TEMA 9. DETERMINANTES.

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1 Uni.Determinntes TEM. DETERMINNTES.. Coneptos previos, permutiones. Definiión generl e eterminntes. Determinnte e mtries e oren y oren... Determinnte mtries urs e oren.. Determinnte mtries urs e oren. Determinnte e lguns mtries espeiles. ropiees e los eterminntes. Otros métoos e lulr los eterminntes. Determinnte e mtriz e oren.. or juntos.. Hieno ero un fil o un olumn.. Determinnte e Vnermone. Cálulo e l mtriz invers.. Rngo e un mtriz

2 Uni.Determinntes Conteto on l..u. El álulo e eterminntes es muy importnte, y que se utilizrá en el tem siguiente en l resoluión e sistems e euiones lineles, prolem que generlmente sle en un e ls opiones el emen e..u. emás e l importni reltiv su utilizión en los prolems el siguiente tem, tmién es freuente que en los eámenes e seletivi hy uestiones relions iretmente on est uni, tles omo: Cálulo e eterminntes plino propiees. Cálulo e eterminntes Clulo e inverss Determinr si un mtriz inversile puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

3 Uni.Determinntes. Coneptos previos. ermutiones ntes e estuir el eterminnte vemos primero lo que signifi l permutión, que nos v servir pr luego efinir el eterminnte. Definiión: o n elementos iferentes, permutiones son ls istints posiles oreniones e estos elementos. El onjunto e tos l permutiones se enot omo S n y el número totl e permutiones es e n!n (n-) (n-) Ejemplos: El onjunto e permutiones e tres elementos, S, vienen efinis por ls siguientes! permutiones: σ i, σ, σ, σ, σ, σ. Definiión: el ínie e un permutión es el mínimo número e moifiiones que eemos relizr sus elementos pr llegr l permutión ienti, one toos los elementos están orenos e menor myor (ejemplo σ i en S ). Se enot omo i(σ) one σ es l permutión Ejemplos: σ i(σ ) σ i(σ ) permutno el y el otenemos l permutión ienti σ i(σ ) permutno el y el, y luego el y el otenemos l permutión ienti. Definiión generl e eterminnte Definiión: Se ij un mtriz ur e oren n ( M nn (R)) efinimos omo eterminnte e y se enot omo o et() l siguiente número rel: i( σ ) et( ) ( ) (l sum tiene n! términos) n n nn σ S n σ () nσ ( n). Determinnte e Mtries e oren y En este prto vmos ver prtir e l efiniión el prto nterior el vlor el eterminnte e ls mtries y. Determinnte e mtries urs e oren. Se l mtriz M efini e form genéri omo eterminnte prtir e l efiniión: et( ) σ S ( ) i( σ ) σ () σ () ( ) i( σ ) ( ) i( σ ), lulemos el

4 Uni.Determinntes Ejemplos: ( ) ( ) B B ( ).. Determinnte e mtries urs e oren. De l mism form que en el prto nterior vemos omo lulr el eterminnte e ls mtries urs e oren. En este so el número e sums será!. Veremos un regl nemoténi, regl e Srros, pr reorr omo lulrlo. Se M (R) efinio e form genéri omo. ntes e plir l efiniión e eterminnte vemos ls permutiones y sus ínies: σ i(σ ) pr σ i(σ ) impr σ i(σ ) pr σ i(σ ) impr σ i(σ ) pr σ i(σ ) pr De est form: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) Regl e Srrus : puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

5 Uni.Determinntes Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) Ejeriio. Clulr los siguientes eterminntes ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) [ ] [ ] e) [ ( ) ( ) ] [( ) ( ) ] m f) [ m ( ) m ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) m m] m m m. Determinnte e lguns mtries espeiles En este prto lulremos e form senill el vlor e los eterminntes e lguns mtries urs espeiles.. Determinnte e l mtriz nul L mtriz ur nul es quell en l que toos los oefiientes son ero, se enot omo. i( σ ) ij i,j {,,,n} ( ) σ () nσ ( n) σ S n

6 Uni.Determinntes. Determinnte e l mtriz ienti Reoremos que l mtriz ienti es quell one toos los elementos fuer e l igonl son nulos y los e l igonl vle. I Es fáil ompror que el vlor el eterminnte ienti es l uni, veámoslo prtir e l efiniión e eterminnte: I σ S i( σ ) ( ) σ () n σ ( n) ( ) n. Determinnte e l mtriz igonl nn Mtries igonles son quells one los elementos fuer e l igonl son nulos, puieno vler ulquier vlor los elementos e l mism. D nn Es fáil e ver que el vlor el eterminnte e l mtriz igonl es igul l prouto e los elementos e l igonl. Es fáil emostrrlo prtir e l efiniión e eterminnte. D i( σ ) ( ) σ () n σ ( n) ( ) nn σ S n. Determinnte e l mtriz tringulr Reoremos l efiniión e mtriz tringulr superior e inferior: nn T s n n nn T i n n nn El vlor el eterminnte e ls mtries tringulres, tnto superior omo inferior, es igul l prouto e los elementos e l igonl. L emostrión es más ompli que ls nteriores. T s nn T i nn puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

