Conceptos básicos de la Teoría de Grafos

Transcripción

1 Mtemáti Disret y Lógi 2 Coneptos ásios e l Teorí e Grfos 1. Definiiones A menuo, uno se utiliz un mp e rreters interes oservr omo ir e un puelo otro por ls rreters inis en el mismo. En onseueni se tienen os onjuntos istintos e ojetos: puelos y rreters. Como y se h visto, estos onjunto e ojetos se pueen utilizr pr efinir un relión. Si V enot el onjunto e puelos y A el onjunto e rreters, se puee efinir un relión R en V por R si existe un rreter que un on y tl que (, ) A si R. Si son rreters e ole sentio y existe R se tiene tmién R. Si tos ls rreters onsiers son e ole sentio se tiene un relión simétri. Definiión 1.1 Se V un onjunto no vio y A V V. Entones el pr (V, A) se enomin grfo irigio (en V) o igrfo (en V) one V se llm onjunto e vérties o noos y A onjunto e rists. Esriimos G = (V, A). e Figur 1: Diujmos el grfo olono los vérties y lines on flehs por ls rists. L ireión e l rist (, ) se ini olono un fleh en el extremo. Pr ulquier rist, por ejemplo (, ), se ie que l rist es iniente on los vérties, ; es yente mientrs que es yente ese. Aemás se enomin origen o fuente e l rist y el término o vértie finl. Un rist (, ) se enomin lzo. Un vértie que no tiene ningun rist iniente se enomin vértie islo. Cuno no import l ireión e ls rists el grfo se enomin no irigio. En un grfo no irigio hy rists no irigis. Se iuj igul sin poner l fleh en l rist. En vez e enotr l rist on (, ) utilizmos onjuntos y enotmos l rist on {, }. En generl uno no se espeifi si un grfo G es o no irigio se supone que es no irigio. Si no ontiene lzos se enomin grfo sin lzos. 1

2 Figur 2: Deimos que y son yentes si hy rist {,}. Definiión 1.2 Se G = (V, A) un grfo no irigio. Pr x, y V se ie que hy un mino en G e x y si existe un suesión no vi finit e rists istints e A omo {x, x 1 }, {x 1, x 2 },..., {x n 1, x n }, {x n, y}. Cuno x = y el mino se enomin ilo. El número e rists e un mino (ilo) se enomin longitu el mino (ilo). e f Figur 3: Cuno un mino entre os vérties solo ps un vez por ulquier e ellos el mino se enomin simple. Iem los ilos. Pr un grfo irigio se utilizn los términos minos irigios y ilos irigios. Definiión 1.3 Se G = (V, A) un grfo no irigio. G se enomin onexo si existe un mino entre ulesquier os vérties istintos e G. Se G = (V, A) un grfo irigio. Su grfo no irigio soio es el otenio e G ignorno l ireión e ls rists. G se onsier onexo si lo es el grfo soio. Un grfo que no se onexo se enomin no onexo. Un grfo no onexo está ompuesto e suprtes que son onexs y que llmmos omponentes onexs. Un grfo es onexo si y solo si tiene un úni omponente onex. En l figur 4 tenemos un grfo no onexo on os omponentes. 2

3 e g f Figur 4: Teorem 1.4 Si G = (V, A) es un grfo onexo, entones existe un mino simple entre os vérties ulesquier e G. Demostrión. Como G es onexo, pr ulquier, V hy un mino e. Consieremos un mino: {, x 1 }, {x 1, x 2 },..., {x n 1, x n }, {x n, }. Si este mino no es simple se tiene el so: {, x 1 }, {x 1, x 2 },..., {x k 1, x k },..., {x m 1, x m },..., {x n, y} one x k = x m, pero entones {, x 1 }, {x 1, x 2 },..., {x k 1, x k }, {x m, x m+1 },..., {x n, y} es un mino más orto que repite un vértie menos, repitieno otenemos un mino simple. Definiión 1.5 Un grfo G = (V, A) se enomin multigrfo si pr, V, hs os o más rists e l form (, ) (pr un grfo irigio) o {, } (pr un grfo no irigio). Si hy k rists e se ie que l rist {, } tiene multiplii k. Pr n Z + un multigrfo se enomin n-grfo si ningun rist el grfo tiene multiplii myor que n. 2. Sugrfos, Complementos e Isomorfismo e Grfos Definiión 2.1 Si G = (V ; A) es un grfo (irigio o no irigio), G = (V, A ) se enomin sugrfo e G si V {}, V V y A A one rist e A es iniente on vérties e V. L figur 4 present un ejemplo e grfo formo por os sugrfos (no irigio). L figur 5 present un ejemplo e grfo formo por os sugrfos (irigio). L ie e sugrfo ofree un mner e esrrollr el omplemento e un grfo no irigio. Antes e herlo, se efine un tipo e grfo e tmño mximl pr un número o e vérties. Definiión 2.2 Se V un onjunto e n vérties. El grfo ompleto en V enoto por K n es un grfo no irigio, sin lzos, en el que pr ulquier, V, hy un rist {, }. 3

