1) CONCEPTOS 2) MONOMIOS TEMA : EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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- Rosa María Sánchez Serrano
- hace 7 años
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1 TEMA EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTOS U EXPRESIÓN ALGEBRAICA es el ojuto e úmeros letrs que se omi o los sigos e ls operioes mtemátis sum, rest, multipliió, ivisió poteiió. Ejemplo El VALOR NUMÉRICO e u epresió lgeri es el úmero que result e sustituir ls letrs por los úmeros etermios, relir otiuió ls operioes que se ii. Ejemplo Hllr el vlor umério e pr MONOMIOS U MONOMIO es l epresió lgeri más seill está form por proutos e úmeros letrs, feto ésts l multipliió l poteiió e epoete etero positivo. U moomio ost e los siguietes elemetos COEFICIENTE úmero ooio iluio su sigo. PARTE LITERAL letr o letrs o los epoetes que ompñ l oefiiete. Dos o más moomios so semejtes si tiee l mism prte literl. GRADO es l sum e los epoetes e sus letrs. Ejemplo oefiiete = ; prte literl = ; gro oefiiete = ; prte literl = ; gro = OPERACIONES CON MONOMIOS SUMA RESTA Sólo se puee sumr o restr moomios semejtes se eomi reuir térmios.. El resulto es otro moomio que tiee por oefiiete l sum o rest e los oefiietes e los sumos mtiee l mism prte literl. Ejemplo PRODUCTO El prouto e os moomios es otro moomio que tiee por oefiiete el prouto e los oefiietes por prte literl el prouto e ls prtes literles. m m m m m m Ejemplos 8 8
2 DIVISIÓN El oiete e os moomios es otro moomio que tiee por oefiiete el oiete e los oefiietes por prte literl el oiete e ls prtes literles. m m Ejemplo POTENCIA L potei e u moomio es otro moomio que tiee por oefiiete l potei el oefiiete por prte literl l potei e l prte literl. m m p m p m Ejemplo ES FÁCIL VER QUE CUANDO OPERAMOS CON MONOMIOS UTILIZAMOS LO VISTO EN OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS PARA LOS COEFICIENTES Y LO VISTO EN POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS PARA LA PARTE LITERAL POLINOMIO. U POLINOMIO es u epresió lgeri ompuest por l sum o iferei e moomios. C moomio se eomi térmio el poliomio. El GRADO DE UN POLINOMIO es el mor e los gros e toos los moomios que lo form. Reoremos que el gro e u moomio es l sum e los epoetes e su prte literl. Ejemplos gro gro El VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO es el úmero que se otiee l sustituir ls letrs e u poliomio por vlores oretos. Ejemplos , Pr 0, Pr
3 OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA RESTA L sum o rest e poliomios es otro poliomio formo por l sum o rest e los térmios semejtes, ejo ii l sum o l rest e los térmios o semejtes. Ejemplo PRODUCTO El prouto e os poliomios es otro poliomio uos térmios so el resulto e multiplir térmio el primer poliomio por térmio el seguo poliomio. A otiuió se reue térmios semejtes. Ejemplo COCIENTE I El oiete e u poliomio etre u moomio es, su ve, otro poliomio uos térmios se otiee iviieo térmio el poliomio etre el moomio. Veremos e próims hojs otrs téis pr iviir poliomios. Ejemplo Divisió e Poliomios Cuo se he u ivisió etre úmeros turles si sr eimles, l ivisió se llm eter. Se otiee u oiete u resto, se umple Divieo = ivisor oiete + resto -0 = resto < ivisor 8 8 < Los poliomios se ispoe omo e l ivisió e úmeros oreos por sus poteis e mor meor. Los térmios el oiete se otiee e vrios psos, preios l ivisió uméri. Ejemplo Divi 8 + por Soluió Esriimos el ivieo el ivisor oreos e poteis ereietes Divieo ivisor - + Luego oservemos. Flt lguos térmios e el ivieo? E ese so, ompletemos o oefiietes e ero. E uestro prolem, el ivieo o tiee oefiiete e e, e oseuei el ivieo os que e l siguiete mer Ahor estmos e oiioes e relir l ivisió
4 .-Divimos el primer térmio el ivieo por el primer térmio el ivisor 8 =.- El térmio el oiete se multipli por el ivisor. El prouto se le rest l ivieoo se le mi el sigo se sum..- Co omo uevo ivieo se repite los psos. Así, se otiee otro térmio el oiete e meor gro =.-El proeso otiú hst que o se puee oteer más térmios el oiete. Resto Coiete + + Groresto < Groivisor L ivisió está ie heh si se umple que Divieo = ivisor oiete + resto Groresto < Gro ivisor Regl e Ruffii Cuo el ivisor es u poliomio e l form, se puee plir el métoo preio o plirse l regl e Ruffii, que presie e ls vriles. Ejemplo Diviir , primero plio el métoo preio, luego plio l regl e Ruffii
