En la sucesión c), por ejemplo c 2 = 2

Transcripción

1 CAPÍTULO : SUCESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u secueci orded de úmeros. Ls siguietes secuecis so sucesioes: ),,,,, 6, b),, 6,, 0,, c),,,,,,... 6 Defiició: U sucesió de úmeros reles es u plicció etre los úmeros turles y los úmeros reles: f: N R E el ejemplo terior, l sucesió,, 6,, 0,, l podemos ver como: f: N R b = ;, 6;, uque l otció que usmos ormlmete pr decir que le correspode es utilizr el térmio geerl de u sucesió: b =. De l mism form l sucesió,,,,,,... se puede escribir como: 6 f: N R c = / Se llm térmio de u sucesió cd uo de los elemetos que costituye l sucesió. E l sucesió ) tedrímos que: =, y que es el térmio de l sucesió que ocup el quito lugr. E l sucesió b), el tercer térmio, se deotrí b y correspoderí l 6 E l sucesió c), por ejemplo c = Lo relmete importte l hor de ombrr los térmios de u sucesió es el subídice porque deot el lugr que ocup e l sucesió. Ls letrs co ls que se desig l sucesió so distits pr sucesioes distits y suele ser letrs miúsculs. Auque u sucesió es u fució, usulmete o se utiliz l otció de fució sio que úicmete se escribe su térmio geerl. Se llm térmio geerl de u sucesió l térmio que ocup el lugr -ésimo y se escribe co l letr que deote l sucesió (por ejemplo ) co subídice : ( ) E los csos que estmos cosiderdo, los térmios geerles de ls sucesioes so: =, b = y c = /. Actividdes resuelts E ls sucesioes teriores, observmos que: 0 = 0, b = 6 y c = Actividdes propuests. Escribe los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ), 0,, 6, b),, 0,, c),,,, d) 0,,,,. Escribe el térmio que ocup el lugr 00 de cd u de ls sucesioes teriores.. Sbemos que u cuerpo co desidd suficiete que ce libremete sobre l Tierr tiee u velocidd que umet 9 m/s. Si e el primer segudo su velocidd es de 0 m/s, escribe e tu cudero l velocidd e los segudos idicdos e l tbl. Observs lgu regl que te permit coocer l velocidd l cbo de 0 segudos? Represet gráficmete est sucesió. Tiempo e segudos 0 Velocidd e m/s 0 Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

2 9.. Forms de defiir u sucesió Existe vris forms de defiir u sucesió:. Ddo u propiedd que cumpl los térmios de es sucesió Sucesió de los úmeros pres:,, 6,, 0, Sucesió de los úmeros primos:,,,,,.. Sucesió de los úmeros turles cbdos e :,,,,... Sucesió de los cudrdos de los úmeros turles:,, 9, 6, Sucesió de los cubos de los úmeros turles:,,, 6,. Ddo su térmio geerl o térmio -ésimo: Es u expresió lgebric e fució de. = + Sbiedo esto, podemos costruir los térmios de l sucesió si más que sustituir por los úmeros turles. Así, tedrímos: = + = 6; = + = 9; = + = ; = + = ;.. d = () : d = () = ; d = () = ; d = () = ; d = () =. Por u ley de recurreci: Es u expresió que permite obteer u térmio prtir de los teriores. L sucesió:,,,,,,,,, coocid como Sucesió de Fibocci se obtiee co l siguiete ley de recurreci: = =, = +. Es decir, cd térmio, slvo los dos primeros, se obtiee como sum de los dos teriores.. No siempre se puede defiir l sucesió por los métodos teriores L sucesió formd por ls cifrs decimles de :,,,, 9,, Form u sucesió pero igormos l propiedd, l fórmul del térmio geerl o l ley de recurreci que os permit, por ejemplo, coocer l cifr que ocup el lugr u trilló. Hoy, co yud de los ordedores, y sbes que se h logrdo coocer muchs de ls cifrs de, e 0 más de dos billoes. Actividdes resuelts Se l sucesió de térmio geerl: = +. Sus cico primeros térmios so: = 6, =, = 0, =, = Dd l sucesió e form recurrete: =, = +. Sus cutro primeros térmios so: = (y viee ddo), = + =, = + =, = + = Actividdes propuests. Escribe los cutro primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ) = + b) b = c) c =, c = c + d) d =, d =, d = d + d. Escribe l expresió del térmio geerl de ls siguietes sucesioes: 9 ) {,,,,,,,, } b) {0,,,,,, } c) {,, 6,, 0, } d),,,,, E u sucesió el primer térmio es y los demás se obtiee sumdo l térmio terior. Hllr los 0 primeros térmios de l sucesió.. Escribe el térmio geerl de ls sucesioes: ) 6,,, 6, b),, /, 6/, /, c), 0, 0 0, 0,00, d),,,,,. U stélite rtificil se puso e órbit ls 0 hors y 0 miutos. Trd e dr u vuelt complet su órbit 90 miutos. A) Complet e tu cudero l tbl djut. B) Escribe u expresió geerl que te permit coocer l hor e que h completdo l vuelt -ésim. C) Busc u expresió que te permit coocer l hor e fució de l hor de l órbit terior. D) Busc u expresió que te permit coocer l hor e fució de l primer. E) Cuáts vuelts complets hbrá ddo 0 dís más trde ls 9 hors? Nº de órbits 6 Hor e l que l h completdo Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

