Tema 2. Operaciones con Números Reales

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1 Te. Opercioes co úeros reles Te. Opercioes co Núeros Reles. Opercioes co frccioes.. Itroducció.. Su y difereci.. Producto y divisió.. Opercioes cobids. Potecis.. Expoete turl.. Expoete etero (egtivo). Notció cietífic. Ríces. Potecis expoete frcciorio.. Ríz de u úero.. Potecis de expoete frcciorio. Rdicles.. Rdicles equivletes.. Opercioes co ríces.. Itroducció y extrcció de fctores de u rdicl.6. Su de rdicles Te elbordo por José Luis Lorete Argó

2 Te. Opercioes co úeros reles. Opercioes co frccioes.. Itroducció Recordeos que u frcció es u cociete idicdo de dos úeros eteros, dode siepre distito de cero. El úero situdo debjo de l frcció, b, es el deoidor y os idic ls prtes e ls que se divide l uidd; el situdo debjo,, es el uerdor y os idic ls prtes que toos. Si el vlor bsoluto del uerdor es yor que el uerdor etoces el úero es superior l uidd. Coo vios e el te terior l expresió decil de ls frccioes puede ser exct o periódic (pur o ixt). Cetréoos hor e ls opercioes co frccioes... Su y difereci. Pr sur o restr dos o ás frccioes es ecesrio que ests teg el iso deoidor. Pr obteer el coú deoidor se busc l frcció equivlete (ultiplicdo uerdor y deoidor por iso úero) cuyos deoidores se u últiplo de todos los deoidores iiciles (preferibleete el íio coú últiplo pr que esté lo ás siplificdo posible). U vez que los deoidores se los isos suos y restos los deoidores. Ejeplo: Producto y divisió El producto de dos frccioes es otr frcció cuyo deoidor es el producto de los deoidores y el uerdor el de los uerdores. El cociete de dos frccioes es otr frcció e dode el uerdor es igul l producto del uerdor de l prier frcció co el deoidor de l segud frcció y el deoidor el producto del deoidor de l prier co el uerdor de l segud. Regl eotécic: uerdor producto de edios y deoidor producto de extreos. Si l divisió viee expresd coo u torre de frccioes l regl plicr es l is. Se puede eteder l divisió de dos frccioes coo u producto de l prier co l ivers de l segud : Ejeplos:, :, Ivers de u frcció es de for que el producto de bs es l uidd Te elbordo por José Luis Lorete Argó

3 Te. Opercioes co úeros reles Regl de los sigos e l ultiplicció y divisió: ; : -- ; : ; -:- - - ; -:-.. Opercioes cobids. Ls regls de ls opercioes cobids so ls iss que ls de los úeros eteros, cudo hy vris opercioes se hce e el siguiete orde: Prétesis Potecis Productos y divisioes (de iquierd derech) Sus y rests (de izquierd derech) Nots: Si hy opercioes que o fect ls otrs uque teg eos prioridd se puede relizr. Siplific e cd pso, esto te perite operr co úeros ás pequeños y que o tegs que siplificr tto l fil Ejeplo: : : Ejercicio. Operr y siplificr: ) : : 9 7 b) : : 9 c) : 0 d) 0 6 e) : 6 Te elbordo por José Luis Lorete Argó

4 Te. Opercioes co úeros reles Te elbordo por José Luis Lorete Argó f) 0 7 : 7 g) : : 7 h) 7 i) : 6 : j) :. Potecis. E este prtdo predereos usr l clculdor deás de operr si ell... Potecis de expoete turl Defiició: se ll poteci e bse R y expoete N y se deot l producto de veces : veces Ejeplo: 7 (-,) (-,) (-,) (-,) (-,),076 ip es si pr si ) ( Propieddes:(deostrr por el luo) ) ( ) ( ) ej: ( ) 9 8 ) ej: ) ej: 6 6 ) 0 ej: 0 ) ej:,,

5 Te. Opercioes co úeros reles 6) ej: b b 7) ( b) b ej: ( ) 6 9 Not: ests propieddes so cierts tbié cudo el expoete o es turl.. Expoete etero (egtivo) E este prtdo vos estudir ls potecis cudo el expoete es u úero etero egtivo. Veos el sigificdo de - : Ejeplos: (-) - ( ) 9 Ejercicio. Escribe coo potecis de expoete positivo: ) 8 b) c) d) e) f) Ejercicio. Expresr coo poteci úic plicdo ls propieddes de ls potecis y clcul el resultdo ) b) : : c) : 8 d) e) :. Notció Cietífic Fíjte e los siguietes úeros: e(crg e - )-0, C d pluto Sol gsto epres Cudo teeos ctiddes uy pequeñs o uy grdes se utiliz l otció cietífic, cosiste e poer u úero ultiplicdo por u poteci de 0. Así los úeros e otció cietífic cost de: - Prte eter ford por u sol cifr 0 ( ª cifr del úero) - Prte decil(ford por el resto de cifrs del úero) - Poteci e bse 0 que os ifor del orde de gitud. X,bcd 0 : Te elbordo por José Luis Lorete Argó