5 El poliomio oiete es ; el poliomio resto es. Vlor Numério e u poliomio. Teorem el resto El vlor umério e u poliomio e = es el vlor que se otiee e sustituir l vrile por el úmero efetur ls operioes iis. Se otiee u úmero l que eomiremos omo p Ejemplo El vlor umério e - +- e =, = 0, = -, = El vlor umério el poliomio e =, es p = +. - =- El vlor umério el poliomio e = 0, es p0 = = - El vlor umério el poliomio e = -, es p- = = - El vlor umério el poliomio e = u úmero rel, es p = +ª - Cuo el vlor umério el poliomio e = es ero se ie que es rí el poliomio o ero el poliomio. E el ejemplo = - es rí el poliomio P = + Teorem el Resto El resto e iviir u poliomio p e gro mor o igul uo, por otro e l form +, es el vlor umério el poliomio p pr = mio e sigo. Demostrió p + /, e moo tl que p = + + r, r
6 El resto e l ivisió es r = p-, E el ejemplo r = = FACTORIZACIÓN L FACTORIZACIÓN persigue reuir el gro e los poliomios pr filitr ls operioes o los mismos, más elte, filitr l resoluió e euioes. U pliió e l propie istriutiv es l operió llm SACAR FACTOR COMÚN, que osiste e poer fuer e u prétesis el ftor omú u serie e sums o ifereis e proutos, queo etro el prétesis los sumos. El FACTOR COMÚN es el ftor úmero o letr que multipli que se repite e u ojuto e operioes istits. Ejemplos 0 Otr herrmiet que se utili pr ftorir poliomios so ls IGUALDADES NOTABLES o CUADRADO DE UNA SUMA El uro e l sum e os moomios es igul l uro el primero más el ole prouto el primero por el seguo más el uro el seguo. Ejemplos Si os u sum l uro, esrrollmos l igul o multiplimos ih sum por si mism Si os u epresió o tres térmios positivos, usmos los térmios urátios ompromos que verifi el ole prouto 0 o CUADRADO DE UNA DIFERENCIA El uro e l iferei e os moomios es igul l uro el primero meos el ole prouto el primero por el seguo más el uro el seguo.
7 Ejemplos Si os u rest l uro, esrrollmos l igul o multiplimos ih rest por si mism 0 Si os u epresió o os térmios positivos uo egtivo, usmos los térmios urátios ompromos que verifi el ole prouto 0 o SUMA POR DIFERENCIA El prouto e u sum e os moomios por su iferei es igul l iferei e uro. Ejemplos Si os u sum por u iferei, esrrollmos l igul o multiplimos Si os u epresió o u térmio positivo otro egtivo usmos los térmios urátios esrrollmos l igul e setio iverso
8 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris Trjo Prátio N CALCULAR EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS PARA LOS VALORES =, = e f IDENTIFICA TODOS LOS ELEMENTOS COEFICIENTE, PARTE LITERAL Y GRADO DE LOS SIGUIENTES MONOMIOS e f 0 g h RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON MONOMIOS
9 e f 8 g h i j 0 REDUCE TÉRMINOS Y CALCULA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES PARA,, 0, E 8 e f 8 CALCULAR EL GRADO DE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS Y HALLAR EL VALOR NUMÉRICO PARA, 0 Y e RESUELVE LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON POLINOMIOS 8 8 8
10 e f g 8 h 8 i 0 j 8 k 0 l 08 EXTRAE EL FACTOR COMÚN EN CADA CASO m 0m 0m e COMPLETA LAS SIGUIENTES IGUALDADES NOTABLES e f 0 g h
11 i 8 j k l m o
12 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris.- Complet el siguiete uro Trjo Prátio N POLINOMIO GRADO TERM. INDEP. ORDENAR COMPLETAR Clul el vlor umério e ls siguietes epresioes lgeris pr los vlores que se ii pr pr, - Efetú ls siguietes sums rests.- Efetú ls siguietes multipliioes
13 e = f - =.- Efetú ls siguietes ivisioes e poliomio etre moomio Efetú ls siguietes operioes utilio l fórmul orrespoiete m e + - f 8-8 +
14 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris Trjo Prátio N.- Complet el siguiete uro POLINOMIO GRADO TERM. INDEP. ORDENAR COMPLETAR Clul el vlor umério e ls siguietes epresioes lgeris pr los vlores que se ii, pr pr pr - Efetú ls siguietes sums rests 8.- Efetú ls siguietes multipliioes e = f - =.- Efetú ls siguietes ivisioes e moomios iio si e lgú so el resulto o es u moomio 0.- Efetú ls siguietes ivisioes e poliomio etre moomio Efetú ls siguietes operioes utilio l fórmul m e - f + - g h - +
15 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris Trjo Prátio N.- Do el poliomio - -+ se pie iir - gro - térmio iepeiete - ompletr - orer - oefiiete el térmio e mor gro.- Clulr el vlor umério e l epresió.- Efetur ls siguietes operioes pr =- =- = = = = = e - = f =.- Efetur ls siguietes operioes o proutos otles - = + = =.- Efetur ls siguietes operioes 8 0m 8m m m.- Esriir u poliomio que umpl too lo siguiete - que teg tres térmio, - que se e gro, - que el térmio iepeiete se,
16 - que lgú oefiiete el lgú térmio se..- Epresr e leguje lgerio - el ole e l sum e os úmeros - l terer prte el uro e u úmero ms el triple e iho úmero.