3 0.. Progresioes ritmétics y geométrics Y cooces de cursos teriores dos tipos de sucesioes, ls progresioes ritmétics y ls progresioes geométrics. Recuerd que: U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros reles e l que l difereci etre dos térmios cosecutivos de l sucesió es costte. A est costte se le llm difereci de l progresió y se suele deotr co l letr d. Es decir, cd térmio se obtiee sumdo l terior l difereci, d: + = + d Si = y d = los cico primeros térmios de l progresió ritmétic so: =, = + d = + =, = + d = + =, = + d = + =, = + d = + =. U progresió geométric es u sucesió de úmeros reles e l que el cociete etre cd térmio y el terior es costte. A est costte se deomi rzó de l progresió y se suele deotr co l letr r. Es decir, r siedo u úmero turl y siempre que se distito de cero. O lo que es lo mismo, cd térmio se obtiee multiplicdo el terior por l rzó r: + = r U pdre ple meter e u huch el dí que su hijo recié cido cumpl u ño y duplicr l ctidd e cd uo de sus cumpleños. Cuáto debe meter e l huch el dí que su hijo cumple ños? L sucesió cuyos térmios so el diero que mete e l huch cd ño es: {,,,, 6, }. Cudo cumple ños debe meter e l huch 6 euros. Observmos que los térmios de l sucesió v umetdo de form que cd térmio es el terior multiplicdo por. Este tipo de sucesioes se llm progresioes geométrics. Recuerd que: El térmio geerl de u progresió ritmétic es: = + ( ) d El térmio geerl de u progresió geométric es: = r L sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic viee dd por: ( ) S. El producto de los primeros térmios de u progresió geométric viee ddo por: P = r L sum de los primeros térmios de u progresió geométric viee dd por: S = = r r. Actividdes resuelts = r ( r ) siempre que r El térmio de l progresió ritmétic co = y d = es: = + ( ) d = + = + = 9. L sum de los primeros térmios de es progresió es: ( ) ( 9) S 6. El térmio de l progresió geométric {,,,, 6, } es: = r = = 6 El producto de los primeros térmios de es progresió es: P = ( 6) r L sum de los primeros térmios de es progresió es: S = 6. r Actividdes propuests 9. Escribe los primeros térmios de ls sucesioes siguietes e idic si so progresioes ritmétics, progresioes geométrics o de otro tipo. ) = b) = + c) = ( ) d) 0. E ls sucesioes del problem terior que se progresioes ritmétics, clcul l sum de los 6 primeros térmios.. E ls que se progresioes geométrics, clcul el producto de los 6 primeros térmios y l sum de los 6 primeros térmios. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

4 .. Tipos de sucesioes: covergetes, divergetes y osciltes Actividd resuelt Teemos e l mo u cudrdo de ppel de áre. Cortmos ls cutro esquis por los putos medios de los ldos. El uevo cudrdo, qué áre tiee? Dejmos los recortes ecim de l mes. Qué áre de recortes hy sobre l mes? Co el uevo cudrdo que teemos e l mo efectumos l mism operció de cortr ls cutro esquis y dejrls sobre l mes, y sí sucesivmete. Qué áre tiee los sucesivos cudrdos que tego e l mo? Y los recortes que qued sobre l mes? Hll l sum de ls ifiits áres de recortes sí obteids. El áre del primer cudrdo os dice que mide u. Al cortr ls cutro esquis el uevo cudrdo tiee u áre de / u. Dejmos sobre l mes ls cutro esquis, por lo que estmos dejdo sobre l mes u áre / u. Volvemos cortr ls cutro esquis, y sí sucesivmete. E l mo teemos ls siguietes áres:, /, /, /, Teemos cd vez meos ppel e l mo. Algu vez os quedremos si d de ppel e l mo? Si siempre cortmos l mitd de lo que os qued, uc llegmos teer 0. Ecim de l mes vmos dejdo ls siguietes áres: /, / + /, / + / + / + Y l ctidd de ppel que teemos sobre l mes? Summos y summos trocitos de ppel, pero uc tedremos más del iicil,, y i siquier llegremos uc teer. Actividdes resuelts Hy sucesioes como l progresió geométric, /, /, /, /6, de rzó /, co térmio geerl: = (/) que se cerc u cierto úmero rel, uque puede ocurrir que uc llegue lczrlo. Est progresió geométric tiede 0. Decimos etoces que es covergete, que coverge 0, o que su ite es 0: 0 L sucesió i es covergete, tiee como ite, o coverge : i Otrs sucesioes como l progresió geométric,,,,,, de rzó, co térmio geerl = () + o se cerc u úico vlor, sio que oscil etre y. No tiee ite. Se dice que es u sucesió oscilte. Otrs sucesioes, como l progresió geométric,,, 6, de rzó, co térmio geerl = o se cerc u úmero rel, sio que crece y crece idefiidmete. No tiee ite. No es covergete. Al umetr los vlores de l sucesió puede superr culquier úmero por grde que éste se. Se dice que su ite es ifiito y que l sucesió es divergete:. Recuerd que: Ls sucesioes puede ser covergetes, si tiee como ite u úmero L, divergetes, si tiede ifiito, y osciltes... Mootoí y cotció Actividdes resuelts L sucesió,,, 6, es moóto creciete pero o está cotd. L sucesió,,,,,, o es moóto, pero si está cotd. L sucesió, /, /, /, /6, es moóto decreciete y está cotd. L sucesió /, / + /, / + / + / + es moóto creciete y está cotd. A l vist de estos ejemplos vmos defiir cuádo u sucesió es moóto y cuádo está cotd. Defiició: U sucesió está cotd si existe k tl que < k pr todo. Defiició: U sucesió es moóto creciete e setido estricto si pr todo se verific que < +. U sucesió es moóto decreciete e setido estricto si pr todo se verific que > +. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

