Unidad 1: El conjunto de los números reales

Transcripción

1 Uidd : El cojuto de los úeros reles Núeros rcioles. Opercioes... Cocepto de úero rciol... Opercioes co úeros rcioles... Expresió decil de los úeros rcioles... Núeros irrcioles. Núeros reles Núeros irrcioles y reles Represetció de úeros reles. Rect rel... 8 Aproxicioes y errores... 8 L otció cietífic... 0 Potecis. Rdicles. Logritos.... Potecis... Ríces. Potecis de expoete frcciorio... Logritos.... Núeros rcioles. Opercioes. Cocepto de úero rciol Cudo e u deterid situció se hce ecesri l prtició de ojetos (uiddes), los úeros eteros se ifiest isuficietes. Así, pr poder expresr l elecció de ls prtes que se to trs l prtició de u uidd (ojeto), se utiliz l frcció de úeros eteros. U frcció de úeros eteros está copuest por dos úeros eteros dispuestos de l for siguiete: El deoidor sirve pr idicr ls prtes e ls que se divide l uidd El uerdor estlece ls prtes que se to de dich uidd. E uestr frcció, estos idicdo que toos prtes de ls e ls que se dividió el ojeto y leeos tres curtos. Cudo dos frccioes represet l is prte de u ojeto se dice que so equivletes. Por ejeplo, si de tres trts igules toos ls frccioes correspodietes, y respectivete coo idic el grfico djuto, estos todo l 9 is ctidd de trt

2 Se expres y se oserv que y que 9 9 Dos frccioes so equivletes cudo sus productos cruzdos so igules c d c d Se puede oteer frccioes equivletes u dd ultiplicdo uerdor y deoidor por el iso úero (plificció) o dividiedo uerdor y deoidor por el iso úero (siplificció): 8 ( plificr) 8 : 8 : ( siplificr) Se ll frcció irreducile l frcció ás siplificd de u dd Así, es u frcció irreducile. 9 Tods ls frccioes equivletes u dd... recie el 8 ore de úero rciol y os referios él co l frcció irreducile:,,, so úeros rcioles distitos puesto que o so equivletes El cojuto de todos los úeros rcioles se deot co l letr Q Todo úero etero, del cojuto Z de los úeros eteros, tié puede expresrse coo u frcció, por lo que tié result ser u úero rciol Los úeros rcioles so por tto u plició de los úeros eteros y lo expresos de l siguiete for: Z Q El cojuto de los úeros eteros está coteido e el cojuto de los úeros rcioles

3 Pr order u serie de úeros rcioles st co reducirlos coú deoidor y orderlos e fució de los uerdores que resulte y que estrí todos referidos l is prtició. Autoevlució. Coplet el tério que flt e ls siguietes equivlecis de frccioes: 7 8 ) ) Respuest: ) ) 8. Deteri l frcció irreducile de cd uo de los úeros siguietes: 0 7 ) ) c) Respuests: ) ) c ) 7 0 Opercioes co úeros rcioles Ls opercioes fudetles e este cojuto so l su y l ultiplicció. L difereci (o rest) y l divisió de frccioes so opercioes que depede de ls dos fudetles. Su de frccioes Cudo ls frccioes sur se refiere l is prtició, se surá coservdo el iso deoidor y sudo los uerdores correspodietes 9 9 E geerl c c Cudo ls frccioes tiee distito deoidor, reducios priero coú deoidor, co l yud del íio coú últiplo de los deoidores, pr sí poder surlos coo e el cso terior: Ejeplo: c E geerl d c c co.c. (, d), y d Co l difereci (o rest) de frccioes procedeos de l is for que lo heos hecho co l su:

4 Cudo l operció lleve ás de dos frccioes, co prétesis y corchetes, se procede de l is for que cos de preder y operdo los prétesis y corchetes de l is for que se hcí co los úeros eteros: Ejeplo: Oper y siplific el resultdo Producto de frccioes Cuátos psteles so ls tres curts prtes de dos doces? L respuest es secill si dividios los psteles e prtes igules (cd u co psteles) y toos de ess prtes, cotestdo filete que dich prtició de ls dos doces so 8 psteles. Co úeros rcioles est operció se puede hcer sí: 7 de 8 Se h utilizdo l operció deoid ultiplicció de frccioes: Pr ultiplicr dos frccioes, se ultiplic etre si los uerdores y los deoidores: c c d d Por ejeplo 0 Pr l divisió de frccioes, st co ultiplicr l prier por l frcció ivers de l segud: 8 Ejeplo: : Tié puede decirse que pr dividir frccioes st co hcer los productos cruzdos de sus uerdores y deoidores: c d : d c Cudo tegs que hcer cálculos coidos, co prétesis y corchetes, dees teer e cuet l jerrquí de ls opercioes que cooces desde eseñz priri y ls regls de operció de los sigos y hcerlos co trquilidd pr o equivocrte. El ejeplo siguiete ilustr cóo dee hcerse esos cálculos siplificdo l áxio:

5 Filete dees ser que ls potecis de frccioes se hce igul que ls de úeros eteros, utilizdo ls iss propieddes que e éstos y que recordos cotiució. Propieddes de ls potecis: deás deás ) : ) ) ) 0 Autoevlució Reliz los siguietes cálculos co úeros rcioles y seleccio l respuest pr copror que lo hs hecho ie.. ) 0 8 ) 0 9 *c). ) *) 8 7 c) 8 9. : ) ) *c) 0 Expresió decil de los úeros rcioles Todo úero rciol e for de frcció de eteros es u divisió desde el puto de vist uérico. Así, si toos u úero rciol y hceos l divisió etre su uerdor y deoidor, oteeos l lld expresió decil del úero rciol. Por ejeplo, pr se otiee, y lo expresos de l for,.

6 Cudo hceos l divisió pr ecotrr l expresió decil de u úero rciol, podeos ecotrros co tres posiiliddes o csos: Cso : Hceos l divisió y oteeos u expresió decil exct o fiit coo l de. Se dice e este cso que el uero rciol es decil excto o co expresió decil fiit. Cso : Si uscos l expresió decil de, oservos que l divisió o tiee fi y que siepre sle l is cifr e l prte decil ( es prte que se repite o tiee porque ser u sol cifr coo vereos ás delte), lo expresos co l yud de putos suspesivos 0,... y pr revir se utiliz u gorrito e l prte superior de l(s) cifr(s) que se repite o repite coo ves cotiució e uestro ejeplo 0, ) E este cso decios que el úero rciol es periódico puro. Cso : Filete, puede ocurrir que l hcer l divisió os ecotreos que e l prte decil del úero hy u prte que o se repite y cotiució u o vris cifrs que se repite si fi. 7 Este es el cso de,... 0 Si seguios l is otció que e el cso terior escriios 7, ) y se 0 dice que el úero rciol es decil periódico ixto. Resuiedo Cd úero rciol, e for de frcció de úeros eteros, tiee u expresió decil que puede ser: ) Decil excto o fiito ) Decil periódico puro c) Decil periódico ixto Alguos ejeplos ás:, ) 9 8, 9 8 ), L correspodeci etre u úero frcciorio y su expresió decil equivlete es iuívoc, puesto que si teeos el úero rciol ddo trvés de su expresió decil (l que se de ls tres) tié se puede ecotrr su for frcciori irreducile. Prece que co los úeros rcioles se puede edir culquier gitud, itudes, ss, teperturs, etc. E el prtdo siguiete verás que los úeros rcioles so isuficietes pr cutificr culquier gitud. Esto os llevrá u uev plició de uestro cpo uérico otro cojuto ás plio que se deoirá CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

7 Núeros irrcioles. Núeros reles. Núeros irrcioles y reles. Heos visto que los úeros rcioles equivle los úeros deciles fiitos o periódicos (puros o ixtos). Si ergo es fácil ver que existe úeros deciles co ifiits cifrs deciles que o so periódics: x Ls cifrs deciles de este úero o se repite, y que se correspode co l sucesió de úeros turles, que uet de er idefiid. Este tipo de úeros o puede ser rcioles, es decir, o se puede expresr edite u frcció de úeros eteros. U úero irrciol es u úero decil co ifiits cifrs deciles o periódics. Se represet co l letr I Existe ifiidd de úeros irrcioles; de hecho, so ifiitete ás uerosos que los úeros rcioles. Por ejeplo: tods ls ríces (de culquier ídice) o eters so úeros irrcioles:......etc el úero π, que es l rzó etre l itud de u circufereci y su diáetro π 9. el úero e, se de los ritos turles: e el úero áureo Φ lldo el coeficiete de l ellez Ddo culquier úero x, podeos firr que x es rciol (turl, etero o decil fiito o periódico), cudo se puede expresr trvés de u frcció de úeros eteros, o ie x es irrciol, si tiee ifiits cifrs deciles o periódics y e cosecueci, o se puede expresr coo u frcció de úeros eteros. Todo lo terior os perite defiir u uevo cojuto de úeros ás plio que eglo todos los teriores: El cojuto de los úeros reles es l uió de los rcioles juto co los irrcioles. Se represet co el síolo 7