7 Uni.Determinntes. ropiees e los eterminntes En este prto veremos ls propiees más importntes e los eterminntes, prtir e ls ules será fáil lulr el vlor e los eterminntes e lguns mtries. r este prto usremos l siguiente notión: M nn (R) formo por n fils (,, n ) on i fil i-ésim formo por n olumns (C,,C n ) on C i l olumn i-ésim. Ejemplo: (,, ); (C,C,C ) one y C ( ), C ( ) y C ( ),, ropie : el eterminnte e un mtriz es igul l eterminnte e e l mtriz trnspuest: et()et( t ) Importnte: prtir e est propie tos ls propiees e los eterminntes que relionen olumns sern ierts tmién pr ls fils y l revés. ropie : si los elementos e un fil (o olumn) e un mtriz se le multiplin por un número el eterminnte e l nuev mtriz que multiplio por iho número: et(,,,k i,, n ) k et(,,, i,, n ) et(c,c,,c i,,c n ) k et(c,c,,c i,,c n ) Ejemplo: B C B C -

8 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) ropie : Si un mtriz M nn (R) l multiplimos por un número k (Bk ), el eterminnte e l nuev mtriz, B, es k n vees el eterminnte e : et(k )k n et() Demostrión: prtir e l propie es fáil e ver est propie: et(k )et(k C,k C,,k C n )k et(c,k C,,k C n ) k et(c,c,,k C n ) k n et(c,c,,c n ) Ejemplo: B B ropie : Si los elementos e l olumn i-esim (o un fil) e un mtriz ur se puee esomponer omo sum e olumns (o fils), su eterminnte será igul l sum e los eterminntes e ls mtries que tienen ls emás olumns (fils) igules y l i-ésim e uno e ells un e ls olumns e l sum et(,,, i i,, n ) et(,,, i,, n ) et(,,, i,, n ) et(c,c,,c i C i,,c n ) et(c,c,,c i,,c n ) et(c,c,,c i,, C n ) Ejemplos: et(c,c C,C ) et(c,c,c ) et(c,c,c ) ropie : El eterminnte el prouto e mtries urs es igul l prouto e los eterminntes e ms mtries. et( B)et() et(b) Ejemplo:

9 Uni.Determinntes ropie : Si un mtriz permut os olumns (fils), su eterminnte mi e signo. et(,,, i,, j,, n ) -et(,,, j,, i,, n ) et(c,c,,c i,, C j,,c n ) -et(c,c,,c j,, C i,,c n ) Ejemplos: ropie : Si un mtriz tiene un fil o un olumn form por eros su eterminnte es ero. et(,,,,, n ) et(c, C,,,, C n ) Ejemplo: ropie : Si en un mtriz os fils o olumns son igules o proporionles su eterminnte es ero: et(,, i,,k i,, n ) et(c,, C i,,k C i,,c n ) Ejemplos : et(,, ) ; et(,, ) ; et(c,c,c ); et(-c,c,c )

10 Uni.Determinntes ropie : Se un mtriz ur one los elementos e un fil (olumn) son ominión linel e ls restntes fils (olumns) entones su eterminnte es ero: et(,,, λ λ λ i- i- λ i i λ n n,, n ) il i et(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) Ejemplos: Column i et(, -,, )et(,,, ) et(,,, ) et(,-,, ) et(c,c C -C,C,C )et(c,c,c,c )et(c,c,c,c )et(c,-c,c,c ) ropie : si en un mtriz su eterminnte es ero, entones un fil (olumn) es ominión linel el resto e fils (olumns). et() i λ λ λ i- i- λ i i λ n n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n Conlusión: e l propie y un fil (olumn) es ominión linel el resto ropie : El eterminnte e l mtriz - es / et( - ) et( ) Se puee emostrr fáilmente prtir e l propie : - I et( - )et() et( - )et(i) et( - ) et( ) ropie : Si los elementos e un fil (olumn) se les sum un ominión linel e otrs fils (olumns), su eterminnte no vrí. et(,,, i,, n )et(,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ n n,, n ) puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