5 .6. Sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric Actividdes resuelts E l ctividd resuelt del prtdo terior vimos que l ctidd de ppel que dejábmos sobre l mes: = / + / + / + + /, se proximb tto como quisiérmos, pero uc ib ser. Esto es u ide difícil! Los griegos trdro e comprederl. Puedes leer sobre ello e l revist l Prdoj de Zeo de Aquiles y l tortug. No compredí cómo u sum ifiit, es decir, co ifiitos sumdos, podí dr u resultdo fiito, e uestro cso, Recuerd que: Este resultdo y lo cooces de º de ESO. Vmos revisr lo que y cooces: Sum de u úmero ilimitdo de térmios cosecutivos de u progresió geométric Depediedo del vlor de r será posible o o obteer l sum de u úmero ilimitdo de térmios: ) Si r =, l progresió es l progresió costte formd por el primer térmio: {,,, } y si es positivo l sum de los térmios será cd vez myor. Si fuer egtivo serí l sum cd vez myor e vlor bsoluto, pero egtiv. Por tto, si el úmero de térmios es ilimitdo, est sum es ifiit. Es divergete. b) Si r >, los térmios crece idefiidmete y el vlor de l sum pr u úmero ilimitdo de térmios, tmbié es ifiito. Es divergete. c) Si r <, l sum de sus térmios se proxim, cudo es grde, S. r Observmos que l sum o depede del úmero de térmios, y que l hcerse cd vez más pequeños, lleg u mometo e que o se cosider. Es covergete. d) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos: {,,,, } y S es igul cero si es pr, e igul si es impr. L sum de l serie oscil etre esos dos vlores pr u úmero fiito de térmios. Pr u úmero de térmios ilimitdo o sbemos si es pr o impr, co lo que l sum o se puede relizr o ser que 0, cso e que S 0. E el resto de los csos decimos que l sum de ifiitos térmios o existe pues su r vlor es oscilte. e) Si r <, los térmios oscil etre vlores positivos y egtivos, creciedo e vlor bsoluto. L sum de sus ifiitos térmios o existe pues su vlor tmbié es oscilte. E resume, L sum de u úmero ilimitdo de térmios de u progresió geométric de primer térmio o ulo sólo tom u vlor fiito si r <, y etoces viee dd por: S. E el resto de los csos, o vle ifiito y es divergete, o o existe r pues oscil. Actividdes resuelts Clcul l sum de todos los térmios de l progresió geométric cuyo primer térmio es y l rzó /. S = = r E u progresió geométric l rzó es / y l sum de todos sus térmios es. Cuáto vle el primer térmio? Despejmos de: S y: = S ( r) = ( /) = 6 r Actividdes propuests. Clcul l sum de los ifiitos térmios de l sucesió: 6,, /, /,. Teemos u cudrdo de áre e l mo, y lo cortmos por ls líes de putos como idic l figur. El trozo myor lo dejmos sobre l mes y os quedmos e l mo co el cudrdo, l que volvemos cortr de l mism form. Y sí sucesivmete. Qué áre tiee los sucesivos cudrdos que tego e l mo? Crece o dismiuye? Escribe el térmio geerl de l sucesió de áres que teemos e l mo. Y los recortes que qued sobre l mes? Crece el áre sobre l mes o dismiuye? Vmos sumdo áres, clcul l sum de ests áres si hubiérmos hecho ifiitos cortes. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

