REGLAS PARA DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN:
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- José Antonio Peña Villalba
- hace 7 años
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1 REGLAS PARA DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN: Pese que o existe u proedimieto geerl pr determir el térmio geerl de u suesió vmos reopilr lgus herrmiets de álulo útiles que podemos poer e práti. L práti de ests herrmiets es lo que os drá gilidd l hor de reooer ierts suesioes freuetemete utilizds..-comprobar SI ES UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA: El primer pso dee ser ompror si es u progresió ritméti y e el so de que lo se determir el térmio geerl o l expresió que ooemos: Ejm: Determir el térmio geerl de l suesió:,,0,-,-,-,-8.. Vemos que si restmos l segudo térmio el primero el resultdo es -, si l terero le restmos el segudo vemos que d -, y sí suesivmete por lo tto es u P.A de diferei -. Luego: d( ( Compromos que fuio: 0 8 Es orreto..-comprobar SI ES UN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Si ompromos que o es u P.A el siguiete pso es ompror si es u progresió geométri. Ejm: Determir el térmio geerl de:,,,,8.. E este so vemos que o es u P.A y que -=, -= vemos omo o se mtiee ls difereis osttes etre térmios por lo tto o lo es. Promos que es geométri pr ello vmos dividiedo los térmios pr ver si l divisió se mtiee ostte: /=/=/=8/= sí que lo es y demás vemos que l rzó es. Aplimos l expresió pr el térmio geerl de u progresió geométri:
2 r E este so o podemos simplifir porque o teemos poteis de l mism se por lo tto dejmos el térmio geerl sí. Vmos ompror que es el térmio geerl orreto pr los úmeros que ompoe uestr suesió: r 8 8 Vemos que si se orrespode, por lo tto es orret..-sucesiones DE FRACCIONES: E estos sos vmos estudir los umerdos y los deomidores por seprdo. Esto sigifirá que estudiremos dos suesioes e estos prolems. Además teemos que teer e uet si ls frioes está simplifids: Ejm: Determir el térmio geerl de l siguiete suesió:, 7,,... Vmos estudir el umerdor y deomidor por seprdo. Ates vemos omo e el deomidor teemos que v jdo,, por lo tto rí esperr que el deomidor del primer térmio fuese u., 7,,... Numerdor:,,7,. Vemos que l diferei etre los diferetes térmios es por lo tto es u P.A de diferei. Aplimos el térmio geerl de ls P.A: d( ( Deomidor:,,,,. Vemos que tmié es u P.A de diferei e este so. d( (
3 Ahor el térmio geerl de uestr suesió será l divisió del térmio geerl del umerdor etre el térmio geerl del deomidor: Y omo siempre ompromos que fuio: 7 Fuio o todos los térmios ddos, por lo tto es el térmio geerl de l suesió origil por lo tto orreto. Ejem: Determir el térmio geerl de l siguiete suesió:, 7,,,... 8 Vemos que es u suesió de frioes por lo tto estudiremos el umerdor y el deomidor por seprdo. E el so del umerdor vmos plir los psos, primero determimos si es u P:A y vemos que sí -=7-=-70-= es deir de diferei. El so del deomidor vemos que e l primer frió flt el deomidor, pr o distorsior l suesió del umerdor le podremos u de deomidor y por lo tto vemos que l del deomidor es:,,,8, vemos si es P.A -= pero -= o se mtiee l diferei por lo tto o lo es. Vemos si es P.G /=/=8/=/8= si se mtiee ostte l divisió por lo tto es P.G de r=. Ahor determimos los térmios geerles de d progresió por seprdo: Numerdor:,,7,,. d( ( Deomidor:,,,8,. r
