Álgebra. , para todo n 9. , si n es impar 10. , si n es par 11. a

Transcripción

1 Álgebr Lees de poteis.., pr todo 9., si es impr 0. b b, si es pr b b, pr todo 0. b vees... vees 8. Fórmuls Notbles m m m b 3 3 I. b b b V. b 3 b 3b b 3 3 b b b VI. b b b b II. 3 3 b b b VII. b b b b III. b 3 3 b 3b b 3 3 IV. Ftorizió Ftor Comú: l torizió del poliomio es l multipliió del tor omú, por el poliomio que result de dividir d térmio del poliomio ddo etre el tor omú... b b b b 3. Ftorizió de triomios: b Si el térmio se puede desompoer e dos tores, tles que + b etoes b se toriz sí, b = 3 m b,

2 Ftorizió por grupió: ) se grup los térmios que tiee los tores omues. b) se toriz por tor omú los grupos hehos e el primer pso. ) E el pso terior debe quedr u epresió lgebri o u tor omú, el ul puede ser u biomio, u triomio, o u poliomio. Filmete se toriz por tor omú. m p mp m mp p = m p p p m = Ftorizió por dierei de udrdos: d vez que se teg l dierei de u biomio udrátio de l orm b, se podrá torizr omo b b, plido l propiedd de l terer órmul otble. Frioes lgebris. Simpliiió: se toriz el umerdor el deomidor, luego, se el los tores igules del umerdor o los del deomidor.. Sum rest: ) se lul el míimo omú deomidor, que estrá ormdo por el produto de los tores omues o omues de mor epoete de todos los deomidores. b) luego, el omú deomidor se divide por d deomidor el oiete se multipli por el respetivo umerdor; ) seguidmete se eeturá ls multipliioes pr luego reduir los térmios semejtes. d) ilmete se simplii l rió resultte. b d d b bd b d d b bd 3. Multipliió: se toriz los umerdores los deomidores, pr elr los tores igules de los umerdores o los de los deomidores, luego, se multipli etre sí los umerdores los deomidores. b 4. Divisió: pr dividir rioes se ivierte el divisor l divisió se mbi por multipliió. d d d b d b b 5. Frió omplej: se multipli los etremos los medios los produtos se olo e el umerdor deomidor respetivmete. b d bd d b

3 Euioes de segudo grdo b 0. Si el disrimite es positivo ( b 4 >0), ls dos ríes de l euió so reles dieretes.. Si el disrimite es ulo ( b 4 =0), ls dos ríes de l euió so reles e igules. 3. Si el disrimite es egtivo ( b 4 <0) o tiee soluioes reles por lo tto l soluió es el ojuto vío S. Fórmul Geerl: ls ríes de l euió b 0 se puede obteer o l b siguiete órmul: Problems, dode b 4 Al trtr de resolver u problem, debemos distiguir utro ses, ls ules so:. Compreder el problem, es deir, eteder lo que se pide.. Iterpretr ls relioes que eiste etre los diversos elemetos que lig l iógit o los dtos. 3. Trzr u pl que oduirá l soluió del problem. 4. Poer e ejeuió el pl. Sistem de euioes b b. Método de sustituió: ) se despej ulquier de ls dos vribles e ulquier de ls dos euioes b) luego, se sustitue el resultdo del despeje e l otr euió, resultdo sí, u euió o u sol vrible. ) Se resuelve l euió pr eotrr el vlor de l vrible que orrespode. d) sustituimos diho vlor e l euió del pso ) resolvemos pr eotrr el vlor de l otr vrible. 3

4 Epresioes lgebris Fuioes Fuió: u uió deiid de u ojuto A e u ojuto B, es u relió e l ul d elemeto del ojuto A, que llmremos domiio, se le sig por medio de lgú riterio o proedimieto u úio elemeto () del ojuto B, que llmremos odomiio. Coeptos Básios () se lee de, e idi uió de. L epresió () se puede sustituir por, es deir que () =. El pr ordedo, tmbié se puede esribir omo, ( ). Vrible idepediete: e l epresió (), es l vrible idepediete mietrs que () es l vrible depediete de. Prtes de u uió: e l uió : A B, A es el domiio B el odomiio. Si A etoes ( ) B. Los elemetos se llm preimágees los () imágees de. Imágees: l imge de u determido elemeto del domiio de u uió es u úio elemeto de su odomiio. Ls imágees se obtiee sustituedo los elemetos del domiio por l vrible idepediete e el riterio de l uió. Ámbito: el ojuto de tods ls imágees de u uió de A e B se llm ámbito o rgo, se deot omo (A). E oseuei, el ámbito de u uió es subojuto del odomiio. A B. Preimágees: l preimge de u elemeto del ámbito de u uió es l meos u elemeto de su domiio, se obtiee iguldo su riterio o el elemeto ddo. L soluió de l euió resultte es l preimge si ell perteee l domiio. Gráio: el gráio de u uió se deot por G se deie omo el ojuto de todos los pres ordedos, ( ) pr los ules es u elemeto del domiio () u elemeto del odomiio. Grái: l grái de u uió es l represetió de todos los pres ordedos del gráio e u sistem de oordeds retgulres. ( p, i) G ( p) i i p 4

5 Domiio máimo: el domiio máimo de u uió de vrible rel, es el ojuto de los úmeros reles pr los ules está bie deiid est uió. Aliemos los dos siguietes tipos de uioes: I. Fuió riol: el domiio máimo es el ojuto de los úmeros reles meos el ojuto ormdo o todos los úmeros reles que hg ero el deomidor de l rió. Pro ompresió este oepto se deie sí: D IR / IR, d 0, ( ) ( ) d( ) II. Fuió rdil de ídie pr: el domiio máimo es el ojuto de los úmeros reles uos subrdiles, udo se sustitue por l vrible idepediete, result mores o igules que ero. Por ompresió, este oepto se deie sí: D IR / IR, s 0; ( ) s( ) Fuió ietiv: u uió se die que es ietiv si d elemeto del ámbito es imge de u solo u preimge. Tmbié podemos deiir sí: u uió es ietiv si se umple que pr ulquier pr de elemetos distitos del domiio sus respetivs imágees so distits. ( ) ( ) es ietiv Fuió sobreetiv: u uió es sobreetiv si solo si el ámbito es igul l odomiio. : A B, ( A) B es sobreetiv Tmbié l podemos deiir sí: u uió es sobreetiv si d elemeto del odomiio es imge de l meos u elemeto del domiio. Fuió bietiv: u uió es bietiv si el ámbito es igul l odomiio d elemeto del ámbito tiee u solo u preimge. Fuió reiete: u uió es reiete si pr ulquier pr de elemetos de su domiio, se umple que: < ( ) ( ), o bie > ( ) ( ) Fuió estritmete reiete: u uió es estritmete reiete si pr ulquier pr de elemetos de su domiio, se umple que: < ( ) < ( ), o bie > ( ) > ( ) 5

6 Fuió dereiete: u uió es dereiete si pr ulquier pr de elemetos de su domiio, se umple que: < ( ) ( ), o bie > ( ) ( ) Fuió estritmete dereiete: u uió es estritmete dereiete si pr ulquier pr de elemetos de su domiio, se umple que: < ( ) > ( ), o bie > ( ) < ( ) Fuió liel U uió u grái es u ret o vertil le llmremos u uió liel, su riterio es de l orm ()=m+b, dode m b so osttes, se llm respetivmete pediete e iterseió o el eje. Pediete: l pediete de u uió liel se deot o l letr m, e idi l iliió de l ret o respeto l eje. Si l ret ps por los putos, (, ) l pediete se obtiee o l órmul: m Co respeto l pediete, l uió liel es: I. Estritmete reiete si m>0 II. Costte si m=0 III. Estritmete dereiete si m<0 Rets prlels: ls gráis de dos uioes lieles represet rets prlels si solo si sus pedietes so igules. g so uioes lieles // g m m Rets perpediulres: ls gráis de dos uioes lieles represet rets perpediulres si solo si el produto de sus pedietes es -. g so uioes lieles g m m Iterseioes o los ejes: el puto de iterseió de l grái de u uió o el eje se obtiee sustituedo l por ero, luego despejdo l. El puto de iterseió l grái de u uió o el eje se obtiee sustituedo l por ero, luego despejdo l. Fuió ivers: l ivers de u uió bietiv se deot. Teiedo el riterio de, el riterio de su ivers lo obteemos iguldo el riterio de. Luego despejmos l. Filmete, sustituimos l por ( ) l por. g g 6

7 Fuió udráti U uió uo riterio es de l orm ( ) b se llm uió udráti. Su grái es u prábol que puede teer u de ls seis orms siguietes: ) ) 4 b b 4 L grái de ( ) b es u prábol óv hi rrib si >0, ort l eje e dos putos si >0. 3) L grái de ( ) b es u prábol óv hi bjo si <0, ort l eje e dos putos si >0. 4) b b L grái de ( ) b es u prábol óv hi rrib si >0, ort l eje e u puto si =0. 5) 4 b L grái de ( ) b es u prábol óv hi rrib si >0, o ort l eje si <0. L grái de ( ) b es u prábol óv hi bjo si <0, ort l eje e u puto si =0. 6) b 4 L grái de ( ) b es u prábol óv hi bjo si <0, o ort l eje si 0. 7

8 Pr ls seis prábols teriores teemos que: I. El vértie está determido por l órmul: V b, 4 II. El eje de simetrí de ulquier de ls seis prábols está determido por l b euió: III. El ámbito de u uió udráti deiid de IR e IR está determido por: I., 4 si >0 II., 4 si <0 IV. Los itervlos de mootoí e u uió udráti de IR e IR está determidos de l eje de simetrí del eje de simetrí reiete b dereiete dereiete b reiete L uió es estritmete reiete si se umple que: ) >0 b, ) <0 b, L uió es estritmete dereiete si se umple que: ) >0 b b, ) <0, 8

9 Fuió epoeil L uió epoeil está deiid sí: : IR IR ; ( ), >0; L uió epoeil es estritmete reiete si >, o estritmete dereiete si 0<<. L grái pr d uo de estos dos sos es: > 0<< estritmete reiete estritmete dereiete Euioes epoeiles: ls euioes epoeiles tiee l iógit e el epoete; pr resolverls seguimos u de ls siguietes proposiioes, segú orrespod: ) pr 0 ( ) g( ) b) ( ) g( ) pr 0 Fuió rítmi L uió rítmi está deiid sí: : IR IR ; ( ), >0; L uió rítmi es estritmete reiete si >, o estritmete dereiete si 0<<. L grái pr d uo de estos dos sos es: > 0<< estritmete reiete estritmete dereiete Propieddes de los ritmos ( B C) B C B 0 B B C B B B B A l A e B B B Euioes rítmis: pr resolver euioes rítmis se utiliz ls propieddes teriores, demás, segú se el so se utiliz: ) B B ) C 9

10 TRIGONOMETRÍA (Repso de 9 ) Es el estudio de ls relioes etre los ldos los águlos de u triágulo. Esto se reliz trvés de ls llmds uioes trigoométris de los águlos (o goiométris). Ahor, l plbr trigoometrí se deriv de trígoo, sigii triágulo metro, medid, o se por lógi, trigoometrí orrespode "medid de triágulos". Ivestigdo l histori de l trigoometrí verigumos que los hidúes uero los primeros que hiiero u equivlete l uió seo ( qué será eso?). Tmbié supimos de su utilizió por prte de los egipios e l ostruió de ls pirámides, e los trbjos stroómios de Aristro, Meelo Ptolomeo, quiees hiiero l divisió del águlo e 360º. Y omo trbjo udmetl est el heho por Viete, que estbleió el uso de l trigoometrí e el álisis mtemátio e l mtemáti plid. Fuioes Trigoometris e el Triágulo Retágulo Ahor deiiremos ls uioes trigoométris e el triágulo retágulo. Más delte, ls utilizremos, trvés de diversos teorems relioes, e todo tipo de triágulos. Cosideremos el triágulo ABC, retágulo e C, de l igur trbjemos o los águlos de él. seo de oseo de tgete de otgete de sete de osete de 0

11 Aálisis trigoométrio Del mismo modo, pr el águlo se obtiee ls rzoes trigoométris siguietes: seo de oseo de tgete de otgete de sete de osete de OJO: hemos l sugerei, "pred ls deiiioes trigoométris e plbrs que ls letrs que desig los tetos l hipoteus puede vrir". Fuióes Trigoométris de u Agulo Agudo U vez dds ls deiiioes, os dmos uet que: se os tg = ot se = ose os = se ot = tg ose = se omo = 90º (triágulo ABC), etoes = 90 - que l reeemplzrlo e ls igulddes teriores se obtiee: se os (90 - tg = ot (90 - se = ose (90 - os = se (90 - ot = tg (90 - ose = se (90 -