4 e g f Figur 5: Figur 6: Ls figurs 6 y 7 proporionn los grfos K n ompletos pr 1 n 4. Se oservrá l nlizr l ie e isomorfismo e grfos, que estos son los únios grfos ompletos posiles pr el número e vérties os. Definiión 2.3 Se G un grfo no irigio sin lzos e n verties. El omplemento e G, enoto por G es el sugrfo e K n formo por los n vérties e G y ls rists que no están en G. (Si G = K n, G es un grfo formo por n vérties y sin rists. Este se enomin grfo nulo. Definiión 2.4 Se G 1 = (V 1, A 1 ) y G 2 = (V 2, A 2 ) os grfos no irigios. Un funión f : V 1 V 2 se enomin isomorfismo e grfos si: 1. f es uno--uno y soreyetiv, y 2. pr too, V 1, {, } A 1 si y solo si {f(), f()} A 2 Cuno existe ih funión, G 1 y G 2 se enominn grfos isomorfos. L orresponeni e vérties e un isomórfismo e grfos mntiene ls yenis, e est mner se mntiene l estrutur e los grfos. En l figur 8 se muestr un grfo no irigio e 4 vérties y su omplemento. En el omplemento, el vértie está islo. 4

5 Figur 7: 3. Gro e un vértie: Cminos y Cilos e Euler Definiión 3.1 Se G un grfo o multigrfo no irigio. Pr ulquier vértie v e G, el gro e v, esrito gr(v) es el número e rists e G inientes on v. Teorem 3.2 Si G = (V, A) es un grfo o multigrfo no irigio, entones Σ v V gr(v) = 2 A. Demostrión. Según se onsier rist {, } el grfo G, l rist sum 1 gr() y gr() y por lo tnto 2 Σ v V gr(v). Asi, 2 A es el totl e Σ v V gr(v). Corolrio 3.3 Pr ulquier grfo o multigrfo no irigio, el número e vérties e gro impr ee ser pr. Demostrión. Supongo el número e vérties e gro impr es impr. Σ v V gr(v) = Σ v V,gr(v)pr gr(v) + Σ v V,gr(v)impr gr(v). El primer término Σ v V,gr(v)pr gr(v) tiene omo resulto un número pr (l sum e os pres es pr). El seguno término Σ v V,gr(v)impr gr(v) es pr si el número e vérties e gro impr es pr e impr si el número e vérties e gro impr es impr (l sum e os impres es pr, l sum e un número impr e impres es impr). Definiión 3.4 Un grfo o multigrfo no irigio one toos los vérties tienen el mismo gro se enomin grfo regulr. 5

6 Figur 8: Definiión 3.5 Se G = (V, A) un grfo o multigrfo no irigio. Se ie que G tiene un ilo e Euler si existe un ilo en G que pse por too v V (un o más vees) y por to rist el grfo extmente un vez. Si hy en G un mino e y este ps por too vértie (un o más vees) y por rist e G extmente un vez el mino se enomin mino e Euler. Teorem 3.6 Se G = (V, A) un grfo o multigrfo no irigio. Entones G tiene un ilo e Euler si y solo si G es onexo y too vértie e G tiene gro pr. Demostrión.Si G tiene un ilo e Euler, entones pr, V hy un mino e, l prte el ilo que omienz en y termin en, e hi que G se onexo. Se el vértie one omienz el ilo e Euler, pr ulquier otro vértie v e G, un vez que el ilo llegue él, prtir e ese vértie. Asi el ilo h pso por os rists inientes on v o por un lzo (nuevo) en v. En so se ñe 2 gr(v). Como v no es el vértie iniil se ñe 2 vez que el ilo ps por v e moo que gr(v) es pr. 6

