2. LEYES DE VOLTAJES Y CORRIENTES DE KIRCHHOFF

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1 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF.. NTODUCCÓN Este pítulo trt e ls leyes e voltjes y orrientes e Kirhhoff llms KL y KCL respetivmente. KL estlee que l sum lgeri e ls ís e voltje en un seueni err e noos es ero. Así mismo KCL estlee que l sum lgeri e orrientes que entrn en un noo es igul ero. A prtir e estos os oneptos se erivn ls euiones requeris pr enontrr los equivlentes e elementos onetos en serie y en prlelo, sí omo ls reliones e los ivisores e voltje y orriente. Estos oneptos serán l se pr el nálisis e iruitos omplejos por los métoos e noos y mlls... CONCEPTOS BÁSCOS DE TOPOLOGÍA DE CCUTOS m epresentión e un elemento o iruito e os terminles. Noo Punto e onexión entre os o más rms o elementos. Cmino erro o lzo Conexión e rms trvés e un seueni e noos que omienz y termin en el mismo noo psno sólo un vez por noo (sin repetir rms). En los liros en inglés lo enominn loop. Mll Cmino erro (o lzo) en el ul no existen otros minos erros l interior. En los liros en inglés lo enominn mesh. e nteronexión e vrios elementos o rms. En los liros en inglés lo enominn network. Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

2 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Ciruito Es un re on l menos un mino erro. Corriente e m Es l orriente net en un rm. oltje e m Es l í e voltje entre los noos e un rm. Corriente e Mll Es l orriente fitii que se h efinio pr un mll. L sum lgeri e ls orrientes e mll que psn por l rm omo resulto l orriente e rm. Conexión Serie Conexión e elementos en l ul l orriente es l mism en toos los elementos. Esto se tiene l onetr el fin e un noo e un rm on el noo e iniio e l siguiente rm e l seueni. Conexión Prlelo Conexión e elementos entre os noos omunes (noo superior on noo superior y noo inferior on noo inferior) en l ul el voltje es el mismo en toos los elementos. Seueni e Noos Cerr Es un seueni e noos finit que omienz y termin en el mismo noo. Aquí no se requiere que hy un rm entre los noos. Ciruito Coneto Es quél en el ul noo puee ser lnzo ese otro noo por un mino trvés e los elementos el iruito... KCL LE DE COENTES DE KCHHOFF Do que l rg que entr un noo ee slir, y que ni se re ni se estruye rg en los noos, l rg net que entr en un noo es igul l que sle el mismo. De lo nterior se puee euir ls siguientes leyes pr l orriente:. L sum lgeri e orrientes e rm que entrn un noo es ero, en ulquier instnte e tiempo.. L sum lgeri e orrientes e rm que slen un noo es ero, en ulquier instnte e tiempo. De lo nterior se esprene el heho e que no se pueen tener fuentes ieles e orriente en serie..4. KCL LE DE COENTES DE KCHHOFF EN CUA GAUSSANA Un urv gussin es un urv err que ontiene en su interior vrios noos o rms y que ort en os lguns rms. En un urv gussin los os enunios nteriores pr los noos siguen sieno válios:. L sum lgeri e orrientes e rm que entrn en un urv gussin es ero, en ulquier instnte e tiempo. 4 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

3 .5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF. L sum lgeri e orrientes e rm que slen e un urv gussin, en ulquier instnte e tiempo..5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF. L sum lgeri e ís e voltje lreeor e un mino erro es ero, en ulquier instnte e tiempo.. Pr ulquier pr e noos j y k, l í e voltje e j k jk es: jk, en ulquier instnte e tiempo. Done j j k es el voltje e noo el noo j respeto l refereni, y k es el voltje e noo el noo k respeto l refereni.. Pr un iruito oneto un seueni e noos A-B-D- -G-P, l í e voltje en ulquier instnte e tiempo es: K 4. Pr un iruito oneto l sum lgeri e voltjes noo--noo pr un seueni e noos err es ero en ulquier instnte e tiempo. AP AB BD GP Ejemplo -. KL. Pr el iruito e l Figur - lulr x y y. Figur - Soluión Usno el mino erro ABCEFA KL: -x 7 5 x Usno el mino erro EDHCE KL: y 5 7 y Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 5

