Control Eléctrico y Accionamientos Electrotecnia Corriente Continua ÍNDICE

Transcripción

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2 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu ÍNDCE Temrio. Págin Mgnitudes Elétris. Leyes Fundmentles. Ley de Ohm. 5 Leyes Fundmentles. Leyes de Kirhoff. 8 Trjo Elétrio. Poteni Elétri. 9 Fuentes de Tensión. Fuentes de Corriente. Asoiión de esistenis en Serie. Asoiión de esistenis en Prlelo. Trnsformiones Estrell-Triángulo. (Kennelly) esoluión de Ciruitos por eduión de esistenis. 5 esoluión de Ciruitos en Generl. 5 esoluión de un Ciruito por l Apliión Simultáne de ls Leyes de Kirhoff. 6 esoluión de un Ciruito por el Método de ls Corrientes de Mll. 7 esoluión de un Ciruito por el Método de ls Tensiones Nodles. 8 Teorems de Ciruitos. Teorem de Superposiión de Efetos. 9 Teorem de Thevenin. Teorem de Norton. Prolems esueltos y Explidos.

3 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Mgnitudes Elétris: El volumen tómio determin l estrutur retiulr y ristlin de un sustni y l distni de los distintos átomos entre sí. En los metles, los eletrones de l p extern se presentn en l red omo eletrones lires. Por tnto, l distni tómi es menor, resultndo myor l densidd de estos mteriles. Con yud de un porte de energí estos eletrones lires pueden moverse en un direión determind. Se hl entones de flujo de eletrones o orriente. L veloidd de los eletrones es solo de lgunos mm/s, sin emrgo el impulso se propg on l veloidd de l luz. Por tnto, l definiión de orriente elétri se puede formulr de l siguiente mner generl: Corriente Elétri Flujo de Portdores de Crg Es deir, sólo puede produirse un orriente donde existen portdores de rg y estos se pueden mover liremente. Tles mteris se llmn ondutores. Nuevmente se distingue quí entre mteris que l psr l orriente no min químimente (ondutores de r.lse) y ls que l pso de l orriente experimentn un vriión quími (ondutores de d.lse). Ls mteris que no tienen portdores de rg on liertd de movimiento se llmn no ondutores o islntes. L denominión de no ondutor es inorret, en sentido estrito, y que inluso ests mteris tienen lgunos eletrones lires, pero éstos son poo móviles. Se trt simplemente, de muy mlos ondutores. Únimente hy un islnte soluto, el vío. Entre ondutores y islntes no se puede trzr un límite preiso. Qued entre mos el mpo de los semiondutores, ténimente interesntes. L ondutividd propi de los semiondutores puros es muy ess tempertur norml. Medinte l introduión de átomos extrños se puede umentr l ondutividd de un semiondutor. En l orriente no se produe ningun lse de umulión de portdores de rg, ni se pierde ningun lse de estos portdores, de modo que, por un ldo del ondutor tienen que slir tntos portdores de rg omo entrn por el otro ldo. En un orriente existe siempre un iruito errdo. Pr definir lrmente l orriente elétri son neesrios tres oneptos, ser: Corriente. L ntensidd de l orriente es l ntidd de eletriidd que ps por un seión en d segundo: Cntidd de Eletriidd Q ntensidd () Tiempo t En el so de ls mgnitudes vriles en el tiempo, hy que sustituir el oiente Q/t por el diferenil dq/dt. El sentido de l orriente se tom de positivo negtivo en l rg y de negtivo positivo en l fuente. Los sentidos de l orriente y de l tensión se fijn ritrrimente y luego se esrien ls euiones de uerdo estos sentidos. Más delnte se profundizrá sore el tem. L densidd de orriente S rteriz l relión entre l intensidd de orriente y l seión del ondutor A.

4 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu ntensidd de Corriente S Densidd de Corriente Seión del Condutor Como unidd de ntensidd de Corriente se h estleido el Amperio o Ampere [A]. Definiión del Amperio o Ampere: El Amperio es l intensidd de un orriente elétri invrile que irulndo por dos ondutores prlelos, retos, infinitmente lrgos, de seión irulr despreile, olodos en el vío l distni de un () metro entre ellos produirí entre estos ondutores, por d metro de longitud, l fuerz eletrodinámi de x -7 Newton. Est unidd fundmentl, A equivle 6. x 8 eletrones por segundo. Si el flujo de portdores de rg se produe en un solo sentido, se die que es orriente ontinu, si mi de sentido, se tiene orriente ltern. Conforme l euión (), se tiene que l ntidd de eletriidd es: Q t Junto l Amperio segundo [A.s] se utiliz el Culomio o Coulom [C], omo unidd de rg elétri. Se tiene: A s C Pr l densidd de orriente S /A, se otienen ls uniddes: A 6 A / m A / mm m L existeni de un orriente elétri se onoe sólo por sus efetos. Los siguientes uss se produen siempre en relión on un orriente elétri: Tensión..- Tod orriente está ligd un produión de lor..- Tod orriente v ompñd siempre de un mpo mgnétio..- Tod orriente ióni origin un trnsporte de mteri. El movimiento de los portdores de rg requiere un fuerz que, lo mismo que un om, impulse portdores de rg hi un ldo del iruito, mientrs que l mismo tiempo, spire portdores de rg por el otro ldo. Est mgnitud de impulsión, que se denomin tensión, pree en los iruitos elétrios jo dos forms distints:.- L fuerz eletromotriz (f.e.m.) E, es l tensión que se gener en un fuente de energí elétri, o generdor..- L íd de tensión es l tensión que onsumen los reeptores o rgs. L figur () muestr l mner en que los trmos de íd de tensión, es deir, ls resistenis, onsumen l energí omunid los portdores de rg por el generdor elétrio, donde:,,, n, son ls íds de tensión y E l fuerz eletromotriz. A

5 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Ls tensiones de limentión se pueden generr de diferentes mners:.- Por efeto químio (terí, umuldor, pil de omustile).- Por efeto mgnétio (generdor).- Por efeto de l luz (foto elemento) d.- Por efeto del lor (termo elemento) e.- Por efeto de l presión sore ristles (efeto piezoelétrio, fonoptor) f.- Por seprión de rgs, deido l friión (generdor de nd) L tensión impuls los portdores de rg. Como unidd de tensión se h estleido el Voltio o Volt [V]. L unidd Voltio o Volt se deriv de ls uniddes ásis del sistem internionl (metro, Newton, segundo, Amperio o Amper, et.) y l mism qued definid por l euión: kg. m Donde Newton N s esisteni. kg. m V A. s N. m A. s El movimiento de los portdores de rg en el interior de un ondutor result difiultdo por los hoques onstntes de átomos. Est oposiión del ondutor l pso de l orriente se denomin resisteni. Los ondutores tienen resisteni muy diferente, que depende de sus dimensiones exteriores y de su estrutur intern. L resisteni del ondutor es diretmente proporionl su longitud l e inversmente proporionl su seión A. L dependeni de l estrutur intern de l mteri onsiderd se expres en un onstnte de mteril, que se denomin resistividd y se represent on l letr grieg ρ (ro). L euión pr lulr l resisteni es l siguiente: ρ. l l A χ. A L unidd de resisteni es el ohmio u ohm [Ω]. L unidd ohmio u ohm se deriv del sistem internionl de uniddes y se lul por l Ley de Ohm, que se estudirá más delnte. V Ω A Pr lguns onsideriones es onveniente ontr on el vlor inverso de l resisteni, es deir, l ondutni. G L unidd orrespondiente /Ω, se h denomindo Siemens [s]. Análogmente se onoe el vlor inverso de l resistividd, /ρ χ, que se denomin ondutni espeífi o ondutividd elétri. L resistividd ρ y, por tnto, l resisteni dependen de l tempertur, frente l ul se omportn de mner diferente los metles no ferromgnétios de ls leiones metális, los semiondutores y los eletrolitos. Pr pequeñs vriiones de tempertur, de C unos 5 C, l vriión de l resisteni en estos ino grupos de mteriles es proximdmente proporionl l vriión de tempertur..- Leyes Fundmentles de l Eletriidd: Ley de Ohm: 5

