2º BACH CCSS MATRICES Y GRAFOS 1

Transcripción

1 º TRIE Y GRFO GRFO Un grfo es un onjunto, no vío, e ojetos llmos vérties (o noos) y un líne e unión entre pres e vérties, llms rists. Típimente, un grfo se represent meinte un serie e puntos (los vérties) onetos por línes (ls rists). En l figur, el onjunto e vérties es V = {,,,, e, f }, y el onjunto e rists es = {,, f,,, e, ef }. triz e yeni - El grfo está represento por un mtriz ur e tmño n, one n es el número e vérties. i hy un rist entre un vértie y un vértie, entones el elemento m es, e lo ontrrio, es. Un grfo es onexo si pr e vérties está oneto por un mino; es eir, si pr ulquier pr e vérties (, ), existe l menos un mino posile ese hi. Un grfo es simple si hy sólo rist que une os vérties ulesquier. Nosotros sólo utilizremos los grfos simples. rists irigis y no irigis En lgunos sos es neesrio signr un sentio ls rists, por ejemplo, si se quiere representr l re e ls lles e un iu on sus ireiones únis. estos se le llm ígrfos. Ls rists no orients se onsiern iireionles pr efetos prátios (equivle eir que existen os rists orients entre los noos, un en un sentio). L mtriz e yeni e grfos simples on rists no orients siempre es simétri. Grfos poneros o etiquetos En muhos sos, es preiso triuir rist un número espeífio, llmo vluión, ponerión o oste según el ontexto, y se otiene sí un grfo vluo. or ejemplo, un representnte omeril tiene que visitr n iues onets entre sí por rreters; su interés previsile será minimizr l istni reorri (o el tiempo, si se pueen prever tsos). El grfo orresponiente tenrá omo vérties ls iues, omo rists ls rreters y l vluión será l istni entre ells. En los grfos interes reorrer ls rists pr llegr e un vértie otro. e llm mino o rut entre os vérties, y, to suesión e rists que onetn on, sieno l longitu el mino el número e rists que lo omponen. Ls potenis e l mtriz e yeni e un grfo permiten onoer el número e minos existentes entre ulquier pr e vérties e un etermin longitu. L mtriz e yeni e un grfo ini si existe o no un rist entre pr e vérties. L mtriz ini el número e minos e longitu entre os vérties ulesquier. e l mism form, l mtriz ini el número e minos e longitu y sí suesivmente. Tmién se puee estleer si existe o no un mino, no import l longitu, entre os vérties ulesquier on l mtriz = n-. ( n el número e vérties). en los grfos siguientes: IE. Frniso yl nuel Froufe

2 º TRIE Y GRFO IE. Frniso yl nuel Froufe ) Esri l mtriz e yeni soi los grfos y e l figur nterior. ol: ) i ls mtries y unen los noos numeros on ls etiquets,,, represente los grfos soios ihs mtries e yeni. ol: ) Relie l siguiente operión mtriil: ol:. llr uántos minos e longitu y onetn pr e vérties el grfo siguiente: ol: En e oserv que hy, por ejemplo, os minos e longitu que omunin on. el grfo se euen que son: -- y --. En e oserv que hy, por ejemplo, siete minos e longitu que omunin on. En el grfo poemos ver que lguno e ellos son: ---, ---, ---,. Entre los utros puelos,, y se estlee un líne e utouses tl omo viene represent en el siguiente grfo: ) Esrie su mtriz e yeni R. ) un signifio ls mtries R y R.

3 º TRIE Y GRFO IE. Frniso yl nuel Froufe ol: ) R ) R R R ini los minos, e longitu, que hy pr ir e un punto otro. or ejemplo hy un mino e longitu entre y : ; otro entre y : ; otro entre y :. No hy ninguno entre y, ni entre y. R ini los minos, e longitu, que hy pr ir e un punto otro. or ejemplo hy un mino (one hy un ) e longitu entre y : ; otro entre y : ; hy entre y : y. No hy ninguno (one hy un ) entre y, ni entre y. 4.,, y son utro plzs e un iu. El grfo siguiente ini ómo están omunis entre sí. Esri l mtriz e yeni soi l grfo: un signifio pr ls mtries, +, y + + ol:, 4 L mtriz ini ls ruts, e longitu (psno por un plz intermei), que hy pr ir e un plz otr. L mtriz + ini el número e ruts pr ir e un plz otr iretmente o psno por otr plz intermei. L mtriz ini ls ruts, e longitu (psno por os plzs intermeis), que hy pr ir e un plz otr. 5. el grfo junto otener, y y luego lulr = + +. euir e que no existen minos entre y, ni entre y. emás, que no está onet on ningún vértie, y no lo está on, y sin emrgo está oneto on toos los emás. ol: No existen minos entre y, ni entre y y que los elementos y. no está onet on ningún vértie y que to su fil son.