6 . El error de Euler: Euler fue u gr mtemático, pero se ecotró co el siguiete problem. Quizás tú ses cpz de yudrle resolverlo. Hizo l siguiete sum, dode r es u úmero positivo: r r... r... r r r Primero sumó l primer prte, plicdo l fórmul S : r r r r r r r r r r Luego l segud: r r... r... r Y l sumr mbs obtuvo: 0, que evidetemete está ml pues l sum de ifiitos úmeros positivos o r r puede ser 0. Dóde está el error?.. Apliccioes de ls progresioes geométrics Frcció geertriz El curso psdo estudiste cómo psr de u deciml periódico puro o periódico mixto u frcció. Ahor vmos utilizr ls progresioes geométrics pr que compreds mejor el proceso. Si teemos u úmero deciml periódico puro, lo podemos escribir como: ' = O lo que es lo mismo: dode los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <, cuy sum ifiit vle: S 00 r. Por tto: + 00 = = + = + = Si teemos u úmero deciml periódico mixto, se utiliz u proceso similr: = O lo que es lo mismo: E este cso, los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <. Por tto: = = = Not Co este proceso estmos ilustrdo el cocepto de frcció geertriz como plicció de ls progresioes geométrics, pero efectos prácticos, es más cómodo efecturlo segú el proceso que y cooces. Cpitlizció compuest Y cooces el iterés compuesto pero vmos revisrlo l vist de ls progresioes geométrics. Si depositmos e u etidd ficier u ctidd de diero C 0 durte u tiempo t y u rédito r ddo e tto por uo, obtedremos u beeficio I = C 0 r t llmdo iterés. L pricipl crcterístic de l cpitlizció compuest es que los itereses que se geer e u ño, ps formr prte del cpitl iicil y produce itereses e los periodos siguietes. Etoces: Al fil del primer ño, el cpitl será el cpitl iicil C 0 juto co los itereses producidos durte ese ño. Es decir: C = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C 0 ( + r) Al fil del segudo ño, el cpitl que tedremos será el cpitl que teímos l filizr el primer ño más los itereses producidos ese segudo ño. Es decir: C = C + C r = C ( + r) = C 0 ( + r) ( + r) = C 0 ( + r) Observdo los cpitles obteidos: C, C,, C cocluimos que se trt de u progresió geométric de rzó ( + r). Por tto: Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

7 El ño -ésimo, tedremos: El cpitl fil obteido después de ños ddo u cpitl iicil C 0 y u rédito r ddo e tto por uo, es: C = C 0 ( + r) Actividdes resuelts Vemos l frcció geertriz de, como plicció de ls progresioes geométrics., = + 0, + 0,00 + 0, O lo que es lo mismo: dode los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <, cuy sum ifiit vle: S 00 r. Por tto: + 00 = + 00 = + = + = = Depositmos e u bco 00 l % de cpitlizció compuest durte tres ños. Cuáto diero tedrímos l filizr el tercer ño? Utilizmos l expresió: C t = C 0 ( + r) t dode C 0 = 00, r = 0,0 pues es el tto por uo y t = ños. Por tto: C t = C 0 ( + r) t = 00( + 0 0) = Actividdes propuests.. Clcul l frcció geertriz del úmero 6 6. U empresrio cude u etidd ficier pr iformrse sobre cómo ivertir los 6000 de beeficios que h teido e u mes. Le plte dos opcioes: Mteer ese cpitl durte ños l % ul o recibir el % del cpitl durte los dos primeros ños y el % los tres ños resttes. Qué opció le iteres más?. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.. Reflexioes sobre el ifiito Cudo e el uso de los pricipios del etedimieto o os limitmos plicr uestr rzó objetos de l experieci, sio que os trevemos extederl más llá de los ites de ést, se origi demostrcioes que o esper cofirmció e l experieci i puede teer refutció El ifiito, como igú otro problem, siempre h comovido profudmete el lm de los seres humos. El ifiito como igu otr ide, h teido u iflueci estimulte y fértil e l mete. Pero el ifiito ecesit, más que igú otro cocepto, clrificrse Dvid Hilbert Vmos reflexior u poco sobre el ifiito mtemático. Reflexió : U juego Dos migos u poco burridos, Diel y Jorge, decide jugr u juego que cosiste e que Diel escrib úmeros y Jorge los borre. El procedimieto propuesto por Diel es: A ls cico meos u miuto yo escribo los úmeros y, y tú borrs el. A ls cico meos medio miuto yo escribo y, y tú borrs el. A ls cico meos u tercio de miuto yo escribo y 6 y tú borrs el. Y sí sucesivmete. Nturlmete jueg co l imgició. Diel pregut Jorge: A ls cico meos u cetésim de miuto, cuátos úmeros te quedrá por borrr? Y ls cico meos u milloésim de miuto? E qué mometo borrrás el úmero 000? Hy lgú úmero que o pueds borrr tes de ls cico? Ayud Jorge respoder. Reflexió : El hotel ifiito Pr el dueño de u hotel es u disgusto teer que decir u cliete que o le qued hbitcioes. Pero, qué ocurrirí si el hotel tuvier ifiits hbitcioes umerds,,,,? Imgi que el hotel está completo y lleg u uevo cliete, cómo lo lojrís? Muy fácil. El dueño ps l cliete de l hbitció l, l de l l, l de l l y de este modo le qued libre l hbitció. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