4 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Ejemplo -. Esritur e KL y KCL en sus istints forms. Figur - Pr el iruito e l Figur -:. Esriir os euiones pr un e ls utro forms e KL.. Esriir os euiones e KCL en os noos iferentes.. Esriir os euiones e KCL en os urvs gussins y emostrr que l orriente por l rm CH es ero.. Anlizr ómo puee ser CH si el elemento e est rm es un fuente e voltje, un resisteni o un fuente e orriente. Soluión Prte ) Form : Seleionmos el mino erro EFGH y lo reorremos en el sentio horrio, hieno que l sumtori e ís e voltje se igul ero: EF FG GH HE Ahor seleionmos el mino erro DCBAD y lo reorremos en el sentio ontr-horrio, hieno que l sumtori e ís e voltje se igul ero: DC CB BA AD Form : Clulmos l í e voltje en l rm AB omo AB A Ahor lulmos l í e voltje entre el noo A y el noo H: AH A Form : Seleionmos l seueni (no err) e noos ABCH y otenemos l í e voltje entre el noo A y el noo H: AB BC CH B H Form 4: Seleionmos l seueni err e noos BCHEB y lulmos los voltjes noo noo, que een sumr ero: AH 6 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

5 .5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF BC CH HE EB Nótese que entre E y B no hy rm pero l errr l seueni e noos l sum e voltjes ee ser ero. Poemos llegr este resulto plino ls otrs forms: primero esriimos l form pr el mino no erro BCHE lulno l í e voltje entre el noo B y E: Por l form tenemos: entones BC EB CH HE BE B E E B BE BE BC CH HE BE EB BC CH HE EB Prte ) Figur - Usmos ls orrientes e rm efinis en l Figur -. Aplimos KCL en el noo C hieno que l sum lgeri e orrientes que entrn se ero: Ahor plimos KCL en el noo H hieno que l sum lgeri e orrientes que entrn se ero: ( ) Lo ul es equivlente eir que ls orrientes efinis entrno son igules ls orrientes efinis slieno: 4 5 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 7

6 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Prte ) Figur -4 Usmos ls orrientes e rm y l urv gussin efinis en l Figur -4. Aplimos KCL en l urv hieno que l sum e orrientes que entrn se ero: Por lo tnto: ( ) ( ) De l prte () tenemos que, e mner que, lo que emuestr que l orriente en l rm CH es ero. Figur -5 Ahor seleionmos l urv gussin e l Figur -5 y lulmos KCL: Prte ) Si el elemento es un resisteni tenemos por ley e Ohm: CH ( ) ( ) CH Si el elemento es un fuente e voltje - (potenil más lto en C que en H) tenemos: CH C o H o 8 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

7 .5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF Si el elemento es un orto tenemos que el potenil en C y en H es el mismo y por tnto l í e voltje es ero: CH C H Si el elemento es un fuente e orriente o porímos tener un violión KCL, y que hemos emostro que. Ejemplo -. Apliión numéri e KL. Figur -6 Pr el iruito e l Figur -6 usr KL pr lulr CD, o, DH y BE. Soluión En el mino erro DABCD onoemos tos ls ís e voltje menos l e C D que es l que queremos enontrr, e mner que se puee plir l primer form e KL: ( 5 ) ( [ ]) ( 4 ) DA CD DC AB CD BC CD CD Pr lulr o prtimos el vlor e CD O CD : C D Pr lulr DH plimos l form tres e KL en el mino no erro DCH: O ( ) ( ) DH DC CH Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 9

8 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Ejemplo -4. KL. Pr el iruito e l Figur -7 enontrr ls ís e voltje y, w y z. Soluión mos plir KL en los minos erros BEFGCB pr enontrr y; luego ADCGFA pr enontrr w y ABEFA pr enontrr z. y y 5 y w w 8 z y z ( ) z Figur -7 Ejemplo -5. Apliión e KCL en álulo e voltje e un noo. Pr el iruito e l Figur -8 lulr el voltje e noo el noo B usno KCL. Soluión Figur -8 Se efinen ls orrientes que entrn l noo B omo se muestr en l siguiente figur y luego se pli KCL: Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

