [( )( )] ( Lo resolvemos por sustitució: ) ( ) ( ( ) 7 ) ( ) 7 Ejemplo: Resuelve Vmos resolverlo de dos mers distits: ª Form: Hciedo u cmbio de vribles resolviedo el sistem liel de dos ecucioes resultte después deshciedo el cmbio. Hcemos t Deshcemos el cmbio: t 7 t E E 0 t 0 t t t 00 0 ª Form: Covirtiedo cd ecució rítmic e u ecució lgebric 7 7 ( ) UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

7 0 7 0 Sustituimos os qued Y por tto: INERÉS SIMPLE E INERÉS COMPUESO Cudo depositmos diero e u bco, éste os pg u iterés de u determido tto por cieto, por l ctidd depositd. Hbitulmete se suele pgr ulmete el iterés. Así, por ejemplo, si depositmos.000 e u libret de horros l % ul, l cumplirse el ño recibimos como pgo de itereses l ctidd de: L ctidd que hemos depositdo (000 ) se llm cpitl. El beeficio obteido ( ) se llm iterés. El % se llm rédito o tto por cieto, que es tmbié l ctidd de itereses que produce 00. A l ctidd que produce de itereses se le llm tto por uo e este ejemplo es 0 0. Defiicioes: Se llm cpitl, C, l ctidd de diero que depositmos e u etidd ficier. Se llm iterés, I, l ctidd de diero producid por u cpitl e u tiempo determido. Se llm rédito o tto por cieto, R, l gci que produce 00 euros e u ño. Se llm tto por uo, r, l gci que produce u euro e u ño. Se verific que: R r 00 U cpitl colocdo l R % e u ño produce t I o bie, como 00 C R de iterés, luego e t ños producirá u iterés de: 00 R r teemos que I C r t 00 7 UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

8 NOA IMPORANE: A veces los itereses se deveg mesulmete, o trimestrlmete o semestrlmete o e dís, de dode result ls epresioes siguietes: C R C R Mesulmete: E u ño sbemos que el iterés producido es, por tto e u mes será 00 C R = Si teemos el cpitl ivertido meses, obteemos de iterés I o bie 00 I rimestrlmete: De form á lo terior teemos que el iterés devegdo es, puesto que u ño tiee trimestres: I o bie I, dode es el º de trimestres 00 Semestrlmete: De form á lo terior teemos que el iterés devegdo es, puesto que u ño tiee semestres: I o bie I, dode es el º de semestres 00 Dirimete: De form á lo terior teemos que el iterés devegdo es, puesto que u ño tiee dís: I o bie I, dode es el º de dís 00 De mer geerl, cudo los itereses se deveg veces lo lrgo de u ño (cd ño co periodos C R r igules), l epresió del iterés es: I o bie I C siedo el º de periodos por los que 00 devegmos los itereses. Ejemplo: Colocmos e u bco l %, percibiedo los itereses semestrlmete. Si hemos cobrdo 07 e cocepto de itereses, cuáto tiempo hemos teido el diero e el bco? eemos por l fórmul que I Sustituimos cd vlor 07 Despejmos 07 semestres. Es decir, ño medio ó 8 meses Esto que hemos visto es iterés simple. Psemos hor estudir el iterés compuesto. Defiició: Colocr u cpitl iterés compuesto sigific que el cpitl se v icremetdo co los itereses producidos e cd periodo de tiempo. Al cpitl eistete e cd mometo se le llm motte Supogmos que teemos u cpitl, C, colocdo l tto por uo, r, l fil del primer ño teemos u motte de: M C C r M C r, si seguimos otro ño más, este será el uevo cpitl por tto el motte l fil del º ño será: 8 UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes

9 C r C r r Scmos fctor comú C r C r r M C r M M De form á, l fil del tercer ño tedremos u motte de: M C r Así l fil de t ños tedremos motte de: M C r t os qued Cudo cpitlimos veces lo lrgo de u ño o e periodos cd ño, etoces l fórmul os qued: M r C siedo el º de periodos Ejemplo: Durte cuáto tiempo h de ivertirse u cpitl de 000 l % de iterés compuesto pr llegr obteer u motte de 9 9 si l cpitlició se produce trimestrlmete? Como es trimestrlmete teemos que = hor hemos de clculr cuáto trimestres se ecesit plicdo l fórmul r M C l l( 008) l 0 l( 008) 0 trimestres, es decir, 0 meses ommos, por ejemplo, ritmos eperios, l( 008) l 0 9 UNIDAD.- Logritmos. Apliccioes