8 Y si llegr 00 clietes más? Y si mil? Muy fácil, Ps l cliete l hbitció 0 dejdo libres ls 00 primers hbitcioes. E el segudo ps l cliete de l hbitció l hbitció 00 dejdo libres ls 000 primers hbitcioes. Y si llegr ttos clietes como hy? E el último cso tiee que pesr u poco más. Y está! Ps l cliete l hbitció, l l hbitció =, l l hbitció = 6, y sí sucesivmete. Le qued ocupds ls hbitcioes pres y libres tods ls impres. Reflexió : L tbl de Crtheodory Teemos l siguiete tbl ifiit: 0 / / / /6 / 0 / / / / / 0 / / / / / 0 / /6 / / / 0. Sbemos que e u tbl, si summos primero tods ls fils y luego por colums, os debe dr lo mismo que si primero summos tods ls colums y luego ls fils. Pero est tbl es ifiit. Mir lo que sle! Al sumr por fils, y sbemos que l primer fil sum. Ve sumdo ls otrs fils y luego los resultdos de ls sums por fils. Ahor empiez sumr por colums. Y luego los resultdos de ls sums por colums. Por último sum por digoles. Te sorprede el resultdo? Cojutos fiitos y cojutos ifiitos Los cojutos fiitos tiee propieddes que o tiee los cojutos ifiitos. Al reflexior sobre ls cuestioes teriores te hbrás ddo cuet que propieddes muy evidetes de los cojutos fiitos, o ls cumple los cojutos ifiitos. U cojuto A es fiito si o es posible estblecer u correspodeci biuívoc etre A y u prte de A, distit del propio A. Al úmero de elemetos de u cojuto fiito lo llmmos su crdil. Pero como hemos visto e el hotel co ifiits hbitcioes, e u cojuto ifiito podemos estblecer u correspodeci biuívoc etre el cojuto de los úmeros turles, N, y el cojuto de los úmeros pres, P, que es u prte de los turles y distit de N. Co el Hotel ifiito hemos visto que + =, + 00 =, = e icluso + =. El crdil de los úmeros turles se deomi ifiito umerble y es el mismo que el de los úmeros eteros, Z, y el de los úmeros rcioles, Q. Si embrgo el ifiito de los úmeros irrcioles y el de los úmeros reles es mucho myor, es l poteci del cotiuo. No es posible estblecer u correspodeci biuívoc etre los úmeros rcioles y los úmeros reles del itervlo (0, ). Co l Tbl de Crtheodory hemos comprobdo que hy otrs propieddes que o se verific. No se verific l propiedd socitiv, y l gruprlos de distits forms se obtiee resultdos diferetes... Cálculo de lguos ites No hy u procedimieto geerl e iflible que permit coocer si u sucesió es covergete y clculr su ite. E el cpítulo dedicdo ite de fucioes prederás co myor rigor el cocepto de ite de u fució (ls sucesioes so fucioes) y uevos procedimietos que podrá servirte pr clculr el ite de ls sucesioes, pero tedrás que teer cuiddo co que ls sucesioes o so fucioes cotius. L represetció gráfic de u sucesió, l ser u plicció de los úmeros turles e los úmeros reles, está formd por putos sueltos. Y hemos clculdo lguos ites como: L sucesió /, /, /,, /, tiee u úmero ifiito de térmios, pero tiee ite, se cerc 0 tto como quermos, y ese ite es u úmero fiito, 0. L sucesió,,,,, tiee u úmero ifiito de térmios, pero o tiee ite, podemos ecotrr térmios de l sucesió t grdes como quermos. Es divergete. Tiede ifiito. L sum / + / + / + / es u sum de ifiitos térmios. Qué quiere decir sumr ifiitos térmios? Lo que queremos decir co ello es que es sum coverge (e el cso de l ctidd de ppel que teímos sobre l mes, esto quiere decir que podemos teer sobre l mes u ctidd de ppel t próxim como quermos). Vmos hor clculr lguos ites secillos. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

