Distinguir diferentes sistemas numéricos de números reales, sus operaciones, estructura algebraica y propiedades de orden.

Transcripción

1 Clse : Sistems uméricos de úmeros reles Distiguir diferetes sistems uméricos de úmeros reles, sus opercioes, estructur lgebric y propieddes de orde. Clculr expresioes de úmeros reles usdo ls propieddes lgebrics de ls opercioes sum y producto, propieddes de ls potecis, regls de sigos y prétesis. Usr rciolizció pr simplificr expresioes rcioles que ivolucr ríz. Sistems uméricos U sistem umérico U es u cojuto co dos opercioes, sum y producto, que stisfce ls propieddes de clusur, comuttividd, socitividd y distributividd.. Clusur Si,b R etoces +b R Si,b R etoces b R. Comuttiv +b = b+ b = b. Asocitiv +(b+c) = (+b)+c (b c) = ( b) c. Distributiv (b+c) = b+ c (+b) c = c+b c Uo de los sistems uméricos más importte e mtemátic es el cojuto de los úmeros reles. Este cojuto está compuesto por los úmeros turles (N), los úmeros eteros (Z), los úmeros rcioles (Q) y los úmeros irrcioles (I). Cd uo de estos cojutos es, su vez, u sistem umérico. Números Rcioles Números Irrcioles,,, 0., 0.5, 0,, 0.65, 5,,, π, e Eteros Nturles...,,,, 0,,,,,... Figure : Números Reles

2 Números Nturles (N). El cojuto de los úmeros turles ce por ecesidd de cotr y está costituido por ifiitos elemetos, N := {,,,, 5,...}. Cd úmero turl represet l ctidd de elemetos de u cojuto ddo. Not. U represetció gráfic de los úmeros turles es e u rect, como muestr l figur: cuyo orde está defiido de meor myor, e relció l ctidd de elemetos que represet. Números Eteros (Z). El cojuto de los úmeros eteros es l extesió de los úmeros turles l itroducir los coceptos de úmero egtivo e iverso ditivo, Z := {...,,,,0,,,,...} Los úmeros turles so deomidos úmeros positivos y sus iversos ditivos so deomidos úmeros egtivos. Not.. L operció rest se defie sobre Z (tmbié sobre Q y R) como u operció biri (que stisfce l propiedd de clusur). Est operció se defie de l siguiete mer: l sum etre y el iverso ditivo de b. b = +( b). Este cojuto tmbié dmite u represetció gráfic sobre u rect, dode el iverso ditivo de u úmero turl se posicio igul distci del cero que el úmero ddo, pero hci l izquierd. L distribució de los úmeros eteros sobre l rect itroduce u orde turl sobre este cojuto. Números Rcioles (Q). El cojuto de los úmeros rcioles, o tmbié coocido como cojuto de ls frccioes, está defiido por { } Q := b Z,b Z {0} bjo l codició b = c si y sólo si d = b d d Ls opercioes sum y producto, que defie Q como sistem umérico, so defiids por: Sum. b + c d = d+b c b d Producto. b c d = c b d