9 .5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF Figur -9 Do que el noo C es l tierr o refereni su voltje es ero: C Por lo tnto el voltje el noo A es o. L orriente C es igul L. Ahor se luln ls orrientes e usno l ley e Ohm: B ; O De mner que l euión e KCL que: B O B B L Despejno B tenemos: B O L Ejemplo -6. KCL, KL. Pr el iruito e l Figur - enontrr:., 4, 6 si se se que 5..,, 4, 6 si se se que 5.. x, y y z si r, s y z. Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

10 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Soluión Prte ) Figur - KCL en noo B: KCL en noo C: KCL en noo D: Como prue poemos her el noo A: KCL en noo A: 5 6 ( ) Prte ) KCL en noo A: KCL en noo B: Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

11 .5. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF KCL en noo C: KCL en noo D: En form mtriil: 4 6 El ul tiene omo soluión: 4 6 Prte ) KL en mll ABDA: AB BD DA KL en mll ADCA: AD DC CA s z x x y r ( ) x x KL en mll BCDB: ( ) ( ) y y Como prue poemos her l mll ABCA: BC CD DB AB BC CA t y z s t r t ( ) ( ) ( 5) ( ) t 5 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

12 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF.6. ESSTENCA EQUALENTE DSOES.6.. ESSTENCA EN SEE DSO DE OLTAJE L figur. muestr un iruito e un fuente e voltje x onet tres resistenis en serie. Por l ley e Ohm ls ís e voltje en resisteni, y son, y respetivmente. De uero KL y l ley e Ohm tenemos: De one ( ) x x x x x Pr j, y se tiene: x x j j x j x j x Est últim relión se onoe omo el ivisor e voltje. Figur - El iruito e l figur. es equivlente ese el punto e vist e l fuente x l e l figur.. L resisteni vist por l fuente se enomin resisteni equivlente y se lul omo: Así Por lo tnto eq eq x x x x eq Lo ul ini que l resisteni equivlente e un grupo e resistenis en serie es l sum e ls resistenis. 4 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

13 .6. ESSTENCA EQUALENTE DSOES.6.. ESSTENCA EN PAALELO DSO DE COENTE L Figur - muestr un iruito e un fuente e voltje x onet os resistenis en prlelo. Figur - De uero KCL y l ley e Ohm tenemos: X o que ls resistenis están en prlelo on l fuente X : X X X X De one X X X eq Por lo tnto eq Lo ul ini que el inverso e l resisteni equivlente e un grupo e resistenis en prlelo es l sum e los inversos e un e ls resistenis. Sieno que l onutni G es / tenemos: G eq G G Lo ul ini que l onutni equivlente e un grupo e resistenis en prlelo es l sum e sus respetivs onutnis. Pr j y se tiene: X eq X G j G G j j X G G Est últim relión se onoe omo el ivisor e orriente. X j j eq j Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 5

14 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Ejemplo -7. esisteni Equivlente. Enontrr l resisteni equivlente eq pr el iruito e l figur, si Ω, Ω, Ω, 4 5 Ω. Soluión Figur - Figur -4 El iruito () es equivlente l () y que los noos B y D son uno solo. Por lo tnto: eq [( ) 4 ] [( //) 5] // [ 5 5] // // // // Ω Ω 6.7Ω Ejemplo -8. esisteni equivlente y esisteni vist por l fuente. Pr el iruito e l Figur -5 enontrr l resisteni equivlente vist por l fuente:. hieno onversión e resistenis.. lulno eq /. 6 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

15 .7. CONESÓN DELTA ESTELLA ((-) Figur -5 Soluión Prte ) El iruito mostro en l Figur -6 es equivlente l e l Figur -5. Prte ) Figur -6 eq // // / / Hieno KCL en el noo B: eq / Hieno KCL en el noo A: ( A) / ( A) / ( A) / ( A) / ( A) / ( -A)/ (-A)/ ( A) / - A/ A / ( A) / ( (/)) / / eq / / (/) /.7. CONESÓN DELTA ESTELLA (Δ ) Alguns onexiones entre elementos no se enuentrn ni en serie ni en prlelo, e mner que es más ifíil enontrr su equivlente. Este es el so e ls onexiones elt-estrell omo l mostr en l siguiente figur. Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 7