6 Te. Opercioes co úeros reles E los ejeplos teriores: e-,6 0-9 C d,9 0 gsto,6 0 L otció cietífic tiee ls siguietes vetjs: ) Escribios los úeros grdes y pequeños de for ás brevid b) Co u siple ird l úero podeos eteder coo es de grde o pequeño ese vlor. Otr vetj de l otció cietífic es que es uy útil pr operr co est clse de úeros, e especil cudo ls opercioes so el producto o el cociete. Veos lguos ejeplos: ) (, 0 6 ) (6, 0 8 )(, 6,) 0,0 0,0 0 6, 0 b) (, : 6,) 0 0,87 0 8, , 0 c), ,9 0-7, 0 0, (,869-7) ,868 0 Not: correr l co hci l izquierd es coo dividir, luego pr o odificr el resultdo tedreos que uetr el expoete de 0 e tts uiddes coo veces que corros l co. Al revés si correos l co hci l derech que es coo ultiplicr y por tto tedreos que disiuir el expoete de 0 tts veces coo corros l co: co restr l expoete º posicioes desplzd co sur l expoete º posicioes desplzd Ejercicio : Clculr y expresr el resultdo e otció cietífic. 8 ) 7,8 0 -,8 0 b), 0 8, 0 7 Ejercicio : Expresr e otció cietífic: ) b) 0, c) 800 d) -0,0007 Ejercicio 6: Clculr y expresr el resultdo e otció cietífic: ) ( 0-7 ) (8 0 8 ) b) ( 0 ):( 0 - ) c) ( 0 9 ) d), Te elbordo por José Luis Lorete Argó 6

7 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio 7 Clculr y expresr el resultdo e otció cietífic: ) , 0 b), 0 0 c) (, 0-7, 0 ) 7. Ríces. Potecis de expoete frcciorio.. Ríz de u úero. L ríz es l operció ivers de l poteci, y por tto es l que se utiliz pr despejr u ecució de l for x, siedo el resultdo x. Veos u ejeplo: clculr el ldo de u depósito de gu de for cúbic de d. Coo el volue del cubo es Vl, buscos u vlor de l, tl que su cubo se d, es decir resolver l d, l solució está e l ríz cúbic l d d Defiició: l ríz eési de u úero es quel úero b (b ) tl que b. ídice ríz b rdicdo Núero de solucioes de u ríz segú l pridd del ídice y el sigo del rdicdo: Sigo Pridd Positivo (>0) Negtivo (<0) es pr Dos solucioes No solució es ipr U solució 8 U solució 8 Ejercicio 8. Clculr ls siguietes ríces ) b) c) 6 d) e) 6 Ejercicio 9. Clculr ls siguietes ríces co l clculdor ) b) c) d) 6 e) 6.. Potecis de expoete frcciorio. Rdicles E los prtdos teriores heos estudido ls potecis cudo los expoetes er o bie úeros turles o eteros. Nos flt hor eteder el sigificdo cudo l poteci es u frcció. Veos el sigificdo de p p p Te elbordo por José Luis Lorete Argó 7

8 Te. Opercioes co úeros reles Ejeplos: / / / ) ( ) 8 ( 9 L vetj de poer u ríz coo poteci frcciori es que cudo este está represetdo edite u poteci podreos plicr ls propieddes de ls potecis visto e el prtdo. Ejeplos: ) b) c) 6 6 d) ± 6 6 Ejercicio 0. Psr ls ríces potecis y ls potecis ríces ) 7 b) c) d) / e) / f) / Ejercicio. Expresr coo poteci úic y rdicl psdo previete poteci y plicdo ls propieddes de ls potecis. ) b) 8 c) d) 8 Ejercicio : Clculr el vlor proxido co l clculdor ) 9, f) 8 b) 7 g) 0,0 e) f) c) 9 h) ( 0, 00) d) 9 i) e) 8 Ejercicio : Expresr e for de expoecil ) x b) x c) ( ) d) ( ) e) 8 f) ( ) Te elbordo por José Luis Lorete Argó 8

9 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio : Expresr e for de ríz ) ( ) b) c) ( x ) d) 0 e) f), ).. Rdicles equivlete Observ ls siguietes igulddes:... Veáoslo e for de poteci:, se dice que todos estos rdicles so equivletes... Defiició: dos rdicles so equivletes si expresdos e for expoecil los expoetes so frccioes equivletes: p q p q p q Costrucció de rdicles equivletes: veces os iteres teer u rdicl equivlete pr operr, veos coo geerr rdicles equivletes: k k Ejeplo: 6 8 Est propiedd es uy útil pr: 8 ) Siplificr rdicles: ) Productos de rdicles: poteci frcciori, (se puede hcer e for de Ejercicio : siplificr los siguietes rdicles: ) 8 6 b) 6000 Ejercicio 6: reduce l iso ídice los siguietes grupos de rdicles ) 6,, b) 8,, 6 6 ) Te elbordo por José Luis Lorete Argó 9