8 Represetció de úeros reles. Rect rel. Alguos úeros irrcioles tiee u for geoétric de represetrse, plicdo el Teore de Pitágors: Repitiedo el étodo, podríos costruir l,, etc.. Si cosideros u úero rel x ddo por su expresió decil, por ejeplo x 78 lo podríos expresr: edite u sucesió de úeros deciles por defecto que se proxi l vlor x, todo cd pso u cifr ás de l expresió de x:,,,, 7,.. edite u sucesió de úeros deciles que lo proxi por exceso:, 7,,, 8, edite u sucesió de itervlos ecjdos que proxie cd vez ás l vlor x: [, ], [, 7], [, ], [, ], [ 7, 8]. Al represetr sore u rect el cojuto de los úeros rcioles juto co los irrcioles, oteeos l rect rel, e l que cd puto represet u úero, rciol o irrciol y cd úero rel le correspode u úico puto de l rect. π.. _ Aproxicioes y errores E l práctic, o se puede trjr co ctiddes que teg ifiits cifrs deciles, y que i siquier se puede escriir y ucho eos relizr cálculos exctos co ells. E su lugr toos proxicioes dichs ctiddes, que siplific los cálculos. Ddo u úero rel x, u proxició es u vlor cerco x. Si > x l proxició es por exceso y si < x l proxició es por defecto. Geerlete, l proxició es u úero decil fiito y cerco (e lgú setido) l vlor x. Existe étodos fudetles pr proxir u ctidd. E os csos, deeos idicr l cifr l que quereos proxir: 8

9 Redodeo: pr redoder u ctidd l -ési cifr, os fijreos e l siguiete cifr. Si ést es yor o igul que, uetos e u uidd l cifr -ési. E otro cso, dejos tl y coo está l cifr -ési y desprecios ls deás cifrs prtir de ell. Trucieto: pr trucr u ctidd l cifr -ési, se prescide directete de ls siguietes cifrs prtir de ell. Este étodo siepre produce proxicioes por defecto, es decir, eores que l ctidd exct x que quereos proxir. Ejeplos: redoder x ls ilésis (ª cifr decil) 898 redoder x 99. ls cetésis (ª cifr decil) 70 trucr x ls diezilésis (ª cifr) El error soluto E de u proxició es el vlor soluto de l difereci (difereci e positivo) etre l ctidd exct x y l proxició : E x A eudo, o se puede clculr directete, y que es iposile relizr l difereci x deido que x es u ctidd decil co ifiits cifrs. Etoces, se suficiete tor u cot del error, que depederá de l precisió de l proxició: x proxir por redodeo ls cetésis: 0 9 E 0 '9 0 '87 0 '9 0 ' < podeos firr que l proxició tiee u error eor que ilésis El error reltivo e r de u proxició es el cociete etre el error soluto y l ctidd exct x que quereos proxir: e r E x Este coeficiete ide el error soluto coetido e relció co el vlor excto de l ctidd que estos idiedo. Se suele expresr e % ultiplicádol por 00 error porcetul. Cofore uetos l precisió, v decreciedo el error reltivo o porcetul. Este cocepto perite coprr dos proxicioes distits etre sí, de for que será ejor proxició l que teg eor error reltivo. Autoevlució. Estlece u proxició por redodeo ls ilésis y otr por trucieto l diez ilési de los úeros: ) ) Resp: redodeo trucieto ) π 9... Resp: redodeo trucieto. Cudo proxios por el úero decil fiito, qué cot de error coeteos?. Resp: E <