11 Uni.Determinntes ROIEDDES DE LOS DETERMINNTES : et()et( t ) : et(,,,k i,, n ) k et(,,, i,, n ) et(c,c,,kc i,,c n ) k et(c,c,,c i,,c n ) : et(k )k n et() on M nn : et(,,, i i,, n ) et(,,, i,, n ) et(,,, i,, n ) et(c,c,,c i C i,,c n ) et(c,c,,c i,,c n ) et(c,c,,c i,,c n ) : et( B)et() et(b) : et(,,, i,, j,, n ) -et(,,, j,, i,, n ) : et(,,,,, n ) et(c, C,,,, C n ) : et(,, i,,k i,, n ) et(c,, C i,,k C i,,c n ) : et(,,, λ λ λ i- i- λ i i λ n n,, n ) il i et(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) : Column i et() i λ λ λ i- i- λ i i λ n n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n : et( - )/et() : et(,,, i,, n )et(,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ n n,, n )

12 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) Ejeriios Ejeriio. Clul el eterminnte e ls siguientes mtries: ) ) B B - ) C C - ) D.... D (-)- (tringulr) Ejeriio : Clulr el vlor e los siguientes eterminntes prtir e onoer el eterminnte e : et() ) B et(b) ) ( ) C C ) ( ) D D ) ( ) (

13 Uni.Determinntes ) E E Ejeriio. Se (,,, ), uyo eterminnte es et() -, lulr el vlor el eterminntes e ls siguientes mtries: ) B(,,, ) et(b) et(,,, ) - ) C( -,,, ) et(c)-et(,,,)- et(,,,) - ) D D ) E (,,-, ) et(e) et(,,-, ) et(,,-, ) (-) et(,,, ) (-) et(,,-, )- Ejeriio. Resolver los siguientes eterminntes ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )

14 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) Ejeriio Demostrr ) Si entones o Si se umple que entones sus eterminntes son igules:. or l propie, - y ) Si t I entones o Si se umple que t I entones sus eterminntes son igules: t I. or l propiees y e los eterminntes: t t I, - Ejeriio. Enuentr un respuest rzon ls siguientes uestiones: ) En un eterminnte relizmos un iert permutión e fils o olumns qué poemos eir el nuevo eterminnte? Si en un eterminnte el número e permutiones es pr, entones el eterminnte no mi e vlor. Si el número e permutiones es impr, entones el eterminnte mi e signo. ) Se se que et() y M uánto vle et()? or l propie omo M (R) entones ) Si y B son inverss, y. uánto vle B? Si B - por l propie B / / Ejeriio. Se se que. Clulr ) )

15 Uni.Determinntes EXÁMENES DE U, RELTIVOS ROIEDEDES DETERMINNTES Junio. rue C-.- Se tiene un mtriz M ur e oren uys olumns son respetivmente C, C y C y uyo eterminnte vle. Se onsier l mtriz uys olumns son (- C, C C, C ). Clúlese rzonmente el eterminnte e - en so e que eist es mtriz M(C,C,C ) (-C,C C,C ) M et(-c,c C,C ) et(-c,c,c ) et(-c,c,c ) -et(c,c,c ) et(c,c,c ) -et(c,c,c )- - -/ Septiemre. rue C-.- Se un mtriz ur e oren uyo eterminnte vle, y se l mtriz B. Clúlese el eterminnte e l mtriz B. M (R) B B ( ) Junio rue C-.- Se un mtriz e olumns C, C y eterminnte. Se B otr mtriz e eterminnte. Si C es l mtriz e olumns C C y C, lúlese el eterminnte e l mtriz B C -. (C,C ) B: B C(C C,C ) et(c)et(c C,C )et(c,c )et(c,c ) et(c,c ) et(b C - )et((b) et(c - ) B / C // Septiemre. rue C-.- Se l mtriz. Clúlese el eterminnte e sieno que - I, one I es l mtriz ienti y es l mtriz nul. - I

16 Uni.Determinntes () () e () y e (), sustituyeno en () - () ierto Septiemre rue C-.- Se un mtriz e olumns C, C, C (en ese oren). Se B l mtriz e olumns C C, C C, C (en ese oren). Clulr el eterminnte e B en funión el e. B et(c C, C C, C )et(c, C C, C )et(c, C C, C ) et(c,c,c ) et(c,c,c ) et(c,c,c ) et(c,c,c ) et(c,c,c ) -(-) et(c,c,c ). Métoos e álulo el eterminnte. Determinnte e oren. Si queremos lulr el vlor el eterminnte e un mtriz M (R) por l efiniión tenemos! proutos y si seguro que nos equivoremos. Tenremos que usr lgún otro métoo pr lulr su vlor. r eso poemos plir ls propiees vists en el prto nterior.. or juntos r lulr el eterminnte e un mtriz un métoo es el e los juntos. El métoo onsiste en tomr un fil (o olumn), y multiplir elemento e l fil (olumn) por su junto, que es eterminnte que se otiene eliminno l fil y olumn e iho oefiiente, multiplio por - si es un elemento impr (filolumnnº impr) r ver omo lulrlo veámoslo on un ejemplo, que esrrollremos por l primer olumn y l segun fil: (-)- - - (-) - ( ) ( ) ( ) puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