6 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu L relión entre ls tres mgnitudes fundmentles, orriente, tensión y resisteni viene expresd por l Ley de Ohm. L orriente es diretmente proporionl l tensión e inversmente proporionl l resisteni. L funión f(), esto es, l rterísti orriente-tensión, es un ret pr el so de te. El vlor inverso de l pendiente de est ret represent l mgnitud de l resisteni. Pr verifir esto último, relizmos un experieni elementl, onstruyendo el siguiente iruito. Con el mismo vmos vrindo l tensión y on los vlores otenidos de orriente onstruimos un gráfi. En ell oservmos que el resultdo otenido es un ret, uy pendiente represent el vlor de / G /V. Pr demostrr que vrí inversmente on l tngente de β, hremos un mio de resistenis, oloremos G > y relevmos l nuev ret. Como vemos en el gráfio β G < β. Si repetimos l operión de mio de resistenis olondo hor h < y relizmos l gráfi, otenemos un nuev ret donde β h > β. Como onlusión finl podemos esriir que: tgβ G otgβ otgβ Se puede deir que pr ls ondiiones extrems, o se undo β 9, estmos en preseni de un ortoiruito idel y pr β, tenemos un iruito ierto o infinit. Generlizmos hor le ley de Ohm pr iruitos no lineles. Pr her este nálisis reurrimos l siguiente iruito. elevmos l urv de polrizión diret del diodo que será: Como vemos d punto le orresponde un vlor de tensión y otro de orriente, por lo tnto podemos determinr un vlor de resisteni (denomind resisteni estáti) pero este vlor 6

7 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu es únimente válido en un punto y nosotros neesitmos un vlor generl que defin el omportmiento del diodo, pr ello introduimos en diho iruito un pequeñ señl de orriente ltern donde otendremos el siguiente resultdo: Lo que en l gráfi se trduirí en un flutuión, en el punto de trjo, en l respuest de diho diodo. Si lulmos el vlor de l resisteni en ests ondiiones será: Δ r d Δ A est resisteni que flutú en el tiempo, se denomin, resisteni dinámi, pero pr ser estritos en su álulo deemos relizr el nálisis de l mism en un entorno muy erno l punto A pr no ometer un error grve, deido que estmos lulndo l otngente l urv rterísti (ver detlle en l gráfi) y no l flutuión de r d sore l mism. Pr slvr est difereni se dee plir el onepto de límite de un funión pr llegr l expresión de: d d rd diferenil Expresión Generl d d Si queremos verifir est expresión en el so de un iruito linel, reordemos que l funión derivr es l de un ret, por lo tnto el resultdo es un onstnte y se umple perfetmente, y que es un so prtiulr dentro de ls infinits funiones. 7

8 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Definiiones: mll, rm, y nodo Llmremos nodo o nudo, todo punto de un iruito l que onurrn tres o más ondutores. n rm es el trmo de un iruito entre dos nodos. Por último, un mll es todo mino errdo que se puede reorrer en un iruito. Alremos estos oneptos on un ejemplo: En el iruito hy dos nodos: A y B, tres rms: -E -, E -, y E - -E - 5, y tres mlls, y. Leyes de Kirhhoff: Segund Ley de Kirhoff. En todo iruito pueden identifirse un o vris mlls, en ells hrá, en generl, generdores y resistenis. L orriente que entregn los generdores (us), produe en ls resistenis íds de tensión (efeto). Como l sum de tods ls uss sólo puede ser igul l sum de todos los efetos, se tiene que umplir lo siguiente: En un mll l sum de tods ls fuerzs eletromotries es igul l sum de tods ls íds de tensión. E ( ) O en generl (regl de ls mlls). 8

9 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu L sum de tods ls tensiones priles lo lrgo de un mino errdo, uyo sentido de irulión puede elegirse ritrrimente, es ero. Tods ls mgnitudes de tensión uyos sentidos de refereni oiniden on el de irulión elegido, reien un signo, mientrs que tods ls mgnitudes de tensión uyos sentidos de refereni no oiniden on el de irulión elegido, reien el ontrrio. Según l figur, se tienen en el iruito en serie, ls reliones siguientes:, Por tnto Ls íds de tensión se omportn en el iruito en serie del mismo modo que ls resistenis orrespondientes. Con est firmión se puede estleer tmién l relión entre un mgnitud pril ulquier y l mgnitud totl: Primer Ley de Kirhoff. En l figur, ls resistenis no están dispuests uns trs otrs, sino uns junto otrs (en prlelo). Por onsiguiente, un iruito de est lse se denomin iruito en prlelo (un iruito on deriviones). En el punto de ifurión A (nudo o nodo), l intensidd totl se divide en ls intensiddes priles e, ls ules se vuelven unir en el nudo B pr nuevmente, tener l intensidd de orriente Totl. Como no se pierden portdores de rg durnte el reorrido, ni se produe umulión lgun, se tiene que umplir en todo nudo l relión siguiente: Sum de ls orrientes que entrn Sum de ls orrientes que slen e s O en generl (regl de los nudos) En todos los nudos, l sum de tods ls orrientes es igul ero: Ls orrientes uyos sentidos (fleh de refereni) puntn hi el nudo, reien un signo, mientrs que ls orrientes uyos sentidos (flehs de refereni) se lejn del nudo, reien el ontrrio. 9

