Racionales. Representación decimal de los reales. En los racionales la parte decimal se repite, es periódica e infinita Ejemplos:

Transcripción

1 PUNTES DE ÁLGER Números reles. Vemos los diferetes tipos de úmeros reles. Números turles:,,,... Eteros: -, -, -, 0,... m Rioles: So rzoes etre úmeros eteros r, o m eteros 0 7 ejemplos de rioles so,,, Irrioles. Eiste úmeros reles que o so rioles, omo, deomidos úmeros irrioles. Ejemplos de irrioles so,,, π, π El ojuto de todos los úmeros reles, lo deotremos o el símolo R, está formdo por todos los rioles e irrioles. Cudo meioemos l plr úmero si djetivo, estremos ldo de úmero rel. Estrutur de los Reles Positivos Reles Rioles Eteros Cero Negtivos Irrioles Represetió deiml de los reles. E los rioles l prte deiml se repite, es periódi e ifiit Ejemplos: Cudo el úmero de deimles es fiito, omo e 0., e relidd es ifiito, siedo eros los que se euetr l dere del io. (L rr sore lgú loque de dígitos idi que l seuei de dígitos señldos se repite por siempre). Si el úmero es irriol, l represetió deiml es tmié ifiit pero o es repetitiv, esto es, o es periódio por ejemplo , π e U úmero periódio omo , orrespode u riol o oiete de eteros, e efeto si esriimos: Dgoerto Slgdo Hort Pági

2 , l restr, se ul l prte periódi Represetió gráfi de los reles. Los úmeros reles se puede represetr omo putos de u ret. 0 l ul llmremos ret rel o uméri. E ell se seleio u puto pr el etero ero, llmdo orige, seleiodo después u logitud determid omo uidd, se olo suesivmete est uidd l dere del ero se otiee los eteros positivos, similrmete, oloádol l izquierd se otiee los eteros egtivos. Cd rel positivo estrá represetdo por u puto de l ret situdo uiddes l dere del ero d egtivo estrá represetdo por u puto situdo uiddes l izquierd del ero, de est mer d rel es represetdo medite u puto de l ret d puto de l ret represetrá u determido úmero rel. Los rioles que o so eteros, se euetr etre dos eteros oseutivos, los irrioles se puede proimr medite u suesió de rioles, d vez más próimos l irriol. Orde e los reles. Los reles está ordedos e l ret, e el setido de que, ddos dos úmeros distitos, uo qued l dere otro l izquierd. Defiiió: Deimos que es meor que, esrito <, si es u úmero positivo. Si <, el puto se euetr, e l ret uméri, l izquierd de. De mer equivlete deimos que es mor que, esrito >, udo <. ( sigifi que < o ) Si > 0 se die que es positivo si < 0, etoes es egtivo. E l ret uméri los positivos so los putos l dere del ero los egtivos los de l izquierd. Dgoerto Slgdo Hort Pági

3 LOS NÚMEROS RELES TIENEN LS SIGUIENTES PROPIEDDES JO LS OPERCIONES USULES DE SUM Y PRODUCTO. L sum el produto so operioes soitivs ( ) ( ) ( ) So Comuttivs. El produto es distriutivo sore l sum. ( ) ( ) Eiste u elemeto eutro pr l sum uo pr el produto. Eiste u rel 0 tl que, 0 0 pr ulquier rel Eiste u rel 0, tl que Iversos ditivos. Cd úmero rel tiee u iverso ditivo, tl que 0 Pr los úmeros distitos de ero eiste el iverso multiplitivo. Cd rel distito de ero tiee u iverso multiplitivo, tl que. (El ero o tiee iverso multiplitivo, esto es o represet igú úmero rel.) 0 REST Y COCIENTE DE RELES. L rest, omo operió ivers de l sum se defie omo: El oiete omo operió ivers del produto se defie omo: USO DE LS PROPIEDDES DE LOS NUMEROS RELES. Pr úmeros reles,. z, w, ulesquier Dgoerto Slgdo Hort Pági

4 ( )zw zw( ) por propiedd omuttiv ( )(z w) ( )z ( )w ( z z) ( w w) z z w w. PROPIEDDES DE LOS INVERSOS DITIVOS. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplos. ) ( ) ) ( z) z, l elimir el prétesis preedido o sigo meos, ls tiddes que se euetr detro mi de sigo. PROPIEDDES DE LOS INVERSOS MULTIPLICTIVOS. ) d d ) ) d d d d d) d e) f) Si d, etoes d d Ejemplo. 7 0 [ 7(9) ] (0) 7() (0) 0() 0(9)() (7) (0) 7 0 Dgoerto Slgdo Hort Pági

5 E este so u otros similres result ms oveiete eotrr el míimo omú deomidor MCD, que e este so es pr oteer el MCD, se desompoe los deomidores e primos ()()() ( )( ) 0 ()()()() ( )()() El MCD es el produto de todos los ftores primos diferetes elevdos l potei más elevd de d uo de ellos, sí, pr este so MCD ( )( )() 0. EXPONENTES ENTEROS. l multiplir u úmero, digmos, osigo mismo tres vees, se esrie ()(), e lugr de esriir los tres ftores se esrie se ostumr poer esto es : ()()(). E geerl pr ulquier rel u etero positivo, l -ésim potei de es: ftores es l se de l potei es el epoete. Notemos que : E geerl m m siempre udo m se eteros positivos. Si queremos que est regl sig siedo verdder, iluso udo m se ero o eteros egtivos, etoes, deemos teer: 0 o pero esto solo ourre si 0 De l mism mer deemos teer que 0 esto es verddero si De modo que, resumiedo, si es ulquier rel u etero positivo, etoes Dgoerto Slgdo Hort Pági

6 0 LEYES DE LOS EXPONENTES. m. m m. m m. ( ).. m Ejeriios. Her vrios ejeriios Notió ietífi. L otió epoeil es mu útil pr esriir úmeros mu grdes o mu pequeños. Por ejemplo, l estrell más er l Sol, lf Ceturi, se euetr uos 0 000,000,000,000 Kilómetros. l ms de u átomo de idrógeo es de proimdmete grmos, ests tiddes es oveiete esriirls e otió ietífi. U úmero positivo se euetr e otió ietífi si está esrito e l form 0 dode 0 es u etero sí ,000,000, e el primer so el epoete positivo idi que el puto deiml de dee moverse lugres l dere e el segudo so el epoete idi que el puto deiml de. dee moverse lugres i l izquierd. Ejms. Esri e otió ietífi los úmeros Sol E u luldor oteg el udrdo del úmero. Sol. L luldor preset el resultdo.7 que sigifi.70 Dgoerto Slgdo Hort Pági

7 Empledo u luldor oteg u resultdo pr 0.000, sol..7 0 redodemos o.7 que uo de los dtos. 0 -, siedo tiee solmete u deiml. RDICLES. Y emos visto el sigifido de poteis eters omo, or pr drle sigifido poteis frioris omo, es eesrio el oepto de rdil. El símolo, plido u úmero, digmos por ejemplo 9,sigifi u úmero uo udrdo es 9: sigifi 0 Ddo que 0, el símolo tiee setido sólo si 0. Ejm. porque 0 Ls ríes udrds so sos espeiles de ls ríes -ésims. L ríz -ésim de, es el úmero que l ser elevdo l -ésim potei, os d. Defiiió Si es ulquier etero positivo, etoes l ríz -ésim priipl de se defie omo: sigifi Si es pr, teemos Ejemplos. que que que 8 0 ( ) 8 Ls ríes de ídie pr de úmeros egtivos o está defiids omo úmeros reles Por ejem. 8, - L euió L euió tiee dos soluioes reles ±. sólo tiee u soluió rel PROPIEDDES DE LS RÍCES... Dgoerto Slgdo Hort Pági 7

8 m m.. es impr (- ) si. es pr (- ) si CUIDDO. Evite ometer el error siguiete esto es flso pues es evidete que ( ) EXPONENTES RCIONLES. Pr dr u sigifido l símolo epoetes, tedremos que de mer que se osistete o ls lees de los por lo que, prtir de l defiiió de ríz -ésim m m m omo ( ) ( ) m etoes se tiee m DEFINICIÓN DE EXPONENTES RCIONLES. Pr ulquier epoete riol m, epresdo e su form más simplifid, dode m eteros > 0, defiimos m m m ( ) Si es pr, etoes es eesrio que 0 Ejemplos. Págis Preálulo Stewrt.. Evlur: 7.. Riolie. Simplifique ( ) Dgoerto Slgdo Hort Pági 8

9 EXPRESIONES LGERICS. Vriles osttes. U vrile es u letr que puede represetr ulquier úmero e u ojuto ddo, mietrs que u ostte represet u úmero fijo o espeífio. U epresió lgeri, tles omo d z 7 z so omiioes de osttes omo, -, 7,,,, d vriles,, z, relizds o ls operioes de sum, rest, multipliió, divisió elevió epoetes rioles. El domiio de u vrile e u epresió lgeri de es vrile, es el ojuto de vlores que puede doptr l vrile de mer tl que l epresió teg setido e los úmeros reles esto es que l omiió de vlores o sustituió del vlor e l epresió os dé u úmero rel. Por ejemplo e l epresió, el domiio de l vrile, será todos los reles eepto el úmero, que pr este vlor quedrí u divisió por ero. Los tipos más simples de epresioes lgeris sólo utiliz l sum, rest, produto poteis eters positivs, ests epresioes se ooe omo poliomios. L form geerl de u poliomio de grdo (dode es u etero o egtivo) e l vrile es: 0 dode i, i 0,,,..., so osttes 0, llmdos oefiietes del poliomio. El grdo de u poliomio es l potei más lt de l vrile. Culquier poliomio es u k sum o rest de térmios de l form, llmdos moomios, dode es u ostte k u etero o egtivo. U iomio es l sum de dos moomios, u triomio es l sum de tres moomios, sí suesivmete. Por ejemplo,, so poliomios de grdo dos,, respetivmete; el primero es u triomio, los otros dos so iomios. Sum rest de poliomios. Summos restmos poliomios empledo ls propieddes de los úmeros reles, l ide es omir térmios semejtes, que so térmios o l mism vrile elevd l mism potei oefiietes igules o diferetes, empledo l le distriutiv. Por ejemplo, ( ) ( ) E l rest de poliomios, deemos reordr que si u sigo meos teede u epresió etre prétesis, etoes udo elimimos dios prétesis todos los térmios detro del mismo mi de sigo.. Ejm. Clule l sum Dgoerto Slgdo Hort Pági 9

10 Dgoerto Slgdo Hort Pági 0 Produto de poliomios. Pr multiplir moomios, se multipli los oefiietes se emple ls lees de los epoetes pr simplifir vriles semejtes e los moomios. Por ejemplo, z z z E el so de poliomios se emple l le distriutiv vris vees pr multiplir los moomios ivolurdos. sí, pr u produto de iomios se tiee: d d d d d Ejemplos. ) ) [ ] Otros produtos de epresioes lgeris o rdiles. ) d) Produtos de poliomios o más de u vrile. e). lguos produtos otles. lguos produtos se preset o mu freuei que oviee reordrlos, omo so los siguietes Ejemplos. Poer ejemplos de l pg. 9 del Preálulo

11 FCTORIZCIÓN. Empledo l propiedd distriutiv se puede relizr omo emos visto los produtos, l proeder e orde iverso, esto es ddo el produto podemos ftorizr u epresió. Por ejemplo. ( )( ) de uerdo el produto orrespodiete pero si os pide ftorizr l epresió, l idetifimos omo l diferei de udrdos,, plimos el produto otle orrespodiete, e orde iverso, esto es: ( )( ) Si vrios térmios tiee u ftor omú este se puede ftorizr empledo l le distriutiv. Ejemplo. Ftorizr l epresió 8 ; quí os dmos uet si difiultd que todos los térmios so múltiplos de dos que e todos los térmios figur por lo meos u u, de mer que u ftor omú de todos los térmios es l ftorizr se tiee: 8 Como ftorizr u poliomio udrátio de l form. Si oservmos que ( r)( s) ( r s) rs podemos itetr ftorizr l form udráti esogiedo úmeros r s tles que r s rs Ftorizió de por eso error. Ftorizr: 7 Soluió: E este so, rs r s 7, por lo que r s dee ser ftores de u sum se 7 E l siguiete tl se eumer de mer orded los ftores de se puede ver ules de ellos sum 7 r s sum 8 7 por lo tto s l ftorizió quedrí: 7. r Dgoerto Slgdo Hort Pági

12 EXPRESIONES FRCCIONRIS. U oiete de epresioes lgeris se ooe omo u epresió friori, ls ules se euetr ie defiids pr todos quellos vlores de sus vriles que o g ero el deomidor, e prtiulr si el umerdor deomidor so poliomios, l epresió es llmd riol. Ejemplo., es u epresió riol defiid pr úmero diferete de, que pr estos vlores se ul el deomidor. l simplifir epresioes frioris se ftoriz tto el umerdor omo el deomidor se emple l siguiete propiedd de ls frioes C, si C 0 C l ul os idi que podemos elr ftores omues distitos de ero del umerdor del deomidor.. Ejms: ) Simplifir ) Simplifir ( )( ) ( )( ), si ( )( ) ( )( ) ( ), si l multiplir epresioes frioris, emplemos l siguiete propiedd C C D D l dividir epresioes frioris se emple l propiedd C D, (regl de l errdur) D C C D l sumr o restr frioes, es oveiete primero oteer u deomidor omú después empler l propiedd C C C uque si ie es ierto que ulquier deomidor omú fuio, es mejor empler el míimo omú deomidor (MCD). El MCD se euetr ftorizdo d deomidor tomdo el produto de los ftores diferetes, utilizdo l potei más elevd que figure e ulquier de los ftores. Dgoerto Slgdo Hort Pági

13 Dgoerto Slgdo Hort Pági Ejemplos. Relie ls operioes simplifique. ) ), quí el MCD es simplemete el produto, por lo que ) - MCD será e este so el, ) Simplifique l epresió ompuest Sol. Cudo meje frioes evite ometer el siguiete error C C, est iguldd o es iert Por ejemplo es flso lo ul

14 Dgoerto Slgdo Hort Pági Otros errores que se omete o freuei, tl vez por ofudir lgus epresioes válids del produto querer plirls l sum, so ls siguietes: epresió orret epresió iorret 0), (, 0), (, Ejeriios: Simplifique ls epresioes. ) ) 7 ) d) e)

15 ECUCIONES. U euió es u euido que estlee que dos epresioes mtemátis so igules. por ejemplo, 8 es u euió, por ierto d itereste, que simplemete epres u eo ritmétio simple. L mor prte de ls euioes e álger otiee vriles que so símolos que represet úmeros. E ls euioes ( z )( z ) z 7 ls letrs z, so vriles. L primer de ests euioes es verdder pr ulquier vlor de z, por lo que se le llm u idetidd. L segud euió o es verdder, más que pr ierto vlor de. Los vlores de l vrile que e verdder u euió se les llm ríes o soluioes de l euió el proeso de eotrr ls ríes se le llm resoluió de l euió. Se die que dos euioes so equivletes, si tiee ls misms soluioes. Resolver u euió osiste e ir psdo de u euió otr equivlete, st rrir u euió equivlete, e uo primer miemro se euetre sol l vrile iógit de l euió, esto es, que se euetre despejd. sí pr resolver l euió 7, esriimos l suesió de euioes equivletes: 7 ( ) 7 ( ) 0 est últim euió os idi l soluió los psos de l resoluió se puede revir poiedo 7 7 Pr verifir que l respuest es orret se sustitue el vlor eotrdo e l euió origil se e que l umple o stisfe. 7 () orreto! Ejemplo. Resuelv l euió Soluió: Dgoerto Slgdo Hort Pági

16 7 8 Verifiió: 7() () orreto! ECUCIONES LINELES. Ls euioes lieles o de primer grdo so quells e ls ules solmete figur ostte o múltiplos diferetes de ero de l vrile elevd l potei uo, tods ells equivletes u euió de l form 0, o 0. L euió resuelt teriormete es liel tmié lo so ls euioes ; E mio ls euioes 8 0; o so lieles. Ejemplo. U euió que se redue u liel. L euió se puede reduir u liel que, pr udo ( ) ( )( ) verifido l respuest. LI LD, esto es LI LD 0, se puede esriir Dgoerto Slgdo Hort Pági

17 E mus fórmuls de l físi se ivolur vris vriles freuetemete se requiere despejr u de ells e termio de ls otrs, lo ul se idi diiedo que resolvemos l euió pr tl o ul vrile. Por ejemplo, pr l Le de Grvitió Uiversl de Newto se tiee l epresió mm F G r queremos resolverl pr l vrile M, esto es se pide despejr l M. Sol. mm F G r r F GmM r F M Gm r F M Gm ECUCIONES CUDRÁTICS. Y emos visto que l euioes de primer grdo e u vrile so ls equivletes u de l form 0, e mio ls udrátis so de segudo grdo equivletes u de l form 0, dode, so úmeros reles o 0 lgus euioes udrátis se puede resolver ftorizdo l form udráti empledo l siguiete propiedd ási de los reles: 0 si sólo si 0 /o 0 Esto sigifi que si podemos ftorizr el ldo izquierdo de u euió udráti (u otr), etoes l resolvemos iguldo ero d uo de los ftores. Este método se puede plir úimete udo el ldo dereo de l euió es ero. Ejemplo: Resoluió de u euió medite ftorizió. Resuelv l euió. Sol. 0 ( 8)( ) 0 o 8 Ls soluioes so 8. U euió de segudo grdo de l form 0, dode es u ostte positiv, se puede ftorizr omo ( )( ) 0 ls soluioes so:. soluioes que se puede revir esriiedo ± Esto es: Dgoerto Slgdo Hort Pági 7

18 Ls soluioes de l euió so Ejemplo. Resolver ls udrátis simples: ) ) Soluió: ) plido lo que deimos e el reudro terior se tiee ± ) Pesemos que X, etoes por el mismo priipio terior X ± de mer que ±, esto es, ls soluioes so. Este último ejemplo ilustr que u euió udráti de l form ( ), se puede resolver etredo l ríz udrd e mos miemros ± despejdo l iógit ±. E u euió de est form, el ldo izquierdo es u udrdo perfeto: es el udrdo de u epresió liel e. TÉCNIC DE COMPLETR EL CUDRDO. Si u euió udráti o se puede ftorizr fáilmete, etoes podemos resolverl utilizdo l téi de ompletr el udrdo. Est osiste e sumr u ostte u epresió, pr overtirl e u udrdo perfeto. Por ejemplo, pr er de l epresió u udrdo perfeto, deemos de sumr el úmero 9, que: 9. E geerl, pr ompletr el udrdo de, deemos de gregr l tidd que es l mitd del oefiiete del termio de primer grdo elevdo l udrdo. Y que iedo esto podemos esriir l idetidd Resumiedo. CÓMO COMPLETR EL CUDRDO., Pr er de u udrdo perfeto, sume Ejm. Resoluió de u euió udráti ompletdo el udrdo. Resolver 8 0 Sol , se umet el e mos miemros pr oservr l iguldd Dgoerto Slgdo Hort Pági 8

19 Dgoerto Slgdo Hort Pági 9 ríes de l euió ests so ls dos, ríz udrd e mos miemros tomdo l, udrdo perfeto, ± ± - Ejm. Resolver. 0 Sol. Si el oefiiete de, es diferete de l uidd omo e este so, primero se divide d uo de los térmios de l euió por el oefiiete de este termio 0 después se proede omo e el so terior 8 8 ± ± ± ± pliquemos l téi de ompletr el udrdo l euió udráti geerl 0 fi de oteer u fórmul e térmios de los oefiietes,. 0 0 ±

20 or despejdo l, se tiee: ± fórmul que os d ls ríes de l euió 0, e térmios de sus oefiietes. Si llmmos o el omre de disrimite de l form udráti l tidd D, ls ríes de 0 se puede esriir: D, D Es evidete que si: D 0, etoes, ls ríes so reles e igules D > 0, etoes ls ríes, so reles diferetes D < 0, etoes ls ríes so úmeros omplejos ojugdos. E el último so, detro del rdil qued u úmero egtivo ls ríes udrds de úmeros egtivos o so reles, so llmdos imgirios, omo por ejemplo, el ul se puede esriir: i siedo i u úmero o rel, llmdo l uidd imgiri. U úmero de l form i, es llmdo u úmero omplejo. L prej de omplejos i i, so llmdos omplejos ojugdos. Ejemplos. Euetre ls soluioes de ls siguietes euioes udrátis, empledo l fórmul geerl: ) 0 ) 9 0 ) 0 Soluioes: ) E est euió, - -. El disrimite de l form udráti, e este so es: D ( ) 7. De mer que ls ríes so reles diferetes ells so 7, 7 ) Pr est euió, 9. El disrimite será D () ()(9 0 De mer que ls soluioes so reles e igules l úmero 8 Dgoerto Slgdo Hort Pági 0

21 ) E este so,. El disrimite es D 8 De modo que ls ríes será omplejs ojugds. No soluioes reles. ± ± i ± i, esto es: i i EJERCICIOS. Ejeriio. E el siguiete digrm se puede oservr que pr ompletr el udrdo perfeto l sum de áres, se e eesrio gregr el áre del pequeño udrdo del águlo iferior dereo de l figur, que es igul / / De í que pr ompletr el udrdo l epresió, es eesrio gregr l tidd, pr oteer el udrdo prefeto. Ejeriio. Determie el error ometido e l soluió siguiete, resuelv orretmete. ( )( ) ( )( ), ftorizdo -, dividiedo por ( ), restdo e mos ldos. Sol. L euió origil es equivlete, u soluió es El error osiste que l dividir por, que de eo es ero, que. Dgoerto Slgdo Hort Pági