CAPÍTULO 2: POTENCIAS Y RAÍCES 1. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES

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1 CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecis de epoete turl. Recuerd que: Ddo, u úmero culquier, y, u úmero turl, l poteci es el producto del úmero por sí mismo veces E form desrrolld, l poteci de se y epoete se escrie:, veces, siedo culquier úmero y u úmero turl, veces ( ( ( ( ( (, veces. L se puede ser positiv o egtiv. Cudo l se es positiv el resultdo es siempre positivo. Cudo l se es egtiv, si el epoete es pr el resultdo es positivo, pero si es impr el resultdo es egtivo. Si clculmos los ejemplos de rri tedremos:. Resultdo positivo porque multiplico u úmero positivo veces. ( ( ( ( ( (. Multiplico u úmero egtivo u úmero impr de veces, por lo que el resultdo es egtivo. Cd vez que multiplicmos dos veces dos úmeros egtivos os d uo positivo, como teemos, quedrí u sigo meos si multiplicr, luego (+ ( (. Recuerd que: Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Bse positiv: resultdo siempre positivo. Bse egtiv y epoete pr: resultdo positivo. Bse egtiv y epoete impr: resultdo egtivo Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes potecis: ( ( ( ( ( ( c ( ( Actividdes propuests. Clcul ls siguietes potecis: ( + c ( Potecis de epoete egtivo: Defiició de poteci de epoete egtivo y se : / Esto se justific y que se dese que se sig verificdo ls propieddes de ls potecis: m / m. m / m+ m (m + /. es lo mismo que (/.. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. EJEMPLOS: Ls propieddes de ls potecis so: El producto de potecis de l mism se es igul otr poteci de l mism se y como epoete l sum de los epoetes: m m+ ( ( + El cociete de potecis de l mism se es igul otr poteci que tiee como se l mism, y como epoete l difereci de los epoetes: : m m / ( / ( - c L poteci de u poteci es igul l poteci cuyo epoete es el producto de los epoetes: ( m m ( ( ( ( d El producto de potecis de distit se co el mismo epoete es igul otr poteci cuy se es el producto de ls ses y cuyo epoete es el mismo: ( Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

2 ( ( ( ( ( e El cociete de potecis de distit se y el mismo epoete es igul otr poteci cuy se es el cociete de ls ses y cuyo epoete es el mismo: / (/ / ( / ( (/ (/ (/ (/ Tods ests propieddes de ls potecis que se h citdo pr los epoetes turles sigue siedo válids pr otros epoetes: egtivos, frcciorios Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes opercioes co potecis: 9 ( 9 ( 9 c / 0 0 d / ( + 9 Actividdes propuests. Efectú ls siguietes opercioes co potecis: ( + ( + ( + : ( + c {( } d ( + ( +. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.RADICALES.. Potecis de epoete rciol. Defiició. Se defie l poteci de epoete frcciorio y se como: / Epoetes frcciorios: ( Ls propieddes citds pr ls potecis de epoete etero so válids pr ls potecis de epoetes frcciorios /.. Rdicles. Defiició. Ejemplos Se defie ríz -sim de u úmero, como el úmero que verific l iguldd. Siedo: es el ídice, es el rdicdo y es l ríz -sim de Importte: siempre es positivo. No eiste l ríz. L rdicció de ídice es l operció ivers de l potecició de epoete. Por l defiició de ríz -ésim de u úmero se verific que si es ríz, etoces: Oserv que se puede defiir: / y que: ( / (/. Como / stisfce l mism propiedd que dee ser cosiderdos como el mismo úmero. ( / ( ( / /.. Propieddes de los rdicles. Ejemplos. Ls propieddes de ls potecis eucids teriormete pr el cso de epoetes frcciorios, tmié se puede plicr ls ríces: Si multiplicmos el ídice de u ríz por u úmero p,y l vez elevmos el rdicdo ese úmero p el vlor de l ríz o vrí. Se verific p 0 se verific que : Demostrció: r/s s r p.p p p..p p. Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

3 .. Se verific puesto que segú cmos de ver: Pr multiplicr ríces del mismo ídice, se multiplic los rdicdos y se hll l ríz de ídice comú:... Segú ls propieddes de ls potecis de epoetes eteros se verific que: ( c Pr dividir ríces del mismo ídice se divide los rdicdos y se hll l ríz del ídice comú. Supoemos que 0 pr que teg setido el cociete. Si escriimos: (. d Pr elevr u rdicl u poteci st co elevr el rdicdo dich poteci: Est propiedd l podemos demostrr como sigue: m ( m. m m m m m ( ( e L ríz de u ríz es igul l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices: Se verific que: Actividdes resuelts: m m m m. m m y Reduce ídice comú los siguietes rdicles: ( ; Sc fctores fuer de l ríz: y ( y ; 0 ( (y 0. y 0 Poer los siguietes rdicles como u sol ríz:..... Actividdes propuests. 9. Clcul: (.. c ( ( +. Hllr : y y :. Reliz ls siguietes opercioes co rdicles: : y y ( ( + Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