10 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Según l figur, ls resistenis del iruito en prlelo se hlln sometids l mism tensión, por lo que result: El omportmiento de ls intensiddes de orriente priles es inverso l de ls resistenis orrespondientes. Si en l euión se pone, se otiene pr l relión de intensiddes pril/totl. Es deir, l relión entre un orriente pril y l totl es igul l existeni entre l resisteni no reorrid por l orriente pril y l sum de ls dos resistenis. Trjo Elétrio. Los oneptos de intensidd de orriente, tensión y resisteni, estudidos hst hor, perteneen l eletroteni. Ls mgnitudes de trjo (energí) y poteni onsiderr, se enuentrn en tods ls rms de ls ienis nturles, onstituyendo los órgnos de unión entre un setor físio y otro. Si se mueven portdores de rg jo l presión de l tensión, se reliz un trjo igul que en el so de movimientos meánios. A mgnitud de este trjo W es proporionl l tensión E o, sí omo l ntidd de eletriidd Q, por onsiguiente, se tiene pr el trjo de un fuente de energí elétri. W E Q E t Y pr el trjo en un íd de tensión W Q t Si se introdue l Ley de Ohm, se trnsform l euión en: W t t Al reemplzr ls uniddes de l tensión, l intensidd de orriente y el tiempo, result omo unidd de trjo elétrio o energí elétri el volt mperio-segundo [VAs]. Plntendo l poteni omo el trjo en l unidd de tiempo, tenemos: Poteni Elétri. V. A W (Wtt) (Julio/segundo) El oiente trjo-tiempo se define en generl omo poteni. Por tnto, de ls euiones result: Poteni elétri de un fuente de energí:

11 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Y l poteni de un íd de tensión: Fuentes Fuentes de Tensión P W t P W t E. n fuente de tensión es un generdor que mntiene l tensión en ornes onstnte, en form independiente de l orriente que irul por ell. En l figur se ve un fuente de tensión onetd un resisteni vrile, C, on l que otenemos los diferentes vlores de orriente y relevmos l gráfi. Est fuente de tensión es idel, y que un ortoiruito en sus ornes hrí irulr un orriente infinit, heho que no se umple en l relidd. n fuente de tensión rel se puede representr omo: L resisteni i depende del tipo de generdor y no tiene porque ser onstnte unque en l myorí de los sí se l onsider. Situándonos en el so i te, podemos trzr l rterísti tensión-orriente.

12 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu L ret orresponde l euión plnted y su pendiente es: E E tg α E Si l resisteni intern fuer i < i l rterísti serí l indid en líne de trzos. Puede verse, que undo i disminuye, l urv se er l de un fuente idel. Conluimos entones en que l resisteni intern de un fuente idel es nul. Fuente de Corriente n fuente de orriente es un generdor tl, que he irulr por l rg un orriente onstnte, pr ulquier vlor de resisteni. i i Al vrir C, vrí l íd de tensión. y sí l tensión en ornes de l fuente. Nótese que este generdor oper perfetmente en ortoiruito, no sí iruito ierto, donde present infinit tensión en ornes. Al igul que on l fuente de tensión, no existe un generdor de orriente onstnte que teng infinit tensión en sus ornes, l quedr en iruito ierto. Se represent l fuente de orriente rel omo:

13 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu L rterísti tensión-orriente del generdor es: L pendiente de l ret es: i tg α Al umentr l resisteni i, l pendiente ument, y l rterísti de l fuente se v erndo l fuente idel, vemos entones, que pr dih fuente es i. Asoiión de esistenis Asoiión en Serie Dos o más resistenis están en serie undo el finl de un resisteni se onet l prinipio de otr resisteni, presentndo un únio mino pr l irulión de orriente. Podemos reemplzr un onjunto de n resistenis en serie por un úni resisteni e serie. Aplindo l segund Ley de Kirhoff l iruito se otiene: L n L resisteni equivlente e serie dee umplir l Ley de Ohm, o se:... n L e serie Pero d resisteni dee umplir on l Ley de Ohm: eemplzndo,, L, n n n

14 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Asoiión en Prlelo L e serie Dos o más resistenis están en prlelo undo todos los omienzos onurren un punto omún (nodo) y todos los finles otro omún (nodo). n Al igul que en el so nterior, vmos reemplzr l onjunto por un úni resisteni equivlente e prl, tl que: Por l segund Ley de Kirhoff: Y por Ley de Ohm Hiendo el oiente: e prl L n,, L, n L n n L eprl n eprl L n En el so prtiulr de dos resistenis en prlelo, so muy freuente, podemos trjr on l expresión: Asoiión en Estrell Tres resistenis se enuentr en estrell undo solo uno de los ornes de d un de ells formn un punto omún (nodo) y el orne restnte onurre puntos (nodos) no omunes..

15 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Asoiión en Triángulo Tres resistenis están en triángulo undo el prinipio de d un de ells está unido l finl de l siguiente, pero d punto pueden llegr otr rms. Trnsformión Estrell Triángulo n sistem en estrell puede ser trnsformdo en un sistem en triángulo y vievers. Se un sistem en triángulo, que se dese onvertir en l estrell equivlente. Dos sistems elétrios son equivlentes undo vistos desde los mismos ornes, presentn ls misms reliones entre tensiones y orrientes, es deir, l resisteni vist es l mism. Mirndo el sistem desde X-Y, tenemos: XY (estrell) XY ( ( ) (triángulo) ) Mirndo desde X-Z XZ (estrell) XZ ( ) (triángulo) () 5

16 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu 6 () ) ( Mirndo desde Y-Z (estrell) YZ (triángulo) YZ ) ( () ) ( Sumndo ls euiones () y (), tenemos: () Y hor restndo ls euiones () y (), tenemos: Sumndo ls euiones () y (), tenemos: (5) estndo ls euiones (5) y (), tenemos: Sumndo ls euiones () y (), tenemos: (6) estndo ls euiones (6) y (), tenemos: Del mismo modo, que se relizó l trnsformión de triángulo estrell, se reliz l trnsformión de estrell triángulo, llegndo ls siguientes expresiones finles.

17 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu esoluión de Ciruitos por eduión de esistenis. Este método es plile solo en el so de un fuente úni, y se ést de tensión o de orriente. Consiste en identifir los onjuntos de resistenis en serie, en prlelo, en estrell, o en triángulo, y reduirlos hst hllr un únio vlor equivlente e. A prtir de quí, se luln los vlores de tensiones y orrientes, expndiendo nuevmente el iruito, hst llegr su form originl. Más delnte se lrrá este onepto on un ejemplo. esoluión de Ciruitos en Generl n iruito genério está integrdo por un número de rms, que formn mlls y nodos. esolver un iruito signifi hllr todos los vlores de ls orrientes, de rm y su sentido de irulión, eventulmente podrán lulrse ls tensiones. Pr ello deemos omponer un sistem de tnts euiones independientes omo orrientes de rm inógnits tengmos y omo irul un sol orriente por d rm será: Número de Euiones Números de ms Pr segurrnos de que ls euiones son independientes deemos elegir: Número de Euiones de Nodos Número de Nodos En efeto, omo no hy umulión, ni drenje de orriente en ningún punto del iruito, l sum de tods ls orrientes es nul, por lo tnto l últim euión es superundnte. Deemos ompletr el sistem on euiones de mll. Al esriir ests euiones pr l Segund Ley de Kirhoff, es importnte que se urn tods ls rms de l red. En muhos sos se eligen ls mlls suesivmente de form tl, que d nuev mll inluy menos un rm que no hy sido onsiderd nteriormente. En el so que en el iruito, hy fuentes de orriente, se eliminn tnts inógnits omo fuentes hy, lo que impli que se deen desrtr ls euiones orrespondientes mlls que inluyen dihs fuentes. esoluión de un iruito por l pliión simultáne de ls Leyes de Kirhoff. Este método se s en l formulión del sistem de euiones por pliión diret de ls Leyes de Kirhoff. Se expondrán ontinuión un serie de regls pr esriir ls euiones de nodos y de mlls, regls que tienen sólo vlidez pr ls onveniones de signos en uso, y que pueden vrir si ésts min. Se un iruito omo el de l figur: 7