4 º TRIE Y GRFO 4 6. Un soiólogo h otenio, l estuir ls reliones e ominio en un grupo e seis persons, el igrfo e l figur. etermin quién tiene ontrol ireto o inireto sore quién. ol: L mtriz e yeni, es l mtriz e ominni iret, es l mtriz e ominni iniret e seguno oren, ominni iniret e terer oren, y sí suesivmente. i nos fijmos en tiene ontrol ireto (vlor ) en sore y e, e inireto e seguno oren sore (vlor ) en, e inireto e terer oren sore (vlor ) en.. En un instituto I hy lumnos e tres puelos,, y. L istni entre y es 6 km, l e es km, l e es km y l e I es 8 km. Un empres e trnsporte esolr he os ruts: l rut prte e y reorre suesivmente, e I; l rut prte e y reorre suesivmente, e I. (Los tos están en el grfo vluo junto) ) etermine l mtriz, x, que expres los kilómetros que reorren los lumnos e puelo por rut. Rut Rut ) El número e lumnos que siguen rut e puelo es: uelo : lumnos l rut y 9 lumnos l rut. uelo : 5 lumnos l rut y 8 lumnos l rut. uelo : 5 lumnos l rut y 9 lumnos l rut. etermine l mtriz N, x, que inique los lumnos que siguen rut e puelo. lumnos N lumnos lumnos Rut 5 5 Rut ) i l empres or éntimos por Km person, etermine l mtriz =. N, e interprete uno e sus elementos. p 65,4 lo que or l emprespor l R ,4 5,8 =. N =, p 44, lo que or l emprespor l R 95 4,4 44, p 5,8 no tienesentio. p 4,4 no tienesentio p 5,8 serí lo que orrí l empres si los lumnos e l R fuer por l R p 4,4 serí lo que orrí l empres si los lumnos e l R fuer por l R IE. Frniso yl 4 nuel Froufe

5 º TRIE Y GRFO 5 8. En un empres e friión e móviles hy tegorís e empleos:, y y se frin os tipos e móviles: y. irimente empleo e l tegorí fri 4 móviles el tipo y el tipo, mientrs que uno e l tegorí fri 5 móviles el tipo y 4 el tipo, y uno e l tegorí fri 6 móviles el tipo y 5 móviles el tipo. r frir móvil el tipo se neesitn os hips y 4 onexiones y pr frir móvil el tipo 4 hips y 6 onexiones. ) Esri un mtriz X, x, que esri el número e móviles e tipo y otr mtriz Y, e oren, que exprese el número e hips y onexiones e tipo e móvil. ol: : 4 : 5 4 : 6 5 y : 4 O : 4 6 O X Y 4 ) Relie el prouto e mtries X Y e inique qué expres iho prouto. X Y = = O O El prouto expres el número e hips y e onexiones totles que he empleo. 9. Un proveeor que suministr mteri prim fáris, F, G y, trnsport un prte e sus envíos fári por rreter y l otr prte por tren, según se ini en l mtriz T, uyos elementos son ls tonels e mteri prim que reie fári por ví e trnsporte. F T 4 G 5 5 rreter tren Los preios el trnsporte e tonel e mteri prim son euros por rreter y 8 euros por tren, omo ini l mtriz = (, 8). Explique qué operión ee efeturse on ests mtries pr eterminr un nuev mtriz uyos elementos sen los ostes e llevr este mteril l fári. ol: ee efeturse T ( El prouto T no porí relizrse) T ( oste F oste G oste ) 5. Un person tiene que omprr kg e mnzns, kg e iruels y.5 kg e plátnos y otr neesit.5 kg e mnzns,.5 e iruels y e plátnos. En l fruterí, los preios e ls mnzns son.8 euros/kg, los e ls iruels. y los e los plátnos.9 y en l fruterí son.,. y.5 respetivmente. e esrien ls mtries IE. Frniso yl 5 nuel Froufe

