CONTENIDO 1 INTRODUCCION IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED RESISTENCIA DE LA LINEA... 6

Transcripción

1 MOEACIÓN E REES E TRANSMISIÓN E ENERGÍA EÉCTRICA rofesor Asoido ESCUEA E INGENIERÍA EÉCTRICA Y MECÁNICA SEE MEEÍN AGOSTO 004

2 CONTENIO ág. INTROUCCION... IMEANCIA SERIE E UNA RE RESISTENCIA E A INEA INFUENCIA E EFECTO SKIN EN A RESISTENCIA INFUENCIA E SISTEMA E RETORNO EN A RESISTENCIA INUCTANCIA E A INEA E TRANSMISION INTENSIA E CAMO MAGNETICO EBIO A A CORRIENTE E UN SOO CONUCTOR....6 CACUO E FUJO IGAO TOTA....7 FUJO IGAO SOBRE UN CONUCTOR EBIO A UN GRUO E CORRIENTES INUCTANCIA E UNA INEA TRIFASICA CONSIERANO SUEO IEA MATRIZ E REACTANCIAS INUCTIAS E UNA RE TRIFASICA... 4

3 .0 INTERRETACION E A MATRIZ E INUCTANCIAS INUCTANCIAS ARA RE TRIFÁSICA TRANSUESTA INUCTANCIAS E SECUENCIA ARA INEA TRIFASICA IMEANCIA SERIE E UNA RE CON RETORNO OR TIERRA CONSIERANO SUEO REA AROXIMACION E EWIS ARA CACUO E IMEANCIA SERIE A BAJA FRECUENCIA AS IMEANCIAS E SECUENCIA CONSIERANO A AROXIMACION E EWIS IMEANCIA E UNA RE ARA CONUCTORES EN AZ IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFÁSICA E UN CIRCUITO CON UN CABE E GUARA IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFASICA E UN CIRCUITO CON OS CABES E GUARA IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFASICA E OS CIRCUITOS CON OS CABES E GUARA CAACITANCIA E UNA RE IFERENCIA E OTENCIA ENTRE OS UNTOS EBIO A UNA ISTRIBUCION INEA E CARGA CAACITANCIAS E INEA TRIFASICA INTERRETACION FISICA E A MATRIZ E CAACITANCIAS... 57

4 .4 CAACITANCIA ARA UNA INEA TRIFASICA CON TRANSOSICION RAIO MEIO GEOMETRICO Y ISTANCIA MEIA GEOMETRICA CAACITANCIAS E SECUENCIA E UNA RE TRIFASICA TRANSUESTA RERESENTACION CIRCUITA E INEAS E TRANSMISION INEAS E TRANSMISION CORTAS INEAS E TRANSMISION E ONGITU MEIA INEA E TRANSMISION E ONGITU ARGA REFERENCIAS BIBIOGRÁFICAS... 79

5 INTROUCCIÓN Un sistem de trnsmisión de energí elétri es un prte onstitutiv de un sistem de poteni elétrio que requiere de un modelión deud dependiendo del estudio que se esté relizndo. Est modelión depende de prámetros omo l distni, y l freueni del fenómeno motivo de estudio. Ests nots son el resultdo de hber trbjdo el tem de l modelión de línes éres de lt tensión iniilmente en el urso de Trnsporte de Energí y posteriormente en los ursos de Redes I y Redes II. Con l utilizión de herrmients moderns de simulión omo el progrm AT/EMT, que onsider ls redes omo elementos polifásios sin her uso de ls omponentes simétris, se he neesrio fortleer el onepto de impedni generlizd de un red polifási. Este onepto se onstruye prtir de ls expresiones de Crson y ls simplifiiones propuests por ewis pr estudios freueni industril. s redes onstituyen el elemento más omún en un sistem elétrio de poteni. Con fines de nálisis en estdo estionrio y diseño del sistem elétrio se podrí suponer ondutores ideles si l red tuvier un distni muy pequeñ, pero l relidd es otr, y que ls redes se onstruyen on el fin de trnsportr energí de ls fuentes l usurio o entre subestiones on fines de interonexión.

6 Introduión Sobre un red preen utro fenómenos físios que no se pueden ignorr dependiendo de l distni y del voltje de operión. Estos fenómenos físios son los siguientes: Efeto resistivo, responsble del lentmiento del ondutor y de íd de tensión lo lrgo del ondutor. resisteni depende del tipo de mteril del ul esté heho. Este efeto es dominnte sobre los demás en redes de bj tensión, debido l libre de los ondutores que se emplen en dihos niveles de tensión. Efeto indutivo, debido los enles de flujo que roden l ondutor, redos por su propi orriente y por ls orrientes de los otros ondutores. Este efeto se ignor generlmente en redes de bj tensión donde el efeto resistivo es myor que l retni indutiv. Se empiez onsiderr en redes donde los ondutores presentn un retni indutiv omprble on el l resisteni retivo, omo es el so de ls redes de distribuión. A medid que ument el nivel de tensión, l resisteni de los ondutores empledos es muho menor que l retni indutiv, omo es el so de un líne de 0 k donde l relión X/R es del orden de 8 y pr un líne de 500 k del orden de 4. En redes de lt tensión el efeto indutivo es el limitnte de ls trnsferenis de poteni tiv. Efeto pitivo, debido ls orrientes de desplzmiento en derivión que se presentn entre ondutores y entre estos y el suelo. Ests orrientes de desplzmiento he que los ondutores se rguen undo son energizdos, ún on l líne en vío.

7 Introduión pitni se desprei normlmente pr redes on longitud por debjo de 80 km. El efeto pitivo se empiez tener en uent en redes de longitud myor 80 km y que éste se entú por umento de l orriente de desplzmiento. El efeto prinipl de l pitni soid los ondutores es el umento de l tensión en el extremo de rg en vío. Este umento de tensión depende de l longitud de l red. r redes por debjo de 80 km l regulión está por debjo de 0.5%, rzón por l ul se onsider despreible el efeto pitivo. Cundo se trt de bles isldos ls onsideriones de longitud y no son válids y el efeto pitivo se debe onsiderr en si tods ls situiones. Efeto ondutivo. Un urto efeto es el de onduión de orrientes de fug debido ls rterístis del islmiento de l red. Ests orrientes se presentn debido l ontminión del medio mbiente que rode l ondutor. Este efeto normlmente se ignor en lo que respet l iruito que represent l red en funionmiento norml en estdo estionrio. s pérdids de poteni tiv que osionn ests orrientes si se tienen en uent en l seleión de ondutores pr línes de lt tensión, undo se evlún ls pérdids por efeto "oron". Un vez que se h tomdo l deisión de diseñr y onstruir un nuev red, se he neesrio un modelo que represente deudmente l red en los diferentes estudios donde ést esté involurd. modelión pr estudios de estdo estionrio de l red, se he medinte un iruito en form generl n-fásio.

8 Introduión 4 El modelo iruitl pr un red de trnsmisión de energí se onstruye prtir de ls leyes de l Físi que desriben mtemátimente los efetos físios nteriormente expuestos. s redes son del tipo trifásio de uno o vrios iruitos. Es usul en Colombi el utilizr ble de gurd omo medio de pntllmiento ontr desrgs tmosféris, en redes éres, debido l lto nivel eráunio que se present en l myorí de ls regiones. El ble de gurd he ls vees de ondutor neutro l estr elétrimente en ontto on l torre. r estudios trnsitorios rápidos, los modelos deben involurr ls vribles tiempo y desplzmiento, dndo lugr los modelos distribuidos de ond vijer, los ules mnejn un onepto reltivist, y que un evento que prez l iniio de l líne neesit de un tiempo determindo pr propgrse, ddo por l veloidd on que ls onds de orriente y voltje se desplzn lo lrgo de l red.

9 IMEANCIA SERIE E UNA RE AÉREA íd de voltje lo lrgo de un ondutor que trnsport un orriente ltern se debe dos fenómenos físios: efeto resistivo propio del ondutor y el efeto de l utoinduión motivdo por l preseni de mpo mgnétio vrible en el tiempo que rode l ondutor. s línes de mpo mgnétio son osionds por l propi orriente y por orrientes de línes prlels veins, pr el so de línes on vrios ondutores. Un red está formd en generl por n ondutores opldos entre si. Este oplmiento es tnto resistivo omo indutivo. En l obtenión de l impedni serie de un red trifási ére se v seguir l siguiente metodologí: Cálulo de l resisteni AC del ondutor inluyendo lgunos efetos omo l tempertur y el retorno por tierr. lntemiento de l euión bási pr el flujo ligdo sobre un ondutor, redo por su propi orriente. eterminión del flujo ligdo sobre un ondutor debido un grupo de vris orrientes.

