FUNCIONES POLINÓMICAS

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1 Prof.: Lui Tfererry FUNCIONES POLINÓMICAS POLINOMIOS Los poliomios so importtes. El volume de u ilidro r h y su áre totl es rh r. ic El pitl fil produido por u pitl C durte t meses l i% ul, es C. t. 00 L ltur que lz e u tiempo t u l que es lzd hi rri o veloidd v o es º EMT - Mtemáti REPARTIDO I Tods ess expresioes so poliomios. Su ue mejo permite resolver o éxito prolems geométrios, eoómios, físios, o simplemete mtemátios. E este urso se trjrá o poliomios de u sol vrile. NOMBRE DE UN POLINOMIO vot 4,9t A los poliomios se los deomi o u letr myúsul y se idi, etre prétesis, l vrile utilizd. Sore todo se usrá l letr P, iiil de l plr Poliomio. Pero udo se eesrio hlr de vrios poliomios, se utilizrá tmié otrs letrs: A(x), B(x), Q(x) Cudo se hl de l fuió poliómi soid u poliomio, es omú referirse ell usdo letrs e miúsuls f (de fuió) y, si so vris ls fuioes poliómis, se usrá ls siguietes letrs: g, h Muhs vees se idi el domiio y el odomiio e que está defiids. Por ejemplo: f : / f ( x) x 5x 7 FUNCIONES Coepto de fuió Ddos dos ojutos A y B, deimos que u relió f de A e B es u fuió udo todo elemeto de A tiee u úio orrespodiete e B. O se, u relió f de A e B es fuió si y solo si umple ls siguietes odiioes: Existei: todos los elemetos de A tiee u imge e B. Uiidd: igú elemeto de A tiee más de u imge e B. Ejemplo: Regl Práti: Pr que u diujo se l represetió gráfi de u fuió, d ret vertil dee ortr l diujo e u solo puto. ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN Fuió rel de vrile rel es tod orrespodei f que soi d elemeto de u determido suojuto de úmeros reles, llmdo domiio, otro úmero rel. f : D R x f ( x) y El suojuto e el que se defie l fuió se llm domiio o mpo existei de l fuió. Se desig por D. El úmero x perteeiete l domiio de l fuió reie el omre de vrile idepediete.

2 Prof.: Lui Tfererry º EMT - Mtemáti Al úmero, y, soido por f l vlor x, se le llm vrile depediete. L imge de x se desig por f(x). Luego y f ( x) Se deomi reorrido (odomiio o ojuto imge) de u fuió l ojuto de los vlores reles que tom l vrile y o f(x). El domiio D f es el ojuto de elemetos que tiee imge. El reorrido R f es el ojuto de elemetos que so imágees. Ejemplo: Idir e d so domiio y reorrido. D( f ),,, R( f ),0 5, FUNCIÓN POLINÓMICA 0 D( f ), R( f ) 0, D( f ) R( f ) 0,5 D( f ),, R( f ) Se llm fuió poliómi de los úmeros reles e los úmeros reles, tods ls fuioes uy formulió lgeri es: f : / f ( x) x x... x 0 dode so úmeros reles llmdos oefiietes y - so úmeros turles llmdos expoetes. COEFICIENTES DE UN POLINOMIO So todos los úmeros o letrs que fet ls diferetes poteis e x. Se dest dos oefiietes: El del térmio de myor expoete e x: primer oefiiete o oefiiete priipl. El del térmio de expoete ero e x: térmio idepediete. Ejemplos: P( x) 4 x 7x x 9 Coefiiete Ddo Priipl Térmio idepediete C( x) x ( ) x 5 6, idique sus oefiietes: Coefiiete del térmio e x : Coefiiete del térmio e x : Coefiiete del térmio e x: 0 Coefiiete del térmio e x 0 : 5 6 POLINOMIO NULO Coefiiete Priipl Térmio Idepediete U poliomio se llm poliomio ulo, udo vle ero todos sus oefiietes. P( x) x x... x P( x) 0 0 i R 0 i