10 L otció cietífic A eudo, e distits rs de l cieci o de l técic, es ecesrio trjr co úeros uy grdes (co uchos ceros delte de l co decil) o uy pequeñs (co uchos ceros detrás de l co decil). Así, pr expresr l s de l Tierr e Kg. o l s de u protó, ls ctiddes so difíciles de copreder: Tierr Kg. protó Kg. E teátics, ls ctiddes uy grdes o uy pequeñs se expres usdo ls propieddes de ls potecis de se 0: potecis deciles y de expoete etero. Al ultiplicr u ctidd por u poteci de se 0, ést ueve l co ttos lugres coo idique el expoete, hci l derech si es positivo y hci l izquierd si es egtivo: expoete : expoete : Lo terior so dos ejeplos de ctiddes e otció cietífic. U úero rel expresdo e otció cietífic es u úero del tipo: N 0 e dode eter) tis: es u úero decil etre y 0 (sólo u cifr de prte orde de gitud: expoete de l poteci decil Pr expresr u ctidd e otció cietífic, se for l tis co ls cifrs sigifictivs (o uls) del úero, dejdo l ª cifr coo prte eter y ls deás coo prte decil. Por últio, se elige el expoete de l poteci decil e fució de cóo se el úero e cuestió: desde l co hst l ª cifr o ul hy lugres prtir de l ª cifr hst el fil hy lugres Pr relizr opercioes co úeros e otció cietífic, se oper ls tiss etre sí y ls potecis de se 0 etre sí, expresdo el resultdo fil e otció cietífic. Ls clculdors cietífics tiee l posiilidd de operr co úeros e otció cietífic detro del rgo ± hst ± Pr itroducir u úero e l clculdor, deeos itroducir priero l tis y después pulsr l tecl EXP de l clculdor pr, cotiució, itroducir el expoete, co su sigo: [EXP] [EXP] ± 0

11 Potecis. Rdicles. Logritos. Potecis. Ddo u úero rel y u úero etero >, se defie l poteci de se y expoete : BASE. ( veces) EXPONENTE producto reiterdo veces del iso fctor Ls potecis de expoete etero positivo so u for cocis y cóod de ejr productos repetidos del iso fctor. Aprece, por ejeplo, e l fctorizció de úeros: 800 Cudo l se de l poteci es positiv ( > 0), el sigo de l poteci es : 0 Si ergo, si l se es egtiv ( < 0), el sigo de l poteci depede de l pridd del expoete: < 0 y pr sigo < 0 y ipr sigo ( ) 8 ( ) Esto se dee que cudo hy u úero pr de fctores, se puede grupr de e y sí el producto fil es positivo. Si ergo, cudo hy u úero ipr de fctores, siepre qued u fctor egtivo desprejdo, que es el que produce que el sigo totl se egtivo. Es coveiete efectos del cálculo defiir potecis que teg expoete etero y egtivo: Ddo u úero rel y u úero etero 0, se defie l poteci de se y expoete egtivo :... 0 U poteci de expoete egtivo es el iverso de l is poteci co expoete positivo Opercioes Co l clculdor, podeos clculr el vlor de culquier poteci co ls tecls x y o ie ^ pr clculr 7 x y Ls regls de cálculo co potecis so ls iss si el expoete es positivo, egtivo o ulo. Sólo ls opercioes de producto, cociete y poteci de u poteci tiee u fórul plicle e el cálculo co potecis. Ls opercioes ás secills de su y rest o tiee igu fórul ejle y e el cso de que hy que sur o restr potecis, priero se clcul sus vlores y después se su o rest.

12 Opercioes Mis se Miso expoete Producto ( ) Cociete Poteci ( ) supoiedo que, R, Z Ríces. Potecis de expoete frcciorio. Se defie l ríz de ídice del úero coo: Al síolo si dode se le ll síolo rdicl ídice del rdicl rdicdo ríz L utilidd de ls ríces es el poder despejr l se descoocid de u poteci coocid: x x Ls ríces se coport de for distit segú se el ídice pr o ipr: Ídice pr Ídice ipr Ls ríces de ídice pr sólo está defiids pr rdicdos positivos: 0. No tiee setido ríces de ídice pr de úeros egtivos. o existe Ls ríces de ídice pr, cudo existe, so doles, es decir, pr cd vlor 0 hy dos ríces opuests: p - ( ) Ls ríces de ídice ipr está defiids pr todos los úeros reles, tto positivos coo egtivos: 7 7 Ls ríces de ídice ipr so úics y tiee el iso sigo que el rdicdo del que procede: > 9 0 < 0

