Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

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1 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles SERIE RESUELVE El liro Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles I pr. er curso de Bchillerto, es u or colectiv coceid, diseñd y cred e el Deprtmeto de Edicioes Eductivs de Still Educció, S. L., dirigido por Teres Grece Ruiz. E su elorció h prticipdo el siguiete equipo: Césr de l Prid Alms A Mrí Gztelu Villori Augusto Gozález Grcí José Lorezo Blco Crlos Pérez Svedr Domigo Sáchez Figuero BACHILLERATO EDICIÓN Césr de l Prid Alms Virgilio Nieto Brrer EDITOR EJECUTIVO Crlos Pérez Svedr DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domigo Sáchez Figuero Ls ctividdes de este liro o dee ser relizds e igú cso e el propio liro. Ls tls, esquems y otros recursos que se icluye so modelos pr que el lumo los trslde su cudero.

2 Ídice Uidd Números reles Aritmétic de l ecoomí 7 SABER. Números rcioles 0. Números irrcioles. Números reles. Itervlos. Aproximcioes y errores. Acotció de errores 7. Notció cietífic 7 8. Rdicles 8. Opercioes co rdicles 0 0. Rciolizció. Logritmos. Porcetjes 8. Porcetjes ecdedos. Iterés simple 0. Iterés compuesto. Auliddes de cpitlizció. Auliddes de mortizció 7. Ts Aul Equivlete (TAE) 8. Números ídice 7. Ídice de Precios de Cosumo (IPC) 8 0. Ecuest de Polció Activ (EPA) Escriir úmeros irrcioles Represetr e l rect rel los úmeros de l form Escriir u úmero e otció cietífic Simplificr rdicles Reducir rdicles ídice comú Rciolizr expresioes del tipo Clculr totles, prtes y porcetjes Resolver prolems de porcetjes ecdedos Clculr el cpitl cumuldo medite uliddes de cpitlizció Elorr tls de mortizció Elorr u tl de úmeros ídice Comprr medite porcetjes Ecucioes. Poliomios. Ríces de u poliomio. Fctorizció de poliomios 7. Frccioes lgerics 8. Opercioes co frccioes lgerics. Ecucioes de segudo grdo Otros tipos de ecucioes 7 8. Fctorizció de ecucioes 7. Ecucioes logrítmics 7 0. Ecucioes expoeciles 7 Utilizr l regl de Ruffii pr dividir poliomios Clculr ls ríces eters de u poliomio Fctorizr u poliomio Simplificr frccioes lgerics Reducir comú deomidor frccioes lgerics Sumr y restr frccioes lgerics Resolver ecucioes icudrds Resolver ecucioes logrítmics Resolver ecucioes expoeciles Sistems de ecucioes. Sistems de ecucioes lieles 0. Sistems de ecucioes lieles co dos icógits. Sistems de ecucioes lieles co tres icógits. Método de Guss. Sistems de ecucioes o lieles Resolver u sistem co el método de sustitució Resolver u sistem co el método de igulció Resolver u sistem co el método de reducció Resolver u sistem co el método gráfico Resolver u sistem de tres ecucioes co el método de Guss 8 Fucioes. Fucioes reles de vrile rel. Domiio y recorrido. Simetrí y periodicidd. Fucioes poliómics. Iterpolció y extrpolció. Trsformcioes de fucioes 8 7. Fucioes rcioles 8. Fucioes co rdicles 0. Fució ivers 0. Fucioes expoeciles. Fucioes logrítmics. Fucioes trigoométrics. Fucioes defiids trozos. Opercioes co fucioes 8. Composició de fucioes Determir el domiio de u fució Determir l simetrí de u fució Represetr u fució cudrátic Clculr vlores por iterpolció liel Clculr vlores por extrpolció liel Represetr u fució de proporciolidd ivers Represetr l fució f() x = x Clculr l fució ivers de u fució Represetr u fució expoecil Represetr u fució logrítmic Represetr u fució defiid trozos Límite de u fució. Sucesioes. Límite de u sucesió. Cálculo de límites. Opercioes co límites 7. Idetermicioes 8. Resolució de lgus idetermicioes. Límite de u fució e el ifiito 7. Límite de u fució e u puto 8. Rms ifiits. Asítots. Cotiuidd de u fució 8 Clculr límites co u idetermició del tipo / Resolver los límites co u idetermició del tipo - Clculr el límite de u fució e u puto Clculr el límite e u fució defiid trozos Resolver los límites co u idetermició del tipo 0 / 0 Clculr ls sítots horizotles de u fució Clculr ls sítots verticles de u fució rciol

3 SABER HACER Rciolizr iomios co ríces cudrds Operr co úmeros decimles periódicos Relizr opercioes comids co potecis Usr l propiedd distriutiv pr scr fctor comú Efectur l uió de dos itervlos Efectur l itersecció de dos itervlos Clculr itervlos ecjdos que coteg u úmero irrciol Sumr y restr úmeros e otció cietífic Escriir cierts expresioes medite u solo rdicl Itroducir fctores e u rdicl Rciolizr frccioes co u producto de rdicles e el deomidor Recoocer úmeros represetdos e l rect rel Resolver opercioes etre frccioes co rdicles Clculr el iterés e plzos distitos l ul Clculr el tiempo de iversió iterés compuesto Resolver prolems de iterés compuesto co umetos ules de cpitl Clculr el tiempo e uliddes de cpitlizció Clculr uliddes de cpitlizció e plzos diferetes l ul Elorr u tl de mortizció por meses Clculr uliddes de mortizció e plzos diferetes l ul Clculr l TAE pr períodos superiores u ño Clculr l TAE si los itereses o so ules Alizr ctiddes prtir de l iflció Clculr l vrició de ivel dquisitivo Determir u coeficiete pr que u ecució de.º grdo teg u úmero de solucioes Resolver ecucioes del tipo x + x + c = 0 Resolver ecucioes del tipo Px ()/ Qx ( ) = Rx ( ) Resolver ecucioes del tipo Px ()/ Qx ( ) = Rx ( )/ Sx () Resolver ecucioes del tipo Px () = Qx () Resolver ecucioes del tipo Px () + Qx () = Rx () Resolver ecucioes medite fctorizció Resolver expresioes del tipo log x = c o log x = c Resolver prolems medite el uso de ecucioes Resolver ecucioes del tipo Px ( ) = Resolver ecucioes expoeciles medite u cmio de vrile Expresr tods ls solucioes de u sistem de ecucioes comptile idetermido co dos icógits Resolver sistems e fució de u prámetro Resolver prolems co u sistem de ecucioes Determir el úmero de solucioes de u sistem de ecucioes co dos icógits Expresr tods ls solucioes de u sistem de ecucioes comptile idetermido co tres icógits Hllr los vlores de ls opercioes co fucioes Compoer fucioes Clculr el domiio de fucioes o elemetles Clculr el período de ls fucioes trigoométrics Represetr fucioes del tipo f(x) = x co $ Determir l gráfic de u fució prtir de trsformcioes Represetr fucioes del tipo kf(x) coocid l gráfic de f(x) Represetr fucioes del tipo f() x Represetr l gráfic de u fució ivers k x + = y f() x = x + x + c Resolver sistems de ecucioes lieles co tres icógits e fució de u prámetro Resolver prolems co u sistem de ecucioes lieles co tres icógits Resolver sistems o lieles que cotiee expresioes rdicles Resolver sistems o lieles que cotiee frccioes lgerics Escriir u sistem comptile determido co u solució dd Resolver u sistem de cutro ecucioes y tres icógits Represetr fucioes del tipo f(x) = kx Represetr fucioes del tipo f(x) = x+ + c Represetr fucioes del tipo f(x) = log kx Represetr fucioes del tipo g() x = f() x Represetr fucioes e ls que iterviee el vlor soluto Expresr u fució como composició de otrs fucioes Determir el período de u fució Represetr fucioes del tipo f() x Represetr fucioes del tipo f() x k = x = k x Clculr ls sítots olicus de u fució Estudir l cotiuidd de u fució elemetl Determir el límite de u cociete de poliomios co rdicles Resolver límites del tipo ( / ) c que preset l idetermició Clculr el límite de u fució e u puto Clculr u límite que preset u idetermició del tipo 0/0 cudo hy rdicles Represetr u fució coociedo sus sítots y sus putos de corte Determir el sigo de ls rms ifiits de u fució rciol Determir si u fució rciol tiee sítots horizotles y olicus Estudir l cotiuidd de u fució defiid trozos Clculr el vlor de u prámetro pr que u fució se cotiu Clculr el límite e u puto de u cociete de poliomios Determir ls sítots de u fució