4 9. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION... Opercioes. Defiició. Ejemplos RECUERDA: Sum y rest de rdicles: Pr sumr y restr rdicles estos dee de ser idéticos: + Pr sumr estos rdicles hy que sumr sus epresioes proimds. Si emrgo l epresió: + si se puede sumr y restr puesto que sus rdicles so idéticos + + PARA PODER SUMAR O RESTAR RADICALES ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE Y EL MISMO RADICANDO. SOLO CUANDO ESTO SUCEDE PODEMOS SUMAR O RESTAR LOS COEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMO RADICAL Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejdo que todos los rdicles se idéticos: ( + + Producto de rdicles: Pr multiplicr rdicles deemos covertirlos e rdicles de igul ídice y multiplicr los rdicdos:. 0.- Clculmos el m.c.m.de los ídices.- Dividimos el m.c.m etre cd ídice y lo multiplicmos por el epoete del rdicdo y simplificmos 9 ( Divisió de rdicles: Pr dividir rdicles deemos coseguir que teg igul ídice, como e el cso terior y después dividir los rdicles....(.... Ríz de u ríz: Es l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices (segú se demostró e l propiedd e, y después simplificmos etryedo fctores fuer el rdicl si se puede. y y y y Etre fctores del rdicl: y y y y RECUERDA: Pr etrer fctores del rdicl se dee cumplir que el epoete del rdicdo se myor que el ídice de l ríz. opcioes: Se divide el epoete del rdicdo etre el ídice de l ríz, el cociete idic el úmero de fctores que etrigo y el resto los que se qued detro. Se descompoe los fctores del rdicdo elevádolos l mismo ídice de l ríz, cd epoete que coicid co el ídice, sldrá el fctor y los que sore se qued detro Los fctores que podrímos etrer serí el, y el, de l siguiete mer: Dividimos el epoete de l,, etre, y que el ídice de l ríz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que sldrá dos y qued detro. Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

5 0 De igul form pr l y, dividimos etre y oteemos de cociete y uo de resto, por lo que sle y y se qued otr detro. Vemos:.. y y y y y y Actividdes propuests. Escrie jo u solo rdicl y simplific:..... Clcul y simplific:.y..y.y. Reliz l siguiete operció: Clcul y simplific: 9.. Rciolizció. Ejemplos. Rciolizr u frcció lgeric cosiste e ecotrr otr equivlete que o teg rdicles e el deomidor. Pr ello, hy que multiplicr umerdor y deomidor por l epresió decud. Cudo e l frcció solo hy moomios, se multiplic y divide l frcció por u mismo úmero pr coseguir completr e el deomidor u poteci del mismo epoete que el ídice de l ríz.. Multiplicmos y dividimos por pr oteer e el deomidor u curt poteci y quitr el rdicl. Cudo e l frcció prece e el deomidor iomios co ríces cudrds, se multiplic y se divide por u fctor que proporcioe u difereci de cudrdos, este fctor es el fctor cojugdo del deomidor. ( +, su cojugdo es: (. Otro ejemplo: ( + su cojugdo es: ( + Multiplicmos por el cojugdo del deomidor que e este cso es: + ( Actividdes propuests 0. Rcioliz l epresió:. Rcioliz:. Rcioliz: ( ( + ( y y Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