3 Not.. Si m y so úmeros turles, etoces l frcció m es u úmero que stisfce m = m E otrs plbrs, l frcció m m. es quel úmero (o medid) que l ser sumd -veces etreg como resultdo el úmero m {}}{... } {{ }. Prrepresetrel úmero rciol m sobrel rectes comú utilizr el teorem de Thles, sobresemejz de triágulos: x = m x = m 0 x m. Si m y so úmeros positivos, etoces l frcció m es cosiderd u úmero positivo. De form álog, su iverso ditivo, m se cosider u úmero egtivo. Esto permite represetr l cojuto de los úmeros rcioles sobre u rect, respetdo el orde sobre los úmeros eteros: El cojuto de los úmeros rcioles stisfce l propiedd de desidd: etre dos úmeros rcioles existe u úmero rciol. Est propiedd dej l ide de que el cojuto de los úmeros rcioles está muy juto. A pesr de ello se puede ecotrr úmeros etre dos rcioles que o so u frcció. Cosideremos el siguiete ejemplo:. Demostremos que el úmero o es u frcció. Solució. Est demostrció l relizremos utilizdo el rgumeto por cotrdicció: Si de u proposició se cocluye u flsedd, etoces l proposició debí ser fls. L proposició que desemos probr que es fls es: p = ( es u frcció) q Si pérdid de geerlidd podemos supoer que p y q o tiee fctores comues. Elevdo l cudrdo uestr iguldd tedremos p = q De l iguldd terior se desprede que p es u úmero pr. Como p es u úmero etero, etoces p o puede ser impr (y que producto de úmeros impres es impr). Luego existe u úmero etero k tl que p = k y, l remplzr e l iguldd p = q, se obtiee k = q = q = k Por el rgumeto teriormete utilizdo se deduce que q es u úmero pr, lo que es flso ddo que p y q o posee fctores comues. Est flsedd cocluye que uestr propisició = p q es fls. Por lo tto, o es u úmero rciol.

4 Números Irrcioles (I). El cojuto de los úmeros irrcioles so todos quellos úmeros que o se puede expresr como u frcció., 5,,, π, e, etc... Números Reles (R). El cojuto de los úmeros reles cost de todos los úmeros que puede escribirse e form deciml. E otrs plbrs, l uió de los úmeros rcioles e irrcioles coform el cojuto de los úmeros reles. Ls opercioes sum (+) y producto ( ) stisfce ls siguietes propieddes:. Clusur Si,b R etoces +b R Si,b R etoces b R. Comuttiv +b = b+ b = b. Asocitiv +(b+c) = (+b)+c (b c) = ( b) c. Distributiv (b+c) = b+ c (+b) c = c+b c 5. Elemeto eutro +0 = 0+ = = = 6. Iverso Pr todo úmero rel existe u úmero rel, que deotremos, que stisfce +( ) = ( )+ = 0 Pr todo úmero rel o cero existe u úmero rel, que deotremos o, que stisfce = = El cojuto de los úmeros reles es l extesió de los úmeros rcioles que respet l sum, producto y orde de los rcioles, demás de completr sobre l rect los espcios que o cubre los úmeros rcioles. Not. El úmero es u úmero rel (o rciol) cuy medid correspode l digol del cudrdo de ldo. - 0 E este setido, u úmero rel positivo se etiede como l medid de u segmeto y se represet sobre l rect l derech del cero. Similrmete, úmero egtivo se represet l izquierd del cero, igul distci del cero que su iverso ditivo.

5 . Álgebr de úmeros reles A cotiució presetmos propieddes ecesris pr el cálculo de expresioes de úmeros reles. Propieddes de los sigos Propiedd. ( ) = ( ) =. ( ) = ( ) =. ( ) b = ( b) = ( b) ( ) = ( ) = ( ). ( ) ( b) = b ( 5) ( 8) = (+b) = b (+5) = 5 6. ( b) = b ( 9) = 9 Ejercicio (lumo). Clculr el vlor de l siguietes expresió ( 6) ( : +( ) ( 5)) Propieddes de ls Frccioes Propiedd b c d = c b d b : c d = b d c c + b c = +b c b + c d = d+b c b d c b c = b b = c d si y sólo si d = b c 5 = 5 = 0 : 5 = 5 = = + 5 = 5+ = = 5 5 = 0 si y sólo si 0 = 5 Not. L expresió : b y b so equivletes, de este modo b c d = b : c d = d b c b c d = d b c 5