18 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Este iruito posee tres nodos A, B, y C y ino rms: ( 7 E ), ( 6 ), ( 8 E ), ( 5 ) y (E ). Hrá, por lo tnto, ino orrientes inógnits (un por d rm). Deemos esriir dos euiones de nodo y tres de mll. Así signmos sentidos ritrrios tods ls orrientes y elegimos tres minos de irulión, on indiión del sentido, tmién ritrrio. Nótese que d un de ls mlls elegids tienen un rm no omún on ls otrs dos. Pr esriir ls euiones de nodos, olomos en el primer miemro ls orrientes entrntes y en el segundo ls slientes. Así pr el nodo A se tiene: Pr en nodo B: 8

19 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Y pr en nodo C: Deemos elegir dos de ls tres euiones. Ovimente, se tomrán ls más senills, en este so l de los nodos A y C. Pr esriir ls euiones de mll pondremos en el primer miemro ls fuerzs eletromotries y en el segundo ls íds de tensión. n fuerz eletromotriz es positiv undo l irulr en el sentido elegido por dentro del generdor, el potenil sue (irulión de negtivo positivo). n íd de tensión es positiv undo el sentido de irulión oinide on el de l orriente. Con este riterio podemos esriir, pr l mll : Pr l mll : Y pr l mll : E E E Todví podrímos otener más euiones de mlls, pero que no serín independientes. En definitiv el sistem estrá ompuesto por ls euiones (), (), (), (5) y (6), que se resolverá por lguno de los métodos (ver péndie finl). Método de ls Corrientes de Mll. En el método de ls orrientes de mll, se sign un orriente d mll independiente y ritrri. Ls euiones se esrien en funión de ls orrientes de mll. n vez resuelto el sistem de euiones, ls orrientes en ls rms se otienen en se ls orrientes de mll. El número de euiones neesris es: Euiones Mlls ndependientes r r f n Donde: r número de rms r f número de rms que ontienen fuentes de orriente 9 () (6) (5)

20 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu n número de nodos Vemos en un ejemplo los distintos psos seguir, pr ello trjremos en el siguiente iruito. Oservemos el iruito, vemos que hy rms, ningun fuente de orriente y nodos, ose que el número de euiones plnter es: Euiones Mlls ndependientes r r f n Asignmos los sentidos ls orrientes de mll. Tl omo se ve en l figur, hemos doptdo ritrrimente el sentido de irulión horrio pr ls orrientes de mll e. El plnteo de ls euiones será: Pr l mll, result: O ien:.. ( - ) E E ( ). -. E E Osérvese que en l rm omún ls mlls, l orriente (( - ) se dirige hi jo. Pr l mll, result: O ien: - ( - ).. E E Agrupándols result: A ( ).Ι -.ΙΙ E - E -.Ι ( ).ΙΙ E - E -. ( ). E E Por otro ldo onsidermos el siguiente sistem de euiones B. Ι. Ι. ΙΙ. ΙΙ E Ι E Comprndo los sistems A y B result: ΙΙ (es l sum de ls resistenis que se enuentrn l irulr por l mll ) - (resisteni de l rm omún ls mll y ) - (resisteni de l rm omún ls mll y ) (es l sum de ls resistenis que se enuentrn l irulr por l mll ) E es l sum lgeri de ls f.e.m. l irulr por l mll E es l sum lgeri de ls f.e.m. l irulr por l mll El signo menos proviene del heho que hemos signdo orrientes de mll que en l rm omún tienen sentido ontrrio, en mio, si l irulión fuer en l mism direión, el signo serí positivo.

21 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu A prtir del sistem de euiones A, utilizndo ulquier de los métodos de resoluión de euiones hllmos e. Con ls orrientes de mlls otenids, se luln ls orrientes de rm, ser: - ( - ) - - Método de ls Tensiones o Poteniles en los Nodos. n nodo es un punto de un iruito omún dos o más elementos del mismo. Si en un nodo se unen tres o más elementos, tl nodo se llm prinipl. A d nodo se le puede signr un número o un letr. En l figur, y son nodos priniples. El potenil en un nodo, es l difereni de potenil entre este nodo respeto de otro, denomindo nodo de refereni. Se h elegido el nodo omo nodo de refereni. Entones es l difereni de potenil entre los nodos y. Cundo ls tensiones o diferenis de potenil en los nodos se tomn siempre respeto de un nodo de refereni ddo, se emple l notión en lugr de. El método de ls tensiones en los nodos onsiste en determinr ls tensiones en los todos los nodos priniples respeto del nodo de refereni. Aplindo l primer de Ley de Kirhoff los dos nodos priniples y, se otienen dos euiones on ls inógnits y. Se propone que tods ls orrientes de ls rms sen slientes del nodo, de est form, l sum de tods ls orrientes es ero (sum de ls orrientes que entrn Sum de ls orrientes que slen). Pr el nodo será: Pr el nodo será: - E A - C A B C A B - C C D E D E Operndo y grupndo en ls euiones del nodo y del nodo se otiene el siguiente sistem de euiones en funión de y E A. -. A B C C A EB. - C C D E E Teorems de Ciruitos E B

22 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Teorem de Superposiión de Efetos Este teorem es plile tod l Físi y se enuni: En todo sistem linel, el efeto totl redo por vris uss, es igul l sum de los efetos redos por d un de ls uss tundo sols. n sistem linel se define mtemátimente por: ( x ) f ( x ) f ( x x ) f ( Ax) A f ( x) f En el mpo de l eletroteni, este teorem puede enunirse de l siguiente mner: En todo iruito linel, ls tensiones y orrientes que preen en él por l ión onjunt de vris fuentes, son igules l sum de ls tensiones y orrientes que se otienen hiendo tur dihs fuentes de un y reemplzndo ls restntes por su resisteni intern. n iruito linel es todo quel iruito donde ls resistenis, ls fuerzs eletromotries y orrientes de generdores sen onstntes. Dee tenerse espeil preuión on est ondiión, y que elementos omunes, tles omo diodos, trnsistores, reguldores, motores, lámprs, no presentn rterístis lineles, lo que imposiilit l pliión de este teorem. Vemos omo se pli este teorem en un so onreto: En este iruito vemos que hy dos fuentes (el número es ilimitdo) on sus resistenis interns. Otendremos primero ls orrientes produidos por el generdor de orriente onstnte: Nótese que l fuente de tensión fue reemplzd por un ortoiruito. Ls orrientes pueden hllrse por ulquier método, pero generlmente onviene el de reduiones suesivs, on el que demás se otienen siempre signos positivos pr los sentidos doptdos. En el segundo pso hemos tur l fuente de tensión y reemplzmos l generdor de orriente por un iruito ierto:

