( ) ( ) El principio de inducción

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1 El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum e vrios e estos térmios, siempre y uo se oseutivos, y más ú si me pie lulr l sum e los primeros eteros positivos, es eir,. Poemos ver que, si esriimos los mismos úmeros pero l reves, y luego voy sumo los os primeros e serie, los os seguos e serie, et, otego e u e ls sums ( )( ) ( ), es eir, otego sums, u e ls ules vle (), uo sumo osigo mismo el úmero que me pie hllr. El resulto peio es por lo tto, pr etero positivo, ( ). Est form e operr o me vlrí si emrgo si me pie hllr el vlor e l sum pr ulquier etero positivo, o peor ú, si me pie hllr. Se umple pr toos los eteros positivos? Hy vees que os pregut si lgo se umple pr toos los eteros positivos. No poemos poeros pror toos, hy ifiitos! A vees, l emostrió es reltivmete seill, otrs o. El priipio e iuió os yu r el slto l ifiito, e l siguiete mer: supogmos que os pie emostrr lgo pr (,,,), y que pueo emostrr fáilmete que se umple pr. Si emás osigo emostrr que, si se umple pr u turl, se umple pr el siguiete, etoes, y lo he emostro pr toos! Como se umple pr, y se umple pr el siguiete, etoes se umple pr ; pero etoes tmié se umple pr el siguiete, es eir, pr ; y tmié pr,, De repete, hemos llego l ifiito, o sólo os psos! El primero, emostrrlo pr u so prtiulr (so se), y el seguo, emostrr que si se umple pr u etero, se umple tmié pr el siguiete. Vemos omo fuiorí o el ejemplo terior, es eir, supogmos que os pie espeífimete emostrr por iuió que, pr too etero positivo, se umple ( ). Pr, l sum el primer etero positivo es, y umple l fórmul que queremos emostrr, pues hieo e ih fórmul, se tiee ( ), que es lrmete ierto. Supogmos hor que l fórmul terior es váli pr ( sumir que el resulto que queremos emostrr es ierto pr u vlor, se le llm hipótesis e iuió ) Qué psrí pr? Bueo, y semos uál es l sum e los primeros úmeros, sí que os st o sumrle : ( ) ( )( ) ( )( ( ) ). L fórmul es iéti l e, pero o e su lugr, o lo que si se umple pr, etoes tmié se umple pr, es eir, omo se umple pr, etoes se umple pr, luego por lo tto tmié pr, y pr,,, es eir, se umple pr toos los eteros positivos.

2 El ojuto e ls prtes e u ojuto Se u ojuto A ulquier e elemetos, que llmremos A{,,, }. El ojuto e ls prtes e A es el ojuto formo por toos los posiles suojutos e A (sí, poemos efiir u ojuto uyos elemetos, e vez e elemetos sueltos, se ojutos). Como y semos, el ojuto vío {}, es eir, el ojuto si igú elemeto, es suojuto e toos los ojutos. Tmié, too ojuto es suojuto e sí mismo. Y teemos os. Aemás, teemos toos los suojutos e u úio elemeto, e los uáles hy (uo por elemeto que poemos tomr), toos los suojutos e elemetos, y e elemetos. Poemos lulr que hy u totl e, que sulmete es. Si lo esriimos, teremos que el ojuto e ls prtes e A (lo llmremos P(A) pr revir) es { }{, }{ }{ }{ } { } { } { } { }{ },,,,,,,,,,,,,, P A. {, }{,,, }{,,, }{,,, }{,,, }{,,,, } Supogmos hor que os hor otro ojuto, o elemetos, {,,,, }, oe hor puee tomr u vlor etero positivo ulquier. Cuátos elemetos terá el ojuto e ls prtes e este ojuto? Nos ie que este vlor es, se ul se, pero os pie que lo emostremos pr los ifiitos vlores turles e! Porímos pesr que es muy ifíil, pero por suerte teemos el priipio e iuió, que plimos otiuió: Pso : so. Pr, terímos u ojuto A{ }, que lrmete tiee extmete os suojutos, el ojuto vío, y el propio ojuto A. Luego e este so efetivmete el ojuto e ls prtes e A tiee extmete elemetos, y se umple el resulto. Pso : supogmos que el resulto se umple pr, sieo myor o igul que, y vemos que se umple tmié pr, se ul se el vlor e ; esto es lrmete equivlete eir si se umple pr u etero positivo ulquier, se umple pr el siguiete. Terímos etoes que A{,,,, }. Poemos iviir los suojutos e A e os tipos istitos: los que otiee, y los que o otiee. Cuátos hy e uo? Bueo, es lro que si tego u ojuto formo por l uió e u suojuto e {,,,, }, y emás el ojuto { }, este ojuto uió será tmié u suojuto e A, y reípromete, too suojuto e A que oteg será l uió e { } y u suojuto e {,,,, }. Como sumo que hy extmete suojutos e {,,,, } por hipótesis e iuió, etoes hy extmete suojutos e A e este primer tipo. Aemás, ulquier suojuto e A que o oteg, lrmete es u suojuto e {,,,, }, y vievers, es eir, hy extmete ttos suojutos e A que o otiee, omo suojutos e {,,,, }, uevmete suojutos e A e este seguo tipo. Por lo tto, si pr u ojuto e elemetos, el ojuto e sus prtes tiee elemetos, etoes pr u ojuto e elemetos, el ojuto e sus prtes tiee elemetos, y si el resulto que os pie emostrr se umple pr u etero, etoes se umple pr el siguiete. Y está! Pr too etero, el úmero e l form es múltiplo e Supogmos (hipótesis e iuió) que es ierto que es múltiplo e pr. Etoes hy u etero m tl que m. Pero pr, terímos que ()m(m), oe m es etero por serlo m, y si se umple pr u etero, etoes se umple pr el siguiete etero. Hemos emostro lgo imposile?! No, o lo hemos emostro, porque os flt el so iiil. El so iiil, pr, serí que es múltiplo e, y eso semos que es flso. Que lro que, si os olvimos el so iiil, toví o hemos emostro! Si o, segú el ejemplo que mos e ver, porímos her emostro lgo ompletmete imposile!

3 L iuió uo o os st o Supogmos que, pr emostrr que lgo se umple pr el etero, o me st o sumir que se umple pr, eesito que se umpl pr toos los eteros positivos meores que. Qué hgo etoes? Y o pueo plir el priipio e iuió? Bueo, o tl e her emostro que se umple pr u vlor iiil, y si pr emostrr que se umple pr eesito que se umpl pr too etero meor que, o tego prolems pr el so, porque el úio etero positivo meor que es, y pr ése y sé que el resulto es ierto. Tmpoo tego prolems pr el so, porque y he emostro que el resulto es ierto pr y pr, que so toos los eteros positivos meores que, luego el resulto tmié será ierto pr, y sí suesivmete. Es eir, pueo utilizr omo hipótesis e iuió, o sólo que el resulto se umple pr, sio que se umple pr,,,,, l hor e emostrr que se umple pr. L iuió sltos Puee rse el so e que se muy seillo emostrr que, si el resulto que os pie se umple pr, etoes se umple pr, pero muy ifíil emostrr que, si se umple pr, etoes se umple pr. Qué hemos etoes? Bueo, si se umple pr, etoes semos que se umple pr, luego por lo tto tmié pr, y pr 0,,, Co esto o os st, pero si emás emostrmos que el resulto se umple pr, hremos emostro tmié que se umple pr,8,,, y si filmete emostrmos el resulto pr, lo hremos emostro pr,,, Ahor sí lo hremos emostro pr too etero positivo! Nótese etoes que o eesitmos plir l iuió e uo e uo, poemos ir o sltos, o tl e que los sos iiiles que emostremos se los sufiietes pr que, o sltos el tmño pr el que hymos emostro que l propie se sigue umplieo, pomos llegr hst ulquier etero positivo, ese lguo e los sos iiiles. Ejemplo: emostrr por iuió que too uro perfeto o resto 0, o resto, l iviir por. Soluió: los uros perfetos so toos los úmeros e l form, pr,,,, y es fáil ver que, omo () (), etoes y () el mismo resto l iviir por, o lo que si el resulto es ierto pr, etoes es ierto pr. Neesitmos (y os st o) emostrr que el resulto es ierto pr los sos iiiles, pr el que resto l iviir por, y pr, pr el que resto 0 l iviir por. Clrmete poemos llegr ulquier etero positivo pr o sltos e e, ese, y pr ulquier etero positivo impr o sltos e e, ese, sí que, y está! Aemás, es fáil ver que si el uro perfeto es el uro e u úmero pr, etoes rá resto 0 (igul que ) l iviir por, y si es el uro e u úmero impr, etoes rá resto (igul que ) l iviir por. Te treverís hor emostrr que too uro perfeto resto 0, o l iviir por 8? Qué hemos uo o semos lo que hy que emostrr? E los sos teriores, os h peio que emostrármos lgo. Qué poemos her si os hllr u expresió y emostrrl, pero o semos ómo es l expresió? Supogmos que os pie hllr uáto vle l sum e los primeros uros perfetos; por omoi, llmemos S est sum. Pr, lrmete S, pr, se tiee S, pr, se tiee S, et. Pero, uál es l fórmul geerl? Como l sum e,,,, se puee expresr, omo y hemos visto tes, omo u poliomio e gro e, poemos pesr que l sum e,,,, tl vez se pue expresr omo u poliomio e gro e (umeto e so e el gro el poliomio que