9 6 Actividdes resuelts L sucesió tiee como ite /. Pr comprobrlo le dmos vlores muy grdes y observmos que podemos cercros / tto como quermos: '06 0'0000 0' Es turl que pr vlores muy grdes de el del umerdor y el del deomidor y ifluy muy poco comprdos co y co. Por ello podemos decir que:. Actividdes propuests. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) c) ( ) Actividdes resuelts Comprobmos, utilizdo l clculdor y ddo vlores grdes que: d). L sucesió tiee como ite 0. L sucesió tiee como ite. L sucesió o es covergete, tiede ifiito. L sucesió o es covergete, es l sucesió:,,, 6, y tiede ifiito. Actividdes propuests. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes, si es que lo tiee: ) b) 6 c) d) 6 9. Escribe u sucesió cuyo ite se, y otr de ite Clcul el ite de ls sucesioes siguietes, si es que lo tiee: ) b) c) 6 d) 6.. El úmero e Vmos defiir el úmero e como el ite de u sucesió, pero tes vmos lizr situcioes que y cooces que os yude comprederlo. Situció : Crecimieto de us lgs Los residuos vegetles de ls clles y jrdies de Mdrid se llev l plt de compostje de Migs Clietes, dode se obtiee compost que, de uevo, se utiliz pr bor estos jrdies. Allí se ivestig sobre l form e que los microorgismos se reproduce y ctú co más rpidez trsformdo los restos de pod e compost. Imgi que si somete u ctidd C de microorgismos (bcteris y hogos) u determido proceso durte u mes estos se h icremetdo y se obtiee u ctidd doble, C + C = C de microorgismos. Aceler el proceso, ñdiedo por ejemplo más oxígeo, de form que dure sólo medio mes, pero Plt de compostje de Migs Clietes, Mdrid se obtiee sólo l mitd, C + C/ = C( + /) uque etoces se reliz dos ciclos e u mes por lo que l fil del mes se obtiee u ctidd de microorgismos de C( + /) + (/)(C( + /)) = C( + /) de microorgismos l fil del mes. Y si reliz cico ciclos l mes, obteiedo e cd ciclo l quit prte? Primer ciclo: C + C/ = C( + /) Segudo ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Tercer ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

10 Curto ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) Quito ciclo: C( + /) + (/) C( + /) = C( + /) E geerl si se hce ciclos l mes obteiedo e cd ciclo / de l ctidd trtd, l fil del mes teemos u ctidd C( + /) de microorgismos. Observ que l umetr el úmero de ciclos, umet l ctidd de microorgismos, pero hy u ite o crece hst el ifiito? Situció : Iterés compuesto Y hemos estudido el iterés compuesto. Si u cpitl C se poe u iterés del % ul durte u ño, l fil del ño se obtiee C + 0 0C = C( + 0 0). Si los itereses se cumul cd medio ño l cbo del ño se obtiee C( + 0 0/), y si es cd curto de ño (cd trimestre) se tiee C( + 0 0/). E geerl si el ño se divide e itervlos se obtedrí: C( + 0 0/). Podrí uo hcerse millorio e u ño ivirtiedo 00 euros e ess codicioes? Situció : L espirl L figur del mrge es l coch del Nutilus. Form u espirl que se llm espirl equigulr, logrítmic, geométric Dibuj u teiedo e cuet que cudo sus águlos cetrles está e progresió ritmétic, sus rdios está e progresió geométric. Mrc u puto O. Tom u uidd OA =. Mrc los águlos cetrles de AOB = 0º; AOC = 0º, AOD = 0º Sobre l rect que cotiee O y B, mrc B u distci de. OB = OA. Mrc C (sobre OC) u distci de OC = OB = OA Pero si el águlo fuer 0º/, el rdio hbrí que multiplicrlo por /. De est form obtedrímos uevos putos. Estmos viedo que e distits situcioes prece sucesioes precids: C( + /), C( + 0 0/). Defiició: Se defie el úmero e como e. Es el ite de u sucesió! Si dmos vlores (co u clculdor o u ordedor) podemos proximrlo:,,,,, Pr = 00 obteemos 0. Pr = 000 obteemos 6. Pr igul u milló, Utilizmos el desrrollo de u biomio por Newto. Recuerd: b b b b b ( )... Como = =, y b = /, teemos que: ( ) ( )( ) ( )... =... =!!...!!! Tommos ites e......!!!! Result que e tmbié es l sum de u serie. Ahor el vlor de e lo obteemos de u form mucho más rápid. Nos bst l sum de térmios pr obteer cico cifrs decimles de e, mietrs que co l sucesió los obteímos co igul u milló. e e es u úmero irrciol, co ifiits cifrs decimles o periódics. Ahor y sbemos resolver ls situcioes de prtid: l ctidd de microorgismos de l plt de compostje si se umet el úmero de ciclos e u mes, tiede Ce C. Nuc llegrí triplicr l ctidd C de microorgismos. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

11 Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF E l situció de iterés compuesto, os pregutábmos si podrí uo hcerse millorio e u ño ivirtiedo 00 euros e ess codicioes. Teemos que clculr el ite: 0'0 00 0'0 00 0'0 00 e No os hcemos millorios. Pero vmos preder clculr estos ites. Límites tipo e E geerl pr clculr el ite: A Vmos completdo l defiició de e, dividiedo primero por A. El deomidor /A tiede ifiito, y lo completmos e el expoete, multiplicdo y dividiedo por /A. A A A e A A A Est técic podemos usrl si teemos u ite co u expoete que tied ifiito y cuy bse tied, lo que llmmos u idetermició tipo. Actividdes resuelts Clcul el ite: Primero comprobmos que es u ite tipo e, el expoete tiede ifiito, y l bse:, tiede. Queremos completr el primer de l defiició de e, pr lo que teemos que dividir: Pr coseguir el segudo, dividimos por :. Hcemos que el expoete coicid co. ) ( ) ( El ite de l bse hemos coseguido que se e. El ite del expoete sbemos clculrlo: ) ( Por tto: e e e. Actividdes propuests. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) 6 b) c) d)