17 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris Trjo Prátio N.- Iir gro, térmio iepeiete, ompletr orer los siguietes poliomios De los siguietes moomios, iir ul es el oefiiete, el gro o respeto u e ls letrs el gro el moomio.- Clulr el vlor umério e los siguietes poliomios pr = =- = Dos los siguietes poliomios P= -+ Q= +- R=- S= + -+ Efetur ls siguietes operioes P+Q P-Q-S Q-R+S R P e R Q f P Q g R S h P S.- Utilio l fórmul + = + +, efetur ls siguietes operioes e + f + g + h +.- Utilio l fórmul - = + -, efetur ls siguietes operioes e - f - g - h -.- Utilio l fórmul + - = -, efetur ls siguietes operioes e +- f +- g - + h Efetur simplifir e f --++ g h i j k l m ñ - -+ o
18 p q - r +- s Efetur ls siguietes multipliioes e moomios Relir ls siguietes poteis e moomios Relir ls siguietes ivisioes e moomios 0 0 e.- Relir ls siguietes ivisioes e poliomios etre moomios Relir ls siguietes ivisioes e poliomios e f Esriir u epresió lgeris o ls siguietes rterístis m Moomio o oefiiete gro. Biomio e gro. o Triomio e gro. p Poliomio e gro o térmio iepeiete. q Dos moomios semejtes. r Tres moomios o ls letrs e que o se semejtes. s Tres moomios e gro o ls letrs e, que o se semejtes..- Epresr e leguje lgerio ls siguietes frses L mit el uro e u úmero. L sum e los uros e os úmeros. El uro e l sum e os úmeros. L mit e u úmero meos el ole e iho úmero. L mit e u úmero más su quit prte.ç L mit e l sum e os úmero. El uo e u úmero. Tres úmeros oseutivos. El úmero turl siguiete. El úmero turl terior. El prouto e os úmeros. L e e u perso etro e ños. L e e u perso he ños.
19 Nomre Apellio... Tem Epresioes Algeris Trjo Prátio N º Dos los moomios ; ; ; D C B A. Efetú ls siguietes operioes A + D A D A + B A C e A D f B D º Verero o flso? Rólo g h i j k l m º Reli ls siguietes operioes o moomios 8 E ls siguietes epresioes h errores mu grves e l utiliió e l propie istriutiv. Cuáles so? Corrígelos. o p q r - Dos los poliomios,, q r p. Efetú ls siguietes operioes s q p Sol t q p Sol u q p Sol 0 v r p Sol w q r Sol r p Sol - Efetú ls sums rests que se ii reue los térmios semejtes Sol Sol Sol Sol Sol Sol 8
20 - H los proutos que se ii plio l propie istriutiv reue térmios semejtes Sol Sol Sol Sol Sol 8- Oper simplifi ls siguietes epresioes Sol Sol Sol Sol Sol - Efetú ls siguietes ivisioes Sol 8 0, R C Sol, R C Sol R C, 0- Efetú ls siguietes ivisioes utilio l ivisió oriri el métoo e Ruffii Sol, R C Sol, 8 R C Sol, R C - Los siguietes ejeriios se resuelve e l mism form, uso el Teorem el Resto Si her l ivisió, eir si ls siguietes ivisioes so o o, ets Sol R = 0 Sol R = 8 Sol R = - Si her l ivisió, hll el resto e ls ivisioes Sol R = Sol R = 0 0 Sol R = 0 Utilio el vlor umério Teorem el Resto, hll el vlor e m pr que el poliomio m p teg por resto 0 l iviirlo por Sol m = - Clul el vlor e m e los poliomios siguietes sieo que El resto e iviir m etre es ero Sol m = 0 0 m es ivisile etre Sol m =
21 m es múltiplo e Sol m = p m es ivisile etre Sol m = 8 m es ftor e p Sol m = es ivisor e m Sol m
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8 Sigos: Ddos, lr etoes El Sistem [ ( < de 0 Números 0 < Reles ) (0 < < 0) ] < 0 [ (0 < 0 < ) ( < 0 < 0) ] 0 < 9- Trsitiv:,, lr, < y < se tiee < 0- Mootoí de l sum: < y lr etoes < - Mootoí del produto:,,
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tiene derivada continua hasta de orden 1
Cálulo Numério Progrmió Apli INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA O SPLINES L otruió e poliomio e iterpolió e gro lto uque utifile teórimete plte muo prolem Por u lo, l form e l fuió poliómi e gro lto meuo o repoe
Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.