3 Prof.: Lui Tfererry GRADO DE UN POLINOMIO º EMT - Mtemáti El grdo de u poliomio reduido P(x) o idétimete ulo es el myor expoete de l vrile x. Se etiede por reduido el poliomio oteido luego de hehs ls uets eesris, sumdo o restdo los térmios de igul expoete e x. Ejemplos: Not: El poliomio ulo o tiee grdo. A x x x Grdo B x x x Grdo ( ) 5 ( ) 4 5 C( x) x 5 Grdo D( x) 5 Grdo 0 Ejemplo: Idir el grdo de P( x) x x 5 x 7 8x ( x ) P( x) x x 5 x 7 8x ( x ) x x 5 x 7 8x ( x x ) P x x x x x x x ( ) 8 4 ( 5 7 ) 0x 4x 4 P( x) 4x 4 P( x) es de grdo VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Cudo e u poliomio se sustituye l vrile x por u úmero y se efetú ls operioes idids, se otiee u resultdo que se llm vlor umério del poliomio pr ese vlor prtiulr de x. El vlor umério del poliomio P(x) pr x = se idi por P() Not: El vlor umério que tom u poliomio l sustituir su vrile x por ero, es igul l térmio idepediete. P (0)= 0 Ejemplo: Ddo P( x) x x x 4 lulr pr que P( ) 6. P ( ) ( ) ( ) ( ) P( x) x 4x x Not: U vlor umério muy importte es el ero. Se llm ríz de u poliomio l vlor de l vrile x que he ero l vlor umério del poliomio. es ríz de P(x) P() = 0 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Dividir u poliomio P( x ) (dividedo), etre otro D( x ) (divisor o ulo), es eotrr dos poliomios Q( x ) (oiete) y R( x ) (resto), tl que el dividedo se igul l divisor por el oiete más el resto y que el grdo del resto se meor que el grdo del divisor o u poliomio ulo. P( x) D( x) Q( x) R( x) grdor( x) grdod( x) o R( x) 0 P( x) D( x) R( x) Q( x) Co respeto los grdos de los poliomios, se tedrá que si P( x) es de grdo y D( x ) es de grdo m, o m, result que Q( x ) es de grdo ( m) y el resto R( x) es de grdo meor m, o o tiee grdo., m

4 Prof.: Lui Tfererry CÓMO HACER UNA DIVISIÓN º EMT - Mtemáti Ejemplo: Dividir P( x) x 4x 5x 4 etre D x x x ( ) x x 4x 5x 4 x x 6x 9x x x 4x 4 x 4x 6 0x Se divide el térmio de myor expoete de P( x ), P( x) x 4x 5x 4 Dividedo Q( x) x Coiete x etre el térmio de myor expoete del divisor x y se olo el resultdo (x) omo el primer térmio del oiete. Luego se multipli (x) por d uo de los térmios del divisor y se lo rest l dividedo pr oteer u uevo dividedo D( x) x x Divisor (x -4x+4) Se repite el R( x) 0x Resto proedimieto hst que el resto se de grdo meor que el divisor, o que se 0. POLINOMIOS DIVISIBLES DIVISIÓN EXACTA Diremos que u poliomio P( x ) es divisile etre el poliomio D( x ) (o ulo) si el resto de l divisió es ero o u poliomio ulo. P( x) es divisile etre D( x) P( x) D( x) Q( x) R( x) P( x) D( x) 0 Q( x) Not: Tmié suele deirse que D(x) / P(x) o que D(x) divide extmete P(x). TEOREMA DEL RESTO Si D( ) 0, el vlor umério que tom u poliomio P( x ) pr x es igul l vlor umério pr x del resto de l divisió de P( x ) etre D( x ). ( x R, grdo D( x ) grdo P( x ), D( x ) o ulo) Hipótesis : Tesis : Dd l divisió : P( x) D( x) P( ) R( ) R( x) Q( x) o D( ) 0 Se prte de l divisió P( x) D( x) R( x) Q( x) Se expres omo P( x) D( x) Q( x) R( x) Se sustituye tod x por α (que es u úmero) P( ) D( ) Q( ) R( ) P( ) R( ) 0 QUÉ NOS DICE EL TEOREMA DEL RESTO? Cd vez que se die o plrs: E símolos se expres: Sigifi, por el teorem del resto: P( x ) dividido (x + ) d resto P( x) ( x ) Q( x) P( ) P( x ) dividido (x ) d resto -7 P( x ) dividido x d resto 6 P( x) ( x ) 7 Q ( x) P( x) x 6 Q ( x) 0 P() 7 P(0) 6 4