23 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Ahor hllmos ls nuevs orrientes (siempre on su signo). Pr enontrr ls orrientes reles en d rm, summos ls orrientes otenids en d pso, sumiendo previmente un sentido positivo. Por ejemplo, en l resisteni : O en l resisteni Así se otienen tods ls orrientes, proediendo en form nálog on ls tensiones. Teorem de Thevenin El teorem de Thevenin sirve pr reemplzr un iruito omplido, o prte de él, por un onfigurión equivlente. Dos iruitos equivlentes, son dos iruitos tles que presentn l mism rterísti tensión-orriente en ornes. Este teorem se enuni: Todo iruito linel on fuentes de energí, y sen de tensión o de orriente, puede reemplzrse por un úni fuente de tensión en serie on un úni resisteni. L equivleni de mos iruitos puede omprorse onetndo en sus ornes un rg ulquier, que puede ser linel o no. Los vlores de tensión y orriente serán idéntios.

24 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu El vlor de l tensión de Thevenin E Th es l que pree on los ornes iruito ierto y l resisteni de Thevenin Th, es l resisteni vist desde los ornes del iruito on tods ls fuentes reemplzds por su resisteni intern. Vemos omo se pli el teorem en el ejemplo: Tenemos un generdor uyo iruito es: Y queremos simplifirlo hst: Aplindo l segund Ley de Kirhoff en el iruito oservmos que los generdores E y E se nuln mutumente, en tnto que los generdores E y E sumn entre sí. Semos que E Th AB, undo el iruito no posee resisteni de rg ( ornes iertos). En ests ondiiones l resisteni no será trvesd por orriente lgun, lo que equivle deir que en ell no existirá íd de tensión. Por lo tnto: E Th AB XY Aplindo l segund Ley de Kirhoff l orrespondiente mll otenemos: De uerdo on l Ley de Ohm: E E E E... Sndo ftor omún: E E ( ) Dividiendo mos miemros por ( ), l iguldd no vrí:

25 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Aplindo l Ley de Ohm: E E () E Th. eemplzndo por su iguldd de () E E ETh. Pr lulr Th deemos destivr los generdores, por lo que el iruito qued: No deemos olvidr que tenemos generdores ideles de tensión: Th AB ( ). En onlusión el iruito omplejo que tenímos en primer momento h queddo simplifido en: Teorem de Norton El teorem de Norton sirve pr reemplzr un iruito omplido, o prte de él, por un onfigurión equivlente. Este teorem se enuni: Todo iruito linel on fuentes de energí, y sen de tensión o de orriente, puede reemplzrse por un úni fuente de orriente en prlelo on un úni resisteni. L equivleni de mos iruitos puede omprorse onetndo en sus ornes un rg ulquier, que puede ser linel o no. Los vlores de tensión y orriente serán idéntios. El vlor de l orriente de Norton es el que pree on los ornes, en ortoiruito y l resisteni de Norton es l resisteni vist desde los ornes del iruito on tods ls fuentes reemplzds por su resisteni intern. 5

26 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Vemos omo se pli el teorem, se el siguiente iruito: Y se quiere simplifir hst: Pr hllr el equivlente se pueden utilizr ulquier de los métodos y onoidos. Not : e destr que hlr de resisteni de Thevenin Th o resisteni de Norton N es extmente equivlente, ms tienen el mismo vlor. Not : Teniendo el equivlente de Thevenin se lul l orriente de Norton ortoiruitndo los ornes del iruito, y pr determinr l tensión de Thevenin prtiendo del equivlente de Norton es simplemente el produto N. N. esoluión de iruitos. esoluión de iruitos on un sol fuente de limentión. Análisis gráfio-nlítio. 6

27 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Se el iruito de l figur: Como podemos preir estmos en preseni de un iruito serie-prlelo. El ojetivo es determinr tods ls inógnits presentds, pr ello deemos llegr l mínim expresión del iruito pr poder determinr l T, entones deemos determinr l T, por lo tnto, omenzmos reduiendo el iruito, de l siguiente mner:.- Determinr, que están en serie. Quedndo el iruito sí: 5 Ω 5 Ω Ω.- Determinr, donde está en prlelo on Quedndo el iruito sí:. Ω. 5 Ω Ω Ω 5 Ω.- Determinr T, donde está en serie on T Ω Ω Ω d.- Ahor podemos determinr T, plindo l ley de Ohm. E 8 V T A Ω T 7

28 Siendo el iruito de álulo el siguiente: Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu e.- A ontinuión, omenzmos relulr l revés, teniendo l T, estmos en ondiiones de lulr ls tensiones y o AB. T. A. Ω V AB T. A. Ω 8 V Tmién se podrí her luldo un de ls tensiones por l segund ley de Kirhoff, en lugr de l ley de Ohm, por ejemplo: AB E 8 V V 8 V f.- Ahor estmos en ondiiones de poder lulr e. 8 V Ω AB 8 V 5 Ω AB, A,6 A Tmién se podrí her luldo un de ls orrientes por l primer ley de Kirhoff, en lugr de l ley de Ohm, por ejemplo: T A, A,6 A g.- Por último lulmos y.., A. 5 Ω 6 V., A. 5 Ω V 8

29 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Tmién se podrí her luldo un de ls tensiones por l segund ley de Kirhoff, en lugr de l ley de Ohm, por ejemplo: AB 8 V 6 V V esoluión de iruitos on más de un fuente de limentión, omprndo los distintos métodos vistos. Ejeriio N : Se determinrán ls orrientes de d rm del siguiente iruito, por el método de Kirhoff, por el método de ls mlls, por el teorem de superposiión de efetos, por el método de ls tensiones nodles y demás se determinrá el equivlente de Thevenin en los ornes AB. Soluión:.- Método de Kirhoff. Como primer medid fijmos un sentido de irulión en d mll (elegimos ritrrimente sentido horrio) y un sentido de orriente en d rm, luego se verifirá si el sentido elegido es orreto de uerdo on el álulo nlítio. En segundo térmio plntemos ls euiones del sistem, reordndo que neesitmos n euiones de nodos y ls restntes serán euiones de mll, umpliendo on l ntidd de inógnits del sistem, en este so, ddo que tenemos tres rms. 9

30 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu.. - Agrupndo: E E - E - E. ( ) -. E - E. -. ( - 5 ) E - E Completndo y ordenndo el sistem de euiones y reemplzndo numérimente, tenemos: (5 Ω Ω). - Ω. V - V Ω. - (5 Ω 5 Ω). V - V 5 Ω. - Ω. Ω. - Ω. - V - V esolviendo el sistem por determinntes, tenemos: Determinnte prinipl: Δ Determinión de l orriente de rm Δ Δ Determinión de l orriente de rm Δ Δ Determinión de l orriente de rm,9 A -,6 A