12 9.. Fució expoecil y fució logritmo Fució expoecil E º de ESO (ºB) y hs estudido l fució expoecil y l fució logritmo, pero hor que cooces mejor el úmero e prece itereste que licemos lgo sobre ells, y resolvmos uevos problems. L fució expoecil de bse e se defie como y = e x. Ahor y sbes bie qué es lo que sigific. Algus de sus propieddes so: x x x x x x. e......!!!!. e 0 =, y e x > 0 pr todo x.. Es siempre estrictmete creciete, lo que permite resolver ecucioes expoeciles.. Cudo x tiede +, e x tiede +, pero. Cudo x tiede, e x tiede 0. Actividdes resuelts Resuelve l ecució: e x + = e x. Pr resolver ecucioes expoeciles debemos coseguir que ls bses se igules y bst, etoces, co igulr los expoetes: e x + = e x x+ = x x =. Actividdes propuests. Clcul /e co tres cifrs decimles excts.. Clcul e co tres cifrs decimles excts. Fució logritmo L fució logritmo e bse e, es decir, logritmo eperio, se defie como: l x = y x = e y Aplicdo es defiició se demuestr que: El logritmo de es cero (e culquier bse). El logritmo de l bse es. Solo tiee logritmos los úmeros positivos, es decir, Dom(l) = +. Cudo x tiede +, l x tiede +. Cudo x tiede 0, l x tiede. Es siempre estrictmete creciete, lo que permite resolver ecucioes logrítmics. Propieddes de los logritmos El logritmo de u producto (e culquier bse) es igul l sum de los logritmos de sus fctores. log (b) = log() + log(b) El logritmo de u cociete (e culquier bse) es igul l logritmo del dividedo meos el logritmo del divisor. log (/b) = log() log(b) El logritmo de u poteci (e culquier bse) es igul l expoete multiplicdo por el logritmo de l bse de l poteci. log ( b ) = blog() Actividdes resuelts Resuelve ls ecucioes: ) e x+ = e. b) l(x) = l(). Pr resolver ecucioes logrítmics despejmos el logritmo e mbos miembros, y luego, igulmos. ) e x+ = e x + = x =. b) l(x) = l() x = x = / =. Actividdes propuests. Clcul el logritmo eperio de /e y de e.. Resuelve l ecució l(x + ) + l(x) = 6. Resuelve l ecució: x x =. Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

13 60 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sucesioes. Clcul el térmio que ocup el lugr 000 de u progresió ritmétic cuyo primer térmio es igul y l difereci es.. El térmio octvo de u progresió ritmétic es y l difereci /. Hll el primer térmio y el térmio 00.. Clcul los ldos de u triágulo rectágulo sbiedo que sus medids, expresds e metros, está e progresió ritmétic de difereci.. Clcul l sum de los múltiplos de compredidos etre 000 y L sum de 6 úmeros e progresió ritmétic es y el térmio 6 es 60. Hll el primer térmio. 6. El producto de térmios e progresió geométric es y el primer térmio es. Escribe el resto de térmios.. Por el lquiler de u cs se cuerd pgr 00 euros l mes durte el primer ño, y cd ño se umetrá el lquiler e 0 euros mesules. Cuáto se pgrá mesulmete l cbo de 0 ños?. El quito térmio de u progresió geométric es y el primero es. Hll los cico primeros térmios de dich progresió. 9. Hll x pr que x, x +, (x + ) esté e progresió geométric. 0. A u cuerd de 0 m de logitud se le d dos cortes, de modo que uo de los trozos extremos tiee u logitud de 0 m. Sbiedo que ls logitudes de los trozos está e progresió geométric, determi l logitud de cd trozo.. Hll l frcció geertriz del úmero deciml 0..., como sum de los térmios de u progresió geométric ilimitd.. Se tiee u cub de vio que cotiee litros. El de diciembre se vció l mitd del coteido; l dí siguiete se volvió vcir l mitd de lo que quedb, y sí sucesivmete todos los dís. Qué ctidd de vio se scó el dí de diciembre?. Ddo u cudrdo de m de ldo, uimos dos dos los putos medios de sus ldos; obteemos u uevo cudrdo, e el que volvemos efectur l mism operció, y sí sucesivmete. Hll l sum de ls ifiits áres sí obteids.. Triágulo de Sierpiski: Vmos costruir u frctl. Se prte de u triágulo equilátero. Se ue los putos medios de los ldos y se form cutro triágulos. Se elimi el triágulo cetrl. E cd uo de los otros tres triágulos se repite el proceso. Y sí sucesivmete. A l figur formd por iterció ifiit se l deomi Triágulo de Sierpiski, y es u frctl. A) Imgi que el primer triágulo tiee u áre A. Cudo plicmos l primer iterció, el áre es (/)A. Y e l segud? Escribe l sucesió de ls áres. Es creciete o decreciete? B) Imgi hor que l logitud de cd ldo del triágulo iicil es L. Escribe l sucesió de ls logitudes. Es creciete o decreciete? Límite de sucesioes. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: 0 ) b) c) d) Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) 6 c) d) 0 6. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) c) d) Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) c) d) Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) c) 6 6 Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