5 Prof.: Lui Tfererry º EMT - Mtemáti Ejemplos: Ddo P( x) x ( ) x 5, lulr pr que P( x ) dividido etre (x + ) dé resto 5. Pr plir el teorem del resto se dee hllr el vlor de α. Pr ello se tom el divisor (x + ), se igul ero y se despej x. x 0 x Por el teorem del resto P( ) 5 P ( ) ( ) ( )( ) P( x) x x Ddo 9 5 P( x) ( x ) ( x ) x 5, lulr el resto de dividir P( x ) etre (x ). U método rápido y seillo es plir el teorem del resto. De este modo, pr lulr el resto se efetú P (). 9 5 P() ( ) ( ) 5 5 R Ddo P( x) x ( ) x, lulr pr que P( x ) dividido etre (x + 6) dé resto. Pr plir el teorem del resto se dee hllr el vlor de α. Pr ello se tom el divisor (x + 6), se igul ero y se despej x. x 6 0 x Por el teorem del resto P( ) P ( ) ( ) ( )( ) P( x) x x TEOREMA DE DESCARTES Es odiió eesri y sufiiete pr que u poliomio se divisile etre (x α), que P( ) 0. P( x) es divisile etre ( x ) P( ) 0 Not: El teorem de Desrtes permite firmr que por d ríz de u poliomio existe u divisor soido de l form (x - ). Ejemplo: Hllr m y p, siedo que: etre (x + ) d resto 5. P( x) 4x 6x mx p es divisile etre (x 4) y que dividido Que se divisile etre (x 4) sigifi que P(4) 0 (Teorem de Desrtes). P m p (4) 4(4) 6(4) (4) m p 0 4m p 0 Que dividido etre (x + ) dé resto 5 sigifi que P( ) 5 (Teorem del Resto). P m p ( ) 4( ) 6( ) ( ) m p 5 m p 5 5

6 Prof.: Lui Tfererry º EMT - Mtemáti 4m p 0 m m p 0 p 4 P x x x x ( ) ESQUEMA DE RUFFINI P( x) ( x ) R Q( x) P( x) ( x ) Q( x) R R por ser grdo( x ) Se trt de hllr u poliomio Q( x ) oiete de l divisió, y u resto R, que umpl l iguldd terior. Si osidero u poliomio de terer grdo Ddo P( x) x x x y u oiete Q( x) x x determir. Result que si: 0 0 P( x) ( x ) Q( x) R x x x ( x )( x x ) R 0 0 = R Ejemplos: Hllr oiete y resto de dividir Ruffii. P( x) x 6x 5 etre ( x ) plido el esquem de Pr trjr o Ruffii se dee teer e uet el siguiete esquem Ríz del DIVISOR Coefiietes del DIVIDENDO Coefiietes del COCIENTE Resto Primer pso Psos siguietes pr plir Ruffii Coefiietes del dividedo Se sum Resto Ríz del divisor Se olo el mismo Se multipli Coefiietes del oiete Si e el dividedo flt lgú térmio, dee poerse ero e el oefiiete orrespodiete Not: Cudo dos poliomios so divisiles, el resto de l divisió etre ellos d ero. P( x) x 6x 5 Dividedo D( x) x Divisor Q( x) x 6x Coiete R( x) 4 Resto El esquem de Ruffii es u form de her l divisió de u poliomio etre u divisor de l form ( x ) 6

7 Prof.: Lui Tfererry Hllr oiete y resto de dividir º EMT - Mtemáti P( x) x 8x 5x 6 etre (x ) plido el esquem de Ruffii Resto Coiete de Ruffii x x Q( x) Q x x x ( ) 6 9 Co 0 P( x) ( x ) Q( x) R P( x) x Q( x) R P( x) x ( Q( x)) R Coiete de Ruffii : Q( x) El oiete que se otiee l her Ruffii, está multiplido por. Not: Al efetur l divisió utilizdo el esquem de Ruffii, teer e uet que: El resto de Ruffii es el verddero resto. El oiete de Ruffii dee dividirse etre pr oteer el orreto. IDEAS PARA HALLAR UN POLINOMIO Ejemplo : Ddo P( x) x x x, hllr, y siedo que: P( x ) es divisile etre ( x ) P( x ) dividido ( x ) d resto 4 P( ) Que se divisile etre ( x ) sigifi que P() 0 (Teorem de Desrtes). P () () () () Que dividido etre ( x ) dé resto 4 sigifi que P() 4 (Teorem del Resto). P( ) P () () () () P ( ) ( ) ( ) ( ) P( x) x x 5x 0 Not: Este prolem se puede resolver plido el teorem del resto, medite el esquem de Ruffii o utilizdo el vlor umério. 7

8 Prof.: Lui Tfererry Ejemplo : Hllr m y pr que P( x) x mx se divisile etre º EMT - Mtemáti D( x) x 4x 4. Se hll ls ríes del divisor plido l fórmul de Bháskr. x 4x 4 0 x ( dole) Como e este so hy ríz dole o se puede plir el proedimieto del ejemplo. Aquí se plirá el esquem de Ruffii e form suesiv exigiedo que d resto se ero. Ejemplo : 0 m 4 m+8 m + 4 m = m + = 0 m 8 m m 6 P x x x ( ) 6 Efetudo l divisió. Cudo se prte del poliomio y éste o es divisile etre u divisor de segudo grdo, o el divisor o tiee ríes, se dee her l divisió e form trdiiol. Ddo 4 P( x) x mx x x se se que dividido etre ( x 4) d resto (x ). Hllr m y. El divisor ( x 4) o tiee ríes reles, por lo ul se dee her l divisió e form trdiiol. 4 x mx x x x 4 x 4 8x x mx 6 mx mx 6x x 4mx 6x 6x (4m ) x 4 (4m ) x (4 ) El resto (de u grdo meor que el divisor) dee ser idétio l ddo. 4m m 4 P x x x x x 4 ( ) Ejemplo 4: Prtiedo de l divisió. E muhos sos e que o se d el poliomio, es oveiete prtir de lgu divisió que esté e l letr del prolem y ompletrl o u oiete o resto idetermido. El poliomio fil se euetr omo el divisor por el oiete más el resto. 8