31 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Δ Δ Ls orrientes de rm tienen los siguientes vlores:,7 A -,6 A,9 A,7 A Los resultdos otenidos son los vlores de ls orrientes de rm, el signo positivo nos indi que el sentido doptdo previmente es oinidente on el verddero del iruito, mientrs que el signo negtivo nos indi que el sentido previmente doptdo es ontrrio l rel del iruito. Estos resultdos serán verifidos posteriormente, undo reliemos l resoluión por los otros métodos de álulo..- Método de ls orrientes de mll. Como primer medid plntemos los sentidos ritrrios de ls orrientes fitiis de mlls. En segundo lugr se plnten ls euiones de mlls, que serán tnts euiones omo inógnits tengmos, en este so serán dos euiones ddo que tenemos dos inógnits e..( ) -. E - E -..( 5 ) E - E Completndo y ordenndo el sistem de euiones y reemplzndo numérimente, tenemos:.(5 Ω Ω Ω) -. Ω V - V -. Ω. ( Ω 5 Ω 5 Ω) V - V 5 Ω - Ω - V - Ω 5 Ω - V esolviendo el sistem por determinntes, tenemos: Determinnte prinipl: 5 Δ Determinión de l orriente de l mll

32 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu - Δ ,6 A Δ Determinión de l orriente de l mll 5 Δ ,7 A Δ Ls orrientes de mll e determinds orresponden ls orrientes de rm e respetivmente, deido que son ls rms independientes, y l orriente de rm se determin por l difereni de e. - -,6 A - -,7 A,6 A,9 A - -,7 A Como se ve los vlores de ls orrientes de rm luldos por el método de ls mlls oiniden on los otenidos por el método de Kirhoff..- Método por teorem de superposiión de efetos. Como primer pso, reordndo el teorem de superposiión de efetos, se dejrá únimente tundo un sol de ls fuentes, en nuestro so E, y se psivrán ls restntes (E y E ), o se, omo son fuentes de tensión, se reemplzrán por un ortoiruito y l resisteni intern de l fuente, si l tuvier, onetd en serie. Tenids en uent, ests onsideriones el iruito quedrá de l siguiente mner:. El álulo se determin utilizndo l ley de Ohm y ls leyes de Kirhoff, tl ul omo ulquier iruito on un sol fuente de limentión. T. ( 5 5 ) Ω. (5 Ω 5 Ω) 5 Ω Ω Ω Ω 5 Ω 5 Ω E V Ω T, A P E -. ( ) V -, A (5 Ω Ω), V P, V Ω P, A, V, V 5 Ω 5 Ω Ω 5,66 A

33 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Atundo solmente E y psivndo ls restntes fuentes. T ( ). ( 5 5 E E -. ) (5 Ω Ω).(5 Ω 5 Ω) Ω 5,8 Ω 5 Ω Ω 5 Ω 5 Ω V 5,8 Ω T,788 A P V -,788 A. Ω P, V, V ( ) (5 Ω Ω) 5 Ω, V,85 A P, V, V (5 Ω 5 Ω) Ω 5 Atundo solmente E y psivndo ls restntes fuentes., A T 5 ( ). E 5 (5 Ω Ω). Ω 5 Ω 5 Ω 7, Ω 5 Ω Ω Ω V 7, Ω T,66 A P E -. ( ) V -,66 A (5 Ω 5 Ω),56 V P,56 V,56 V ( ) (5 Ω Ω) 5 Ω P,56 V Ω,56 A,8 A

34 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Hiendo hlldo tods ls orrientes pr d un de ls fuentes tundo individulmente, solmente rest sumr ls orrespondientes d estdo respetndo los sentidos doptdos en d uno de ellos pr poder llegr l resultdo orreto., A,8 A -,8 A - -, A,788 A -,56 A - -,6 A, A,66 A -,6 A,9 A,7 A -,6 A,9 A,7 A Como se ve, tmién se verifin los resultdos por pliión del teorem de superposiión de efetos. d.- Método de ls Tensiones Nodles. El primer pso es elegir el nodo de refereni y luego plnter ls euiones neesris (número de nodos -). Pr el iruito en uestión es neesrio plnter un sol euión ser. A. 5 E E E V V V A. 5 Ω Ω Ω 5 Ω 5 Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω 5 Ω V V V A. 5 Ω Ω Ω 5 Ω Ω Ω A (, S,S,5 S, A A,75 A A A.,65 S,5 A,65 S,5 A 9,9 V Teniendo omo dto el potenil del nodo A, ontinuión plntemos ls orrientes de rm, teniendo en uent los sentidos slientes de,, e : Pr : A - E 9,9 V - V,6 A 5 Ω Ω Pr : Pr : A - E 9,9 V - V Ω -,9 A 5

35 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu - E 9,9 V - V 5 Ω 5 Ω A 5 -,7 A De uerdo los sentidos otenidos, los verdderos sentidos serán: -,6 A,9 A,7 A Donde e son entrntes l nodo A e sliente. Además orroormos los vlores otenidos por este método de resoluión on los nteriores. e.- Determinión del equivlente de Thevenin. Determinión del equivlente de Thevenin en los ornes AB. Como primer pso deemos hllr l resisteni de Thevenin Th, viendo l iruito desde los ornes AB, pr ello psivmos el iruito reemplzndo ls fuentes por sus resistenis interns (en nuestro so simplemente ortoiruitmos ls misms) si ls tuviere. Th. ( ). ( ) 5. 5 Ω.(5 Ω Ω) 5 Ω.5 Ω 5 Ω Ω Ω Ω.(5 Ω Ω) 5 Ω 5 Ω 5 Ω Ω Ω Th (7, Ω 5 Ω).5 Ω 8, Ω 7, Ω 5 Ω 5 Ω 7, Ω 5,7 Ω n vez determind l resisteni de Thevenin Th, tenemos que determinr l tensión de Thevenin E Th, pr ello es neesrio determinr el vlor de l orriente que irul por, ddo que l tensión de Thevenin será: E Th E E. Pr lulr diho vlor de orriente se puede reurrir ulquier de los métodos ntes vistos, o se: por Kirhoff, por mlls, por superposiión o por nodos. En nuestro so l orriente de rm y fue resuelt por todos los métodos, por lo tnto onoemos el vlor de dih orriente, y solo rest reemplzr en l euión nterior. Por tnto el equivlente de Thevenin es: E Th V,7 A. 5 Ω 5,9 V

36 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Si quisiérmos determinr l orriente de Norton, sólo tendrímos que ortoiruitr el equivlente de Thevenin. Por lo tnto N será: ETh 5,9 V N,56 A Th,7 Ω Ejeriio N : Se determinrán ls orrientes de d rm del siguiente iruito, por el método de ls mlls, por el teorem de superposiión de efetos, por el método de ls tensiones nodles y demás se determinrá el equivlente de Thevenin en los ornes AB. A prtir de este ejeriio no plnteremos l resoluión por el método de Kirhoff, deido que omo vimos en el ejeriio nterior, es el método más lrgo de resoluión, deido que es el que más euiones requiere, omplindo los álulos nlítios inneesrimente..- Método de ls orrientes de mll. Como primer medid plntemos los sentidos ritrrios de ls orrientes fitiis de mlls. 6