6 º TRIE Y GRFO y.8 N ) etermine N e inique qué represent uno e los elementos e l mtriz prouto. N = = Un 8.55 Otr ) En qué fruterí le onviene person her l ompr? oste e un en tien L un ee omprr en l fruterí y l otr le igul omprr en que en... Un frinte e proutos láteos, que vene tipos e proutos, lehe, queso y nt, os supermeros, y, h noto en l mtriz los pesos en kg e prouto que vene supermero y, en l mtriz, ls gnnis que otiene en supermero por kg e esos proutos triz : lehe queso nt 5 46 Efetúe el prouto 5 46 lehe queso nt 5 t 5 mtriz : lehe..5 queso nt 4.6. y explique el signifio eonómio e uno e los elementos e l igonl prinipl e l mtriz resultnte. lehe t..5 = = Los elementos e l igonl queso 4.6 Nt 5. prinipl represent ls gnnis totles el frinte en supermero iert fári e olonis posee tres mrs X, Y, Z, istriuyeno su prouión en utro tiens. Los litros lmenos en l primer tien vienen os por l siguiente mtriz: X gu e oloni erfume Eseni,6 Y 46,5, Z 8, L segun tien lmen el ole que l primer, l terer l mit y l urt el triple ué volumen e prouión se tiene lmen en totl? oluión: Los litros lmenos, según l mr y el tipo e oloni, en tien vienen os por ls mtries,,,5 y respetivmente, por lo que el totl e litros lmenos será: IE. Frniso yl 6 nuel Froufe

7 º TRIE Y GRFO + +,5 + = 6,5 = 6,5,6 46,5, 8, = X gu e oloni 4 erfume Eseni,9 Y 99 9,5, Z 5 9,5,65 umno por fil, otenrímos el totl e litros e tipo e oloni, y por olumns, el totl según l mr.. Tres solos G i, i =,,, trnsmiten un mensje otros utro i, i =,,, 4, según ini l siguiente mtriz R, one en l posiión (i,j) signifi que G i se h omunio on j ; un ini useni e relión. su vez, los i se hn reliono on otros i, i =,,, según muestr en l siguiente mtriz R : G R G G 4 R Efetú el prouto R R e interpret sus vlores. oluión: R R G G G Ls entrs otenis en R R representn el número e vís inirets por ls que los G i hn poio trnsmitir el mensje los i. En efeto, l multiplir, por ejemplo, l segun fil e R por l primer olumn e R result: =, es eir, G se omuni on trvés e los solos y. L interpretión es nálog pr el resto. 4. Un fári proue os moelos e ohes y, en tres os: GX, G y Ti. roue, l mes, el moelo :, y 5 unies en los os GX, G y Ti, respetivmente. roue el moelo : 5, 5 y unies e nálogos os. El o GX llev 5 hors e tller e hp y hors e montje. El o G llev 8 hors e tller e hp y e montje y el o Ti llev 8 y 5 hors e hp y montje, respetivmente. () Elor os mtries que ontengn l informión. () lul ls hors e tller e hp y e montje que son neesris pr uno e los moelos. oluión: ) L mtriz que nos informión el número e ohes frios l mes, según moelo y o es. L mtriz que nos ls hors e hp y montje, pr o, es N. hp ontje GX 5 G 5 Ti GX 5 N G 8 GTi 8 5 ) Ls hors e tller emples l mes pr moelo, ulquier que se el o, slen el prouto e N. 5 IE. Frniso yl nuel Froufe

