SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

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1 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Sucesioes de úmeros reles Se llm sucesió de úmeros reles u plicció del cojuto N * (cojuto de todos los úmeros turles excluido el cero) e el cojuto R de los úmeros reles. N * R Los úmeros i se llm térmios de l sucesió y el subídice i idic el lugr que ocup el térmio i e l sucesió. Ejemplos: f : N* R es u sucesió de térmios:,/,/,...,/,... / + g: N* R es u sucesió de térmios:,5/,7/,...,,... + Determició de sucesioes ) Por el térmio geerl. Cudo es u fució que depede de, bst dr vlores turles l obteer los sucesivos térmios de l sucesió. +5 : 8; ; 4;... b (-) : b -; b ; b -;... idetermid pr b) Por u propiedd crcterístic. {sucesió de los úmeros pres}:,4,,8,... b {sucesió de los úmeros impres}:,,5,7,... c {sucesió de los cudrdos de los úmeros turles}:,4,9,,... d {sucesió de los iversos de los úmeros turles}:,/,/,/4,... c) Por u ley de recurreci. Se expres u ley que permite obteer u térmio prtir de otros teriores. b c b c + 4 b b c (c ) Represetció de sucesioes ) Digrm crtesio. E u eje se sitú los úmeros turles pr estblecer el orde de l sucesió y e el otro eje s sitú los reles pr estblecer el vlor de cd térmio. b) Digrm liel. Se sitú todos los térmios e u rect rel. Tiee el icoveiete de que se puede motor los térmios. Ejercicio: represetr ; b - ; c / ; d (-) R N* /

2 PROGRESIONES So u tipo prticulr de sucesioes que cumple u propiedd específic. Progresioes Aritmétics (P.A.) Cd térmio se obtiee sumdo l terior - u ctidd fij d, llmd difereci: - +d Expresdo de otr mer, l difereci etre dos térmios cosecutivos es siempre igul u úmero rel fijo d: - - d. E geerl: + ( p qd ) p Sum de térmios cosecutivos: S Progresioes Geométrics (P.G.) q + Cd térmio se obtiee multiplicdo l terior por u ctidd fij r llmd rzó: - r Dicho de otr mer; el cociete etre u térmio y el terior siempre es u úmero fijo r: r E geerl: p r q p q Sum de térmios cosecutivos: S r r Producto de térmios cosecutivos: P ( ) Progresioes geométrics decrecietes Cudo l rzó de u progresió geométric es meor que (<r<); se obtiee u sucesió de térmios cd vez meores. E este cso se puede obteer l sum de los ifiitos térmios que compoe l sucesió: S r Opercioes co sucesioes Adició de sucesioes Se llm sum de ls sucesioes de úmeros reles ( ) y (b ) y se desig por ( )+(b ) l sucesió cuyos térmios so ( +b ). Propieddes: Asocitiv: [( )+(b )]+(c )( )+[(b )+(c )] Comuttiv: ( )+(b )(b )+( ) Elemeto eutro: (),,,,,... Elemeto opuesto: (- )-( ) es l opuest de ( ) Producto de sucesioes Se llm producto de ls sucesioes ( ) y (b ) y se desig por ( )(b ) l sucesió cuyos térmios so ( b ). Propieddes: Asocitiv: [( )(b )](c )( )[(b )(c )] Comuttiv: ( )(b )(b )( ) Elemeto eutro: (),,,,... Elemeto iverso: No tods ls sucesioes tiee ivers. Vése quell que tiee térmios igules cero. Distributiv del producto respecto de l sum: ( )[(b )+(c )]( )(b )+( )(c ) Por cumplir tods ests propieddes teriores, el cojuto de ls sucesioes S de ls sucesioes de úmeros reles, co ls opercioes sum y producto defiids ;(S,+, ) es u illo comuttivo y uitrio.

3 Producto de u úmero rel por u sucesió Se k u úmero rel y ( ) u sucesió. Se llm producto de k por ( ) y se desig por k( ) l sucesió cuyos térmios so (k ). Propieddes: (k+h)( )k( )+h( ) k[( )+(b )]k( )+k(b ) (kh)( )k[h( )] ( )( ) Por cumplir ests propieddes, el cojuto de ls sucesioes S, co ls opercioes sum y producto por úmeros reles (S,+, R) es u espcio vectoril rel. Sucesioes moótos Se dice que u sucesió ( ) de úmeros reles es u sucesió: Creciete < EstrictmeteCreciete Cudo pr todo Ν * < Decreciete se verific respectivmete que : < EstrictmeteDecreciete < > < Ejercicios: - es estrictmete creciete b + " " " c,,5,5,5,5,... es creciete Sucesioes costtes: tod sucesió que es creciete y decreciete + N* y por lo tto es u sucesió costte. l vez, verific Sucesioes cotds Se dice que u sucesió ( ) está cotd superiormete, si existe u úmero rel K, tl que K N Ejemplo: / + está cotd superiormete pues todo térmio es meor que. Así, u cot superior es K. Se dice que u sucesió ( ) está cotd iferiormete, si existe u úmero rel K', tl que K N Ejemplo: está cotd iferiormete pues todo térmio es myor que Se dice que u sucesió ( ) está cotd si está cotd superior e iferiormete, es decir, existe dos úmeros reles K y K' tles que K' K N* Est defiició es equivlete decir que M N* pr lgú úmero M rel. Ejemplo: / ; b + Sucesioes covergetes ( Ejemplo : Dd l sucesió ( ):,',',',..., '...,... cd térmio es u mejor proximció que el terior del rel úmero /. Diremos que los térmios de l sucesió ( ) tiede l úmero /, y que / es el límite de l sucesió ( ). ' ' Ejemplo : Dd l sucesió (b )/ :,/,/,/4,... cd térmio es u mejor proximció que el terior del úmero, de tl mer que pr muy grde, l difereci etre o y / se hce muy pequeñ. Diremos etoces que es el límite de l sucesió (/)

4 Ejemplo : Dd l sucesió ( c ) ;, 4/, /4, 8/5, /,... + Se observ que pr u vlor muy grde de, por ejemplo se tiee c ' que es u vlor muy próximo. De mer que los térmios de l + sucesió se v cercdo. Por esto, l difereci se v hciedo cd vez más pequeñ medid que umet Ejemplo 4: L sucesió (d ) ;,9,7,8,..., o tiee límite, pues o es posible ecotrr u úmero tl que los térmios de l sucesió se proxime él. E este cso tiee límite +. Distci etre dos úmeros L distci etre dos úmeros se hll restádolos. Pero l izquierd y l derech de u úmero L hy úmeros que está l mism distci de dicho úmero. Culquier úmero x compredido e (L-,L+) dist de L u ctidd meor que (épsilo) pues x-l< si x está l derech de L y L-x< si x está l izquierd de L. Ests dos últims desigulddes se resume medite el vlor bsoluto: L-x < x - + L- L L+ Límite de u sucesió Los ejemplos teriores os permite cercros ituitivmete l cocepto de limite de u sucesió. Así, pues, decir que l sucesió ( ) tiee por límite l úmero rel L, equivle decir que pr culquier >, por muy pequeño que se, tiee que verificrse que todos los térmios siguietes prtir de uo ddo que llmremos, tiee que estr u distci del límite meor que. Es decir: > se verific L < Ejemplo: / tiee límite Vmos escoger distcis l límite cd vez más pequeñs: Se '/; tiee que ocurrir < < > luego A prtir de todos los térmios está u distci meor que ' del límite. Se '/; < < > luego A prtir de todos los térmios está u distci meor que ' del límite Se -8 / 8 ; 8 < < > luego A prtir de 8 todos los térmios está u distci meor que -8 del límite Ejemplo: b + tiee límite. Vemos que depede del elegido. Se / < + + < + < + > > 9 luego 9 Se / < < + > > luego A l vist de los ejemplos se tiee que cuto más pequeño es myor es el úmero. Ejemplo: Demostrr que es el límite de + + 4

5 Se >, teemos que demostrr que + < si > Si + < < + < > Luego el úmero será l prte eter del úmero ' Cocretmete, si ', prte eter 9, y result que prtir del térmio ' 9, todos los térmios siguietes está u distci del, meor que '. Si ' etoces o 99 resultdo que prtir de 99 todos los térmios siguietes está u distci del, meor que '. Así pr todos los posibles vlores de. Observcioes:.- Se fij u úmero rel positivo y se busc el úmero turl coveiete, tl que los térmios siguietes perteezc l etoro (L-,L+). Pues bie, depede de, de tl mer que cuto más pequeño es, myor es..- No import que hy térmios de l sucesió meores o myores que el límite L, lo que tiee que ocurrir es que > el vlor de l difereci L- tiee que ser meor que..- Es importte destcr que los primeros térmios,,,..., o jueg igú ppel e el límite, pudiedo tomr vlores culesquier, hor bie, los térmios siguietes,,... so los que tiee + + que perteecer todos l itervlo (L-,L+). Propieddes de los límites.- Si ( ) tiee límite, su límite es úico. E efecto, los térmios de l sucesió o se puede cercr simultáemete dos úmeros distitos si dejr de cumplir l codició de límite..- Tod sucesió covergete está cotd..- Regl del sdwich: Se ( ),(b ) y (c ) tres sucesioes tles que: º) lim lim b L º) c b N* Etoces se verific que lim c L Adició de sucesioes covergetes lim( +b )lim + lim b Producto de sucesioes covergetes lim( b )lim lim b Cociete de sucesioes lim lim lim lim b limb si limb Potecis de sucesioes b lim lim lim b 5

6 El úmero e Defiimos el úmero e como el límite de u sucesió: e lim + dode : ' 5 ' ' ' ' Est sucesió es creciete y está cotd por su límite que es el úmero e. E geerl, u sucesió del tipo lim + e' dode lim, tedrá como límite l úmero e. Sucesioes moótos y cotds Si ( ) es u sucesió creciete y cotd superiormete, etoces es covergete. Si (b ) es u sucesió decreciete y cotd iferiormete, etoces es covergete.

7 CALCULO DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN Límite de u fució cuy expresió viee dd por u poliomio: + si > lim x + x + + lim x x x si <.- Se sustituye el vlor l que tiede l vrible y se reliz ls opercioes oportus pr simplificr l máximo..- Se comprueb si el resultdo es u vlor umérico o es u idetermició..- Si se h obteido u vlor umérico, éste es el límite buscdo. 4.- Si se h obteido u idetermició de culquier de los tipos:,, -,,,, se procederá segú el cso. 5.- CASO:, ) si l vrible tiede se divide umerdor y deomidor por l vrible elevd l máxim poteci de ls que prece e tod l expresió. Después de simplificr lo obteido se vuelve clculr el límite. Hy u form práctic de resolver este tipo de idetermició: Si el grdo del umerdor es myor que el del deomidor,el límite es. Si el grdo del umerdor es meor que el del deomidor,el límite es. Si los grdos so igules,el límite es el resultdo de dividir el coeficiete pricipl del umerdor etre el del deomidor. b) Si l vrible tiede u úmero rel. Se simplific,como se pued,l expresió (descompoiedo e fctores, scdo fctor comú, rciolizdo, etc, ) y se vuelve clculr el límite. CASO: - ( co rdicles ) Se multiplic y se divide l expresió por el cojugdo y se vuelve clculr el límite después de simplificr. CASO: Se utiliz el método de resolució de límites del úmero e: lim[ (x) ] x b(x) lim b(x) e x [ (x) ] INDETERMINACIONES ADICIÓN ( +b ) b b -b + - +b -b b --b b -b ? ? - COCIENTE ( :b ) b b -b + - /b -/b + - -/b /b -??? + + -??? - - +??? PRODUCTO ( b ) b b -b + - b -b b b - +?? + + -? ? - + POTENCIACIÓN ( b ) b - b< b> + + +? < + b b?? > b b + +? + + 7

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