4 Ídice Uidd 7 Derivd de u fució 7 8 Apliccioes de l derivd. Represetció de fucioes 7 Estdístic uidimesiol 0 Estdístic idimesiol SABER. Ts de vrició medi 7. Derivd de u fució e u puto 7. Iterpretció geométric de l derivd 7. Fució derivd 77. Derivds de fucioes elemetles 78. Opercioes co derivds Regl de l cde 8. Crecimieto y decrecimieto 8. Cocvidd y covexidd 0. Represetció gráfic de fucioes 0. Represetció de fucioes poliómics 0. Represetció de fucioes rcioles 0. Vrile estdístic uidimesiol. Gráficos estdísticos. Medids de cetrlizció. Medids de posició 8. Medids de dispersió. Aálisis de ls medids estdístics 0. Vrile estdístic idimesiol. Gráficos estdísticos de vriles idimesioles. Depedeci etre vriles 7. Correlció. Rects de regresió. Estimció de resultdos Clculr l derivd de u fució e u puto utilizdo l defiició Clculr l tgete de u fució e u puto utilizdo l defiició Clculr l derivd de u producto de fucioes Clculr l derivd de u cociete de fucioes Clculr l derivd de u fució compuest Clculr el vlor de u prámetro de u fució coociedo su derivd e u puto Estudir l derivilidd de u fució e u puto depediedo de u prámetro Determir el crecimieto y el decrecimieto de u fució Determir los máximos y los míimos de u fució utilizdo l derivd segud Determir l cocvidd y covexidd de u fució Represetr u fució coociedo lgus crcterístics Represetr fucioes poliómics Represetr fucioes rcioles Estudir el crecimieto y el decrecimieto e u fució defiid trozos Costruir u tl grupdo los dtos e itervlos Relizr u histogrm y su polígoo de frecuecis Clculr medids de cetrlizció e vriles cotius Estudir cojutmete l medi y l desvició típic Estudir l depedeci medite tls de cotigeci Clculr l covriz Clculr e iterpretr el coeficiete de correlció Determir y represetr l rect de regresió Estimr vlores utilizdo l rect de regresió Trjr l estdístic idimesiol co clculdor Proilidd 7. Experimetos letorios 8. Sucesos. Opercioes co sucesos 70. Frecueci y proilidd 7. Propieddes de l proilidd 7. Regl de Lplce 7. Proilidd codiciod 7 7. Tls de cotigeci 7 8. Depedeci e idepedeci de sucesos 77 Determir el espcio muestrl co u digrm de árol Clculr proiliddes utilizdo l regl de Lplce Elorr u tl de cotigeci y utilizrl pr clculr proiliddes Clculr el úmero de posiiliddes utilizdo métodos de coteo Clculr el úmero totl de sucesos si el úmero de sucesos elemetles es fiito Distriucioes iomil y orml. Vriles letoris. Distriucioes discrets. Distriució iomil. Distriucioes cotius 8. Distriució orml. Aproximció de l iomil 0 Costruir u vrile letori prtir de u experimeto Clculr l fució de proilidd y l fució de distriució de u vrile letori discret Determir si u vrile letori sigue u distriució iomil y hllr su fució de distriució Clculr proiliddes e vriles letoris que sigue u distriució iomil Clculr proiliddes e vriles letoris que sigue u distriució iomil por medio de tls Clculr l fució de distriució de u vrile letori cotiu

5 SABER HACER Clculr l tgete de u fució e u puto utilizdo ls técics de derivció Determir los putos co tgete horizotl e u fució Clculr l tgete u puto de u lugr geométrico Hllr el vlor de u prámetro e u fució coociedo lgus de sus tgetes Clculr u derivd sucesiv Clculr l derivd de u fució del tipo f (x) = g(x) Clculr l deriv de u fució del tipo f (x) = g (x) Clculr l derivd de u fució del tipo f (x) = l g(x) Clculr l derivd de u fució del tipo f(x) = se g(x) Clculr l derivd de u fució del tipo f(x) = rc cos g(x) Clculr l derivd de u fució del tipo f(x) = g(x) h(x) Clculr l derivd de l composició de tres fucioes Determir l tgete de u fució e u puto que cumple u serie de codicioes Clculr l rect orml u curv Clculr el vlor de vrios prámetros de u fució coociedo lgus de sus crcterístics Clculr l velocidd de u móvil Resolver prolems medite el estudio del crecimieto de u fució Determir los prámetros de u fució de l que se cooce u máximo o u míimo Determir u fució coociedo lgú puto por el que ps y u máximo o u míimo Estudir el crecimieto y el decrecimieto e u fució prtir de l gráfic de su derivd Represetr l derivd de u fució prtir de l gráfic de dich fució Elorr u tl de u vrile discret cudo el úmero de dtos es grde Costruir u digrm de rrs dosds Iterpretr pirámides de polció Alizr dtos medite medids de posició Trjr l estdístic uidimesiol co clculdor Agrupr los dtos de vriles idimesioles e itervlos Costruir ls tls de frecuecis mrgiles prtir de l tl de dole etrd Iterpretr u tl de dole etrd Clculr l rect de regresió co l clculdor Determir l medi de u de ls vriles prtir de l rect de regresió Hllr el espcio muestrl de u experimeto co u tl de dole etrd Clculr proiliddes experimetlmete Clculr proiliddes utilizdo sus propieddes Resolver prolems de proilidd co sucesos compuestos Clculr l proilidd de l itersecció de sucesos utilizdo u digrm de árol Utilizr l regl del producto e experimetos co reemplzmieto Determir l cocvidd y covexidd de u fució defiid trozos Estudir l cocvidd y l covexidd e u puto prtir de l represetció gráfic de l fució Estudir l posició de l gráfic respecto de u sítot horizotl Estudir l posició de l gráfic respecto de u sítot verticl Resolver prolems de optimizció Represetr fucioes expoeciles Represetr fucioes logrítmics Iterpretr ls medids estdístics e u vrile uidimesiol Iterpretr l medi y l desvició típic cojutmete Clculr medids estdístics co ordedor Relizr gráficos estdísticos co ordedor Añdir o suprimir dtos pr oteer u medid estdístic determid Vrir l medi de u cojuto de dtos l sumr u ctidd fij todos Determir e iterpretr el sigo del coeficiete de correlció prtir de l rect de regresió Diujr gráficos estdísticos idimesioles co ordedor Relizr u rect de regresió co ordedor Represetr vriles idimesioles Clculr el coeficiete de correlció e tls de dole etrd grupds e itervlos Clculr proiliddes de sucesos compuestos Clculr proiliddes codiciods de sucesos compuestos Clculr el cotrrio de l uió o de l itersecció Expresr sucesos utilizdo sus opercioes Hllr l proilidd de sucesos o equiproles Clculr u proilidd codiciod Utilizr l regl del producto e experimetos si reemplzmieto Clculr proiliddes por medio de tls e vriles letoris que sigue u distriució orml Clculr proiliddes e u vrile letori iomil proximádol u orml Clculr los prámetros de u vrile letori que sigue u distriució iomil Determir u prámetro pr que u fució se fució de desidd Clculr l proilidd de que Z / N(0, ) se myor que u vlor positivo Clculr l proilidd de que Z / N(0, ) esté etre dos vlores Clculr l proilidd de que Z / N(0, ) se meor o myor que u vlor egtivo Clculr u puto coociedo l proilidd Tipificr u vrile letori Clculr uo de los prámetros, coociedo el otro prámetro y u proilidd Clculr l medi y l desvició típic, coociedo dos proiliddes Clculr proiliddes e vriles letoris que sigue u distriució iomil co grde Determir los extremos del itervlo simétrico respecto l medi,, que cotiee u porcetje de ls oservcioes de l distriució N(, v) Aproximr u distriució iomil u distriució orml y clculr proiliddes