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2. CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Capítulo 3. Potencias de números enteros
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LOS NÚMEROS REALES Los número,, se enominn números nturles. El onjunto e los números nturles se representn on l letr N, sí N {,,K } Si se sumn os números nturles el resulto es otro nturl, pero si se rest
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS
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Q, entonces b equivale a un radical. Es decir:
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1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
º ESO - UNIDAD.- POTENCIAS Y RAÍCES OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD.- Clculr potecis de se rciol y epoete etero.- Relizr opercioes co potecis de epoete etero usdo sus propieddes.- Epresr úeros e otció cietífic.-
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MCD Y MCM DE POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS
TRILE pítulo MD Y MM DE POLINOMIOS FRAIONES ALGEBRAIAS Rgl pr lulr l MM y MD Poliomios :. S ftoriz los poliomios os.. El MD strá formo por l multipliió toos los ftors primos omus los poliomios os, osiros
Electrónica Básica. Álgebra de Boole. Electrónica Digital. José Ramón Sendra Sendra Dpto. de Ingeniería Electrónica y Automática ULPGC
Eletrói Bási Álger de Boole Eletrói Digitl José Rmó Sedr Sedr Dpto. de Igeierí Eletrói y Automáti ULPGC 2 Ciruito de omutió p.e. sistem de otrol idustril sistem teleóio ordedor et. El Álger de Boole sirve
{ } + S = = S, para S. a converge si su sucesión de sumas parciales converge, es decir,
Esuel de Igeierí Cetro de Ciei Bási Cálulo de Vrile Rel Guí teóri Series Series Iiits: Deiiió: Se { } u suesió iiit. L epresió, se deoi serie iiit o serie y se deot por: { } S S S S S S S S - U serie es
UNIVERSIDAD CRISTIANA AUTONOMA DE NICARAGUA UCAN FACULTAD DE INGENIERÍAS. Ingeniería en Sistemas de Computación. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro
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POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.
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SISTEMAS DE ECUACIONES
. Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.
Definición.- Llamamos POTENCIA a la expresión abreviada usada para escribir un producto de n factores no necesariamente iguales.
POTENCIAS Y RAÍCES. 1.- POTENCIAS. Defiició.- Llos POTENCIA l expresió revid usd pr escriir u producto de fctores o ecesriete igules. Escriios: =... ( veces) dode es l BASE y el EXPONENTE. Ejeplo: 7 2
LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES. Multiplicación y división de potencias de igual base. Potencia de un producto y de un cuociente.
LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES Defiició de poteci y sigos de est. Multiplicció y divisió de potecis de igul bse. Poteci de poteci. Poteci de u producto y de u cuociete. Multiplicció y divisió de potecis
Aprendizajes esperados:
Deprtmeto de Mtemátics Profesor: Guillermo Corbcho C. cüâxut wx äxä wx `tàxåöà vtá Octvos Básicos NOMBRES: PUNTAJE / 30 NOTA: Apredizjes esperdos: Aplicr regl de los sigos e l multiplicció y divisió de
RADICALES. Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice n 2 de un número real.
RADICALES Etre los úeros reles se euetr los rdiles, ue se uede exresr oo ríz de u ídie de u úero rel. Ríz eési de u úero rel. Si R y Ν, o, direos ue l ríz eési de es u úero rel r y lo otreos sí: r, si
Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...
Unidad didáctica 3 Las potencias
Uidd didáctic Ls potecis 1.- Qué es u poteci? U poteci, es u producto de fctores igules que se repite vris veces. veces El fctor que se repite se llm bse,. El úmero de veces que se repite l bse es el expoete,.
POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL. a, es igual al producto de n veces el número Natural
LICEO DE CERVANTES PP. AGUSTINOS BOGOTÁ ÁREA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURA: Mtemátics DOCENTE: Elky F. Ortiz GRADO: QUINTO FECHA: CALIFICACIÓN DESCRIPCIÓN: Guí - Tller de potecició, Rdicció y logritmció. ESTUDIANTE:
, donde a y b son números cualesquiera.
Mtemátis Mtries José Mrí Mrtínez Meino (SM, www.profes.net) MJ6 D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P = P. Soluión: Se ese que Por tnto, ee umplirse que: Por tnto, P, one y son números ulesquier.
Potencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de