9 Prof.: Lui Tfererry Hllr u poliomio P( x ) de terer grdo siedo que: Dividido etre ( x x ) d oiete Q( x ) y u resto (5x 4) P(0) Q( ) 7 Se plte l divisió olodo omo oiete u poliomio de primer grdo Q( x) x Se expres: P x x x x x ( ) ( )( ) 5 4 º EMT - Mtemáti P x x x ( ) 5x 4 x Ates de her uets se pli los otros dtos del prolem: P(0) (0 0 )( (0) ) 5(0) Q( ) ( ) 4 7 Se plte el poliomio: P x x x x x ( ) ( )( 4) 5 4 Se efetú ls operioes: P x x x x x x x P x x x x ( ) ( ) 7 Ejemplo 5: i) U poliomio P( x ) dividido etre ( x ) d resto 5 y dividido etre ( x ) d resto 0. Hllr el resto de dividir P( x ) etre ( x )( x ). ii) Se se que el oiete de l divisió terior es ( x x). Hllr P(x). i) Se pli el Teorem del Resto d uo de los dtos y se otiee vlores umérios del poliomio P(x). P( x) ( x ) P( x) ( x ) P( ) 5 P() 0 5 Q ( x) 0 Q ( x) El ejeriio pide hllr u resto. Se plte l divisió pedid, olodo por oiete Q(x) y u resto de primer grdo, o oefiietes idetermidos. P( x) ( x )( x ) P( x) ( x )( x ) Q( x) x x Q( x) Se pli los vlores umérios y se otiee dos euioes o dos iógits, que se resuelve. P( ) ( )( ) Q( ) ( ) P() ( ) ( ) Q() () R( x) x 7 ii) Cooiedo el oiete y el resto eotrdo e l primer prte del ejeriio, el poliomio se hll omo el divisor por el oiete más el resto. P( x) ( x )( x ) x 7 x x Ejemplo 6: P x x x x x x P x x x x x 4 ( ) ( )( )( ) 7 ( ) 5 7 Sistem de euioes o poliomios. Puede sueder que se de hllr dos poliomios resolviedo u sistem de dos euioes o dos iógits, e dode ls iógits so los poliomios. 9

10 Prof.: Lui Tfererry Hllr los poliomios P( x ) y Q( x ) siedo que: P( x) P x Q x x x x x P x Q x x x x x 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) º EMT - Mtemáti Al sumr l primer, más l segud multiplid por -, se elimi P(x) y del resultdo se despej Q(x). Q x x x x x 4 ( ) P( x) Q( x) x x 7x 4x x 4x 4x 6x 7 4 Q( x) x 4x 4x 6x 7 Q( x) Q( x) x 8x 4x x P( x) Q( x) x x 9x 60x 0 P( x) x 8x 4x x 4 x P x x x x ( ) Q( x) x x x RAÍCES DE UN POLINOMIO Se llm ríz de u poliomio quellos vlores de l vrile x pr los ules el vlor umério del poliomio vle ero. es ríz de P( x) P( ) 0 Ejemplo: Ddo P( x) x 5x x 8, ivestigr si x = o x = - so ríes de P(x). Se sustituye x e el poliomio por y por -, si el vlor umério es ero, es ríz, si o d ero, NO es ríz. P x es ríz de P x () () 5() () 8 0 ( ) P x NO es ríz de P x ( ) ( ) 5( ) ( ) 8 45 ( ) Por el Teorem de Desrtes se umple que si P( ) 0 el poliomio es divisile etre ( x ). Por lo ul, ls siguietes firmioes sigifi lo mismo. P( ) 0 P( x) es divisile etre ( x ) es ríz de P( x) ( x ) / P( x) RESOLVER P( x) 0 SIGNIFICA HALLAR TODAS SUS RAÍCES ALGUNAS IDEAS PARA HALLAR RAÍCES I) U de ls ríes puede estr e l primer prte de l letr de los prolems. Si est die: α es ríz de P(x) P(x) es divisile etre (x α) P(α) = 0 (x α) / P(x) Ests utro firmioes sigifi lo mismo, que α es ríz de P(x). II) RAÍCES EVIDENTES RAÍZ U poliomio tiee ríz si: L sum de los oefiietes vle ero 0