14 6 0. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) 6 c) 6. Clcul el ite de ls sucesioes siguietes: ) b) 6 c) 6 Expoecil y logrítmic. L poblció de peces de u piscifctorí sigue u modelo de crecimieto expoecil y h psdo de 00 ejemplres 00 e 60 dís. Qué poblció tedrá e 00 dís?. Igresmos e u bco euros l % de iterés compuesto ul. E cuáto tiempo hbremos duplicdo uestro diero?. Ves h comprdo u coche por.000 euros. Se estim que el precio se devlú u 0 % cd ño. A cuáto lo podrá veder l cbo de ños? Si tiee u ccidete e que el coche qued destrozdo cudo tiee ños, cuáto le pgrá l compñí de seguros?. L escl de Richter relcio l itesidd de u terremoto, x, co su eergí y (e ergios): log y = + x. Clcul l eergí de u terremoto: ) de u itesidd e dich escl, y b) de u itesidd. 6. Ju h visto cucrchs e su cs. Mir de que tipo es y se eter que se triplic cd mes siguiedo u modelo expoecil. Estim que e este mometo podrí teer 0. Si o hicier d, cuáts tedrí l cbo de meses?. E l fórmul del térmio ésimo de u progresió geométric, despej, plicdo logritmos.. Nieves tiee u gr frsco de perfume muy cocetrdo de u litro. Sc co u pipet 0 cm que sustituye co gu. Vuelve scr de l mezcl co u pipet 0 cm que vuelve sustituir co gu. Así hst coseguir u mezcl co el % de l iicil. Cuáts opercioes h debido hcer? 9. Resuelve, tomdo logritmos, l ecució expoecil: (0 99) = Utiliz l clculdor pr estimr el vlor de 6. Estim tmbié 6.. Resuelve ls ecucioes: ) x = b) x c) RESUMEN x d) x Sucesió Fució etre los úmeros turles, N, y los úmeros reles,.,,,,, 9,. Progresió ritmétic Progresió geométric El úmero e Sucesió de úmeros reles e l que l difereci d etre dos térmios cosecutivos de l sucesió es costte. Térmio geerl: = k + ( k) d Sum de los primeros térmios: S ( ) Es u sucesió de úmeros reles e l que el cociete etre cd térmio y el terior es costte. Es decir, i r Térmio geerl: = k r -k. i r Sum: S = = (r ), pr r r r Sum ifiit: S, pr 0 < r <. r Producto: P = = r e,,,,,, = + S = (/) ( + ( + )) =, 6,,,, /, /, / ( ) S 6 P 9 = 9 ( ) = ( ) 9 ( ) S e es u úmero irrciol, co ifiits cifrs decimles o periódics: e Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

15 6 AUTOEVALUACIÓN. Cuál es l rzó de l siguiete progresió geométric: =? ) b) c) d) No es u progresió geométric. E l sucesió de múltiplos de, el ocup el lugr: ) b) c) d). L sum de los diez primeros térmios de l progresió ritmétic:, 0,, 0, es: ) 0 b) c) d) 0. L sucesió, /, /, /,...: ) Es u progresió geométric de rzó b) Es u progresió ritmétic de difereci c) Es u progresió geométric de rzó / d) Es u progresió ritmétic de difereci /. x. L solució de l ecució 6 es: ) 0 b) c) 0 d) 0 6. L progresió ritmétic cuyo primer térmio es y su difereci, tiee como térmio geerl: ) = b) = + c) = d) =. Pep está preprdo el exme de selectividd. Pr o dejr tod l mteri pr el fil h decidido estudir cd dí el doble de págis que el dí terior. Si el primer dí estudió dos págis, cuáts hbrá estudido l cbo de dís? ) 6 b) c) 0 d). A Luis le h tocdo 6000 e l loterí y decide depositrlos e el bco u tipo de iterés compuesto del %. Cuáto diero tedrá l cbo de ños? ) 60 b) 60 c),0 d) 99,9 9. L sucesió tiee como ite: 6 ) 0 b) c) / d) 0. L sucesió tiee como ite: ) e b) c) e d) e Mtemátics I. Bchillerto de Ciecis. Cpítulo : Sucesioes Autor: Ferd Rmos Rodríguez Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF