3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS

Transcripción

1 . NÁ PO NOO Y.. NTOUÓN onoer pr d un de ls rs de un iruito sus voltjes de r y sus orrientes de r perite relizr todos los álulos requeridos en el iruito. Un ner de lulr estos vlores es l pliión de ls leyes de Kirhhoff, l ley de Oh y el prinipio de onservión de poteni. En el iruito de l Figur - teneos siete rs y seis nodos. Por tnto tendreos tore vriles: siete voltjes de r y siete orrientes de r. i un de ls vriles de ls rs es onoid, por ejeplo si l r orresponde un fuente de voltje onoid y ls deás son resistenis onoids, tendríos tree inógnits. e ner que deeos esriir tree euiones. Pr otenerls podeos her: dos de K pr los dos inos errdos y EH, seis de K pr los seis nodos, seis de l ley de Oh pr ls seis rs (resistenis) y un pr l onservión de poteni. Esto nos d un totl de euiones. Entre tods ests posiiliddes, uáles seleionr pr tener un onjunto de tree euiones linelente independientes on tree inógnits? Figur - os étodos de nálisis de nodos y lls son herrients que periten l pliión orgnizd y sisteáti de ls leyes de Kirhhoff (K o K) pr resolver proles oplejos on un núero de inógnits y euiones linelente independientes uy reduido. En el étodo de nálisis de nodos nos interes onoer los voltjes de nodo pr d nodo del iruito. En el étodo de nálisis de lls nos interes onoer ls orrientes de ll pr d ll del iruito. prtir de ests vriles ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 5

2 . NÁ PO NOO Y lulds (voltje de nodos o orrientes de ll) se pueden lulr todos los voltjes de r y tods ls orrientes de r: los voltjes de r se luln oo l difereni entre los voltjes de nodos de los dos nodos de l r; ls orrientes de r oo l su lgeri de ls orrientes de lzo que psn por l r. En el ejeplo de l Figur -, por el étodo de nálisis de nodos, tendríos seis inógnits (seis nodos), los ules se onvierten en ino si uno de los nodos es el de refereni. Por el étodo de lzos on tn solo dos inógnits (orrientes de ls dos lls) y dos euiones serí sufiiente. Es iportnte notr que on ninguno de los dos étodos teneos el totl de ls vriles diretente, pero se pueden lulr fáilente prtir de ells utilizndo K y K... NÁ PO NOO En el nálisis por nodos se prte de l pliión de K d nodo del iruito pr enontrr l finl todos los voltjes de nodo del iruito. Pr que el siste de euiones se onsistente dee her un euión por d nodo. sí el núero de inógnits (voltjes de nodo) es igul l núero de euiones (un por nodo). e uerdo l tipo de iruito y l for en que se seleione el nodo de refereni se pueden tener distints posiiliddes de onexión de ls fuentes: Fuentes de orriente independientes Fuentes de orriente ontrolds Fuentes de voltje independientes tierr Fuentes de voltje independientes flotntes Fuentes de voltje ontrolds tierr Fuentes de voltje ontrolds flotntes egún lo nterior hy vris ners de resolver un iruito por el étodo de nodos. El étodo que llreos generl pli los sos de iruitos on fuentes de orriente independientes y fuentes de voltje independientes tierr. Este étodo NO pli los iruitos que tienen:. fuentes flotntes de voltje (se us el étodo de supernodos). fuentes ontrolds de orriente o voltje (se deen esriir ls euiones de dependeni de l vrile ontrold y ontroldor) i el iruito solo tiene fuentes de orriente independientes entones se pli el étodo generl por el siste lldo de inspeión... NÁ PO En el nálisis de lls se prte de l pliión de K un onjunto ínio de lzos pr enontrr l finl tods ls orrientes de lzo. prtir de ls orrientes de lzo es posile enontrr tods ls orrientes de r. El núero de lzos que se pueden plnter en un iruito puede ser uy grnde, pero lo iportnte es que el siste de euiones represente un onjunto ínio de lzos independientes. 6 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

3 .. NÁ PO Este onjunto ínio es ulquier en el ul todos los eleentos (rs) hyn sido tenidos en uent en l enos un ll. s otrs posiles lls serán entones redundntes. quí tién el núero de inógnits (orrientes de lzo) dee ser igul l núero de euiones (un por ll del onjunto ínio). e uerdo l tipo de iruito y l for en que se seleionen ls lls se pueden tener distints posiiliddes de onexión de ls fuentes: Fuentes de orriente ontrolds Fuentes de voltje independientes Fuentes de voltje ontrolds Fuentes de orriente independientes no oprtids por vris lls Fuentes de orriente independientes oprtids por vris lls egún lo nterior hy vris ners de resolver un iruito por el étodo de lls. El étodo que llreos generl pli los sos de iruitos on fuentes de voltje independientes y fuentes de orriente independientes no oprtids por vris lls. Este étodo NO pli los iruitos que tienen:. Fuentes de orriente independientes oprtids por vris lls (se us el étodo de superll). fuentes ontrolds de orriente o voltje (se deen esriir ls euiones de dependeni de l vrile ontrold y ontroldor) i el iruito solo tiene fuentes de voltje independientes entones se pli el étodo generl por el siste lldo de inspeión. El núero ínio de lzos independientes que hy que definir pr tener un siste de euiones linelente independientes que se deen tener está ddo por l siguiente relión: # zos independiente # rs # nodos Pr que un onjunto de lzos se independiente se requiere que en d uno de ellos exist l enos un eleento que hg prte de los otros lzos. Ejeplo -. dentifiión de zos y lls.. Pr el iruito de l Figur -:. dentifir los nodos y ls rs.. iujr o identifir todos los lzos diferentes posiles. d. iujr o identifir tods ls lls. e. iujr o identifir un onjunto de lzos independientes que se diferente l onjunto de lls. ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 7

4 . NÁ PO NOO Y Figur - oluión Figur - Prte ) Este iruito tiene utro nodos que heos denoindo en l Figur -,, y. Nótese que los quieres de ls línes no onstituyen neesriente nodos, pues no siepre hy unión de dos o ás rs. Teneos seis rs:,,,, y. Prte ) os lzos son los inos errdos del iruito. En este so serín:,,,,,,. Prte ) El núero de lls es igul l de lzos independientes: # lls # lzos independientes # rs # nodos 6 Ests lls son los lzos que no ontienen otros lzos su interior:, y. Prte d) Pr tener un onjunto de lzos independientes se requiere que l enos un r de d lzo no pertenez los otros lzos que onforrán los lzos independientes. oo nos piden un onjunto de lzos independientes y seos que deen ser tres (oo el núero de lls). Podeos oenzr por seleionr un lzo ulquier y luego ir usndo otros que sen independientes. 8 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

5 .. NÁ PO os seleionr el lzo iniil. oo no heos diiondo ningún otro lzo l onjunto es evidente que este es independiente. hor seleionos el segundo lzo independiente hiendo que un de sus rs no esté en el prier lzo. Un ndidto puede ser y que l r no está en el prier lzo. hor hy que seleionr un terer lzo que teng un r que no esté en los dos prieros. El lzo exterior tiene l r que no está en los dos lzos nteriores, de ner que sí teneos el onjunto desedo de tres lzos independientes. Evidenteente este étodo pr enontrr los lzos independientes es ás oplejo que el de l lls. Ejeplo -. nálisis por lls. Enontrr un siste de euiones de lls pr el siguiente iruito. oluión ll : Figur - ll : E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 9

6 . NÁ PO NOO Y ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes Euión triil: ( ) ( ) ( ) ( ) oluión Euión triil: ( ) ( ) ( ) / / E E E E ) ( ) ( ( ) [ ] / ( ) [ ] / ( ) / Ejeplo -. nálisis por lls. Enontrr el siste de euiones de lls pr el siguiente iruito. Figur -5

7 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes oluión ll : E E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ll : E E E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ll : E E E ( ) ( ) ( ) ( ) En for triil: Ejeplo -. nálisis por zos, lls (superll) y rile uxilir. Pr el iruito de l Figur -6 enontrr un siste de euiones y lulr l orriente por los siguientes étodos:. Pr l figur () herlo usndo ls dos lls y l vrile uxilir x.. Pr l figur () herlo usndo ls orrientes de ll y l superll indids.. Pr l figur () usr ls orrientes de lzo indids.

8 . NÁ PO NOO Y () () () Figur -6 oluión Prte ) e define un vrile uxilir de voltje x en l fuente de orriente oprtid por ls dos lls y se plnten ls siguientes euiones: estriión: ll : ll : eeplzndo x en l ll teneos: Est euión ás l de l restriión en for triil será: ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

9 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes Prte ) e tienen dos euiones: un de l restriión de orriente en l fuente y otr lulndo K pr el ino definido por l superll pero usndo ls orrientes de ll definids. estriión: uperll: For triil: hor podeos lulr sí: Prte ) ll : ( ) ( ) ll : For triil:

10 . NÁ PO NOO Y hor podeos lulr sí: Nótese que en los tres sos l orriente vle lo iso y orresponde l orriente por. in ergo en el so () l orriente por orresponde l su de dos orrientes de lzo ( ), ientrs que en () y () orresponde diretente l orriente de ll que ps por ell ( ). Ejeplo -5. nálisis por Nodos. Enontrr un siste de euiones de nodos pr el iruito ostrdo en l siguiente figur. oluión Figur -7 oo se verá los nodos,, y E no requieren l pliión de K y sus vlores se luln diretente. e ner que solo hy que esriir un euión de nodos pr el nodo. Nodo E: Toos oo refereni el nodo E: Nodo : E Nodo : E E E E ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

11 .. NÁ PO Nodo : Nodo : E E ( ) ( ) ( ) Ejeplo -6. nálisis por Nodos Fuentes de oltje Tierr. Enontrr el siste de euiones de nodos pr el iruito de l Figur -8. oluión Figur -8 do que l refereni es el nodo y que ls fuentes de voltje están tierr, solo se requiere plir K los nodos y. Nodo : e to oo refereni Nodo : Nodo E: E ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 5

12 . NÁ PO NOO Y 6 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes Nodo : (orrientes que slen igul ero) Nodo : (orrientes que slen igul ero) 5 E En for triil teneos: ( ) ( ) 5 / / / / / / / / / / O Ejeplo -7. nálisis por Nodos Fuentes de oltje Tierr y Fuentes de orriente. Enontrr el siste de euiones de nodos pr el iruito de l Figur -9. Figur -9 oluión Nodo : e to oo refereni Nodo : En este so solo los nodos y requieren plir K.

13 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 7 Nodo : (orrientes que slen igul ero) ( ) ( ) ( ) Nodo : (orrientes que slen igul ero) ( ) 5 5 En for triil teneos: ( ) ( ) O 5 / / / / / / / / Ejeplo -8. nálisis por Nodos Fuentes de orriente Tierr o Flotntes. Enontrr el siste de euiones de nodos pr el iruito de l Figur -. Figur - oluión En este so solo los nodos, y requieren plir K.

14 . NÁ PO NOO Y 8 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes Nodo : e to oo refereni Nodo : (orrientes que slen igul ero) Nodo : (orrientes que slen igul ero) Nodo : (orrientes que slen igul ero) En for triil: O / / 5 / / / /

15 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 9 Ejeplo -9. nálisis por Nodos Fuentes de oltje Flotntes. Enontrr el siste de euiones de nodos pr el siguiente iruito. () () Figur - oluión En este so se tienen utro nodos, de ner que l seleionr el nodo oo refereni el siste se redue tres nodos:, y. Pr el nodo se esrie l euión orrespondiente K de l ner trdiionl. in ergo pr los nodos y no se puede her lo iso, de ner que teneos tres inógnits y un euión. Pr enontrr dos euiones diionles se proede esriir l euión de K del supernodo (orrientes que entrn en l urv gussin ostrd) en funión de los voltjes de nodo de los nodos, y. terer euión result de l restriión que ipone el supernodo: l íd de voltje en l fuente orresponde l difereni de potenil entre los dos nodos y. Nodo : (orrientes que slen igul ero) K en el supernodo: (orrientes que slen igul ero) estriión en el supernodo:

16 . NÁ PO NOO Y En for triil: / / / / 5 / / O Ejeplo -. nálisis por Nodos upernodos on fuente ontrold. Plnter ls euiones de nodos pr el iruito de l Figur -. oluión Figur - do que el nodo es tierr y que ls fuentes de voltje (independiente y ontrold) tienen un onexión diret ese nodo ls dos fuentes de voltje son flotntes. Por tnto es neesrio plnter un supernodo. oo uestr l siguiente figur un supernodo que toe ls dos fuentes l tiepo puede servir. Nodo : Figur - 5 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

17 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 5 K en el supernodo: (orrientes que slen igul ero) estriiones: ) / ) k k k k ) Poniendo en for triil: ( ) / / / k Ejeplo -. nálisis por Nodos y lls. Plnter ls euiones en for triil pr el iruito de l Figur - por los siguientes étodos:. nálisis de lls.. nálisis de nodos.

18 . NÁ PO NOO Y Figur - oluión Prte ) Figur -5 En este iruito teneos dos lls posiles, de ner que deeos tener un siste de euiones de x. os utilizr ls dos lls ostrds en l Figur -5 on sus respetivs orrientes de ll. do que ls dos lls tienen un fuente de orriente oprtid deeos tener un restriión en est fuente y her un superll (ino errdo externo del iruito). Por otr prte, ddo que hy un fuente ontrold se dee lulr priero l vrile ontroldor en térinos de ls vriles del siste (orrientes de ll). estriión en l fuente oprtid: Figur -6 o lulo de vrile ontroldor x en : Figur -7 Teniendo en uent l onvenión psiv de signos l ley de Oh en será: 5 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

19 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 5 [ ] K en l uperll: [ ] ( ) Poniendo l restriión y l superll en for triil teneos: Prte ) Figur -8 En este iruito teneos ino nodos, los ules se uestrn en l Figur -8. eleionndo el nodo E oo refereni ( E ) se onoe el nodo y que l fuente o estrí tierr: ( ). e ner que de los ino nodos nos quedn tres por lulr (siste de x). fuente de voltje ontrold será un fuente flotnte y se lul on K en un supernodo y gener un restriión. Nuevente se dee lulr l vrile ontroldor x pero est vez en funión de los voltjes de nodos que l definen en. lulo de vrile ontroldor x en : estriión en l fuente flotnte: ( ) K en nodo :

20 . NÁ PO NOO Y 5 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes upernodo: Figur -9 En for triil teneos: Ejeplo -. nálisis por Nodos y lls. Plnter ls euiones de nodos y lls pr el iruito de l Figur - por los siguientes étodos:. nálisis de nodos.. nálisis de lls. Figur -

21 .. NÁ PO oluión efinios los nodos y lls que vos utilizr en l Figur -: Prte ) Figur - Nodo : Tierr: d Nodo : 5 Nodo : K: Nodo : 5 d 5 Prte ) ll : ( ) ( ) 5 5 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 55

22 . NÁ PO NOO Y k x ll : x k k k k ll : x ( ) ( ) ( ) prtir de ls euiones de lls se otiene l siguiente triz: k k 5 Ejeplo -. nálisis por Nodos y lls. Pr el iruito de l Figur -:. eleionr un nodo de refereni y plnter los vlores o euiones pr los deás nodos pr poder desriir opletente el siste. esolver ls euiones resultntes.. Plnter un siste de euiones de ll que perit desriir el siste. esolver ls euiones.. Plnter un siste de euiones de orrientes de lzo de ner que pse un sol orriente de lzo por l fuente de orriente. Figur - 56 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes

23 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 57 oluión Prte ) En l Figur - se uestrn los nodos epledos, se elige oo nodo de refereni el nodo. Figur - Euiones de nodos: Nodo : Tierr: Nodo : Nodo : Nodo : K: ( ) d d d d d d d Prte ) En l Figur - se uestrn ls lls utilizr pr resolver el siste.