6 Esquem de l uidd L estructur de ls uiddes didáctics es muy secill, y que se trt de fcilitr l loclizció de los coteidos fudmetles, de los ejemplos resueltos y de ls ctividdes propuests. A lo lrgo de tod l uidd mrcmos co icoos quellos coteidos o ctividdes e ls que se trj de mer prticulr ls competecis ásics. Competeci mtemátic, cietífic y tecológic Competeci socil y cívic Cocieci y expresió rtístic Iicitiv y empredimieto Comuicció ligüístic Competeci digitl Apreder preder Itroducció l uidd: u texto que motiv el estudio de los coteidos. Págis files de l uidd: u pso más e l plicció de los coteidos predidos. Se especific los coteidos (Ser) de l uidd. El texto iicil preset u specto de l vid rel e el que se utiliz los coteidos que se v estudir e l uidd. Est pági, que te muestr cómo ls mtemátics iterviee e tu vid, respode l pregut de l pági iicil de l uidd. Además, propoe u serie de ctividdes que te permitirá profudizr e el specto de l vid rel que se muestr. Págis de coteidos: SABER y SABER HACER como u todo itegrdo. Nuestr propuest pr Ser so uos textos clros y estructurdos. Los Ejemplos te yudrá fizr esos seres. E l prte Ser hcer prederás, pso pso, los procedimietos ecesrios pr tu desrrollo mtemático. Juto los textos explictivos ecotrrás iformcioes complemetris que te será muy útiles pr l compresió de los coceptos y procedimietos. Ls Actividdes de ests págis te yudrá prcticr los coocimietos dquiridos. Además, su secuecició te permitirá llegr domirlos.

7 Págis de Ser hcer: pr preder hcer mtemátics. E ests págis se muestr los procedimietos ásicos (Ser hcer) de l uidd. Cd procedimieto se itroduce medite l resolució de u ctividd e l que se muestr, pso pso, u método geerl de resolució. Ls ctividdes que compñ cd procedimieto te permitirá prcticr y domir estos coteidos. Págis de Ser hcer: pr preder hcer mtemátics. Nuestrs Actividdes files está secuecids pr que proveches de l mejor form posile l plicció de los coteidos estudidos. Cd ctividd te muestr l dificultd que tiee. Los Ser hcer te yudrá seguir profudizdo e los procedimietos. Est pági sirve pr profudizr e el predizje de los coteidos de l uidd. Ls ctividdes que ofrecemos te hrá reflexior sore l teorí y pesr u poco más. E los prolems de ls Olimpids mtemátics tedrás que plicr todos tus coocimietos e igeio pr descurir regulriddes y propieddes de los coteidos que cs de estudir. 7

8 Números reles CONTENIDOS Números rcioles e irrcioles Números reles Itervlos Aproximcioes y cotció de errores Notció cietífic Rdicles Logritmos Por lo geerl, socimos los coches y su coducció situcioes plceters, de ello se h ecrgdo l pulicidd, los vededores L relidd es que e l myorí de los csos ests situcioes idílics o so tles y l coducció ps ser estreste y peligros, deiedo prestr l máxim teció pr evitr ccidetes. L preveció de los ccidetes de tráfico es fudmetl, pr mejorrl se h relizdo cmpñs cosejdo l coducció resposle: respeto ls señles de circulció, decució de l velocidd l ví por l que se circul, prohiició expres de cosumir sustcis que ifluy egtivmete e l coducció, como ls drogs o el lcohol Ests medids o so cprichoss, se h tomdo después de lizr milloes de ccidetes y determir ls cuss que los provocro. Los estudios firm que l velocidd es resposle e l myorí de los csos, pero Cómo ser l velocidd que llev u vehículo tes del ccidete?

9 Números rcioles El cojuto Q de los úmeros rcioles está formdo por todos quellos úmeros que se puede escriir como u frcció, dode y so úmeros eteros y es distito de 0. Al clculr l expresió deciml de u úmero rciol, dividiedo el ume rdor etre el deomidor se otiee u úmero etero o u úmero deciml excto o periódico. Recíprocmete, culquier úmero deciml de este tipo se puede escriir e form de frcció y, por tto, es u úmero rciol. EJEMPLO Clsific los úmeros rcioles y po ejemplos. Números rcioles * Números eteros * Números turles:,,, El úmero cero: 0 Eteros egtivos: -,-,-, Decimles exctos : 0, ; -, ; Números decimles *! # Decimlesperiódicos :, ; -, ; Recuerd Dos frccioes y d c so equivletes cudo tiee el mismo vlor umérico: c = "? d =? c d Cd cojuto de frccioes equivletes represet el mismo úmero rciol. Culquier frcció del cojuto es u represette del úmero rciol, y l frcció irreducile co deomidor positivo es el represette cóico. EJEMPLO El úmero rciol está formdo por l frcció y tods sus frccioes equivletes. Cuál es su represette cóico? = ),,,,,,, L frcció irreducile co deomidor positivo es ; por tto, es el represette cóico del cojuto de frccioes. ACTIVIDADES. Clcul el represette cóico de estos úmeros ) ) -0. Escrie dos represettes de los úmeros rcioles. 7 8 ) ). Hll cuátos úmeros rcioles distitos hy e est secueci !,. U frcció que teg u térmio egtivo y otr que teg sus dos térmios positivos, puede ser represettes del mismo úmero rciol? 0

10 Números reles Números irrcioles El cojuto I de los úmeros irrcioles está formdo por los úmeros que o puede ser expresdos como frcció. Su expresió deciml tiee u úmero ifiito de cifrs que o se repite de form periódic. Existe ifiitos úmeros irrcioles, lguos de los cules so: Ls ríces o excts, como,, - 7, E geerl, si es u úmero turl que o es u cudrdo perfecto, es irrciol. Números especilmete importtes: r =, ; U = + = 80, ; e =,7888 No olvides Si es u úmero rciol y es u úmero irrciol: + es irrciol? es irrciol EJEMPLO Demuestr que 7 o es u úmero rciol. Si 7 fuer rciol " 7 =, co irreducile " 7 = " 7 = Por tto, es divisile etre, lo que es imposile, y que y so primos etre sí. SABER HACER Escriir úmeros irrcioles Escrie lguos úmeros irrcioles idicdo cómo lo hces. primer método. Se escrie el úmero deciml hst u determid cifr y se idic cómo cotiú. Número 0,780,80 Regl de formció Trs l com se sitú todos los úmeros turles Trs l com se sitú todos los úmeros pres segudo método. Si u úmero irrciol se le sum o multiplic por u úmero rciol, el resultdo es u irrciol. + Por ejemplo, es irrciol ", +,?, -,, so irrcioles. ACTIVIDADES. Escrie cutro úmeros irrcioles, especificdo su regl de formció.. Decide si los siguietes úmeros so irrcioles. r ) 0,000 ) r 0 - r d) 7 7. Ecuetr, si hcer opercioes co decimles, u úmero irrciol compredido etre - y. 8. Rzo si so cierts o o ls siguietes firmcioes. ) L ríz de u úmero irrciol es irrciol. ) U úmero irrciol l cudrdo o es rciol.