16 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Figur -7 Pr enontrr l resisteni equivlente se puee usr KL o KCL, pero en lgunos sos result más senillo her l onversión elt-estrell que se muestr ontinuión. L ie el proeimiento es reemplzr un iruito en onfigurión estrell omo el e l figur 5. por uno que e un resulto equivlente pr los noos ABC omo el mostro en l figur 5. que es un onexión en elt. Otr posiili es psr el iruito en elt l equivlente en estrell. Pr esto se plin ls reliones presents ontinuión: Figur -8 Tl -. Conversiones Delt-Estrell. Cso generl. Conversión Delt Estrell Conversión Estrell Delt δ δ δ δ λ λ λ λ ) ) 8 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

17 .7. CONESÓN DELTA ESTELLA ((-) En el so e que ls tres resistenis sen igules reemplzno en ls fórmuls e l Tl -. tenemos omo resulto los vlores e l Tl -.: Tl -. Conversiones Delt-Estrell. esistenis igules. Conversión Delt Estrell Conversión Estrell Delt δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ λ Δ Δ ) ) Como se puee ver pr resisteni igules l onversión entre elt y estrell es muy senill: Δ Este es un resulto muy útil que será utilizo freuentemente en los iruitos trifásios on rg lne. Ejemplo -9. esisteni Equivlente elt-estrell. Pr el siguiente iruito enontrr l resisteni equivlente eq entre los noos A y B, si tos ls resistenis vlen, usno:. KL o KCL.. Conversión elt-estrell. Figur -9 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 9

18 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes Soluión Prte ) Figur - Noos Noo B: Tierr: Noo A: Noo C: KCL: () Noo D: KCL: () eemplzno () en () se otiene:

19 .7. CONESÓN DELTA ESTELLA ((-) Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes 6 En el noo A se puee plnter l siguiente euión: eq

20 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF Prte ) Figur - Prtimos el iruito () one tos ls resistenis vlen. En () onvertimos ls resistenis interns que están en estrell elt, e mner que ls nuevs resistenis vlen. Luego en () hemos el prlelo e ls resistenis externs on ls interns (//) /4. En () summos en serie ls resistenis entre AD y DB tenieno /. Finlmente en e hemos el prlelo entre / y /4 tenieno un equivlente finl e /, igul que lo enontro en l soluión e l prte (). Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

21 .8. SMULACONES.8. SMULACONES.8.. KCL LE DE COENTES DE KCHHOFF Figur - Desripión Est simulión pretene mostrr l Ley e Corrientes e Kirhhoff, prtir e l oservión e ls orrientes que entrn un noo luego e vrir los voltjes e ls fuentes. El estuinte porá ver omo mi l ireión e l orriente rel y omo ls orrientes tomn vlores positivos negtivos on respeto l ireión efini iniilmente omo positiv y omo l sum e tles orrientes siempre es ero. Uso eutivo Est simulión se present omo un omplemento l lse presenil, pr estuintes e primeros semestres e ngenierí Elétri, Eletróni y Meáni. Un vez los estuintes mnejn los oneptos e noo, voltje, orriente y leyes e Kirhhoff, intertún on el reurso estleieno los vlores e los voltjes e ls fuentes, pr luego visulizr ls ireiones reles el flujo e orriente en el iruito y el voltje que quiere el noo nlizo. Se pueen plnter ejeriios en los que el estuinte e omprr l simulión nte iferentes vlores e voltjes, on el fin e ompror lo enunio en l Ley e Corrientes e Kirhhoff. Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

22 . LEES DE OLTAJES COENTES DE KCHHOFF.8.. KL LE DE OLTAJES DE KCHHOFF Figur - Desripión Est simulión pretene mostrr l Ley e oltjes e Kirhhoff. A prtir e l oservión e toos los voltjes e rm se puee ompror que l sum e ís e voltje en un mino erro es igul ero, inepenientemente e los vlores que tomen ls fuentes y e que los voltjes e rm tomen vlores positivos o negtivos. Uso eutivo Est simulión se present omo un omplemento l lse presenil, pr estuintes e primeros semestres e ngenierí Elétri, Eletróni y Meáni. Un vez los estuintes mnejn los oneptos e mino erro o lzo, í e voltje, voltje e rm y KL, intertún on el reurso estleieno los vlores e los voltjes en un iruito pr luego visulizr el vlor e los voltjes en ls rms. Finlmente, omo pliión e l Ley e voltjes e Kirhhoff, el estuinte puee ver l sum e ls ís e voltje en los minos erros efinios es igul ero. 4 Antonio José Slzr Gómez Universi e los Anes

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