7 Si onsiermos el vértie iniil, l primer rist ee ser istint e l últim (no se repiten rists) y pr ulquier otr rist que pse por ee her un rist istint iionl que pse por e one el gro e es pr. Reipromente, se G onexo on toos los vérties e gro pr. Si el número e rists e G es 1 o 2 ee ser omo el e l figur 9 Figur 9: En estos sos los ilos e Euler son inmeitos. Prosigmos por inuión, supongmos el resulto es válio si tenemos menos e n rists. Si G tiene n rists seleionemos un vértie e G omo punto iniil pr onstruir un ilo e Euler. Como G es onexo y vértie tiene gro pr se puee onstruir l menos un ilo C en G (si hy un lzo hy un ilo, si no hy lzos, onsiero un vértie, no puee estr islo porque el grfo es onexo, luego hy un rist entre y otro vertie. Como tiene gro pr hy rist que sle. Si est rist v onstrui un ilo. Sino v otro vértie e, sigo suesivmente lleno otros vérties. Como l nti e vérties es finit, en lgún momento eo volver lgún vértie por el que psé ntes (omo el gro e los vérties es pr y no repito rists, siempre que entro un vértie slgo por un rist istint). Luego tengo un ilo. Si el ilo ontiene tos ls rists e G se termin. En otro so, eliminense ls rists el ilo e G segurnose e suprimir los vérties islos. El sugrfo restnte K tiene toos los vérties e gro pr pero puee no ser onexo. Sin emrgo omponente e K es onex y tiene un ilo e Euler (hipótesis e inuión, ls omponentes tienen menos e n rists). Aemás estos ilos e Euler tienen un vértie en C. Vemos esto. Consieremos l omponente C 1 e K. Consieremos un vértie 1 en C 1. Como G es onexo hy mino entre 1 y toos los vérties v i el ilo C. Supongmos no hy vértie v i que pertenez C 1. Entones l eliminr rists y vérties perteneientes C, elimine ls rists que onetn C 1 y C, luego ests rists pertenein l ilo C y por lo tnto hy un vértie e C 1 que est en C. 7

8 En onseueni omenzno en se reorre C hst llegr l vértie 1 que está en el ilo e Euler e l omponente C 1 e K. Se reorre este ilo e Euler y volvieno 1 se ontinu en C hst llegr l vértie 2 e l omponente C 2 e K. Como G es finito, según se ontinu este proeso se onstruir un ilo e Euler pr G. Corolrio 3.7 Si G es un grfo o multigrfo no irigio, se puee onstruir un mino e Euler e G si y solo si G es onexo y tiene sólo os vérties e gro impr. Demostrión. Si G es onexo y y son los vérties e G e gro impr, ñse un vértie {, } G y ls rists e este vértie on y on. Ahor se tiene un grfo G 1 onexo on too vértie e gro pr. Por ello G 1 tiene un ilo e Euler C, l eliminr el vértie {, } e G 1 y ls rists inientes, se otiene un mino e Euler pr G, si el mino e Euler omienz en uno e los vérties e gro impr y termin en el otro. Reipromente, supongo G tiene un mino e Euler, luego os os vérties y ulesquier hy mino entre y e one G es onexo. Aemás el mino empiez en un vértie y termin en otro, supongo el vértie en el que empiez tiene gro pr (pr simplifir supongmos gro 2), luego omenzno en eo volver (pr reorrer tos ls rists yentes) y pr slir e eo repetir el reorrio e un e ls rists luego no puee tener gro pr (e igul form se eue el vertie finl tiene gro impr). 4. Cminos y ilos e Hmilton Definiión 4.1 Si G = (V, A) es un grfo o multigrfo se ie que G tiene un ilo e Hmilton si existe un ilo simple e G que onteng too vértie e V. Un mino e Hmilton es un mino simple e G que ontiene toos los vérties. Do un grfo on un ilo e Hmilton, l eliminión e ulquier rist en el ilo omo resulto un mino e Hmilton. Sin emrgo es posile que un grfo teng un mino e Hmilton sin tener un ilo e Hmilton. A ifereni e los ilos (minos) e Euler no existen oniiones neesris y sufiientes en un grfo G que grntien l existeni e un ilo (mino) e Hmilton. Ejemplo 4.2 Si G es el grfo e l figur 10, ls rists {, }, {, }, {, f}, {f, e}, {e, }, {, g}, {g, h}, {h, i} genern un mino e Hmilton pr G. Sin emrgo G no tiene ilo e Hmilton. Como G tiene nueve vérties, si hy un ilo e Hmilton en G, ee ontener nueve rists. Se omienz en el vértie y se intent onstruir un ilo e Hmilton. Por l simetrí el grfo, no import si se ps e o. Supongmos psmos. De se puee psr f o i. Supongmos psmos f. Entones se elimin l rist {, i} pues y no se puee volver l vértie. Pr inluir el vértie i en el ilo se ee psr e f i y e i h y luego g. Con ls rists {, f}, {f, i} en el ilo se elimin l rist {e, f}, pero un vez en e se pr, e hi que no hy un ilo e Hmilton pr el grfo. 8