11 Números reles NÚMEROS REALES R NÚMEROS IRRACIONALES I El cojuto de los úmeros reles está formdo por los úmeros rcioles e irrcioles, y se represet por R. - 0 r -0,7.. Rect rel, L rect uméric e l que se represet todos los úmeros reles se deomi rect rel. NÚMEROS RACIONALES Q 07-7 SABER HACER Números eteros Z Números turles N 0 Represetr e l rect rel los úmeros de l form Represet e l rect rel. primero. Se descompoe como u sum de cudrdos perfectos. " = + = + + = segudo. Se utiliz los dos primeros cudrdos perfectos pr costruir los ctetos de u triágulo rectágulo sore l rect rel. No olvides Los úmeros reles lle completmete l rect. Cd puto de l rect se correspode co u úmero rel, y se rciol o irrciol. 0 Ls logitudes de los ctetos será y. 0 tercero. Se utiliz el siguiete cudrdo perfecto pr costruir u uevo triágulo sore l hipoteus del triágulo terior. L logitud es. curto. Se sigue costruyedo triágulos de form álog hst hcerlo co todos los cudrdos. quito. Co cetro e 0 y rdio l hipoteus del último triágulo, se trz u rco que corte l rect rel. 0 ACTIVIDADES. Idic el cojuto umérico míimo l que perteece cd úmero. ) 8,0 e), ), d), # f) - 0. Represet ls ríces. ) ) 0 d). Coloc, e l rect rel, el úmero: U = +. Represet, e l siguiete rect rel, los úmeros y. 0

12 Números reles.. Propieddes Ls propieddes que cumple los úmeros reles so ls misms que cumple los úmeros rcioles. Propieddes Sum Multiplicció Asocitiv ( + ) + c = + ( + (? )? c =? (? Elemeto eutro + 0 =? = Elemeto opuesto/iverso + (-) = 0? f p= Comuttiv + = +? =? Distriutiv? ( + =? +? c No olvides El elemeto opuesto y el elemeto iverso so úicos pr cd úmero rel. El úmero 0 o tiee iverso, es decir, o existe igú úmero rel que multiplicdo por 0 se igul. EJEMPLO Aplic l propiedd distriutiv ests expresioes. ) -? +? e- o =-? e + o=-? =- = )? -? +? =? e - + o=? = Relció de orde Ddos dos úmeros reles y decimos que: es meor que, y se escrie <, cudo - es positivo. es myor que, y se escrie >, cudo - es egtivo. L relció de orde etre úmeros reles cumple ls siguietes propieddes. Trsitiv Si # y # c, se cumple que # c. Relció totl Se estlece u orde etre todos los úmeros: <, = o >. Moóto respecto de l sum Si #, ddo u vlor de c, se cumple que + c # + c. Respecto del producto Si # y c > 0, se cumple que? c #? c. Si # y c < 0, se cumple que? c $? c. ACTIVIDADES. Aplic l propiedd distriutiv y oper. )? f - p )? -? +? Ecuetr tres úmeros situdos etre estos. ) 0 00 y 0 00 ) y + 0. Orde, de meor myor, los siguietes úmeros rcioles e irrcioles. 7 r Co yud de l propiedd distriutiv, clcul si relizr los cudrdos. ) )

13 Itervlos U itervlo es u cojuto de úmeros reles que se correspode co los putos de u segmeto o u semirrect de l rect rel. Cd itervlo viee determido por sus extremos, siedo dos extremos e el cso de los segmetos y u extremo e el cso de ls semirrects. Segú icluy o o los putos extremos, los itervlos puede ser iertos, semiiertos o cerrdos. Itervlo ierto (, ) { x : < x < } Itervlo cerrdo [, ] { x : # x # } Itervlo semiierto (, ] { x : < x # } Itervlo semiierto [, ) { x : # x < } Semirrect iert (, +) { x : < x } Semirrect cerrd [, +) { x : # x } Semirrect iert (-, ) { x : x < } Semirrect cerrd (-, ] { x : x # } Recuerd Vlor soluto ;; = si $ 0 ) - si < 0 ;; = ;-; = ;-7; = 7 EJEMPLO Represet los cojutos que prece cotiució de tods ls forms posiles. ) Números meores que { x: - < x < 8} ) { x: # x < } d) { x: ;x; # } ) { x: x < } = (-, ) { x: - < x < 8 } = (-, 8) - 8 ) { x: # x < } = [, ) d) { x: ;x; # } = [-, ] - E el último prtdo, l codició {;x; # } equivle que l distci hst el úmero 0 es meor o igul que uiddes. ACTIVIDADES 7. Represet los siguietes cojutos uméricos de tods ls forms que coozcs. ) Números meores que r. ) Números myores que y meores o igules que 7. Números meores o igules que y myores que -. d) Números compredidos etre los dos primeros úmeros pres, mos icluidos. e) Números compredidos etre y. 8. Escrie, de tods ls mers que coozcs, estos itervlos de l rect rel. ) ) - - d) -. Represet el cojuto { x: ;x - ; # } de tods ls forms que coozcs.

14 Números reles Aproximcioes y errores.. Aproximcioes A veces es imposile trjr co ciertos úmeros, por ejemplo: r; ;,77 E estos csos usmos vlores exctos que esté próximos l úmero y que simplifique los cálculos. Estos vlores se llm proximcioes. Existe vrios tipos de proximcioes, siedo ls más importtes: Aproximció por defecto o trucmieto. Cosiste e elimir ls cifrs prtir del orde cosiderdo. Aproximció por exceso. Se elimi ls cifrs prtir del orde cosiderdo, umetdo e u uidd l últim cifr que dejmos. Redodeo: es l mejor proximció de etre ls dos teriores. EJEMPLO # Aproxim,8;, y 7 ls cetésims.,8, # 7 =, 7 Redodeo ls cetésims,,, Trucmieto ls cetésims,,, Clculdor Co el modo FIX de l clculdor podemos fijr el úmero de decimles co el que trjmos. Por ejemplo, si fijmos decimles, el resultdo de hcer: 7 =, 7 será: 7 =... Errores El error soluto, E, es l difereci, e vlor soluto, etre el vlor rel y l proximció. E = ;V rel - V proximdo ; El error reltivo, E r, es el cociete del error soluto y el vlor rel. E r = E V rel EJEMPLO 7 Clcul los errores cometidos l redoder, ls cetésims., Redodeo ", E = ;, -,; = 0,00 000, Er = = 0000,, ACTIVIDADES 0. Co yud de l clculdor, escrie e form deciml y sus proximcioes por exceso y por defecto ls diezmilésims y ls ciemilésims.. Pies e u situció e l que dos medicioes teg los mismos errores solutos, pero distitos errores reltivos.

15 Acotció de errores U cot es u vlor que limit u ctidd descoocid: U cot de l esttur es,8 m porque o existe persos de myor ltur. L cot de edd máxim pr disfrutr de ls vetjs del cré jove es 0 ños, y que prtir de es edd o se puede oteer dicho cré. Al redoder u úmero hst u orde cometemos u error soluto que cumple que: E soluto < " Cot de error soluto? 0 EJEMPLO 8 Clcul u cot de error soluto del redodeo del úmero r ls cetésims. r =, Redodeo ", E = ;V rel - V proximdo ; = ;r -,; <,? 0 = 000 U cot de error soluto de est proximció es 0,00. Se puede decir que el error soluto es meor que medi uidd del orde l que hemos proximdo el úmero. Aproximció ls décims " E < 0,0 Aproximció ls cetésims " E < 0,00 Si f es u cot de error soluto, E soluto < f, se cumple que: E reltivo V f proximdo - f " Cot de error reltivo EJEMPLO Hll u cot de error reltivo del redodeo del úmero r ls cetésims. r =, Redodeo ", " E < 0,00 f 000, V - f = = 0,00 " E r < 0,00, - 0, 00 proximdo L cot de error reltivo e tto por cieto es del 0, %. ACTIVIDADES. Idic dos ejemplos de medid y d sus correspodietes cots de error.. Clcul ls cots de error soluto y reltivo l redoder el úmero : ) A ls cetésims. ) A ls milésims.. L polció de u puelo, redoded ls deces, es de 0 hittes. Puedes idicr los errores? Srís dr ls cots de error cometido?. Clcul u cot de error soluto cudo trucmos u úmero ls décims. Y si fuer ls cetésims?