6 . NOTACION CIENTÍFICA... Defiició. Ejemplos. L otció cietífic se utiliz pr escriir úmeros muy grdes o muy pequeños. L vetj que tiee sore l otció deciml es que ls cifrs se os d cotds,co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otció cietífic cost de: U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero.(l de ls uiddes El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml U poteci de se 0 que d el orde de mgitud del úmero. N,cd... 0 siedo: su prte eter (solo u cifr c d su prte deciml 0 L poteci eter de se 0 Si es positivo, el úmero N es grde. Y si es egtivo, etoces N es pequeño, 0 ( : Número grde., 0 - (0, : Número pequeño... Opercioes co otció cietífic Pr operr co úmeros ddos e otció cietífic se procede de form turl, teiedo e cuet que cd úmero está formdo por dos fctores: l epresió deciml y l poteci de se 0. El producto y el cociete so imeditos, mietrs que l sum y l rest eige preprr los sumdos de modo que teg l mism poteci de se 0 y, sí poder scr fctor comú. (, 0 (, 0 (,, 0 +,0 0,0 0, 0 ( (, :, 0 0, 0, 0, 0 RECUERDA: Pr multiplicr úmeros e otció cietífic, se multiplic ls prtes decimles y se sum los epoetes de l poteci de se 0. Pr dividir úmeros e otció cietífic, se divide ls prtes decimles y se rest los epoetes de l poteci de se 0. Si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr l prte deciml co u sol cifr e l prte eter c, 0 +,9 0, 0 0, (, +,9 0 9, 0 9, 0 RECUERDA: Pr sumr o restr úmeros e otció cietífic, hy que poer los úmeros co l mism poteci de se 0, multiplicdo o dividiedo por potecis de se 0. Se sc fctor comú l poteci de se 0 y después se sum o rest los úmeros decimles queddo u úmero deciml multiplicdo por l poteci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr l prte deciml co u sol cifr e l prte eter Actividdes propuests. Clcul: (, 0 - (, 0 (, 0 - : (, 0 -. Efectú y epres el resultdo e otció cietífic:.0 +.0,.0 +, Reliz ls siguietes opercioes y efectú el resultdo e otció cietífic: (, 0 -, 0 (, 0 - Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

7 . LOGARITMOS:.. Defiició: El logritmo de u úmero m, positivo, e se, positiv y distit de uo, es el epoete l que hy que elevr l se pr oteer dicho úmero. Si > 0, log m z m z Los logritmos más utilizdos so los logritmos decimles o logritmos de se 0 y los logritmos eperios (llmdos sí e hoor Neper o logritmos e se e(e es u úmero irrciol cuys primers cifrs so: e,. Amos tiee u otció especil: log 0 m log m log e m l m log 9 9 log log l e e e Como cosecuecis imedits de l defiició se deduce que: ü El logritmo de es cero (e culquier se Demostrció: Como 0, por defiició de logritmo, teemos que log 0 log 0 log 0 log 0 ü El logritmo de l se es. Demostrció: Como, por defiició de logritmo, teemos que log log log log log ü Solo tiee logritmos los úmeros positivos, pero puede her logritmos egtivos. U logritmo puede ser u úmero turl, etero, frcciorio e icluso u úmero irrciol Al ser l se u úmero positivo, l poteci uc os puede dr u úmero egtivo i cero. log ( No eiste log 0 No eiste. log log 0, 0, 0. log 0 / 0 0 /. log 0,000.. Actividdes resuelts: log log log ( / ( / / Actividdes propuests:. Copi l tl djut e tu cudero y emprej cd logritmo co su poteci: ü El logritmo de es cero (e culquier se ü El logritmo de l se es. ü Solo tiee logritmos los úmeros positivos. log 0 0 log 0 log log 0 log log log log. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: log log c log d log 0. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: log log 0 00 c log /(/ d log Clcul utilizdo l defiició de logritmo: log log / c log. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: log + log / log 9 log log / + log / log Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

8 .. Propieddes de los logritmos:. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores: log ( y log + log y Demostrció: Llmmos A log y B log y. Por defiició de logritmos semos que: A log A B log y B y Multiplicmos: y A B A+B log y A + B log + log y. log ( log + log. El logritmo de u cociete es igul l logritmo del dividedo meos el logritmo del divisor: log (/y log log y Demostrció: Llmmos A log y B log y. Por defiició de logritmos semos que: A log A B log y B y Dividimos: / y A / B A-B log ( / y A B log log y. log (/ log log. El logritmo de u poteci es igul l epoete multiplicdo por el logritmo de l se de l poteci: log y y.log Demostrció: Por defiició de logritmos semos que: A log A ( A y y Ay Ay log y y log log log. El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice de l ríz: log log Demostrció: Teiedo e cuet que u ríz es u poteci de epoete frcciorio. log log. Cmio de se: El logritmo e se de u úmero es igul l cociete de dividir el logritmo e se de por el logritmo e se de : log log log Est epresió se cooce co el omre de fórmul del cmio de se. Ls clculdors sólo permite el cálculo de logritmos decimles o eperios, por lo que, cudo queremos utilizr l clculdor pr clculr logritmos e otrs ses, ecesitmos hcer uso de ést fórmul. log log log log, 9 log Actividdes resuelts: Desrrollr ls epresioes que se idic: [ ] log c log + log log c log + log log c log log c log log log log(y z ( log log y log z log log y log y z y z [ ] z Escrie co u úico logritmo: log + log log + log c log + log + log c log log c (log log log c (log log log( c log(. log Epres los logritmos de los siguietes úmeros e fució de log 0,000: log log log 0,000 0,000 0 log0 log 0 0 log 0 0,000,000 Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