9 e f g h i Figur 10: Sin emrgo hy oniiones neesris o sufiientes pr esto. Alguns sugerenis pr hllr un ilo e Hmilton: 1. Si G tiene un ilo e Hmilton, entones pr v V, gr(v) Si V y gr() = 2 entones ls os rists inientes on el vértie een preer en ulquier ilo e Hmilton e G 3. Si V y gr() > 2 entones un vez que se pse por, ls rists no utilizs inientes on se ejn e tener en uent. Teorem 4.3 Se K n un grfo irigio ompleto, es eir K n tiene n vérties y pr ulquier pr e vérties istintos x, y l menos l rist (x, y) o (y, x) está en K n. Diho grfo siempre ontiene un mino e Hmilton. Demostrión. Se m 2 on t m un mino simple que ontiene ls m 1 rists: (v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ),..., (v m 1, v m ). Si m = n se h termino, en otro so se v un vértie que no pree en t m. Si (v, v 1 ) es un rist e K n se puee mplir t m ñieno est rist. En otro so (v 1, v) ee ser un rist. Supóngse hor que (v, v 2 ) está en el grfo. Entones se tiene l tryetori myor: (v 1, v), (v, v 2 ), (v 2, v 3 ),..., (v m 1, v m ). Si (v, v 2 ) no es un rist e K n entones (v 2, v) ee serlo. Según ontinu este proeso hy solo os posiilies: 1. pr 1 k m 1 ls rists (v k, v), (v, v k+1 ) están en K n y se sustituye (v k, v k+1 ) por este pr e rists, o 2. (v m, v) está en K n y se ñe est rist t m. En ulquier so, otenemos omo resulto un mino simple t m+1 que inluye m+1 vérties y tiene m rists. Este proeso puee repetirse hst que se teng un mino e n vérties. Teorem 4.4 Se G = (V, A) un grfo sin lzos on V = n. Si gr(x) + gr(y) n 1 pr too x, y V, x y entones G tiene un mino e Hmilton. 9

10 Demostrión. Primero se emuestr que G es onexo. En otro so sen C 1, C 2 os omponentes e G on x, y V, x C 1, y C 2. Se C i on n i vérties, i=1,2. Entones gr(x) n 1 1 (hy lo más n 1 1 rists y que hy n 1 vérties, gr(y) n 2 1 y gr(x) + gr(y) n 1 + n 2 2 n 2 que ontrie l oniión en el teorem, en onseueni G es onexo. Ahor se onstruye un mino e Hmilton pr G. Pr m 2, se T m el mino {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 },..., {v m 1, v m } e longitu m 1 (si es neesrio se etiquetn e nuevo los vérties). Diho mino existe pues pr m = 2 lo unio que se neesit es un rist. Si v 1 es yente ulquier vértie v istinto e v 2, v 3,..., v m se ñe l rist {v, v 1 } t m pr otener t m+1. El mismo tipo e proeimiento se llev o si v m es yente un vértie istinto e v 1, v 2, v 3,..., v m 1. De est mner, si se puee extener t m t n se otiene un mino e Hmilton. En otr situión, el mino t m :{v 1, v 2 }, {v 2, v 3 },..., {v m 1, v m } tiene v 1, v m yentes sólo los vérties e t m y m < n. Cuno esto suee, se firm que G ontiene un ilo simple en estos vérties. Si v 1 y v m son yentes, el ilo es {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 },..., {v m 1, v m }, {v m, v 1 }. Si v 1 y v m no son yentes entones v 1 es yente un suonjunto S e los vérties e {v 2, v 3,..., v m 1 }. Si hy un vértie v t S tl que v m es yente v t 1 entones se puee otener el ilo ñieno {v 1, v t, {v t 1, v m } y eliminno {v t 1, v t } omo se muestr en l figur 11: v1 v(t 1) vt vm Figur 11: En otro so, se S = k < m 1. Entones gr(v 1 ) = k y gr(v m ) (m 1) k (v m no es yente v i pr v i+1 S) y se tiene l ontriión gr(v 1 ) + gr(v m ) m 1 < n 1. De hi que hy un ilo simple que onete v 1, v 2,..., v m. Se onsier hor un vértie v V que no se hlle en este ilo. Como G es onexo, hy un mino e v l primer vértie v r el ilo, omo en l figur 12 Eliminno l rist {v r 1, v r } (o {v 1, v t } si r = t se otiene un mino ms lrgo que el t m iniil. Aplino el proeso empleo en t m l mino resultnte, se ontinu inrementno l longitu el mino hst que inluy too vértie e G. Corolrio 4.5 Se G = (V, A) un grfo sin lzos on n vérties. Si gr(v) (n 1)/2 pr v V, entones G tiene un mino e Hmilton. Demostrión. Se umple l hipótesis el teorem nterior. 10

11 v v1 v(t 1) vt v(r 1) vr vm Figur 12: 11