37 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu En segundo término plntemos ls euiones de mll, que serán tnts omo orrientes fitiis de mll tengmos, en este so tres euiones, ddo que tenemos,, e..( -..( -. 5.( 8 5 ) ) 7 ) - E eemplzndo numérimente, tenemos:. 5 - E E.(5 Ω Ω 5 Ω Ω) -.5 Ω 5 V - V -.5 Ω.( 5 Ω Ω 5 Ω 5 Ω) -. 5 Ω V -. 5 Ω.(5 Ω Ω) V esolviendo el sistem por determinntes, tenemos: Determinnte prinipl: Δ Determinión de l orriente de l mll Δ Δ Determinión de l orriente de l mll Δ Δ Determinión de l orriente de l mll Δ Δ ,A,5 A -,76 A 7

38 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Conoids ls orrientes fitiis de mll, e, podemos determinr ls orrientes de rm,, e, sumndo lgerimente y respetndo los signos. 8 -,76 A -, A,76 A,586 A 7, A 5 -, A -,5 A,65 A 6,5 A 8 -,76 A,586 A - 7, A 5,65 A 6,5 A.- Método de ls Tensiones Nodles. El primer pso es elegir el nodo de refereni, pr luego plnter ls euiones, que en el presente iruito serán tres euiones (números de nodos ) A 5 A B A B C B C C 8 8 E E 8 E E B A - C Ω 5 Ω Ω Ω A B - C Ω 55 Ω 5 Ω Ω 55 Ω A B C 55 Ω 5 Ω 55 Ω 5 Ω (,5 S, S, S),5 S A A A -,5 S (,8 S,666 S,5 S) Ω 5 V V Ω 55 Ω 5 Ω - (,8 S 5 V 55 - Ω V 5 Ω,666 S) 7,576 A (,8 S,667 S) (,8 S,667 S,86) - 7,576 A, A -,5 S B C,5 S A,9 B -,89 C 7,576 A A,89 B,5 C - 7,576 A esolviendo el sistem por determinntes, tenemos: Determinnte prinipl: B B C B C C 8

39 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Δ, -,5 -,5,9 -,89 -,89,5,888 -, ,85,775 Determinión de l orriente de l tensión A Δ Δ 7,57-7,57 -,5,9 -,89,775 -,89,5 -,,959,85,775,775 A A Determinión de l orriente de l tensión B B Δ Δ, -,5 7,57-7,57,775 -,89,5,568-,795,66,775,775 B B Determinión de l orriente de l tensión C C Δ Δ C, -,5 -,5,9 -,89,775 7,57-7,57 -,566,895,795, ,57 V 5,5 V ΔC,76 C - 8,657 V Δ,775 Teniendo ls tres tensiones de nodo, estmos en ondiiones de determinr ls orrientes de rm, reemplzndo en ls euiones orrespondientes. Pr l rm de 8 se tiene: B - E - C 7,57 V - 5 V 8,657 V 8,7 A 5 Ω Ω Ω 8 Pr l rm de se tiene: B - E - C 7,57 V - V 8,657 V 5 Ω Pr l rm de se tiene: B - A 7,57 V - 5,7 V Ω Pr l rm de 5 se tiene: A 5,7 V 5,66 A 5 Ω 5 Pr l rm de 6 se tiene: A 5,7 V 6,55 A Ω 6 Pr l rm de 7 se tiene: C - 8,657 V 7 -,5 A 5 Ω 7,5 A -,65 A 8,7 A,65 A - 7,5 A 5,66 A 6,55 A

40 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Como se ve, los vlores prátimente oiniden on los determindos por el método de ls mlls, ls pequeñs diferenis se deen que en el método de los nodos se trj on ls ondutnis y el redondeo produe es situión..- Método por teorem de superposiión de efetos. Como primer pso, reordndo el teorem de superposiión de efetos, se dejrá únimente tundo un sol de ls fuentes, en nuestro so E, y se psivrá l restnte, o se, omo son fuentes de tensión, se reemplzrán por un ortoiruito y l resisteni intern de l fuente, si l tuvier, onetd en serie. Tenids en uent, ests onsideriones el iruito quedrá de l siguiente mner: A ontinuión lulremos l resisteni totl T : T T 5 Ω. Ω 5 Ω. Ω 5 Ω 5 Ω Ω 5 Ω Ω Ω 67,Ω 5 Ω. Ω 5 Ω Ω 5 Ω 5 Ω Ω E 5 V T 8,7 A 67,Ω 8 T 8 T.,7 A. 55 Ω,865 V BC E V -,865 V BC 9,5 V 5 Ω 5 6,69 A 9,5 V 8 -,7 A -,69 A, A

41 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Ω. Ω AD., A., A.,66 Ω,86 V 5 Ω Ω 5 6 AD,86 V Ω AD,86 V 6 6 Ω,7 A,6 A Psivndo E y tivndo E, tendremos los siguientes álulos: T ( 8 ) T 5 Ω. Ω (5 Ω Ω Ω). Ω 5 Ω 5 Ω Ω 5 Ω 5,5 Ω 5 Ω. Ω 5 Ω Ω Ω Ω 5 Ω 5 Ω Ω E V T,96 A 5,5 Ω T BC BC 67,6 V Ω T.,96 A.5 Ω,9 V E - V -,9 V 67,6 V, A - 8,96 A -, A,976A Ω. Ω AD.,976 A.,976 A.,66 Ω, V 5 Ω Ω 5 6 AD, V Ω AD, V 6 6 Ω,5 A, A Sumndo lgerimente ls orrientes según los sentidos doptdos en d estdo, llegremos los vlores finles de ls orrientes de rm.

42 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu 8 8-8,7 A -, A -,77 A - -,69 A,96 A,587 A, A,976 A 5 5 5,7 A,5 A,A,65 A 6 6 6,6A, A,5 A 7 - -, A 8,77 A,587 A - 7, A 5,65 A 6,5 A Como se ve los vlores hlldos por el teorem de superposiión oiniden on los hlldos por lo métodos de ls mlls y de los nodos. d.- Determinión del equivlente de Thevenin. Como primer pso deemos hllr l resisteni de Thevenin Th, viendo l iruito desde los ornes AB, pr ello psivmos el iruito reemplzndo ls fuentes por sus resistenis interns (en nuestro so simplemente ortoiruitmos ls misms) si ls tuviere. Th Th ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( ) (5 Ω Ω Ω).5 Ω Ω 5 Ω. 5 Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω. Ω (5 Ω Ω Ω).5 Ω Ω 5 Ω 5 Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω (5 Ω Ω Ω).5 Ω Ω 5 Ω. 5 Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω Ω (5 Ω Ω Ω).5 Ω Ω 5 Ω 5 Ω 5 Ω Ω Ω 5 Ω 6, Ω Pr determinr E Th, se neesit determinr el vlor de l orriente que irul por 6, ddo que el produto de dih orriente por 6 es preismente el vlor de l tensión de Thevenin E Th, y que es l mism íd de potenil que pree en los ornes AB. Pr determinr

43 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu dih orriente es neesrio plnter ulquier de los métodos onoidos. Adoptremos el método de ls mlls, por ser el de más senill pliión pr est topologí iruitl. Como vemos l onfigurión que tenemos es l mism que en el so de l resoluión del iruito por el método de ls mlls, por lo tnto, pr no reiterr, tomremos el vlor de 6, y resolvemos: E Th 6. 6,5 A. Ω 5,8 V Entones l onfigurión del equivlente de Thevenin será l siguiente: Ejeriio N : Se determinrán ls orrientes de d rm del siguiente iruito, por el método de ls mlls, por el teorem de superposiión de efetos, por el método de ls tensiones nodles y demás se determinrá el equivlente de Thevenin en los ornes AB..- Método de ls orrientes de mll.