17 Uni.Determinntes ) )( ( ) ( - (-) -. Hieno eros un fil o olumn oemos utilizr l propie y her que en un fil o un olumn toos los elementos menos uno (pivote) sen nulos. Desrrollno los eterminntes por juntos sólo ontriuye el el pivote, y que el resto quen multiplios por. r mtizr esté métoo vemos un ejemplo, lulno el eterminnte e l mism mtriz el ejemplo el prto.. Vmos utilizr omo pivote el elemento, y que vle l uni (que simplifi los álulos) y hremos ero toos los emás elementos e l primer olumn. ) )( ( Ejeriio : lulr por lguno e los os métoos nteriores Clulánolo -.. Determinnte e Vnermone Se llm mtriz e Vnermone to mtriz e l siguiente form n n n n n r este tipo e mtries se umple ( n - ) ( n - ) ( n - n- ) ( - ) Ejemplo: z y z y (z-) (z-y) (y-)

18 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) Ejeriio : Clulr los siguientes eterminntes ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( Vnermone e) ) ( ) ( ()(-)

19 Uni.Determinntes. Cálulo e l Mtriz Invers Meinte l efiniión e eterminnte y l mtriz junt se puee lulr e form senill l mtriz invers, en espeil l invers e l mtries. roposiión: Un mtriz se ie regulr, es eir, tiene invers si su eterminnte no es ero. En so ontrrio l mtriz es singulr: regulr - singulr / - r lulr e l mtriz invers, usremos omo ejemplo: ) Clulmos el eterminnte ) Trsponemos t ) junt e l trnspuest: ( t ) ) Mtriz invers es ( ) ) ( t Vemos un ejemplo e un mtriz ) ) t ) ( ) t )

20 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) Ejeriio. Clulr l invers e ls siguientes mtries ) ) ) e) Ejeriio. Clulr l que he singulr l mtriz ) - -, -- ),

21 Uni.Determinntes EXMENES DE U, EJERCICIOS RELTIVOS MTRIZ INVERS Septiemre e. rue B C-.- Se. Determínense los vlores e m pr los ules mi no es invertile (one I enot l mtriz ienti). m Bm I m B B m m- m- ± m R-{-,-- } mtriz regulr y por tnto eiste B - Septiemre e. rue B C-. D l mtriz eterminr los vlores e pr que eist mtriz invers - - No soluión, luego R eiste l mtriz invers e. Junio rue C-. Hllr pr qué vlores e es inversile l mtriz y lulr l invers pr L mtriz será inversile si. Clulemos pr qué vlores e se umple est premis: --, -. Luego R-{-,} l mtriz tiene invers. En onreto pr es inversile -; ; ;

22 Uni.Determinntes. Rngo e un Mtriz Definiión: Menor e oren k e un mtriz M mn (R) es to sumtriz on k fils y k olumns perteneientes l mtriz Ejemplo: Menor e oren Menor e oren Menor e oren, Menor e oren (), (),,, Definiión e rngo e un mtriz M mn (R) es el oren el myor menor on eterminnte no nulo e l mtriz. Cómo otener el rngo e un mtriz: ) Clulmos toos los menor e myor imensión (kmin(m,n)) e l mtriz... Si lgún menor es istinto e ero rng()k.. Si toos los menores son igules ero rng()<k ) Clulmos los menores e imensión k-.. Si lgún menor es istinto e ero rng()k-. Si toos los menores son nulos rng()<k- ( ) Esto termin uno lgún menor es istinto e ero, sieno los lulos ntes e myor imensión e ero. puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE)

23 Uni.Determinntes Ejemplo: Clulr el rngo e. Clulmos los menores e oren min(,): rng()<. Clulremos los menores e oren rng() EXMENES DE U, EJERCICIOS RELTIVOS L RNGO Septiemre e. rue. C-.- Disútse, según el vlor e, el rngo e l mtriz Si -/ y rng() Si /, omo rng() Septiemre e. rue B C-.- Disutir, en funión el número rel m, el rngo e l mtriz m m -m-m -m--m-m m, - Si R-{-,} y rng() Vemos el rngo si. Como rng()

24 Uni.Determinntes puntes e Mtemátis II (ºBhillerto) pr preprr el emen e l U (LOE) Vemos el rngo si - Como rng() Conlusión: si o - el rng() y si R-{-,} el rng(). Junio e. rue B C-. Clulr el rngo e Como rng()<. Vemos uno e los menores e oren : Luego rng()

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