11 Prof.: Lui Tfererry Ejemplo: Ddo P( x) x x x hllr sus ríes. º EMT - Mtemáti P x x x x P x tiee ríz ( ) 0 ( ) RAÍZ 0 U poliomio tiee ríz 0 si: U ríz es Ls otrs dos ríes, si ls tiee, surge de resolver El poliomio o tiee térmio idepediete x x 0 4 Ríes de P( x),,4 Ejemplo: Ddo P( x) x x 0x hllr sus ríes. P(x) o tiee térmio idepediete, por lo ul tiee ríz 0. Se s x de ftor omú y se pli propiedd Hkeli (si u produto de dos úmeros reles vle ero, uo de los úmeros tiee que ser ero). x 0 RAÍZ x x x x x x x U poliomio tiee ríz si: 0 0 ( 0) 0 x x 0 0 x 5 Ríes de P( x) 5,0, L sum de los oefiietes de los térmios de expoete pr y l sum de los oefiietes de los térmios de expoete impr, d el mismo resultdo Ejemplo: Ddo P( x) x x 0x 9 hllr sus ríes. 0 x x x 9 Coefiietes + 9 = + P( x) tiee ríz Térmio Pr Térmio Impr 0 9 Ls otrs dos ríes, si ls tiee, surge de resolver 9 0 x x 0 x x 0 x Ríes de P( x). III) Apliió de relió etre oefiietes y ríes. (Pág. ) IV) Ríes omues dos poliomios. (No se lizrá e este urso) V) Ríes idepedietes del prámetro. (No se lizrá e este urso) VI) Csos prtiulres de euioes, el poliomio que dee resolver es: simétrio, hemisimétrio, iúio, iudrdo, et. (Pág. 5) VII) Apliió del teorem de ríz riol. (No se lizrá e este urso) TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL U poliomio de grdo efetivo, que dmite ríes distits ( i o i ), se puede esriir omo el produto del oefiiete del térmio de myor expoete, por ftores de l form * ( x ) o i, N i

12 Prof.: Lui Tfererry º EMT - Mtemáti Hipótesis : P( x) x x... x 0 tiee ríes distits :,,,... 0 Tesis : P( x) ( x )( x )( x )...( x ) Not: L odiió de ríes distits es eesri pr l demostrió del teorem, si emrgo, el teorem tmié es válido pr ríes igules. Los ftores de l form (x - ) so los divisores primos del poliomio. L desomposiió ftoril de u poliomio, es otr mer de expresrlo, y que si se desrroll y redue, se otiee el poliomio e form reduid. Ejemplos: Esriir l desomposiió ftoril de P( x) x 6x 4. Se hll ls ríes plido l fórmul de Bháskr. x x 6x 4 0 P( x) ( x )( x 7) x 7 Hll u poliomio siedo que tiee ríes α = -, β =, γ = 4 y que P (0) = -6 Se plte l desomposiió ftoril de u poliomio de terer grdo de ríes α = -, β =, γ = 4. P( x) ( x )( x )( x 4) Luego se pli que P (0) = -6 P(0) (0 )(0 )(0 4) P x x x x P x x x x ( ) ( )( )( 4) ( ) 6 6 GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS Cudo se está trjdo o gráfis de fuioes poliómis, se ostumr hlr del vlor fuiol, que se otiee, geerlmete, iterpretdo el gráfio. f (-) = 0 f (4) = 4 f (0) = -0 f (5) = 0 f () = 0 f (-) = -6 Ríes = -,, 5 Not: Ls ríes de u fuió poliómi (los eros) so ls siss de los putos de orte de l represetió gráfi (RG) de l fuió o el eje Ox. E este urso, se está usdo l fuió poliómi de meor grdo posile. Si l RG de l fuió ort l eje Ox, l ríz está u sol vez. Si to l eje Ox si ortrlo, l ríz se dee osiderr dole. Por d ríz dole, orrespode u ftor (x- ) e l desomposiió ftoril de f(x).