10 Te. Opercioes co úeros reles.. Opercioes co ríces Vereos priero coo operr co rdicles co iso ídice. Ests propieddes se puede eteder si expresos ls ríces coo potecis frccioris. ) Multiplicció: b b / / b ( b) / Ejeplo: 7 / / ) Divisió: / b b b b Ejeplo: 7 / / ) Poteci: ( ) ( ) Ejeplo: ( ) 8 ) Riz: Ejeplo: 0 / / /( ) ( ) ) Su o se puede sur ríces que o se igules!!! Ejeplo: Si podeos sur ríces igules: ( ) Cudo ultiplicos o dividios rdicles, pr operr co ellos es ecesrio que teg iso ídice, por esto tedreos que buscr rdicles equivletes co iso ídice. Otr for es utilizr potecis frccioris y ls propieddes de ls potecis. Ejeplos: ) / / ( ) (000) / / / / 000 ) x y xy ( x y ) ( xy) ( x y ) x y 9 x y x y x y Ejercicio 7: Oper utilizdo ls propieddes de ls ríces ) b c d e) f) : g) - / Te elbordo por José Luis Lorete Argó 0

11 Te. Opercioes co úeros reles.. Itroducció y extrcció de fctores e u rdicl. ) Extrcció: cudo podeos expresr el rdicl coo producto de fctores elevdos expoetes, de for que lgú expoete es yor que el ídice del rdicl, este fctor se puede extrer de l ríz de l siguiete for: Ejercicio 8. Extrer todos los fctores posibles: ) b) 6 c) 0 d) 60 )Itroducció: pr itroducir fctores detro de u ríz tedreos que elevr este fctor l ídice de l ríz. Veos lguos ejeplos: Ejercicio 9. Itroducir detro de los rdicles: ) 80 b) 0 c) 8 d).6. Su de rdicles Pr sur o restr rdicles es ecesrio que estos teg iso ídice y iso rdicdo, es decir se igules. Veos cóo se su o rest: c ± b c ( ± b) c Ejeplos: ) ( ) 6 b) 6 8 Ejercicio 9. Operr: ) 7 8 b) 7 68 c) 6 Te elbordo por José Luis Lorete Argó

12 Te. Opercioes co úeros reles Te elbordo por José Luis Lorete Argó

13 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio ) 7 f) 9 Ejercicio. Solucioes los ejercicios 0 b) 0 g) 6 66 c) h) d)-0 e) 0 i) 0 j) ) 8 b) c) e) Ejercicio. f) d) ) 0 b) : : c) : 8 d) : 6- /6 e) : 096 Ejercicio. ) 7,8 0 -,8 0 8,9 0,9 0 b), 0 8, 0 7, 0 7, 0 7,9 0 7,9 0 8 Ejercicio ) , 0 9 b) 0, c) 8008, 0 d) -0,0007-,7 0 - Ejercicio 6 ) ( 0-7 ) (8 0 8 ) 0, 0 b) ( 0 ):( 0 - ) c) ( 0 9 ) 0 8, 0 9 d), , 0 Ejercicio 7 ) 7, 0-9 b), c), 0 Te elbordo por José Luis Lorete Argó

14 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio 8 ) b) - c) 6 d) e) 6 6 Ejercicio 9. ) b) c) d) 6 e) 6 Ejercicio 0. ) 77 / b) / c) 6/ 9 d) / Ejercicio e) / f) / ) b) 6 6 c) d) e) f) Ejercicio ) 9,,6... f) 0, 8 b) 7,7... g) 0,0 9,... c), d) 9 0, h) ( ) 0,00,... i) o existe e), Te elbordo por José Luis Lorete Argó

15 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio : x ) x x b) x x x x c) ( ) 6 d) ( ) e) Ejercicio 7 f) ( ) ) ( ) b) c) ) x x ( x x d) 0 0 f) g) ), Ejercicio : ) b) ( ) Ejercicio 6: ) 6,, c(,,) 6 6,, b) 6 8,, 6 c(6,,)0 8 0 Ejercicio 7:, 0 6, ) b c d : 6 e) 08 f) : : : 8 g) - / -/ Te elbordo por José Luis Lorete Argó

16 Te. Opercioes co úeros reles Ejercicio 8. ) 9 8 b) 6 6 c) 0 d) Ejercicio 9. ) b) c) 8 8 d) 6 0 Ejercicio 9. ) 7 8 b) c) 9 6 Te elbordo por José Luis Lorete Argó 6

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