16 Números reles 7 Notció cietífic U úmero e otció cietífic es de l form? 0, dode ;; es u deciml excto del itervlo [, 0) y es u úmero etero. El térmio se llm mtis del úmero y es el orde de mgitud. L otció cietífic se utiliz pr revir ctiddes grdes o pequeñs. SABER HACER Escriir u úmero e otció cietífic Escrie y 0,00000 e otció cietífic. primero. Si el úmero tiee su prte eter distit de cero, el expoete de l poteci de 0 será positivo, y si su prte eter es cero, el expoete será egtivo " Expoete positivo 0,00000 " Expoete egtivo segudo. Se cuet ls cifrs que tiee el úmero desde l primer cifr distit de cero hst llegr ls uiddes. L cifr de ls uiddes o se cuet. El resultdo, slvo e el sigo, coicide co el expoete de l poteci de 0. Uiddes Clculdor Pr escriir u úmero e otció cietífic co l clculdor se utiliz ls tecls, x y (). Pr itroducir el úmero 7,? 0 teclemos: 7, 0 x Y pr itroducir 8,? 0 - tecleremos: 8, 0 x () ,00000 cifrs cifrs tercero. Se escrie el úmero co u sol cifr eter, distit de cero, y l correspodiete poteci de = -,8? 0 0,00000 =,? 0 - cifrs cifrs Opercioes co úmeros e otció cietífic Pr sumr y restr, los úmeros dee teer el mismo orde de mgitud. Pr multiplicr y dividir se multiplic o divide ls mtiss, por u ldo, y ls potecis de 0, por otro. EJEMPLO 0 Reliz ests opercioes. ),? 0 -,? 0 +,? 0 - = 0,? 0 -,? 0 + 0,000? 0 = = (0, -, + 0,000)? 0 = = -0,08? 0 = -,08? 0 ) (,? 0 -?,? 0 ) : (,? 0 - ) = [(,?,) :,]? [(0 -? 0 ) : 0 - ] = =,? 0 (- + - ) =,? 0 - Dte cuet El resultdo de lgus sums o rests puede ser u úmero que o está escrito e otció cietífic. 7,0? 0 +,? 0 = =,? 0,? 0 " Su prte eter tiee dos cifrs.,? 0 =,? 0 ACTIVIDADES. Escrie e otció cietífic los siguietes úmeros. ) 0, ) d) 0, Oper y expres el resultdo e otció cietífic. ) (,? 0 +,7? 0 - ) : 8,0? 0 - ),7? 0 8 (7,7? 0 -,? 0 - ) 7

17 8 Rdicles Ídice = Rdicdo Ríz Ddo u úmero rel, se llm ríz -ésim de todo úmero rel que verifique que =. Se deot por =. Al símolo se le llm rdicl de ídice de. L rdicció es u operció relciod co l potecició. Potecició Coocemos l se,, y el expoete,, y clculmos l poteci. = Rdicció Coocemos l poteci,, y el expoete,, y clculmos l se. = 8.. Vlor umérico de u rdicl Clculdor L clculdor cietífic os permite clculr ríces co ls tecls shift y situdo el cursor e el hueco correspodiete pr escriir, primero el ídice y luego el rdicdo. - " shift () =.8700 Cudo clculmos el vlor umérico de u rdicl, hy que teer e cuet si el ídice es pr o impr y, tmié, el sigo del rdicdo. Se llm vlor umérico del rdicl todo úmero rel tl que =. Rdicdo Ídice N.º de ríces reles > 0 impr pr ríz positiv ríces, u positiv y su opuest = 0 pr o impr ríz " 0 = 0 0 " shift 0 =.77 < 0 impr pr ríz egtiv Nigu ríz EJEMPLO Dds ls siguietes equivlecis, deduce el úmero de ríces. ) = " = " Decimos que tiee dos ríces cudrds. (- ) = " =- ) = " = " tiee u ríz cúic, (- ) =- " =- "- tiee u ríz cúic, - ACTIVIDADES 8. Decide si so cierts ls siguietes igulddes. Rzo l respuest. ) - = =! ) =! d) =!. Clcul el vlor umérico, si existe, de los siguietes rdicles. ) ) - 8 d) 8

18 Números reles 8.. Potecis de expoete frcciorio U poteci de expoete frcciorio m es u rdicl de ídice y rdicdo m, es decir, m = m. Dos rdicles so equivletes cudo, l expresrlos e form de poteci co expoete frcciorio, sus ses so igules y ls frccioes de sus expoetes so equivletes. m es equivlete p m q si p =. q EJEMPLOS Expres e form de poteci co expoete frcciorio. ) = ) ( ) - = - 8 = 8 Expres como poteci los siguietes rdicles y hll rdicles equivletes. ) = " ) ( - ) = ( - ) = = 8 ( ) ( ) = - " (- ) = (-) Dte cuet Al clculr rdicles equivletes, el úmero de ríces puede vrir. - y (- ) so equivletes, pero o tiee ls misms ríces. - =- ( - ) = ( Simplificció de rdicles Simplificr rdicles cosiste e extrer de l ríz todos los fctores posiles. SABER HACER Simplificr rdicles Simplific todo lo posile los rdicles y 8. primero. Se expres l ríz como poteci de expoete frcciorio. segudo. Se clcul l frcció irreducile del expoete. Si es u frcció impropi, se trsform e l sum de u úmero etero y u frcció propi. tercero. Se expres como producto de potecis, si se puede, y se vuelve trsformr e rdicl. = = 8 = = = = k = + + =? = Recuerd U frcció es impropi cudo su deomidor es meor que su umerdor. " Frcció impropi Culquier frcció impropi se puede expresr como l sum de u úmero etero y u frcció. " = + ACTIVIDADES 0. Trsform los rdicles e potecis, y vicevers. ) e) 0 7 ) d) 7 f) 7. Idic si so equivletes los siguietes rdicles. ) ) 0 y y d) 0 y y

19 Opercioes co rdicles.. Reducir rdicles ídice comú Reducir rdicles ídice comú cosiste e ecotrr otros rdicles equivletes que teg el mismo ídice. SABER HACER Reducir rdicles ídice comú Reduce ídice comú, y. primero. Se expres los rdicles como potecis de expoete frcciorio. = = = segudo. Se reduce comú deomidor los expoetes y se expres de uevo como rdicl. m.c.m. (,, ) = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 =.. Opercioes co rdicles No olvides p? p p p =? = = + c = ( + - c = ( -? =? = m _ m i = m = m? Pr sumr o restr rdicles dee teer el mismo ídice e idético rdicdo. Pr multiplicr o dividir rdicles dee teer el mismo ídice o igul rdicdo. Si los rdicles o tiee el mismo ídice, se reduce ídice comú. Pr clculr l poteci o l ríz de u rdicl trsformmos los rdicles e potecis y opermos co ells. EJEMPLO Reliz ests opercioes. Se simplific el rdicl ) - + = - + = Cociete de potecis de l mism se p? ) ` : j? = f : - p = f? =? Se reduce comú deomidor ls frccioes de los expoetes y se expres como poteci de u producto.?? (? )? = = = = 8 f p = =? = = = ACTIVIDADES. Efectú ests opercioes. ) ) Oper y simplific. ) 7? ) f p? 8 d)? 0

20 Números reles 0 Rciolizció L rciolizció cosiste e trsformr frccioes que teg rdicles e el deomidor e otrs frccioes equivletes que o los teg. 0.. Frccioes del tipo Pr que desprezc el rdicl del deomidor e ls frccioes del tipo multiplicmos el umerdor y el deomidor por SABER HACER Rciolizr expresioes del tipo Rcioliz l expresió. primero. Se multiplic el umerdor y el deomidor por -. segudo. Se simplific l expresió resultte. -. ( ) = =? ( )?? = = Dte cuet?? = = -? Frccioes co u iomio e el deomidor Sus deomidores tiee sumdos que cotiee ríces cudrds. + c - c - c Pr elimirls se multiplic el umerdor y el deomidor por el cojugdo del deomidor. SABER HACER Rciolizr iomios co ríces cudrds Rcioliz y simplific -. primero. Se multiplic el umerdor? ` + j? ` + j y el deomidor por el cojugdo = ` - j? ` + j - del deomidor. segudo. Se simplific, si es? ` + j =- ` + j posile, l expresió resultte. - Recuerd El cojugdo de ( + ) es ( - ) y, recíprocmete, el cojugdo de ( - ) es ( + ). Por ejemplo: Cojugdo F + " - Cojugdo - " + F ACTIVIDADES. Rcioliz ls siguietes expresioes.. Rcioliz y oper. ) - ) + 7 ) + )

21 Logritmos Dte cuet Se puede cosiderr que el logritmo es l operció ivers de l expoecil. c c "! log Clculdor L clculdor cietífic os permite oteer logritmos decimles co l tecl log y logritmos eperios o turles co l tecl l. Ddos dos úmeros reles positivos y (! ), el logritmo e se de es el expoete l que hy que elevr pr que el resultdo se. log = c " c = Cudo los logritmos so e se 0 se llm logritmos decimles, y o se escrie l se. log 00 = porque 0 = 00 log 000 = porque 0 = 000 log 0, = - - porque 0 = = 0, 0 - log 0,0 = - porque 0 = = 00, 00 Si l se es el úmero e =,78, se llm logritmos eperios o logritmos turles, y se escrie l. EJEMPLO Clcul los logritmos que prece cotiució. ) log ) log 0,000 l e d) log 0,000 ) Si log = x " x = Se expres como poteci de. = " x = " x = log = ) Si log 0,000 = x " 0 x = 0,000 Se expres 0,000 como poteci de 0. 0, 000 = = = 0 - " 0 x = 0 - " x = log 0,000 = - Si l e = x " e x = e " x = l e = d) Si log 0,000 = x " x = 0,000 Se expres 0,000 como poteci de. 0, 000 = = = = = ? log 0,000 = - ACTIVIDADES. Clcul, medite l defiició, estos logritmos. ) log 8 e) l e ) log 8 f) l e - log 000 g) log d) log 0,000 h) log 0, 7. Hll, medite l defiició, los siguietes logritmos. ) log e) l e ) log 8 f) l e - log g) log 7 d) log 0,0000 h) log 0,0

22 Números reles Propieddes de los logritmos El logritmo de es siempre 0, y el logritmo de l se es. log = 0 log = El logritmo de u producto es l sum de los logritmos de los fctores. log (? = log + log c El logritmo de u cociete es el logritmo del umerdor meos el logritmo del deomidor. loge o= log-log c c El logritmo de u poteci es igul l expoete multiplicdo por el logritmo de l se de l poteci. log =? log Cmio de se e los logritmos. log log = log c c EJEMPLOS Resuelve ests opercioes co logritmos. ) log = log =? log =? = ) log, + log 0 = log (,? 0) = log 00 = log 0 =? log 0 = log = log (? ) = log + log =? log + log = + = + = + = + = = log log log 7 Hll, co yud de l clculdor, los logritmos que prece cotiució. ) log ) log e log 0 d) l 0 ) log =,80 ) log shift e = 0,88 log 0 =, d) l 0 =,0 8 Expres log 00 co logritmos decimles. log 00 log 00 = = log log ACTIVIDADES 8. Clcul los logritmos y dej idicdo el resultdo. ) log d) log ) log e) log log 00 f) log 0. Siedo que log = 0,00; log = 0,77 y log 7 = 0,8, determi los logritmos decimles de los 0 primeros úmeros turles. Co estos dtos, srís clculr log,? Y log,? 0. Hll, si yud de l clculdor, log y log. Comprue que su producto es.. Oté el vlor de x e ls siguietes igulddes. ) log x = -8 log = x ) log x = d) log x =. Clcul cuáto vle log? log.

23 SABER HACER Números rcioles Operr co úmeros decimles periódicos Clcul ls siguietes sums de úmeros decimles periódicos.!!!! ), +, ) 0, - 7, primero. Se expres los úmeros e form de frcció.! ), = - =!, = - =! 0-0 ) 0, = =! 7, = 7-7 = 0 0 segudo. Se reliz ls opercioes idicds.!! 8 ), +, = + = =!! 0-77! ) 0, - 7, = - = = = 07, PRACTICA. Sum y rest.!! ), 7+,!! ) 0, - 7, #!, +,!! d), + 7, # # e), +, # # f ), -, 0. Multiplic y divide. ),?,!!!, 7? 8, ), :,!!! d), 7 : 8, Números rcioles Relizr opercioes comids co potecis Reliz est operció f - p? f p -f -p primero. Se comiez co ls opercioes que está detro de los prétesis f - p? f p - f - p = f p? f p - f p segudo. Se cotiú operdo co ls potecis f p? f p - f p =?( - ) - tercero. Se efectú ls opercioes co ls frccioes; primero se reliz ls multipliccioes y divisioes e el orde e que prece y, después, ls sums y rests de izquierd derech.? (-)- =-8 - = - - = -8 PRACTICA. Oper. - - ) f + p? f p + f p - - ) f - p : f p + f p Números reles Usr l propiedd distriutiv pr scr fctor comú Extre fctor comú de est expresió primero. Se fctoriz por u ldo los umerdores, y por otro los deomidores. =? =? =? = =? 7 88 =? segudo. Se seleccio, e el umerdor y el deomidor, los fctores que se repite e todos los sumdos elevdos l meor expoete co que prece. Numerdor:? Deomidor: tercero. Se extre como fctor comú l frcció cuyos umerdor y deomidor so los que se c de clculr. PRACTICA??? - + = - + = 88? 7?? = f - + p = f Fctoriz. 0 ) - + ) p 8 00