4 os el resulto respeto l gro que tiee los sumos). E el so más geerl, (toví o semos si es ierto), porí ser? E est expresió,,, y so osttes que eesito lulr. Pr hllr ests osttes, utilizo los sos más seillos e lulr, es eir, quellos pr los que vle,, y. Así, si l sum e los primeros uros perfetos tuvier efetivmete l form terior, poemos geerr u sistem e euioes o iógits, que resolvemos por elimiió e vriles, resto euió l terior el sistem: Hllmos etoes e l urt euió el vlor e, sustituimos e l terer pr hllr, e l segu pr hllr y filmete hllmos e l primer euió, resulto e l siguiete hipótesis:? Esto, si es ierto (toví seguimos si serlo), es lo que queremos emostrr por iuió. Clrmete, sustituyeo, teemos que el miemro e l ereh vle e efeto, sí que se umple pr el so iiil. Ahor ie, si se umple pr, se terí que, o lo que tmié se umplirí pr, y hor sí semos que el resulto que osotros mismos hemos ojeturo es ierto, y hemos o. Es posile que, espués e ojeturr u hipótesis, es eir, e pesr que lgo que me pie hllr tom u etermi form, me é uet e que o es sí, porque euetro lgú so e el que o se umple; por ejemplo, e el so terior, hemos hllo u hipótesis que vle pr,,,, pero lo mejor porí her fllo pr. Terí etoes que volver trás y ojeturr otr hipótesis istit. Te treverís emostrr por iuió uáto vle l sum e los primeros uos, es eir, uáto vle, pr ulquier etero positivo? Pist: el vlor se puee expresr omo u poliomio e gro e. Cuo os pie emostrr lgo pr úmeros muy gres Hy vees que o os pie emostrr lgo pr too etero positivo, pero me pie hllr o emostrr lgo pr u etero t riíulmete lto, que si itetr herlo por fuerz rut, trrí ños! Hy vees que es mejor emostrrlo pr too etero positivo, o hllr y emostrr u fórmul pr too etero positivo, y luego plirl l so que me pie. El último ejemplo e los ejeriios propuestos puee ser u tl so.

5 Ejeriios propuestos Defiimos u suesió e úmeros eteros omo sigue:,, y pr too etero myor que, lulmos prtir e vlores teriores ; es eir, elemeto e l suesió, meos los os primeros, es l sum e los os teriores. L suesió serí etoes (,,,,,8,,,,), y se ooe omo suesió e Fioi, y los úmeros que l itegr so los úmeros e Fioi. Demuestr por iuió los siguietes resultos: ). ) Si es múltiplo e, etoes tmié es múltiplo e. ) Pr too myor o igul que, se umple que. Demuestr por iuió l fórmul el iomio e Newto, es eir, pr ulesquier vlores osttes,, y pr ulquier etero positivo, se tiee que 0 0 ( ). 0 E u estque hy 00 eúfres e fil, o flores ltero olores lo, zul, lo, zul,, lo. U rit slt ese el primer eúfr hst el último, si mir e setio (es eir, si retroeer), e form que el eúfr ese el que sle y l que lleg e slto, tiee flor e istito olor. Demuestr que el úmero e mios istitos que puee tomr l rit (es eir, e seueis e sltos que ifier l meos e l posiió que oup l r trs uo e los sltos) es múltiplo e. Pist: si llmmos l úmero e mios posiles uo hy eúfres, emuestr que, pr too etero positivo, se umple, y pli iuió pr poer e fuió sólo e y.

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