24 . NÁ PO NOO Y 58 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes Euiones de lls: ll : estriión: uperll: En for triil: Prte ) En l siguiente figur se uestrn ls lls utilizr pr resolver el siste. quí es l úni orriente de lzo que ps por l fuente de orriente. Figur - Euiones de lls: ll :

25 .. NÁ PO ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 59 ll : ll : ( ) ( ) ( ) ( ) Ejeplo -. nálisis por lls. Pr el iruito de l Figur -5 enontrr un siste triil de lls de l for: Figur -5 oluión s orrientes epleds pr plnter ls euiones de lls se presentn en l Figur -6 Figur -6 Euiones de lls:

26 . NÁ PO NOO Y 6 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes ll : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ll : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ll : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () eeplzndo () en () ( ) ( ) ( ) () eeplzndo () en () ( ) ( ) ( ) (5) on ls euiones () y (5) se otiene el siguiente siste triil: ( ) ( ) ( ) ( )

27 .. UONE.. UONE... NÁ PO NOO Figur -7 esripión Est siulión ilustr el étodo de nálisis de iruitos por el étodo de nodos, sdo en l pliión de l ey de orrientes de Kirhhoff, pr llegr enontrr los voltjes de nodo. El estudinte podrá ver oo i l direión de l orriente rel y oo ls orrientes ton vlores positivos negtivos on respeto l direión definid iniilente oo positiv y oo l su de tles orrientes siepre es ero. Podrá opror tién que ls orrientes en ls resistenis se pueden lulr prtir de los voltjes de los nodos. Uso edutivo Est siulión se present oo un opleento l lse presenil, pr estudintes de prieros seestres de ngenierí Elétri, Eletróni y eáni. Un vez los estudintes nejn los oneptos de nodo, voltje, orriente y leyes de Kirhhoff, intertún on el reurso estleiendo los vlores de los voltjes y orrientes de ls fuentes, pr luego visulizr ls direiones reles del flujo de orriente en el iruito y el voltje que dquiere d nodo nlizdo. e pueden plnter ejeriios en los que el estudinte de oprr l siulión nte diferentes vlores de voltjes, on el fin de opror lo enunido en l ey de orrientes de Kirhhoff. ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes 6

28 . NÁ PO NOO Y... NÁ PO Figur -8 esripión Est siulión pretende ostrr l relión entre orriente de r y orrientes de ll. prtir de l oservión de ls orrientes de ll podrá deduir ls orrientes de r y ver uándo ton ests orrientes vlores positivos o negtivos. diionlente puede oservr oo pr un ll l su de íds de voltje siepre vle ero. Un nálisis de K pr ls dos lls perite explir el étodo de nálisis por lls. Uso edutivo Est siulión se present oo un opleento l lse presenil, pr estudintes de prieros seestres de ngenierí Elétri, Eletróni y eáni. Un vez los estudintes nejn los oneptos de ll, voltje, orriente de r y orriente de ll y K, intertún on el reurso estleiendo los vlores de los voltjes en un iruito pr luego visulizr el vlor de ls orrientes en ls lls y rs. Finlente, oo pliión de l ey de oltjes de Kirhhoff, el estudinte puede ver el vlor totl de ls orrientes en ls lls que oponen el iruito. oo un ejeriio que opñ l siulión, se puede proponer l estudinte relizr nulente el ejeriio resolviendo ls euiones de ls lls y l euión triil resultnte, pr finlente oprr su resultdo on l siulión. 6 ntonio José lzr Góez Universidd de los ndes