6 Ejercicio (lumo). Clculr el vlor de l siguietes expresió + +. Pedro teí $8.000 y h gstdo ls cutro décims prtes e libros, dos quitos e películs y u décimo e revists. Qué frcció de su diero h gstdo?, cuáto diero le qued? Solució. El diero se h gstdo de l siguiete mer: Libros: Películs: Revists: Sumdo estos motos se tiee = = = $.00+$.00+$.800 = $6.00, de modo que el diero que qued es $8.000 $6.00 = $.800. Por lo tto, l frcció que le qued es es decir u décimo del diero = 0 Ejercicio (lumo). Ju tiee $.500 pr reprtir etre sus tres hijos. Si l myor le etreg dos quitos y l meor u tercio, cuáto diero recibió el hijo de e medio?, qué frcció del diero recibió el hijo de e medio?. Potecis y ríces. Pr todo R y N se defie =... }{{} fctores que deomiremos -ésim poteci de. El úmero se deomi bse y se deomi expoete.. Si 0 y N se defie 0 = 0 y = 6

7 Leyes de Expoete Ley. m = +m 5 5 = 5 + = 5 9. m = 6 m = 6 =. ( ) m = m ( ) 5 = 5 = 5. (b) = b ( 5) = 5 5. ( b) = b ( ) = 5 5 Ejercicio (lumo). Utilice ls leyes de los expoetes pr simplificr y clculr l siguiete expresió. ( ) ( ) ( ) Ejercicio (lumo). Determie cuál es el error e cd u de ls siguietes igulddes. Justifique su respuest = 6. ( π) = 9 π. =. + = 5. = 5 Pr todo N y R se defie l ríz -ésim de por l relció Si es u úmero pr, debemos teer 0 y b 0. = b si y sólo si b =. 8 = y que = 8 8 = y que = 8 6 = y que = 6 5 = 5 y que 5 = 5. Clculr el vlor de Solució. Comezremos escribiedo cd fctor que está detro de l ríz como poteci de úmeros primos = 6 = 0 = ( 5 ) = 5 = =

8 Leyes de Expoete Ley. b = b 8 = 8 = = 6. b = 6 6 b 8 = = 8 m. = m 6 6 = 6 =. = si es impr ( 5) = 5, 5 5 = 5. = si es pr ( ) = Not. El vlor bsoluto de u úmero rel, que deotremos, represet l distci de este úmero l cero, sobre l rect rel. Por ejemplo,. =. = Ejercicio (lumo). Clculr el vlor de 6. Ejercicio (lumo). Decid si está bie utilizd l Ley (de los expoetes) e l siguietes iguldd ( 6) ( 6) = 6 6 Se puede clculr ( 6) ( 6)? Justifique sus respuests. Rciolizr Rciolizr... = b = + b b + b = b b = = = ( ) = + = ( + ) + = Ejercicio (lumo). Simplifique l expresió, rciolizdo el deomidor cd vez que se posible

9 . Clcule el vlor umérico de ls siguietes expresioes. Ejercicios () ( 6) ( : +( ) ( 5)) (b) {5 [( 56) : +9 5]}. Clcule ls siguietes opercioes, simplificdo cudo se posible. () 5 5 (b) (c) + ( + 5 ) (d) ( 8 ). Clcule el vlor de ls siguietes expresioes, expresdo su resultdo como u frcció simplificd. () 6 [( ) ] (b) ( : ) ( + 5 ) (c) Clculr el vlor de ls siguietes expresioes. () ( ) : (0.) (b) 6+ 6 (c) ( 5 ) ( 5 + : b b ) 5. Rciolizr ls siguietes expresioes. (d) ( ) ( b b ) (e) + (f) ( ) : + ( ) + (g) (h) (i) x 6 b 8 0 b 0 ( b c 5 b 6 c 0 ) 5 () 6 (b) 0 (c) 5 (d) 5 5+ (e) + 6. Simplifique ls siguietes expresioes, rciolizdo e cso que se ecesrio. () (b) Refereci bibliográfic Precálculo: Mtemátics pr el cálculo, Jmes Stewrt 5ed. Precálculo: Mtemátics pr el cálculo, Jmes Stewrt 6ed. Dipositivs de ivelció, Istituto de Ciecis Básics UDP, versió 05. 9