24 Números reles Itervlos Efectur l uió de dos itervlos Itervlos Efectur l itersecció de dos itervlos Clcul ls siguietes uioes de itervlos. ) [-, ], (, 7) ) [-, ], (, 7) [-, 7], (, ) primero. Se diuj e l mism rect rel los dos itervlos. ) [-, ] y (, 7) ) [-, ] y (, 7) [-, 7] y (, ) segudo. Oservdo los itervlos diujdos, se expres gráficmete l uió. ) [-, ], (, 7) ) [-, ], (, 7) [-, 7], (, ) tercero. Se escrie el resultdo e form lgeric o uméric, fijádose si los extremos perteece l uió de los itervlos. ) Se puede escriir como u itervlo y que hy u sol líe resltd, el extremo iferior perteece l itervlo y el extremo superior o. [-, ], (, 7) = [-, 7) ) No se puede escriir como u itervlo y, por tto, se dej idicdo. [-, ], (, 7) Se puede escriir como u itervlo y mos extremos perteece l itervlo. [-, 7], (, ) = [-, 7] Clcul ls siguietes iterseccioes de itervlos. ) [-, ] + (-, ) ) [, ] + (7, ) [-, ] + (-, ) primero. Se diuj e l mism rect rel los dos itervlos. ) [-, ] y (-, ) ) [, ] y (7, ) 7 8 [-, ] y (-, ) segudo. Oservdo los itervlos diujdos, se expres gráficmete l itersecció. ) [-, ] + (-, ) ) [, ] + (7, ) 7 8 [-, ] + (-, ) tercero. Se escrie el resultdo e form lgeric o uméric, fijádose si los extremos perteece l itersecció de los itervlos. ) El extremo iferior o perteece l itervlo y el extremo superior sí. [-, ] + (-, ) = (-, ] ) 7 8 L itersecció o cotiee igú puto de l rect rel, luego su itersecció es vcí. [, ] + (7, ) = Q Se puede escriir como u itervlo y mos extremos perteece l itervlo. [-, ] + (-, ) = [-, ] PRACTICA 7. Hll l uió de estos itervlos. ) (-, -], (-, 0) ) (, 8], [-, 0) PRACTICA 8. Hll l itersecció de estos itervlos. ) (-, -] + (-, 0) ) (, 8] + [-, 0)

25 SABER HACER Itervlos Clculr itervlos ecjdos que coteg u úmero irrciol Escrie los cico primeros itervlos ecjdos, cuyos extremos so ls proximcioes por defecto y por exceso, dode se hll 0, e idic qué error cometes e cd uo. primero. Se hll, co l clculdor, l expresió deciml del úmero. 0 = 7, segudo. Se clcul los extremos de los itervlos comezdo por ls uiddes, es decir, sus mplitudes será de u uidd, u décim, u cetésim, u milésim y u diezmilésim, respectivmete. 0 " (, ), 0, " (,;,) 7, 0, 8 " (,7;,8), 7 0 7, " (,7;,7), 7 0, 7 " (,7;,7) 0 0,, 0,7,8 0,7,7 0,7,7 tercero. El error máximo, tomdo como proximció u puto del itervlo, es meor que su mplitud. (, ) " Error < - = (,;,) " Error <, -, = 0, (,7;,7) " Error <,7 -,7 = 0,00 (,7;,8) " Error <,8 -,7 = 0,0 (,7;,7) " Error <,7 -,7 = 0,000 No se está clculdo el error l tomr como proximció culquier de los extremos, sio l cot de error cometido. L cot de error cometido es del orde de l proximció, es decir: Si los extremos del itervlo so proximcioes ls décims, l cot de error es u décim. Si so proximcioes ls cetésims, l cot es u cetésim, y sí sucesivmete. PRACTICA. Escrie los cico primeros itervlos ecjdos, y d u cot del error cometido, de los úmeros, r y U. Notció cietífic Sumr y restr úmeros e otció cietífic Clcul,8? 0 -,? 0 +,? 0 -. primero. Se igul ls órdees de mgitud. Pr ello se elige el myor de los expoetes y se multiplic o divide por potecis de 0 el resto de los sumdos.,8? 0 = 0,8? 0,? 0 =,? 0,? 0 - = 0,000? 0,8? 0 -,? 0 +,? 0 - = 0,8? 0 -,? 0 + 0,000? 0 segudo. Se sum o rest ls mtiss y se mtiee el mismo orde de mgitud. (0,8 -, + 0,000)? 0 = -0,8? 0 tercero. Se trsform el resultdo e otció cietífic. -0,8? 0 = -,8? 0 PRACTICA 0. Oper e otció cietífic. ),? 0 - -,? 0 - +,? 0 - ),? 0 -,? 0 +,? 0

26 Números reles Rdicles Escriir cierts expresioes medite u solo rdicl Oper co ests expresioes hst covertirls e u solo rdicl. ) - ) 7 primero. Se escrie l expresió como u poteci de expoete frcciorio, co el expoete de sigo positivo. - ) = )? 7 = 7k = 7 k = 7 = 7 segudo. Se expres l poteci de expoete frcciorio como u rdicl. ) = = = = =? ) 7 = 7 PRACTICA. Covierte ls siguietes expresioes e u solo rdicl. ) - (-) e) ) - d) (-) - f ) Rdicles Itroducir fctores e u rdicl Itroduce detro del sigo rdicl todos los fctores de ests expresioes. ) ) PRACTICA. Itroduce los fctores de ls siguietes expresioes detro del sigo rdicl. ) x y c ) 8 8 d) ( - ) primero. Se itroduce e l ríz cd fctor que está fuer, co el ídice de l ríz como expoete. ) =???? ) =??? =???? segudo. Se simplific l expresió resultte e el cso de que se posile. )???? = 8 )??? = 8???? = 0 Rciolizció Rciolizr frccioes co u producto de rdicles e el deomidor Rcioliz est expresió.? `- 8j primero. Se multiplic el umerdor y el deomidor por ls expresioes ecesris pr rciolizr cd uo de los fctores co rdicles que teg el deomidor.? `- 8 j =?? `+ 8j =?? `- 8j? `+ 8j?? `+ 8j?? `+ 8j = =? +? 8? ( - 8)? ( - 8) segudo. Se simplific, si es posile, y se resuelve ls opercioes.? 7 7 +? 8 = +? 8 = +? 8 = PRACTICA. Rcioliz ests expresioes. ) )?? ` + j ` - j`- j 7

27 ACTIVIDADES Números rcioles e irrcioles. Clsific ls frccioes e reduciles e irreduciles. - ) ) 8 d) 8. Clcul l frcció irreducile de: ) ) 0-70 d) 0 e) f ) e) 00 7 f ) 88 g) 7 0 h). Hll x pr que ls frccioes se equivletes. x ) = x - = - x ) = d) =- 8 x 7. Ecuetr los vlores de x pr que se irreducile: ) L frcció propi x 8. ) L frcció impropi. x 8. Hz ests opercioes co frccioes. - - ) + f p? f - p ) f : p + f? p. Reliz ls siguietes opercioes. - - ) f - p? f p + f p ) f + p : f p - f p 0. Expres los siguietes úmeros e form deciml. ) ) d). Idic de qué tipo so estos úmeros decimles. ),,77 e) ), d) 0,0 f ) -,07. Hll l frcció geertriz de los siguietes úmeros decimles. ) 0, d) 8,000 g) 0,0! ), e), 78 # & h), 0,7 f ) 0, # i ) 0, 07 #. Efectú, utilizdo ls frccioes geertrices.!!! ), +,, +,!! ) 0, -,7 d), - 70,!. Reliz ls siguietes opercioes.!!! ),?,,7?,8!!! ) 0,0 :, d), :,. Utilizdo ls frccioes geertrices, comprue si so verdders o flss ls igulddes.!!! ), =,8 + 0, =!!!! ), : = 0, d) 0, + 0, =. Orde estos úmeros decimles de meor myor. #! # #! ),,,,, #! # ),7,7,7,77,77,77 7. D u úmero rciol y otro irrciol compredidos etre: #! # ), y,00 y e) -,8 y -,8! # # ), y, d), y,8 f ) 0, y 0, 8. Ecuetr, si hcer opercioes, u úmero irrciol compredido etre - y.. Demuestr que? es u úmero irrciol. 70. Distigue etre úmeros rcioles e irrcioles. ) ) 8 d) e) f ) 0 7. Señl los úmeros que so irrcioles. ) + - e) - )? d) + f ) SABER HACER Recoocer úmeros represetdos e l rect rel Qué úmeros represet A, B, C y D si es u segmeto culquier? - - D 0 C B 78 primero. Si el puto viee determido por l hipoteus de u triágulo rectágulo, se mide sus ctetos y se plic el teorem de Pitágors. + = h " h = 0 B = " A = B + = segudo. Si el puto viee determido por rects prlels que divide u segmeto e prtes igules, los segmetos que se form sore l rect rel tmié so igules. Los segmetos -D, DC y CA so igules (teorem de Tles). Estos segmetos divide e tres prtes igules l distci etre - y A = D = C =- +? A 8