8 º TRIE Y GRFO 8 N hp ontje Est mtriz nos proporion ls hors peis Un hipermero quiere ofertr tres lses e nejs:, y. L nej ontiene 4 g e queso mnhego, 6 g e roquefort y 8 g e memert; l nej ontiene g e uno e los tres tipos e queso nteriores; y l nej, ontiene 5 g e queso mnhego, 8 g e roquefort y 8 g e memert. i se quiere sr l vent 5 nejs el tipo, 8 e y e, otén mtriilmente l nti que neesitrán, en kilogrmos e un e ls tres lses e quesos. ol.- Orgnizmos los tos que tenemos en os mtries; su prouto nos l mtriz que usmos, on ls nties en grmos. i queremos ls nties express en kilogrmos, hremos: 4 R R ,6 5 6 R 5,6 6,6 6. Tres persons,,,, quieren omprr ls siguientes nties e frut: : kg e pers, kg e mnzns y 6 kg e nrnjs. : kg e pers, kg e mnzns y 4 kg e nrnjs. : kg e pers, kg e mnzns y kg e nrnjs. En el puelo en que viven hy os fruterís, F y F. En F, ls pers uestn,5 euros/kg, ls mnzns euro/kg, y ls nrnjs euros/kg. En F, ls pers uestn,8 euros/kg, ls mnzns,8 euro/kg, y ls nrnjs euros/kg. ) Expres mtriilmente l nti e frut (pers, mnzns y nrnjs) que quiere omprr person (,, ). ) Esrie un mtriz on los preios e tipo e frut en un e ls os fruterís. ) Otén un mtriz, prtir e ls os nteriores, en l que quee reflejo lo que se gstrí person hieno su ompr en un e ls os fruterís. oluión: ) N 6 4 ) F,5 N F,8,8 ) El prouto e ls os mtries nteriores nos l mtriz que usmos: N F 6,5 4 N F F,8 6,8 9,5 F 6,4, 9,4. Tres fmilis,,, y, vn ir e viones un iu en l que hy tres hoteles,, y. L fmili neesit hitiones oles y senill, l fmili neesit hitiones oles y un senill y l fmili neesit hitión ole y senills. En el hotel, el preio e l hitión ole es e 84 euros/í, y el e l hitión senill e 45 euros/í. En, l ole uest 86 euros/í, y el e l senill e 4 euros/í. En, l ole uest 85 euros/í, y l senill e 44 euros/í. ) Esrie en form e mtriz el número e hitiones (oles o senills) que neesit un e ls tres fmilis. ) Expres mtriilmente el preio e tipo e hitión en uno e los tres hoteles. ) Otén, prtir e ls os mtries nteriores, un mtriz en l que se refleje el gsto irio que tenrí un e ls tres fmilis en uno e los tres hoteles. IE. Frniso yl 8 nuel Froufe

9 º TRIE Y GRFO 9 oluión.- ) ) ) El prouto e ls os mtries nteriores nos l mtriz que usmos: Un empres tiene tres ftorís, F, F, F, en ls que se frin irimente tres tipos iferentes e proutos,, y, omo se ini ontinuión: F: unies e, 4 e y e. F: unies e, e y e. F: 8 unies e, 5 e y 4 e. uni e que se vene proporion un enefiio e 5 euros; por uni e, se otienen euros e enefiio; y por un e, euros. ieno que l empres vene to l prouión iri, otén mtriilmente el enefiio irio otenio on un e ls tres ftorís. oluión: Orgnizmos los tos que tenemos en os mtries; su prouto nos l mtriz que usmos: F F F F F 8 4 F 6 9. En un pstelerí elorn tres tipos e postres:, y, utilizno lehe, huevos y zúr (entre otros ingreientes) en ls nties que se inin: : /4 e litro e lehe, g e zúr y 4 huevos. : /4 e litro e lehe, g e zúr y huevos. : litro e lehe y g e zúr. El preio l que se omprn uno e los tres ingreientes es e,6 euros el litro e lehe, euro el kg e zúr, y, euros l oen e huevos. Otén mtriilmente el gsto que supone uno e estos tres postres (tenieno en uent solmente los tres ingreientes inios). oluión: El preio e litro e lehe es e,6 euros; el preio e grmo e zúr es e, euros; y el preio e huevo es e, euros. Orgnizmos los tos que nos n en os mtries; su prouto es l mtriz que usmos: L / 4 / 4 z 4 L,6,95 z,,6,,8 or tnto, el postre supone,95 euros, el,6 euros; y el,,8 euros. IE. Frniso yl 9 nuel Froufe