Unidad 1 Matrices PÁGINA 7 SOLUCIONES. 1. La resolución de los sistemas puede expresarse de la forma siguiente:

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1 Uni Mtries PÁGINA 7 SOLUCIONES. L resoluión e los sistems puee expresrse e l form siguiente: L segun mtriz proporion l soluión x 5,y 6. L últim mtriz proporion l soluión x, y, z 4.

2 . Vemos que P P. Pr ello, Ls igules nteriores son eis : () l efiniión e l poteni l uro; () l hipótesis PQ P; () l propie soitiv el prouto; (4) l hipótesis QP Q; (5) l hipótesis PQ P.. L que ini ls reliones existentes en el grfo es:

3 PÁGINA SOLUCIONES. Supongmos que l e e l mre es e 9 ños; imponieno ls oniiones el prolem, otenemos: P H H H H P H H H H 4 4 P H H H H Luego si l mre tiene 9 ños, el pre tiene 7 y los utro hijos tienen respetivmente,, 7, y ños. Oservmos que si prtimos e que l mre tiene 8 ños otenemos l mism respuest, e igul que pr 7, 6, 5 ños. Es eir, inepenientemente e l e e l mre, nos slen ls ees el pre, 7 ños, y ls ees e los hijos:, 7, y ños. En generl l mre tenrá xy ños xy x y ños. Ahor ien: xyxyxy xyxyxy xy P H H H H P H H H H xy 4 4 xyxyxy x y x y x y xy x y x y ( x y) x y x y Desomponemos en ftores y es: 7 7 Luego ls ees serán: Q 7 ños H ños H H ños H ño 4 7ños

4 . Llmmos x, y los números. Se ee umplir que: x x y x y y Resolvieno: x y x y x y x x x y y xy x y ± x Luego pr y no tiene soluión. x x Pr y x x L soluión váli es: x ; y 4

5 PÁGINA 8 5

6 SOLUCIONES. Relizno ls operiones inis y plino l igul e mtries, otenemos: Resolvieno el sistem, 5,, 6, 4.. L soluión en so que: 4 5 ) A 4 ) A C 4 ) A C ) e) A C A AC 5C Los proutos quen: 6

7 7 4. Los proutos posiles son: 5. En generl, ls igules nteriores no son ierts, y que el prouto e mtries no es onmuttivo. 6. Enuentr tos ls mtries, el oren orresponiente, que onmuten on ls mtries siguientes: A y Se l mtriz que onmut on A. Dee umplirse: A A Resolvieno el sistem, otenemos Ls mtries uss son e l form on y números reles ulesquier.

8 8 Se l mtriz que onmut on. Dee umplirse: Resolvieno el sistem, otenemos Ls mtries uss son e l form on y números reles ulesquier. 7. Llmmos A y ls mtries numéris que preen en uno e los sistems. Resolvemos éstos por el métoo e reuión y otenemos:

9 ) x y A x A x y A x y x A y A Por tnto, 8 e Y / / / / e) x y A x y x A x y y A y A Por tnto, e Y Ls operiones quen: t ) C A ( 7 ) ) ) t C C 4 6 ) t t A A C 5 t 9. To mtriz ur A puee expresrse e l form En l sum nterior, el sumno mtriz ntisimétri. t A A t t A A A A A. es un mtriz simétri y el sumno t A A es un Ls esomposiiones peis son: 9

10 . En uno e los os sos que el siguiente moo: Clulmos ls potenis suesivs e A. Oservmos que ls potenis e l mtriz A se repiten e utro en utro. Así: A 5 A ( A ) A I A I A A A A ( A ) A I A I A A I L mtriz que onmut on A umplirá: Finlmente: on y.

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12 SOLUCIONES. Ls tringulres equivlentes son:

13 . Ls inverss quen el siguiente moo:

14 4. Despejmos l mtriz en l euión : C A C A ) ( y lulemos est mtriz : y x y x y y y x one l mtriz es: 4. Que: L mtriz ) (A es 7 7 L mtriz trspuest e l nterior t A) ( es 7 7 L mtriz invers e l nterior ) ( A es / /4 / /4 5. L soluión que: L mtriz es Resolvemos l euión: 6 6 i h g f e Operno e igulno mtries otenemos tres sistems: 6 f e e f e f e 6 i h g h g i h g i h L mtriz viene por:

15 5 6. Que el siguiente moo: ) Rngo e Rngo e ) Rngo e 4 Rngo e ) Rngo e 6 5 Rngo e Rngo e 9 5 ) Rngo e 7 4 Rngo e 6 Rngo e 7. Quen: ) Esrie tres mtries e imensión x que tengn, respetivmente, rngo, y Un mtriz x e rngo es A. Tiene ls tres fils inepenientes. Un mtriz x e rngo es. L fil terer es sum e l primer y l segun. Un mtriz x e rngo es C. L fil segun es utro vees l primer y l fil terer es el prouto e 5 por los elementos e l fil primer.

16 ) Esrie tres mtries x que tengn, respetivmente, rngo, y. Un mtriz x e rngo es A 4 8. L fil segun es utro vees l fil primer y 6 l fil terer es el prouto e los elementos e l fil primer por 4. Un mtriz x e rngo es fils primer y segun. A. L fil terer es sum e los elementos e ls Un mtriz x e rngo no puee existir. 8. L soluión que: Sen, Y, Z tres mtries tles que es posile efetur Z t Y. Es posile efetur (Y Z) t? Se Z un mtriz e imensión (m x n) por tnto Z t tenrá por imensión (n x m). Pr que se posile efetur l operión Z t Y ls mtries e Y tenrán por imensiones ( n x p) e Y ( p x m). De este moo YZ es un mtriz e imensión (p x n) y (Y Z ) t será e imensión (n x p) y omo es e imensión (n x p) es posile efetur l sum (Y Z) t. 9. Quen: ) pizzs e li extr neesitn 5 g e ms, g e ingreientes y 5 g e queso; pizzs e li superior neesitn 4 g e ms, 4 g e ingreientes y 4 g e queso, y pizzs e li norml neesitn 5 g e ms, g e ingreientes y g e queso. ),5,,5,,,5,5,5,5,,,45,,75, Est mtriz nos el preio e pizz extr, superior y norml, respetivmente. 6

17 PÁGINA 7

18 8 SOLUCIONES. Que el siguiente moo: El vlor que he que l últim mtriz se l mtriz nul es k.. Operno en l euión mtriil, otenemos: A A A AA AA A Por tnto, l soluión es l mtriz A. Al ser , l mtriz us es l resultnte e efetur l operión: A. Que:

19 . Que el siguiente moo: 4. Que: 9

20 5. L soluión es: ) T M El elemento e est mtriz represent el preio en euros que or l empres Epor llevr el prouto A estos utro píses. El elemento nos el preio que uest trnsportr C on l empres E. ) L sum e los elementos e fil e est mtriz nos muestr l más rt y es l empres E. 6. Que: (A I) (A I) 4A AI AI I 4A A A I I Por tnto, l mtriz es l ienti. 7. Que: L mtriz 4 5 es 4 L mtriz A es 9 9 L mtriz A es L mtriz A es L soluión que: Se A l mtriz que onmut on. Dee umplirse: A A

21 Entones: Resolvieno el sistem, otenemos Ls mtries uss son e l form ulesquier. A on y números reles

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