4 El térmio geerl pedido será: Compromos: 7 8 Correto. Ejemplo: Determir el térmio geerl de l suesió:, 0, 8, 8... Reurrimos los mismos psos. Estudiemos el umerdor y podemos ver que es u P.A de diferei y que d térmio es u uidd superior l terior. L siguiete pregut que os tedrímos que her es si ls frioes está simplifids, e este so lo dee estr y que si modifimos lgu de ell l suesió ritméti del umerdor se rompe, por lo tto lo dee estr y o ls podemos modifir, luego trjremos o l suesió,0,8,. Empezmos o el umerdor y por ser P.A teemos: d( ( Vmos l deomidor: Primero plimos l regl de ver si es u P.A o P.G. vemos que o es ritméti y que 0-= pero 8-0=8 o se mtiee ostte l diferei, demás vemos que 0/=/ pero 8/0=/ los oietes tmpoo se mtiee luego o hy u rzó por lo tto o es P.A i P.G. E este so vmos relizr el siguiete álisis vmos poer u tl e l que oloremos el térmio y l posiió pr usr u relió etre mos: Térmio _ Desomposiió 7 ftoril
5 Posiió Ahor teemos que ivertir tiempo e ver si hy u relió etre el térmio y lgu potei de l posiió. De l desomposiió ftoril o vemos igu relió espeil etre los térmios. Si relizmos poteis de l posiió os podemos dr uet que los térmios se euetr er de poteis de tres, es deir podemos ver que: Podemos ver que d térmio de l suesió es l potei de se tres de l posiió más u uidd por lo tto el térmio geerl del deomidor será: Ahor el térmio geerl pedido es l divisió de los térmios geerles del umerdor etre el térmio geerl del deomidor: Compromos: Correto. Ejemplo : Determir el térmio geerl de l siguiete suesió: 0, 8,,, El primer pso es ompletr el deomidor del ero pr teer l suesió o ls frioes eters e mos sos. Si os fijmos e el deomidor vemos que: Pr psr de 0 hemos ñdido, pr psr de 0 7 ñdimos 7 y pr psr de 7 hemos ñdido y por lo tto fíjte que l diferei de 7 es dos y de 7 es dos por lo tto: 7 0 7
6 Lo lógio es ñdir u omo deomidor del ero, sí l suesió serí: 0, 8,,, Vmos estudir el umerdor: 0,,8,,, Vemos que o es u P.A i tmpoo es u P.G por lo tto teemos que usr poteis de l posiió: térmio 0 8 Posiió, Desomposiió 0 del térmio Poteis de : Vemos que de l desomposiió ftoril o oteemos igu relió lr. El siguiete pso es poer ls poteis de l posiió. Y e este so vemos que hy u relió lr etre l potei udrd de l posiió y el térmio, si d potei udrd de l posiió le resto u uidd oteemos el térmio geerl. Y lo teemos: Deomidor: Proedemos de l mism mer. No es P.A i P.G por lo tto primero desompoemos e ftores los térmios y vemos que o hy u relió lr etre ellos. Psmos ls poteis de l posiió. Y o l potei udrd teemos suerte, y que vemos que los térmios se orrespode o l potei udrd de l posiió más uo. térmio 0 7 Posiió, Desomposiió 7 del térmio Poteis de : Por lo tto: Y filmete teemos que el térmio geerl será:
7 .-SUCESIONES ALTERNANTES: Se defie omo suesió lterte quell que v mido de sigo de positivo egtivo, o l revés, pr d térmio de l suesió: Ejm:-,7--,,-, Pr ests suesioes primero elimimos los sigos y os quedmos o l suesió o todos los térmios positivos pr determir el térmio geerl y después justremos los sigos o los térmios: ( Suesió si los sigos:,7,,,,,( Como siempre promos si es P.A e este so vemos que: 7-=-7=-=-=-= vemos que sí lo es o u diferei de. Por lo tto el térmio geerl de l suesió si sigos es: d( ( Ahor vemos qué oseueis tiee los térmios (,( : Si desrrollmos el primero de ellos vemos que os geer u suesió e l que ls posiioes impres so egtivs y ls pres positivs por lo tto lo usremos udo e uestr suesió los egtivos se los impres. (,,,,... E el otro so: (,,,,... Vemos que es l revés, los pres so egtivos y los impres positivos. Si volvemos uestro prolem podemos ver que los egtivos so los térmios impres por lo tto oluimos que el térmio geerl de l suesió lterte es: ( ( Comproemos: 7
8 ( ( ( ( 7 7 ( ( ( ( ( ( ( ( Correto. EJEMPLOS DE SUCESIONES Y LA DETERMINACIÓN DE SU TÉRMINO GENERAL APLICANDO LOS PASOS VISTOS: Ejemplo: Determir el térmio geerl de:, 8, 7,, PASO.- Compror si el P.A, o lo es 8-=8 y 7-8=. PASO.-Compror si es P.G, o lo es 8/=8 pero 7/8 o es 8. PASO.-Desompoemos los térmios e ftores y omprmos o ls posiioes: térmio 8 7 Posiió, Desomposiió del térmio Podemos ver que los térmios oiide o l posiió elevd l uo por lo tto y lo teemos: Ejemplo: Determir el térmio geerl de:, 7,,, Apliremos los psos. Como es de frioes estudiremos el umerdo y el deomidor por seprdo. Primero podemos ver que o está simplifids ls frioes, y que el umerdor, los térmios que form l suesió del umerdor, v reiedo y el deomidor tmié lo que os idue pesr que o lo está. Numerdor:, 7,,,. Aplimos l desomposiió: 8
