Ministerio del Poder Popular para la Educación Unidad Educativa Nacional Domitila Flores Curso: 4to Año Área de Formación: Matemática

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1 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Curso: 4to Año Áre de Formió: Mtemáti UNIDAD DE NIVELACIÓN INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Elordo por: Prof. Roy Altuve Rg Lguills, oture 2017

2 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti ÁLGEBRA Es l rm de l Mtemáti que estudi l tidd osiderd del modo más geerl posile. El oepto de l tidd e álger es muho más mplio que e ritméti. E ritméti ls tiddes se represet por úmeros y éstos epres vlores determidos. Así, 20 epres u solo vlor: veite; pr epresr u vlor myor o meor que éste hrá que esriir u úmero distito de 20. E álger, pr l geerlizió, ls tiddes se represet por medio de letrs, ls ules puede represetr todos los vlores. Así, represet el vlor que osotros le sigemos, y por tto puede represetr 20 o más de 20 o meos de 20, uestr eleió, uque oviee dvertir que udo e u prolem sigmos u letr u vlor determido, es letr o puede represetr, e el mismo prolem, otro vlor distito del que le hemos sigdo. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símolos usdos e álger pr represetr ls tiddes so los úmeros y ls letrs. Los úmeros se emple pr represetr tiddes ooids y determids. Ls letrs se emple pr represetr tod lse de tiddes, y se ooids o desooids. Ls tiddes ooids se epres por ls primers letrs del lfeto:,,, d Ls tiddes desooids se represet por ls últims letrs del lfeto: u, v, w,, y, z. U mism letr puede represetr distitos vlores difereiádolos por medio de omills; por ejemplo:,,, que se lee prim, segud, terer, o tmié por medio de suídies; por ejemplo, ₁, ₂, ₃, que se lee suuo, sudos, sutres. SIGNOS DEL ÁLGEBRA Los sigos empledos e álger so de tres lses: sigos de operió, sigos de relió y sigos de grupió. 2 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

3 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti SIGNOS DE OPERACIÓN E álger se verifi o ls tiddes ls misms operioes que e ritméti: sum, rest, multipliió, divisió, poteiió y rdiió, que se idi o los sigos siguietes: El sigo de l sum es +, que se lee más. El sigo de l rest es, que se lee meos. El sigo de l multipliió se deot o u puto etre los ftores. Tmié se idi l multipliió olodo los ftores etre prétesis. Etre ftores literles o etre u ftor umério y uo literl el sigo de l multipliió suele omitirse. Así equivle ; 5y equivle 5 X y. El sigo de l divisió es, que se lee dividido etre. El sigo de l elevió potei es el epoete, que es u úmero pequeño olodo rri y l dereh de u tidd, el ul idi ls vees que dih tidd, llmd se, se tom omo ftor. Cudo u letr o tiee epoete, su epoete es l uidd. El sigo de Ríz es, llmdo sigo rdil, y jo este sigo se olo l tidd l ul se le etre l ríz. SIGNOS DE RELACIÓN Se emple estos sigos pr idir l relió que eiste etre dos tiddes. Los priiples so: =, que se lee igul >, Que se lee myor que. <, Que se lee meor que. SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los sigos de grupió so: el prétesis ordirio, el prétesis gulr o orhete y ls llves. Estos idi que l operió olod etre ellos dee efeturse primero. Así ( + ) idi que el resultdo de l sum de y dee multiplirse por ; [ ]m idi que l diferei de y dee multiplirse por m; { + } { d} idi que l sum de y dee dividirse etre l diferei de y d. 3 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

4 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti SÍMBOLOS MÁS COMUNES Los sigos y símolos so utilizdos e el álger y e geerl e teorí de ojutos y álger de ojutos o los que se ostituye euioes, mtries, series, et. Sus letrs so llmds vriles, y que se us es mism letr e otros prolems y su vlor v vrido. Aquí lguos ejemplos: Símolo CONJUNTOS NUMÉRICOS Simologí de Cojutos {} Cojuto Φ > Myor que. < Meor que. = Iguldd No es igul. Si y solo sí. Y O Desripió Es u elemeto del ojuto o perteee l ojuto. No es u elemeto del ojuto o o perteee l ojuto. Uió de ojutos Iterseió de ojutos. Cojuto Vío Suojuto de- Suojuto propio de- No es suojuto propio de- Myor o igul que. Meor o igul que. El ojuto otiú ) Los Números Nturles (N): Co los úmeros turles otmos los elemetos de u ojuto (úmero rdil). O ie epresmos l posiió u orde que oup u elemeto e u ojuto (ordil). El ojuto de los úmeros turles está formdo por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} 4 Oservioes: L sum y el produto de dos úmeros turles es otro úmero turl. Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