44 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Como primer medid nlizmos l ntidd de euiones plnter. Oservndo el iruito elegimos ls mlls, pero teniendo en uent que en l mll, l orriente de rm y de l mll es onoid, y que l mism qued impuest por l fuente de orriente. Por lo tnto el número de euiones plnter será: Número de rms Número de nodos Número fuentes de Corriente Número euiones 5 Por lo tnto ls inógnits plnter son solmente dos e.. ( 6 ) -. E -.6. ( 8 9 ) E. ( Ω Ω Ω 6 Ω) -. Ω V - A. 6 Ω. Ω ( Ω Ω 8 Ω 9 Ω) V - - V V Clulmos los determinntes, pr onoer e. Determinnte prinipl: Δ Determinión de l orriente de l mll - - Δ Δ , A Determinión de l orriente de l mll - Δ - - 6,88 A Δ Ls orrientes de rm serán:, A,88 A, A,795 A

45 6 A, A, A 57 A 89,88 A Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu, A,795 A 6, A 57 A 89,88 A.- Método de ls Tensiones Nodles. Primermente elegimos el nodo de refereni, pr luego plnter ls euiones, hy que tener en uent que l rm de l fuente de orriente present un resisteni infinit. B E E A A E -.. B 6 B V V A. - - Ω 8 Ω 9 Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 8 Ω 9 Ω Ω Ω A V -.. A B Ω Ω 6 Ω Ω Ω Ω Ω B V V A. - - Ω Ω Ω Ω Ω Ω A V -. B. A Ω 6 Ω Ω Ω A (,76 S, S, S) - B., S,95 A -, A - A, S. B.(,6666 S, S), A A,78 A -, B -,895 A -, A,9999 B 5, A Determinnte prinipl: 5

46 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu Δ,78 -, -,,9999,57 -,,6 Determinión de l tensión A Δ Δ -,895 5,,6 -,,9999 -,9,7776,587,6,6 A A,867 V Determinión de l tensión BB Δ Δ,78 -, 5,,6 -,895,89,796,55,6,6 B B Clulremos hor, onoiendo A y B B ls orrientes de rm. E -,867 V V -,57 V,9 V Ω Ω Ω A B,87 V Ω A A - E,795 A,867 V - V Ω 8 Ω 9 Ω -76,V Ω ,57 V 6 Ω B A,8 A -,88 A, A,57 V, A,795 A 6, A 57 A 89,88 A Como se ve, los vlores prátimente oiniden on los determindos por el método de ls mlls..- Método por teorem de superposiión de efetos. Como primer pso psivmos E e, l primer omo un ortoiruito y l segund omo un iruito ierto. Atundo E, lulmos T 6 T ( 8 9 ). ( Ω 8 Ω 9 Ω). Ω) Ω Ω 6 Ω 8 9 T 6,5 Ω E V T 6,86 A 6,5 Ω E - T. ( 6 ) V -,86 A. ( Ω Ω 6 Ω) T Ω 8 Ω 9 Ω Ω AC,6 V 6

47 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu AC,6 V Ω,75 A AC,6 V,6 V 8 9 Ω 8 Ω 9 Ω Ω Estdo, tundo E, y psivndo E e. 89,7 A T 8 9 ( 6 ). ( Ω Ω 6 Ω). Ω) Ω 8 Ω 9 Ω 6 T,5 Ω E V T 89,86 A,5 Ω E - T.( 8 9 ) V -,86 A. ( Ω 8 Ω 9 Ω) AC 9, V,66 A Ω Ω Ω 6 Ω Ω T AC 9, V 7

48 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu AC 9, V 9, V 6 6 Ω Ω 6 Ω 9 Ω Estdo, tundo, y psivndo E e E.,5 A T T ( ) ( ) ( Ω 8 Ω 9 Ω) Ω Ω Ω. 6 Ω Ω 8 Ω 9 Ω Ω 9, Ω ( Ω 8 Ω 9 Ω). Ω Ω Ω 6 Ω Ω 8 Ω 9 Ω Ω. A. 9, Ω) 58,6 V BC T BC 58,6 V Ω,967 A BC 58,6 V 58,6 V ( 8 9 ). ( Ω 8 Ω 9 Ω). Ω 56,5 Ω Ω Ω 8 9 Ω 8 Ω 9 Ω Ω O sino - 6 A -,967 A, A ( 8 9 ). ( Ω 8 Ω 9 Ω). Ω AC. AC., A. 8 9 Ω 8 Ω 9 Ω Ω, A. 6,5 Ω 7,6 V Estdo finl: AC AC AC 7,6 V Ω 8 Ω 9 Ω Ω AC 7,6 V,9 A Ω -,86 A,5 A -, A, A 6 6,9 A, A

49 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu - -,75 A,66 A,9 A,797 A ,7 A,86 A -,9 A A A A A ,86 A,5 A,967 A,88 A, A, A,797 A 6, A 57 A 89,88 A d.- Determinión del equivlente de Thevenin. Pr determinr l Th, psivmos el iruito. Th ( ) ( )

50 Th Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu ( Ω Ω 6 Ω). Ω Ω 8 Ω. 9 Ω Ω Ω 6 Ω Ω 55,6 Ω ( Ω Ω 6 Ω). Ω Ω 8 Ω 9 Ω Ω Ω 6 Ω Ω Pr determinr l E Th neesitmos l íd de tensión en 9, y que es igul E Th, por ondiión de iruito prlelo. Pr su álulo podemos empler ulquier de los métodos vistos nteriormente, por ejemplo el método de ls mlls.. ( 6 ) -. E ( 8 9 ) E. ( Ω Ω Ω 6 Ω) -. Ω V - A. 6 Ω. Ω ( Ω Ω 8 Ω 9 Ω) V - - V V Clulmos los determinntes, pr onoer e. Determinnte prinipl: Δ Únimente nos he flt determinr l orriente de l mll, que es igul Δ - - 6,88 A Δ Por lo tnto E 9 Th 9.,88 A. 9 Ω El equivlente de Thevenin será: 75, V 5

51 Control Elétrio y Aionmientos Eletroteni Corriente Continu 5