9 Actividdes propuests:. Desrroll ls epresioes que se idic: l e. Epres los logritmos de los úmeros siguietes e fució de log 0, c 909. Simplific l siguiete epresió: logm logt log p + logh RESUMEN: log c. d Ejemplos Potecis de epoete turl y etero Propieddes de ls potecis Potecis de epoete rciol. Rdicles Propieddes de los rdicles Rciolizció de rdicles Notció cietífic. p - / ( (.( 9. (. m m+ : m -m ( m.m. (. / (/ r/s s p r.. m m ( m m. Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l epresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc. ( ( ( ( + ( : ; ( (. ( 0 ( ( (( ( / (/ / (. (. + (.( + + ( +, 0 9 +,9 0 -, 0 0, (,+9-0 9, 0 9, 0 (, 0 (, 0,0 0,0 0, ( (, :, 0 0, 0 0, 0,. 0 Logritmos Si > 0, log m z m z log ( y log + log y log (/y log log y log y y.log log (/ log log log log log log Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

10 EJERCICIOS Y PROBLEMAS: Potecis:. Epres e form epoecil:. Clcul: c t c d ( z + t d ( e ( e.y.y Rdicles:. Epresr e form de rdicl:. Epresr e form epoecil: ( c 9 m ( m d k ( + c [( ] e ( + ( d f (. Epres como poteci úic: c d. e. g f Propieddes de los rdicles:. Simplific: 9. c c..c Etrer fctores del rdicl: c d 0 d c (. Itroducir fctores e el rdicl: f e ( c d y y.y e f y. c.. d. Opercioes co rdicles: c 0 0 g 0. d 9 e f 0 e : f : 0. Efectú: + 0 e 9 Rciolizr f 0 c d +. Rcioliz y simplific: c + +. Efectú y simplific: 0 + g c. Rcioliz los deomidores: + ` ( d + + e (+ + d e ( + f + f + + c (- + : ( + Notció cietífic:. L ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proimdmete, y est es,9 0 t. Epres e otció cietífic l ms del Sol, e kilogrmos.. El ser vivo más pequeño es u virus que pes del orde de 0- g y el más grde es l lle zul, que pes, proimdmete, t. Cuátos virus serí ecesrios pr coseguir el peso de l lle?. Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

11 . Los cico píses más cotmites del mudo (Estdos Uidos, Chi, Rusi, Jpó y Alemi emitiero illoes de toelds de CO e el ño 99, ctidd que represet el, % de ls emisioes de todo el mudo. Qué de CO se emitió e el ño 99 e todo el mudo?. Epres e otció cietífic: Recudció de ls quiiels e u jord de l lig de fútol: 000 Toelds de CO que se emitiero l tmósfer e 99 e Estdos Uidos, miles de milloes. c Rdio del átomo de oigeo: 0, m. Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: ( 0 - ( 0 ( 0 - ( 0 - c ( 0 : ( 0 - d, e( 0-9. Epres e otció cietífic y clcul: 0, (00 : (000 c (0,00 (0,000 d ,000 0,0000 0, Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: 0 + 0, 0 +, 0 c(, 0 -, Que resultdo es correcto de l siguiete operció epresd e otció cietífic: (,.0 (, 0 :,9 0,9 0 c,9 0 d,9 0 AUTOEVALUACION. El úmero / vle: u dieciseisvo Dos c U curto d U medio.. Epres como poteci de se cd uo de los úmeros que v etre prétesis y efectú después l operció: / ( ( (. El resultdo es: -/ -/ c -/ d -. El úmero: es igul : / / c / /9 d. Cuál es el resultdo de l siguiete epresió si l epresmos como poteci úic?:. c d. Simplificdo y etryedo fctores l siguiete epresió tiee u vlor:.. c...c. c..c.. c c...c.. c d...c.. c. Cuál de los siguietes vlores es igul /?. / /. - c ( d. -. Cuál es el resultdo de est operció co rdicles?: c +. d.. U epresió co u úico rdicl de: ( + ( + está dd por:.( + ( +.( +.( + c.( + 9.( + d.( +.( + 9. Pr rciolizr l epresió: hy que multiplicr umerdor y deomidor por: + c + d + 0. Cuál es el resultdo e otció cietífic de l siguiete operció?:, 0 9 +,9 0, 0 0,.0, 0 c, 0 d, 0, 0, 0. Cuál es el resultdo de l siguiete operció epresdo e otció cietífic?: 0,.0, 0 c, 0 d,.0 0 Mtemátics º de ESO. Cpítulo º: Potecis y ríces LirosMreVerde.tk Autor: José Atoio Eco de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF