LOS NÚMEROS REALES. Los número 1,2,3 se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así

Transcripción

1 LOS NÚMEROS REALES Los número,, se enominn números nturles. El onjunto e los números nturles se representn on l letr N, sí N {,,K } Si se sumn os números nturles el resulto es otro nturl, pero si se rest el resulto no neesrimente es un número nturl. Los número enteros representos por Z y os por Z { K,,,,0,,, K} son erros jo ls operiones e sum, rest y multipliión, esto quiere eir que si multiplimos os número enteros el resulto es entero. Sin emrgo los números enteros no son erros jo l ivisión, es eir que si iviimos os números enteros el resulto no neesrimente es un número entero. Los números rionles, Q, epresos e l form m n, one n, m son números enteros on m istinto e ero, es erro jo ls utro operiones. Sin emrgo no ontempl toos los números que poemos onseguir. Por ejemplo π que es el perímetro e un irunfereni e rio, no es un número rionl. Tmpoo.K es un número rionl, este número represent l soluión e l euión h y es un número que está en l nturlez pues él es l longitu e l hipotenus e un triángulo retángulo on los os tetos igules. Estos números que no son n rionles, pues no pueen ser epresos e l form se llmn números irrionles. Un m ifereni entre los números rionles y los irrionles está en su representión eiml. Los números rionles pueen ser representos por números eimles que terminn ( 0. ) o por números eimles que se repiten inefinimente ( 0.K, 0.000K ). En mio los números irrionles son representos por números eimles que no terminn y que no tienen ningun perioii es eir que no tienen ningun seueni que se repit. Los números reles son l unión e los números rionles e irrionles. irrionl y por tnto rel. es un número Ejemplo.- Dig ules e los siguientes números son nturles, enteros, irrionles, rionles y reles: ) -; ) ; ) 0. ; ) π + ; e) 0. Soluión: ) - es un número entero, tmién es rionl pues puee ser esrito omo y es rel. ) es un número rionl pues puee ser esrito omo. Tmién es rel ) 0. es un número rionl pues puee ser esrito omo. Tmién es rel. 0

2 ) π + es irrionl. Oserve que omo π es irrionl su epnsión eiml es infinit no periói l sumrles omo resulto un número uy epnsión tmién es infinit no periói. Es un número rel e) 0 es nturl, entero, rionl y es rel. Ejeriio e esrrollo.- Dig ules e los siguientes números son nturles, enteros, irrionles, rionles y reles: ) π ) + ) -. Los números reles pueen ser representos en l ret rel. Pr ello se trz un líne ret y se esoge ritrrimente un punto en ell, él ul representrá el número 0. Se esoge un uni e mei y prtir el 0 se hen meiiones e un uni tnto l izquier omo l ereh, los puntos meios representn los números enteros en el oren o en l figur. Los puntos l ereh el 0 representrán los números positivos y l izquier están representos los números negtivos. Pr representr geométrimente los números rionles poemos vlernos e su form mit: on <, este número represent +, por ejemplo el número puee ser esrito omo. Ahor es lro que el número está / unies e istni l ereh el. L 0 es simétri on respeto l origen el número representión el número 0. Hy métoos preisos pr representr los números irrionles trvés e onstruiones geométris, sin emrgo en este teto se hrán representiones no muy ets e estos números trvés e los primeros ígitos e su representión eiml. Ejeriio e esrrollo: Represente proimmente los siguientes números en l ret rel. ) π ; ) + ; ) -. ; )

3 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES A ontinuión enunimos ls propiees más importntes e los números reles. Asum en lo que que e seión que,, y son números reles, tenemos entones:.- Propie onmuttiv e l sum Propie onmuttiv e l multipliión + + Ejemplo Propie soitiv e l sum Propie soitiv e l multipliión ( + ) + + ( + ) ( ) ( ) Ejemplo ( + ) + + ( + ) ( ) ( ) Comentrios En mos sos En mos sos 0, pero es más rápio el álulo e l primer El elemento neutro es quél que on l operión que onsieremos ej inlterle el número. Esto es *.- Elemento neutro e l sum: 0 Elemento neutro e l multipliión: el + 0 El inverso e un número es quél que on l operión que onsieremos nos proue el elemento neutro e l operión: * elemento neutro..- Propie el inverso e l sum: Inverso e l multipliión: + ( ) 0 El inverso e l multipliión es enoto en osiones por. Esto es. El número 0 no tiene inverso pr l multipliión y que no eiste ningún número que multiplio por 0 e..- Propie trnsitiv: Si y entones Ejemplo: Si semos que y y y entones.- Propie istriutiv Propie istriutiv ( + ) + ( + ) + Ejemplo ( + ) + ( + ) + Comentrios En toos los sos L rest se efine omo un sum: + ( ) Reuere que ( ) es el inverso u opuesto e.

4 Muhs vees usmos l efiniión l esriir un rest omo un sum: + ( ) Pr efinir el prouto usmos l propie soitiv ( ) A ontinuión listmos un serie e propiees e los números negtivos e muh utili: Propiees Ejemplos Comentrios () ( ) Reesritur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( + ) ( + ) El signo menos se istriuye ( ) ( ) L istriutiv se umple on l ifereni tmién Ejemplo.- Demostrr que + Soluión: Tenemos que + ( ). Ahor por l propie onmuttiv + ( ) ( ) +. Por l propie trnsitiv e l sum result que ( ) +, quitno los préntesis en el lo ereho tenemos l igul ese. En generl tenemos que: Ejeriios e esrrollo: Demostrr ) ( y ) ( y) ) ( + ) ( ) + y y + Propiees el ero Si 0 entones 0 ó 0. L ivisión, es efini trvés e l multipliión: Si 0, entones Done es el inverso e l multipliión Pr l ivisión tmién se emple l notión Reorno que, l ivisión tmién puee ser efini on l siguiente notión

5 ) ( Con est notión poemos interpretr por ejemplo que es ino vees L propie el ero permite justifir porque l ivisión entre 0, 0, no está efini. - Si 0 y 0 entones 0 0, pero no es ero tmpoo está efini. Si 0 0 entones 0 0 es eir que 0 entre 0 puiese r ulquier vlor lo ul no tiene sentio. Pr friones presentmos el siguiente reuro e propiees: Propiees Ejemplos Comentrios El signo menos se puee trnsferir ulquier prte e l frión ± ± + + Sum o ifereni on igul enominor ± ± Sum en ruz, reomenle uno los enominores no tienen ftores omunes Multipliión e friones ; ) ( ) ( Friones equivlentes Ley e Cnelión: es un ftor en el numeror y el enominor Multipliión e un número entero por un frión Reesriturs Reesriturs 0 División División trvés e un multipliión División entre un número y un frión División entre un frión y un número.

6 Ejemplo.- Relie y simplifique ls siguientes ) ( + ) ; ) ( )( ) ; ) ; ) ( ) ; e) + ; Soluión: ) Se us primero l propie istriutiv ( + ) + + Se reliz l multipliión e friones + Se simplifi usno l ley e nelión. + Oserve: en este tipo e situión se istriuye y luego se simplifi ) Se us primero l propie soitiv ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )() ( ) ) Poemos istriuir primero. Se reliz l multipliión e friones 0 ) Pr l ivisión reesriimos l epresión omo frión el número entero - ( ) ( ) ( ). Se us l ley e nelión ( ) 8 8 e) Usmos primero l propie soitiv e l sum + + Ls friones tienen igul enominor Pr epresiones numéris más omplis se ee tomr en uent que lo primero que se resuelve o elimin son los préntesis más internos, o ien hieno l operión intern o ien plino lgun propie e los números reles. Luego se proee relizr l multipliiones o ivisiones plntes e izquier ereh y finlmente ls sums y rests. Ejemplo.- Relie y simplifique: ) ; ) + ( ) ; ) + ( ) Soluión: ) Resolvemos primero l ifereni en el numeror e

7 0 Aplimos l ole C pr resolver l ivisión plnte, luego proeemos simplifir pr finlmente relizr l ifereni plnte. Posteriormente en este teto se relizrn ls sums e friones usno l téni el mínimo omún múltiplo e los enominores. ) Resolvemos primero el préntesis + ( ) + ( ) + ( ) Psmos resolver l multipliión plnte: + ( ) y finlmente resolvemos l ifereni: ) En est prte, preferimos eliminr los préntesis usno l propie istriutiv, pues oservmos que l plirl en este ejemplo espree el enominor + ( ) Ejeriio e esrrollo.- Relie y simplifique: ( ) ) ) ( ) EJERCICIOS ) Dig ules e los siguientes números son nturles, enteros, irrionles, rionles y reles:.).) π ;.) ;.) 0.).;.) ) Represente proimmente los siguientes números en l ret rel..) -;.) + ;.) - ;.) ;.) π ) Relie y simplifique ls siguientes:.) ( ) ;.) ( )( )( ) ;.) ( ) ;.) ;.)

8 8 0.) ( )( + ) ;.) 0 ()( ) ;.8) ( )( ) + ;.) ( ) ;.0).) ;.) ( ) ( ) ;.) ;.) ;.) ( ) ; 0 8.) ( + ).) ( + ) ;.8) ( + )0 ;.) + ( ) ; ( ).0) ( ) ;.) + ;.) + ;.) + ;.) Respuests:.) es un número entero, tmién es rionl y es rel..) es un número irrionl y es rel;.) es un número irrionl y es rel;.) es un número entero, tmién es rionl y es rel,.) es un número entero, tmién es rionl y es rel.) es un número nturl entero, tmién es rionl y es rel.) ;.) 0) ;.) ;.) ;.) 0 ;.8) ;.) ; ;.) ;.).0) 0 ;.) No está efinio;.).8) -;.) ;.0) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.)-; -) ; EJERCICIOS ADICIONALES ) Relie y simplifique ls siguientes:.) ( ) ;.) ;.) ;.) ; ( + ).) ( ) ;.) ( 0 ) ( + + ) + ;.) ( ) ;.8) ( + ) 8 Respuests:.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.) ;.8) 0