Utilizando la fórmula que nos proporciona el número de divisores se tiene que:

Transcripción

1 Hoj de Prolems º Alger IV /. Hllr u úmero etero A que o teg ms ftores primos que, y 7, siedo demás que ª tiee divisores más que A y que ª tiee divisores ms que A. Clulr tmié l sum de todos los divisores de A. Soluió: Como o tiee ms ftores primos que, y 7 A ª 7 etoes A ª 7 y A ª 7 Utilizdo l fórmul que os proporio el úmero de divisores se tiee que: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( ( etoes dividiedo teemos que: α α y que sustituyedo e ( os d que α,, A 7 00 A 00 Utilizdo l fórmul pr l sum de divisores e teste prolem teemos que: S S Demuestr que si K es u uerpo de rterísti p, siedo p primo, etoes ", y K, se verifi: ( y p p y p Soluió: Teemos que:

2 0 p p p p p p p p p ( y y y... y y Por u ldo teemos que, pero por otro ldo si K < p y si e 0 p p elemeto uidd, etoes omo K! p( p ( p... ( p K se otiee K que: p K ( K! e e p( p ( p... ( p K e 0 Como K!e e(e(e (Ke y he 0 si h < p p K!e 0 e 0 K Por lo tto ( y p p y p 0. Ddo u suojuto A de l ret rel, se die que u puto es u puto de odesió de A si ulquier etoro de otiee u ifiidd o umerle de putos de A. Se pide: Demostrr que ulquier suojuto o umerle de dmite omo míimo u puto de odesió. Si P simoliz el ojuto de todos los putos de odesió de u suojuto A de, demuestre que P es u errdo de. Soluió: Se A u ojuto de o umerle, y supogmos u itervlo errdo y otdo I [-, ] A. Supogmos que A o tiee putos de odesió [-, ] ( tl que U( A es omo muho umerle. Como esto ourre I eiste u fmili {U(: I} de etoros iertos que reures I, y omo I es ompto eiste u sureurimieto fiito U(,.U( r uy uió es I. r I A U ( U ( A j de ojuto omo muho umerle. j que es omo muho umerle, porque es l uió fiit /

3 Como A ([ ] A U N, es lo más umerle, por si l uió umerle de ojutos los más umerles A es umerle (otrdiió. A tiee omo míimo u puto de odesió. Vmos demostrr viedo que - P es u ierto. Se P ( ierto tl que U( A es lo sumo umerle. toes si y U(, omo U( es u etoro de y que es lo sumo umerle y P, que es el ojuto de los putos de odesió U( Ø si P - P es u ierto de P es u errdo de.. Demostrr que todo ojuto B de úmeros reles o u solo puto de umulió es umerle. Soluió: Se A B {p} dode p es u puto de umulió, e oreto, el úio puto de umulió de B. Como el espio topológio (, T o T l topologí usul es Husdorff B o p se tiee que es u puto isldo C es u ojuto de putos isldos. Como (,T verifi el º Aiom de umerilidd (C, T tmié verifi iste u se umerle de T los elemetos de C que so suojutos uitrios y iertos de T so elemetos de dih se C es umerle. Se tiee que: Si p B B C que es umerle Si p B B C {p} que será umerle porque C es umerle y p es u elemeto. toes B es u ojuto umerle.. Demostrr que pr dos úmeros reles <, y<0, eiste u úio úmero etero tl que - y<. Soluió: supogmos por reduió l surdo que o eiste igú etero tl que y<. sto sigifi que y> Z y es ot superior del ojuto M{ R: Z}. Se µ el supremo de M (y que l estr otdo superiormete tiee /

4 supremo. omo > µ es meor que µ µ o es ot superior de M p Z / µ p < µ< p µ o es ot superior (otrdiió Z / y<. Aálogmete podemos demostrr que eiste u etero p tl que p <y o p< evidetemete (por ser >. toes tomdo l suesió fiit p, p,..., -, y omprdo térmio térmio o y podremos eotrr ui etero m tl que p<m de modo que: m- y< m.. Se,,, úmeros rioles y g u úmero irriol. Pror que el úmero (g / ( g es riol sii. γ Soluió: "" Como r es riol r( γ (γ γ(-r γ r - etoes omo r - es u úmero riol y -r tmié es riol (- r 0, porque si -r 0 (-r Q, (r - Q y tedrímos que γ Q r (otrdiió etoes efetivmete -r 0 y e oseuei r -0 r y r " " Como Q se r r y por lo tto r y r. Por lo γ r γ r r( γ γ r Q Q γ γ γ γ tto:. Compror que es riol el úmero: r 0 0 Soluió: Se 0 e y 0 etoes hiedo: (y yy y ( 0 y(y ( r0-0 ( 0 (0 r r 06r /

5 r 06r r -6r-0 0. Hiedo Ruffii teemos: r -6r-0 (r-(r r r0 0 r r 0 0 o r r00 ± 6 0 r que o tiee soluió rel l úi soluió rel de l euió es r que es riol 0 0 Q.. Demuéstrese que l ret riol es u suespio de l ret rel. Soluió: Demostrremos que l se B Q, suordid por l se B de R y l se B de Q so equivletes. Se (, Q B Q o, R etoes p,q R tles que (p,q (, o (p,q B. Reípromete, se y (p,q B o p,q Q etoes y (p,q(p,q Q B Q. Co lo ul qued demostrdo que l ret riol es u suespio de l ret rel. 6. Si el dividedo está proimdo por defeto y el divisor por eeso demostrr que el oiete está proimdo por defeto y su error reltivo es meor que l sum de los errores reltivos del dividedo y el divisor. Resoluió: Se A el dividedo y el divisor. l oiete proimdo será: soluto es: A y el error A A A( ( A < ( ( /

6 A Si dividimos mos miemros por, el primer miemro represet el error reltivo del oiete, y el segudo miemro viee ddo por: A A A Por lo tto, podemos oluir que el error reltivo del oiete es meor que l sum de los errores reltivos. 7. l error reltivo de l ríz de u úmero proimdo por defeto es meor que el error reltivo de el úmero proimdo, dividido por el ídie de l ríz. Resoluió: Se A- el vlor proimdo de A, etoes el error soluto ometido l proimr A, por ejemplo, es más grde que (A-. Si tommos l ríz quit de A elevd % se tiee que ( A A y el error soluto es más grde que: ( A dode es el error soluto ometido udo proimmos por defeto A, por lo tto: A o A < ( A > ( A < ( A y omo el error reltivo es más pequeño que A ( A se tiee que: A < ( A. Demostrr que l suesió defiid por o 0< <, es overgete. Clulr su límite. Clulr el fi. Resoluió: Vmos demostrr lo primero que es u suesió que está otd etre 0 y 6/

7 . L demostrió de que está otd l hremos por iduió. Se A{ N / 0< <}. i A? Como 0< < A ii Supogmos que A, 0< <. Vemos si ( A, 0< <? Como 0< < 0<- < 0< < 0<- < 0< < ( A. toes AN. Por lo tto es u suesió que está otd etre 0 y. Vmos demostrr hor que es dereiete. Se A{ N / < } i A? < - < - < es ierto pues omo - (0, >- A. ii Supogmos que es ierto que A, <. Vemos que ( A, <?. Como < - <- - <- < < < < ( A AN es dereiete N. Como es dereiete y está otd iferiormete por 0 es overgete. Y que es overgete, se umple pues que: L. toes: L- L L -L (-L (-L (-L-(-L 0 7/

8 / (-L(-L 0 L(-L 0 L0 ó L pero L porque 0< <, y es dereiete L0. ( ( ( 0 0 ( ( ( (