9 térmio 7 Posiió, Desomposiió del térmio Vemos omo o hy u relió visile etre l desomposiió de los térmios. Busquemos poteis del térmio: térmio 7 Posiió, Poteis de : Tmpoo pree her u relió seill de ver etre l posiió y el térmio. E estos sos podemos reurrir otr herrmiet que se deomi ls difereis. Est herrmiet se s e ver uáto vle ls difereis etre los térmios: térmio 7 Diferei 7 Diferei Vemos que l primer diferei o se mtiee ostte, si lo hiier serí u P.A. que es u poliomio de primer grdo e. Clulemos ls segud diferei, e este so vemos que si se mtiee por lo tto podemos iterpretr que si se mtiee l segud deerí ser u poliomio de segudo grdo es deir: Dode, y so oefiietes determir. Podemos justr estos oefiietes o tres dtos motdo u sistem de tres euioes o tres iógits. Esojmos pr el álulo los tres primeros que se orrespode o =,= y =: 7 7 Ahor resolvmos el sistem pr determir, y por sustituioes suesivs: 7 ( 7 ( Ahor que teemos el sistem x lo resolvemos por reduió:
10 0 ( 8 8 Así el térmio geerl serí: Comproemos: Correto. Vemos el deomidor: Vmos plir los psos pero teiedo e uet que o es i P.A i P.G os vmos diretmete pr prtir el método de ls difereis su álulo: térmio 0 0 Diferei 8 0 Diferei Vemos que l segud diferei se mtiee ostte por lo tto el térmio geerl se dee poder esriir omo u poliomio de segudo grdo e : Repetimos el proeso que hemos plido e el umerdor pr los tres primeros térmios: =,= y =. Ahor resolvmos el sistem pr determir, y por sustituioes suesivs: ( (
11 Ahor que teemos el sistem x lo resolvemos por reduió: (0 0 Así el térmio geerl serí: Comproemos: 0 0 Correto. Por lo tto e defiitiv el térmio geerl de l suesió de prtid se puede esriir omo: Vemos que est herrmiet de ls difereis es fáil de utilizr y meái pero impli stte álulo. Ejemplo: Determir el térmio geerl de l suesió:,,,,... 8 Suesió de frioes, dode e este so vemos que sí está simplifids y que los dos uo e medio de ls frioes, deerí de estr esritos omo frioes. Vmos fijros e el deomidor y podemos ver que de podemos psr 8 multiplido por y de 8 multiplido por otr vez, por lo tto pree idir que el deomidor de l segud frió serí u y sí psrímos de multiplido por y de 8 multiplido por y de 8 por l deomidor del segudo que serí que multiplido por os drí. Por lo tto l suesió si simplifir serí:,,,,... 8 Ahor estudiemos el umerdor y el deomidor por seprdo por ser u suesió de frioes.
12 Numerdor:,,,,,. Primero miremos si es u P.A -= y -= o lo es. U P.G /= y / o es tmpoo lo es. Siguiete herrmiet vmos desompoer e ftores los térmios y omprrlos o l posiió que oup: térmio Posiió, Desomposiió del térmio E est so vemos diretmete que el térmio es el udrdo de l posiió que oup, por lo tto el térmio geerl del umerdor serí: Deomidor: Seguimos los mismos psos.,,8,,.. No es u P.A y que -=, 8-= o os d. Vemos si es u P.G /=8/=/8=/= sí lo es o rzó y primer térmio. Por lo tto: simplifi do Coluimos que el térmio geerl de l suesió es. Comproemos: 8
13 Vemos que fuio orretmete. EJERCICIOS PARA PRACTICAR: Determi los térmios geerles de ls siguietes suesioes plido ls herrmiets explids e los ejeriios teriores:,, 0, -, -, -., 0, 0, 0, 80,.. 7, -,, -,,.. d,,,,, e,,,,, f,, 0, 7,. g,,,,, h, 8, 8,, 0, 7 i,,,,,... 8 j 7, -7, 7, -7, 7, -7, 7, k,,,,, l -,, -, 7, m,,,,,...,,,,, o,,,,, SOLUCIONES:
14 ( ( ( 7 ( ( ( ( o m l k j i h g f e d
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