13 Prof.: Lui Tfererry º EMT - Mtemáti Ejemplos: Determir l expresió f(x) de u fuió poliómi de terer grdo uy represetió gráfi es l dd. Al oservr l represetió gráfi y siedo que f es de terer grdo podemos determir que ls ríes de f so x = - (dole) y x =. Aplido el Teorem de Desomposiió Ftoril se otiee: f ( x) ( x ) ( x ) Otro dto que se dedue de l represetió gráfi es f (0) = 6, l plir este dto se puede hllr. f (0) (0 ) (0 ) Se sustituye y se reliz ls operioes pr hllr f(x). f x x x f x x x x ( ) 4( ) ( ) ( ) Ejemplos: Determir l expresió h(x) de u fuió poliómi de terer grdo uy represetió gráfi es l dd. h(x) Al oservr l represetió gráfi se puede determir que ls ríes de h so: x = - (dole) y x = β. Aplido el Teorem de Desomposiió Ftoril se otiee: h( x) ( x ) ( x ) Los otros dtos que se dedue de l represetió gráfi so h (0) = -9 y h () = -7 l plir estos dtos se otiee u sistem de euioes o dos iógits y β. h(0) 9 h(0) (0 ) (0 ) h h () 7 () ( ) ( ) 7 (9)( ) 7 Pr resolver el sistem se emple el método de sustituió h x x x h x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 5 9 RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO P x x x ( ) 0 o ríes reles y sum de produto ls de ríes : ls ríes :

14 Prof.: Lui Tfererry OTRAS RELACIONES º EMT - Mtemáti ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO P x x x x d ( ) 0 o ríes reles, y sum de produto ls de ríes : ls ríes : d OTRAS RELACIONES ( ) ( ) ( ) d d d POLINOMIO DE ENÉSIMO GRADO Si P(x) es u poliomio de eésimo grdo de l form: P( x) x x... x 0 o ríes reles,,... 0 Se umple: sum de ls ríes :... produto de ls ríes : Dos ríes iverss sigifi: = Dos ríes opuests sigifi: + = 0 U ríz es l sum de ls otrs dos sigifi: = + Ejemplo: Ddo P( x) 6x 6x 4x 84, hllr tods sus ríes siedo que l sum de dos de ells es igul 5. Dto: 5 Relió etre ríes y oefiietes: 6 Pr el poliomio ddo: 6 4

15 Prof.: Lui Tfererry 6 Se sustituye el dto ddo 5, y result x 80x Ríes de P( x) 4,, º EMT - Mtemáti TEOREMA U poliomio de grdo efetivo o puede teer más de ríes. N Hipótesis : Ddo P( x) x x... x 0 Se 0,,,... ríes distits de P( x) Tesis : P( x) o puede teer más de ríes TEOREMA Si u poliomio de grdo prete tiee más de ríes, es idétimete ulo. Hipótesis : Ddo P( x) x x... x Se 0,,,..., ríes distits de P( x) Tesis : P( x) 0 ( P( x) es u poliomio idétimete ulo) ECUACIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Fórmul de Bháskr * 4 R x x 0 x ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LA DE SEGUNDO GRADO ECUACIÓN BICUADRADA R x x * 4,, 0 4 Cmio de vrile x z x z z z 0 x z x z 4 Soluioes de x x 0 z z z z Ejemplo: 4 Resuelve y verifi: x x 6 0 Cmio de vrile z 4 x 4 x z z z 6 0 S,,, z 9 x 9 Verifiió : x 4 ( ) ( ) x... x x... z z 5

16 Prof.: Lui Tfererry ECUACIÓN BICÚBICA º EMT - Mtemáti * 6,, R x x 0 Cmio de vr ile : x z x z E geerl, tod euió de l form : x x 0 N * INECUACIONES Ejemplo: Resuelve e R x 4 0x 9 0 z 9 x x 0x 9 0 x 0x 9 0 z x z 0z 9 0 z x,,, S ALGUNAS FÓRMULAS ÚTILES Propiedd Distriutiv ( ) Cudrdo de u Biomio ( ) Cuo de u Biomio ( ) Cudrdo de u Triomio Biomios Cojugdos ( ) ( )( ) Propiedd Hkeli Fórmul de Bháskr 4 x x 0 0 x Euió iudrd x 4 * 4 x 0,, R x z x z z z 0 x z Desomposiió ftoril (Ej. 4to grdo) x 4 x x dx e ( x )( x )( x )( x ) Ríes,,, d d d OPERACIONES d d : d d 6