13 Expoete frcciorio Es uy coveiete efectos del cálculo co ríces, trsforrls e potecis de expoete frcciorio: ( ) (est últi for se deduce plicdo ls propieddes de ls potecis, e cocreto, l poteci de u poteci: ( ) Co est técic, podeos deducir ls regls del cálculo co ríces prtir de ls regls del cálculo co potecis, covirtiedo previete los rdicles e potecis de expoete frcciorio: Miso rdicdo Miso ídice Producto ( ) Cociete... Poteci ( ) Ríz Ls clculdors cietífics perite clculr culquier ríz, usdo ls tecls decuds. Norlete so: y x (que os recuerd que u ríz o es ás que u poteci de expoete frcciorio) o tié x, depediedo del tipo y odelo de clculdor e cuestió: Ejeplo: clculr 8 8 y x Dos ríces so seejtes si tiee el iso ídice y el iso rdicdo. Se puede sur o restr rdicles seejtes sudo o restdo los coeficietes que copñe cd ríz.

14 Ejeplo: Dos rdicles so equivletes cudo expres l is ctidd, es decir, so el iso úero. Ejeplo: Podeos segurr que y so el iso úero; e efecto: El uso de los rdicles coo potecis de expoete frcciorio perite siplificr ls ríces y trjr co rdicles equivletes y ás secillos. Autoevlució. Clcul el vlor de los rdicles siguietes, trsfordo los rdicdos e potecis ) i) *ii) iii) 7 ) i) ii) *iii) 7. Efectú ls siguietes opercioes y expres el resultdo lo ás siplificdo posile ) ( ) 0 : i) ii) *iii) ) ( ) : i) *ii) iii) Logritos. Ddo u úero y N > 0, se defie el rito e se del úero N por: N si N El rito e se de u úero N es el expoete l que hy que elevr l se pr oteer el úero N

15 L utilidd de los ritos es l de poder despejr el expoete descoocido de u poteci coocid: si x etoces x es decir, x es el úero l que hy que elevr pr oteer Existe ttos ritos coo vlores: pr cd existe el. Esto produce grves proles, y que deeríos poder clculr ifiitos tipos de ritos, uo pr cd vlor. Afortudete, esto o es sí. Hy dos ritos priciples, que so los ás usdos y que prece e ls clculdors cietífics: el rito decil o de se 0 y el rito eperio o turl, de se el úero e. Se defie el úero e, se de los ritos eperios o turles, edite el líite: e li ' (úero irrciol) Así, 0 Log rito decil e l rito eperio Los ritos tiee sus propieddes de cálculo, derivds de ls propis del cálculo co potecis. Ests propieddes so: ) ) ) 0 ) ) ) ( c) c c c c ( ) c Cio de se.- U de ls propieddes ás iporttes de los ritos es poder clculr u rito e u se culquier utilizdo ritos e otr se distit l terior. Est propiedd os v peritir, por ejeplo, poder clculr, lgo que todví teeos pediete. Se cuple que: N E efecto: se x N por defiició de rito: N x N todo ritos (de se ) e os ldos de l iguldd teeos que: ( x ) N por l propiedd terior se cuple que: x N y despejdo: x N N tl y coo queríos deostrr.

16 Así, vos por fi poder clculr. Pr ello, podeos usr idistitete Log o l, y que os prece e uestrs clculdors cietífics. l l.0979 Podeos copror l vercidd de tl firció, elevdo l úero.0909 y viedo si oteeos : (L pequeñ difereci se dee errores iheretes l cálculo iposiles de evitr, y que tto l coo l so úeros irrcioles co ifiits cifrs deciles y osotros heos todo sólo 0 cifrs. Hy que ser coscietes de est iprecisió y teerl presete e uestros cálculos.) Autoevlució. Clcul si utilizr clculdor el vlor de los siguietes ritos ) i) *ii) 8 iii) ) 9 i) 9 *ii) iii). Clcul el vlor de ls expresioes siguietes si utilizr clculdor: ) 8 i) ii) *iii) ) i) ii) *iii) 7