28 Números reles 7. Qué úmeros está represetdos e cd costrucció? ) ) 7. Qué úmeros represet sore est rect uméric los putos A, B, C y D, dode es u segmeto culquier? - 0 D C B A Represet los siguietes úmeros e l rect rel. ) 0 - e) + ) - d) - f ) - 7. Represet los siguietes úmeros e l rect rel. ) ) 8 7. Orde y represet los siguietes úmeros e l rect rel. ), ) 77. Oper y clsific el tipo de úmero rel. ) 7,! ),! Itervlos,! 8. Clcul ls siguietes uioes de itervlos. 7 ) (, ), (-, ) e, G, = -, G ) [-, ), [-, 0] d) 8-7, B, 8-, 7B 8. Hll ls iterseccioes de estos itervlos. ) (-, 0) + (-, 8) ) = -, o + = -, 0G f-, H + = -, G d) 8-7, B + 8-, 7B 8. Ddos los itervlos siguietes, clcul. A = [-, -] B = [-, ) C = (-, ) ) A, B ) A, C B + C d) A + B + C 8. Ddos los itervlos siguietes, clcul. A = (-, ] B = [0, ) C = [-, ] ) A, B ) A, C B + C d) A + B + C 8. Expres los siguietes itervlos como itersecció de dos semirrects. ) e-, G e) > -, H 0 ) 8, B f ) f, 0 p $ x: < x # 0. 7 g) ) x: - # x < - d) ) x: - # x # h) % x: - < x < / 87. Escrie e form de itervlo y expréslo después como itersecció de dos semirrects. 78. Expres estos itervlos de tods ls forms posiles. ) - 0 ) d) 8 7. Descrie y represet los siguietes itervlos. ) (0, 0) d) [, ] g) (-, ] ) (, 7] e) [, 0) h) (00, +) (-, -) f ) [-, +) i ) `-7, j 80. Escrie el itervlo que correspode ests desigulddes. ) < x < # x < ) < x # 7 d) 0 # x # 8. Escrie el itervlo que correspode lo siguiete. ) x # - x > - e) x < - ) x < d) x $ 7 f ) x $ - ) L tempertur previst pr mñ vrirá etre - C de míim y C de máxim. ) Este jugdor de fútol tiee meos de 7 ños. El gu se mtiee e estdo líquido etre 0 y 00 C. d) A prtir de los 8 ños y se puede votr. e) Mi presupuesto máximo pr comprr u coche es de 000.

29 ACTIVIDADES Aproximció y errores 88. Oper y redode el resultdo ls décims. ), +,7-7,7,? (7,00 -,8) ), +,0? 7, d) 7,7 -, :, 8. A lo lrgo de l Histori se h utilizdo diferetes proximcioes del úmero r (cuyo vlor es, ). E l Bili, el vlor de r es. E el tiguo Egipto se estim dicho vlor e, 8 frcció que result de supoer que el áre de u círculo coicide co l de u cudrdo que teg como ldo 8 de l medid de su diámetro. E Mesopotmi, el vlor de r er? =,. 8 E l tigu Chi,. Y, filmete, e los cálculos prácticos se us,. Hll los errores soluto y reltivo de cd proximció, tomdo como vlor excto de r =,. 0. Hll l proximció por redodeo hst ls diezmilésims pr cd cso. ) + - ) + 7 d) Clcul el error soluto y el reltivo l trucr,7 l cetésim.. Oté el error soluto y reltivo l redoder los siguietes úmeros. ) l diezmilésim. ), l cetésim. l décim.. Aproxim el úmero 7 pr que el error se meor que u cetésim.. Aproxim el úmero, de form que el error soluto se meor que 0,00.. Pr qué úmero serí,7 u proximció ls milésims por defecto? Es l respuest úic? Cuáts respuests hy?. Hll u proximció los siguietes úmeros. ) r co u cot de error iferior u milésim. ) co u cot de error iferior medi cetésim. U = + co u cot de error meor que 0,000. d) co u cot de error iferior 0, Notció cietífic 7. Idic cuáles de estos úmeros está escritos e otció cietífic. ),78 d),? 0 ) 0,? 0 e),? 0 -,00? 0 7 f ),70? 0 8. Escrie e otció cietífic los siguietes úmeros, e idic su mtis y su orde de mgitud. ) e) ) 0, f ) 0, g) d) 0, h) 000. Reliz ests opercioes co úmeros e otció cietífic. ),? 0 +,7? 0 ) 8,7? 0 +,? 0,? 0 +,8? 0 - d),? 0 +,? 0 - +,7? 0 - e),? 0 - +,? 0 +,8? Hll el resultdo de ests opercioes. ),? 0 -,7? 0 ) 8,? 0 -,? 0 7,? 0 - -,? 0 - d),? 0 +,? 0 -,? 0 e)? 0 -? ? 0-0. Efectú ls siguietes opercioes. ) 7,? 0?,? 0 - ) 8,? 0 -?,7? 0 (8,? 0 ) : (,7? 0 ) d) (,? 0 - ) : (,? 0 ) 0. Simplific el resultdo de ests opercioes. -, 7? 0?,? 0 ) 8-7,? 0? 7,? 0 -,? 0?, 8? 0 ) -8 7? 0?,? 0 0. Ddos los siguietes úmeros escritos e otció cietífic, clcul. A =,7? 0 8 B =,? 0 C = 7,? 0 ) A? B : C A + B? C ) B - A + C d) (B + C ) : A 0. Ddos los siguietes úmeros e otció cietífic, clcul. A =,? 0 B = 8,? 0 C =,? 0 - ) A? B? C A + B? C ) (A : C )? B d) A? C 0

30 Números reles Rdicles 0. Hll el vlor umérico de los rdicles que prece cotiució. ) e) 7 ) - 7 d) - f ) Escrie dos rdicles equivletes cd uo de los siguietes. ) ) 7 8 e) d) 0 f ) 07. Simplific los rdicles que prece cotiució. ) ) d) 7 g) 7 e) 7 8 h) f ) 8 i ) 08. Escrie e cd cso si el desrrollo de l iguldd es verddero o flso. Si es flso, corrígelo. 0 ) 8 = = 8 = = 0 8 ) = = d) = 7 = 8 0. Escrie ls siguietes potecis de expoete frcciorio como u rdicl.? ) f? - p? - f )? - : - p d) - f p 7? Escrie como potecis de expoete frcciorio estos rdicles. ) d) - g) _ i ). Expres medite u solo rdicl. ) ) e) f ) e) h) i ) d) g) h) f ) i ). Extre todos los fctores posiles de los rdicles siguietes. ) c 7 e) + c ) c d) + f ) c+. Extre los fctores que pueds de cd rdicl. ) d) 0 ) 80 e) f ) 70 g) h) - 8 i ) 8. L siguiete expresió co rdicles es u úmero etero. Hll dicho úmero. 0?? 8. Extre fctores de los rdicles. ) xy d) xy ) x xy 7 e) x y z f ) 7xy z. L expresió es u úmero etero. Averigu cuál es. 7. Simplific ls siguietes expresioes. ) 8 8 d) - - 8c ) c e) 8 8 f ) f - 8. Copi y complet ls potecis que flt. Y Y? 7 ) =? d) 7 = Y? Y Y ) =? e) = = f ) = Y Y. Reliz ls siguietes sums y rests de rdicles. ) ) d) Itroduce los fctores detro del rdicl. ) d) ) 0 e) f ) 7. Itroduce los fctores detro del rdicl. ) )? 7 p

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