5 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti L diferei de dos úmeros turles o siempre es u úmero turl, sólo ourre udo el miuedo es myor que sustredo. 7 1 = 6 є N 3 5 = - 2 N El oiete de dos úmeros turles o siempre es u úmero turl, sólo ourre udo l divisió es et. 6 : 2 = 3 є N 2 : 6 N Podemos utilizr poteis, y que es l form revid de esriir u produto formdo por vrios ftores igules. L ríz de u úmero turl o siempre es u úmero turl, sólo ourre udo l ríz es et. ) Los úmeros eteros (Z): Los úmeros eteros so del tipo: Z = {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Oservioes: L sum, l diferei y el produto de dos úmeros eteros es otro úmero etero. El oiete de dos úmeros eteros o siempre es u úmero etero, sólo ourre udo l divisió es et. 6 : 2 Z 2 : 6 Z Podemos operr o poteis, pero el epoete tiee que ser u úmero turl Z Z L ríz de u úmero etero o siempre es u úmero etero, sólo ourre udo l ríz es et o si se trt de u ríz de ídie pr o rdido positivo. 4 Z 5 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

6 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti ) Los Números Rioles (Q): Se llm úmero riol todo úmero que puede represetrse omo el oiete de dos eteros, o deomidor distito de ero. Oservioes: Los úmeros deimles (deiml eto, periódio puro y periódio mito) so úmeros rioles; pero los úmeros deimles ilimitdos o. L sum, l diferei, el produto y el oiete de dos úmeros rioles es otro úmero riol. Podemos operr o poteis, pero el epoete tiee que ser u úmero etero. L ríz de u úmero riol o siempre es u úmero riol, sólo ourre udo l ríz es et y si el ídie es pr el rdido h de ser positivo. 4 Q 5 d) Los Números Irrioles (I): U úmero es irriol si posee ifiits ifrs deimles o periódis, por tto o se puede epresr e form de frió. El úmero irriol más ooido es π, que se defie omo l relió etre l logitud de l iruferei y su diámetro. π= Otros úmeros irrioles so: El úmero e pree e proesos de reimieto, e l desitegrió rditiv, e l fórmul de l teri, que es l urv que podemos preir e los tedidos elétrios. e = Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

7 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti e) Los Números Reles (R): El ojuto formdo por los úmeros rioles e irrioles es el ojuto de los úmeros reles, se desig por R. Co los úmeros reles podemos relizr tods ls operioes, eepto l rdiió de ídie pr y rdido egtivo y l divisió por ero. EXPRESIONES DECIMALES Reuerd L epresió deiml de u frió es quel úmero que se otiee l dividir el umerdor o el deomidor. Por 12 ejemplo: 1,33 9 Ls epresioes deimles se lsifi e limitds e ilimitds. EXPRESION DECIMAL LIMITADA U epresió deiml limitd es quell que tiee u úmero limitdo (fiito) de ifrs deimles. Por ejemplo: ) ,75 0 Como l divisió es et, est epresió deiml es limitd. 7 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

8 EXPRESION DECIMAL ILIMITADA Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti U epresió deiml es ilimitd udo el úmero de ifrs deimles o u, es deir, es ifiito. MODALIDADES DE LA EXPRESIÓN DECIMAL ILIMITADA Ls epresioes deimles ilimitds periódis tiee tres elemetos: prte eter, teperíodo y período. Y este último se deot o u ro eim de l primer ifr deiml que se repite. EXPRESIONES DECIMALES PERIODICAS PURAS ) 5 1, , 6 3 Periodo EXPRESIONES DECIMALES PERIODICAS MIXTAS ) 11 1, ,8 3 6 Ateperiodo Periodo ) 4 0, , 4 9 Periodo Oserv que l grupo de ifrs deimles que preede l periodo se le llm teperiodo. E este setido, el teperíodo de u epresió deiml es l ifr deiml que o se repite y el período es l ifr o ifrs deimles que se repite e form ilimitd. De uerdo o l presei o usei del teperíodo e u epresió deiml ilimitd eiste dos modliddes: l periódis mits, udo preset u teperíodo y periódis purs udo o lo preset. FRACCIÓN GENERATRIZ L frió geertriz es l frió irreduile de u epresió deiml periódi. 8 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

9 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL LIMITADA 1) Se olo omo umerdor de l frió l epresió deiml, pero si l om; segú el ejemplo, ) Se olo omo deomidor l uidd seguid de ttos eros omo ifrs deimles posee l epresió deiml; segú el ejemplo, ) L frió hlld 162/100 se simplifi hst oteer l frió irreduile y ést es l frió geertriz de dih epresió deiml. GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICA PURA 1) Se Igul l epresió deiml u letr, pr plter l epresió e form de euió. 2) Se multipli l iguldd terior por l uidd seguid de ttos eros omo ifrs teg el período de l epresió deiml. E este so se multipli por 10, porque el período tiee u ifr deiml. 3) Se rest l euió oteid l euió terior. Del resultdo despejmos g y se simplifi l epresió hst u frió irreduile o geertriz. GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICA MIXTA 1) Se Igul l epresió deiml g. 2) Se multipli l iguldd terior por l uidd seguid de ttos eros omo ifrs teg el período más el teperíodo de l epresió deiml. E este so se multipli por 1000, porque el período (8) y el teperíodo (53) tiee, etre los dos tres ifrs deimles. 3) Multiplimos l primer euió por l uidd seguid de eros omo ifrs teg el teperíodo de l epresió deiml. E este so, multiplimos por 10 porque el teperíodo tiee u ifr deiml. 4) Se rest ls euioes oteids y del resultdo despejmos g, simplifido luego l epresió hst u frió irreduile o geertriz. Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om 9

10 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Operioes o Números Reles PROPIEDAD 18. PROPIEDAD udo d d d d d d d d udo udo d : : d d d 10 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

11 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Epoetes y Rdiles LEY 1. m m si m LEY m 16. m m 17. m m m m 6. 1 m m m 7. y y y y 10. y y y y 14. y y m m Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

12 Propieddes de los Números Reles 1. Propiedd Trsitiv de l iguldd Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Si y, etoes 2. Propiedd omuttiv de l diió y 3. Propiedd soitiv de l diió y l multipliió y 4. Propiedd de los iversos ) Pr d úmero rel, eiste u úmero rel úio, deotdo por, tl que 0 ) Pr todo úmero rel, eeptudo el ero, eiste u úmero rel úio, deotdo 1 por, tl que Al úmero se le deomi iverso multiplitivo de. 5. Propiedd distriutiv y OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS RACIONALES (Q) Número mito Pr psr de úmero mito frió impropi, se dej el mismo deomidor y el umerdor es l sum del produto del etero por el deomidor más el umerdor, del úmero mito. Frioes equivletes = + Dos frioes so equivletes udo el produto de etremos es igul l produto de medios. = d si d = Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om 12

13 Reduió de frioes omú deomidor Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti 1) Se determi el deomidor omú, que será el míimo omú múltiplo de los deomidores. 2) Este deomidor, omú, se divide por d uo de los deomidores, multipliádose el oiete oteido por el umerdor orrespodiete. Sum y rest de frioes 1) Co el mismo deomidor: Se sum o se rest los umerdores y se mtiee el deomidor. + + = ó = 2) Co distito deomidor: E primer lugr se redue los deomidores omú deomidor, y se sum o se rest los umerdores de ls frioes equivletes oteids. Multipliió de frioes + d + = d d ó d = d d El produto de dos frioes es otr frió que tiee: ) Por umerdor el produto de los umerdores ) Por deomidor el produto de los deomidores Divisió de frioes = d d El oiete de dos frioes es otr frió que tiee: ) Por umerdor el produto de los etremos ) Por deomidor el produto de los medios POTENCIACIÓN : d = d Potei de u epresió lgeri es l mism epresió o el resultdo de tomrl omo ftor dos o más vees. 13 L primer potei de u epresió es l mism epresió. Así (2) 1 = 2. Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

14 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti L segud potei o udrdo de u epresió es el resultdo de tomrl omo ftor dos vees. Así, (2) 2 = 2 2 = 4 2. El uo de u epresió es el resultdo de tomrl omo ftor tres vees. Así, (2) 3 = = 8 3 Sigo de ls Poteis Culquier potei de u tidd positiv evidetemete es positiv, porque equivle u produto e que todos los ftores so positivos. E uto ls poteis de u tidd egtiv, se dee tomr e uet que: 1) Tod potei pr de u tidd egtiv es positiv. 2) Tod potei impr de u tidd egtiv es egtiv. Operioes o Poteis Produto de poteis o igul se El produto de poteis o igul se es igul otr potei que tiee l mism se y uyo epoete es l sum de los epoetes de los ftores. m = m+ Divisió de poteis o igul se El oiete de dos poteis de igul se es igul otr potei que tiee l mism se y uyo epoete es l diferei etre los epoetes del dividedo y el divisor. m : = m Potei de u Potei L potei de u potei de igul se es igul otr potei que tiee l mism se y uyo epoete es el produto de los epoetes. ( m ) = m Potei de u Produto L potei de u produto es el produto de ls poteis. ( ) = () () Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om 14

15 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Potei de u oiete L potei de u oiete es igul l oiete de ls poteis. (: ) = () : () Epoete Cero Todo úmero diferete de ero que se elevdo l ero es igul 1. () 0 = 1 Epoete Uo Todo úmero que se elevdo l 1 es igul sí mismo. () 1 = POLINOMIOS Ls epresioes lgeris que se form prtir de l uió de dos o más vriles y osttes, viulds trvés de operioes de multipliió, rest o sum, reie el omre de poliomios. Operioes Básis o poliomios Sum de poliomios L sum o diió es u operió que tiee por ojeto reuir dos o más epresioes lgeris (sumdos) e u sol epresió lgeri (sum). Pr sumr dos poliomios se sum los oefiietes de los térmios del mismo grdo. P() = Q() = Ordemos los poliomios, si o lo está. Q() = P() + Q() = ( ) + ( ) 2. Agrupmos los moomios del mismo grdo. P() + Q() = Summos los moomios semejtes. P() + Q() = Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

16 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Rest de poliomios Es u operió que tiee por ojeto, dd u sum de dos sumdos (miuedo) y uo de ellos (sustredo), hllr el otro sumdo (rest o diferei). Es evidete, de est defiiió, que l sum del sustredo y l diferei tiee que ser el miuedo. L rest de poliomios osiste e sumr l miuedo el opuesto del sustredo. P() Q() = ( ) ( ) P() Q() = P() Q() = P() Q() = Multipliió de poliomios Es u operió que tiee por ojeto, dds ls tiddes llmds multiplido y multiplidor, hllr u terer tidd, llmd produto, que se respeto del multiplido, e vlor soluto y sigo, lo que el multiplidor es respeto de l uidd positiv. El multiplido y el multiplidor so llmdos ftores del produto. Oservioes: El orde de los ftores o lter el produto. Est propiedd, demostrd e ritméti, se umple tmié e álger. Los ftores de u produto puede gruprse de ulquier modo. Multipliió de u úmero por u poliomio Es otro poliomio que tiee de grdo el mismo del poliomio y omo oefiietes el produto de los oefiietes del poliomio por el úmero. 3 ( ) = Multipliió de u moomio por u poliomio Se multipli el moomio por todos y d uo de los moomios que form el poliomio. 3 2 ( ) = Multipliió de poliomios P() = Q() = Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

17 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Se multipli d moomio del primer poliomio por todos los elemetos segudo poliomio. P() Q() = (2 2 3) ( ) = = = Se sum los moomios del mismo grdo. = Se otiee otro poliomio uyo grdo es l sum de los grdos de los poliomios que se multipli. Tmié podemos multiplir poliomios de siguiete modo: Divisió de poliomios Es u operió que tiee por ojeto, ddo el produto de dos ftores (dividedo) y uo de los ftores (divisor), hllr el otro ftor (oiete). De est defiiió, se dedue que el oiete multiplido por el divisor reprodue el dividedo. Resolver l divisió de poliomios: P() = Q() = P() : Q() A l izquierd situmos el dividedo. Si el poliomio o es ompleto dejmos hueos e los lugres que orrespod. A l dereh situmos el divisor detro de u j. Dividimos el primer moomio del dividedo etre el primer moomio del divisor. 5 : 2 = 3 17 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

18 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Multiplimos d térmio del poliomio divisor por el resultdo terior y lo restmos del poliomio dividedo: Volvemos dividir el primer moomio del dividedo etre el primer moomio del divisor. Y el resultdo lo multiplimos por el divisor y lo restmos l dividedo. 2 4 : 2 = 2 2 Proedemos igul que tes. 5 3 : 2 = 5 Volvemos her ls misms operioes. 8 2 : 2 = 8 18 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

19 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti 10 6 es el resto, porque su grdo es meor que el del divisor y por tto o se puede otiur dividiedo es el oiete. Divisió por Ruffii Si el divisor es u iomio de l form, etoes utilizmos u método más reve pr her l divisió, llmdo regl de Ruffii. Resolver por l regl de Ruffii l divisió: ( ) : ( 3) 1. Si el poliomio o es ompleto, lo ompletmos ñdiedo los térmios que flt o eros. 2. Colomos los oefiietes del dividedo e u líe. 3. Ajo l izquierd olomos el opuesto del térmio idepediediete del divisor. 4. Trzmos u ry y jmos el primer oefiiete. 5. Multiplimos ese oefiiete por el divisor y lo olomos dejo del siguiete térmio. 19 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

20 6. Summos los dos oefiietes. Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti 7Repetimos el proeso terior. Volvemos repetir el proeso. Volvemos repetir. 8. El último úmero oteido, 56, es el resto. 9. El oiete es u poliomio de grdo iferior e u uidd l dividedo y uyos oefiietes so los que hemos oteido DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Ftores Se llm ftores o divisores de u epresió lgeri ls epresioes lgeris que multiplids etre sí d omo produto l primer epresió. De otro modo, desompoer e ftores o ftorr u epresió lgeri es overtirl e el produto idido de sus ftores. Pr ftorizr u poliomio y lulr sus ríes, se dee seguir los siguietes psos, udo se posiles: 1) Ftor omú de u poliomio: Etrer ftor omú u poliomio, osiste e plir l propiedd distriutiv. 20 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

21 U ríz del poliomio será siempre = 0 diferei. 2) Iguldd otle Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti + + = ( + + ). Diferei de udrdos: U diferei de udrdos es igul sum por 2 2 = ( + ) ( ). Triomio udrdo perfeto: U triomio udrdo perfeto es igul u iomio l udrdo. 2 ± = ( ± ) 2. Triomio de segudo grdo: Pr desompoer e ftores el triomio de segudo grdop () = 2 + +, se igul ero y se resuelve l euió de 2º grdo. Si ls soluioes l euió so 1 y 2, el poliomio desompuesto será: = ( 1 ) ( 2 ) d. Sum o diferei de Cuos perfetos: 3 3 = ( )( ) = ( + )( ) Ftorizió de u poliomio de grdo superior dos Se utiliz el teorem del resto y l regl de Ruffii. Proedimieto: Se defie omo vlor umério de p() pr = l vlor que result de sustituir por el vlor y relizr ls operioes idids. Se represet por p(). Cudo p() = 0 se die que el vlor, que se h sustituido, es u ríz del poliomio. Teorem del resto: udo se divide u poliomio p() por ( ), el resto que se otiee e dih divisió oiide o p(), vlor umério del poliomio pr =. PRODUCTOS NOTABLES Se le llm produtos otles iertos produtos que umple regls fijs uyo resultdo puede ser esrito por simple ispeió, es deir, si verifir l multipliió. 21 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om

22 Miisterio del Poder Populr pr l Eduió Uidd Edutiv Niol Domitil Flores Áre de Formió: Mtemáti Cudrdo de u Sum Elevr l udrdo ( + ) equivle multiplir este iomio por sí mismo y se tiee que: ( + ) 2 = Luego, el udrdo de l sum de dos tiddes es igul l udrdo de l primer tidd más el duplo de l primer tidd por l segud más el udrdo de l segud tidd. Cudrdo de u Diferei Elevr ( ) l udrdo equivle multiplir est diferei por sí mism; teiédose que: ( ) 2 = Luego, el udrdo de l diferei de dos tiddes es igul l udrdo de l primer tidd meos el duplo de l primer tidd por l segud tidd más el udrdo de l segud tidd. Produto de l sum por l diferei de dos tiddes Se el produto: ( + )( ) = 2 2 Luego, l sum de dos tiddes multiplid por su diferei es igul l udrdo del miuedo (e l diferei) meos el udrdo del sustredo. Cuo de u Biomio Elevdo ( + ) l uo, tedremos: ( + ) 3 = Lo que os die que el uo de l sum de dos tiddes es igul l uo de l primer tidd más el triplo del udrdo de l primer por l segud, más el triplo de l primer por el udrdo de l segud, más el uo de l segud. Elevdo ( ) l uo, se tiee: ( ) 3 = Luego, el uo de l diferei de dos tiddes es igul l uo de l primer tidd meos el triplo del udrdo de l primer por l segud, más el triplo de l primer por el udrdo de l segud, meos el uo de l segud. 22 Prof. Roy Altuve Rg royltuve.wordpress.om