10 Impedni serie de un red ére 6 Con l generlizión nterior se prtiulriz pr un red trifási de un ondutor por fse. Se onsider el so de suelo idel (perfetmente ondutor). Se le d un interpretión l mtriz de retnis indutivs, pr el so de red trifási. Se determinn ls indutnis de seueni, hiendo ls onsideriones de red ompletmente trnspuest. Se hen ls orreiones ls expresiones de impedni serie obtenids pr suelo idel, l onsiderr ls rterístis de suelo rel. Se plnten ls expresiones de Crson y se onsider finlmente un soluión práti 60 hz, que es l proximión de ewis. Se plnte el so de un fse onstituid por un grupo de ondutores formndo un hz. Se onsider el efeto que tienen los bles de gurd sobre l impedni de seueni ero de un red trifási.. RESISTENCIA E A INEA os ondutores que normlmente se utilizn en línes éres son de luminio y lm de ero reforzdo (ACSR), ondutor totlmente de luminio (AAC), ondutor totlmente de leión de luminio (AAAC), ondutor de luminio reforzdo (ACAR). Estos ondutores de estos

11 Impedni serie de un red ére 7 mteriles ofreen buens rterístis l trión meáni (so del ACSR), buen ondutividd y demás poseen poo peso. r determinr el efeto resistivo de los ondutores se puede her por álulos o por mediiones. En primer instni pree senillo el álulo de l resisteni de un ondutor, pero hy vrios ftores que omplin diho álulo. Estos ftores son los siguientes: l tempertur, efeto skin (peliulr), l form espirl de los hilos que omponen el ondutor (espirlizión), l freueni de l orriente, l tierr omo sistem de retorno. El vlor de l resisteni efetiv se puede obtener prtir de l mediión de pérdid de poteni y del vlor efetivo de l orriente. El vlor de l resisteni obtenido de est mner serí: pérdids de poteni en el ondutor R Ω (.) I resisteni C de un ondutor de mteril uniforme se puede lulr omo: RC ρ l A (.) donde, R C resisteni C del ondutor en Ω. A áre de l seión trnsversl del ondutor, en m² l longitud del ondutor, en m. ρ resistividd del mteril del ondutor, en Ω.m.8 x 0-8 Ω.m pr el luminio 0 C.

12 Impedni serie de un red ére 8 resistividd del mteril del ondutor vrí en form proximdmente linel on l tempertur. Est vriión se puede lulr on l siguiente expresión: T +T 0 ρ ρ (.) T +T 0 donde, T,T son ls temperturs en C orrespondientes ls resistividdes ρ y ρ respetivmente. T 0 es un onstnte que puede tomr los siguientes vlores, 4.5 pr obre reoido de 00% de ondutividd, 4 pr obre estirdo en frío de 97.% de ondutividd, 8 pr luminio estirdo en frío de 6% de ondutividd.. INFUENCIA E EFECTO SKIN EN A RESISTENCIA resisteni tmbién se ve fetd por el efeto skin (peliulr o superfiil). Este onsiste en l tendeni que tiene l orriente ltern onentrrse en l superfiie del ondutor, efeto que se inrement on l freueni. resisteni se ve inrementd on este efeto y que disminuye l áre efetiv del ondutor pr trnsportr l orriente. El álulo del inremento de l resisteni debido l efeto skin es omplejo, dndo lugr euiones tipo Bessel. r efetos prátios l orreión por este efeto se v onsiderr l tomr el vlor de resisteni l orriente ltern de ls tbls que suministrn los fbrintes. Este vlor

13 Impedni serie de un red ére 9 se d pr l freueni de trbjo del ondutor, un tempertur determind y pr diferentes vlores de orriente (pequeñs y 75% de l orriente nominl).. INFUENCIA E SISTEMA E RETORNO EN A RESISTENCIA. Cundo el sistem de retorno de un orriente es un ondutor físio o un tierr de rterístis ideles ( ρ 0.0), l resisteni totl será simplemente l sum de ls dos resistenis de los respetivos ondutores, el de fse y el de retorno. Cundo el sistem de retorno lo onstituye l tierr físi l resisteni totl está dd por ls orreiones de Crson: RTOTA R AC + R (.4) donde R es un serie infinit, -4 π 4-4 f R 8π.0 f - 0 π.0 h... (.5) 8 ρ donde, h es l ltur del ondutor on respeto l superfiie del suelo en m. f es l freueni de l orriente en hz. ρ es l resistividd del suelo en Ω.m. r álulos 60 hz. un soluión que se onsider práti es onsiderr únimente el primer término de l serie. r este so l orreión serí

14 Impedni serie de un red ére 0 un término onstnte que es independiente de l ltur del ondutor. En lo suesivo este término onstnte de orreión por retorno por tierr se le llmrá Rn, y su vlor será: Ω Rn Km (.6).4 INUCTANCIA E A INEA E TRANSMISION fuerz eletromotriz (FEM) induid lo lrgo de un ondutor, de uerdo l ey de Frdy de l Induión, se lul de l mner siguiente: dφ d e FEM E.dl - - B.dS dt dt (.7) S e uerdo l nterior euión, l fuerz eletromotriz está definid omo l integrl de líne del mpo elétrio. Igulmente se puede evlur l fem omo l vriión del flujo ligdo on respeto l tiempo. El signo menos se introdue de uerdo l ey de enz, pr definir el sentido de l difereni de potenil que se opone l orriente que produjo l íd de tensión. relión entre el flujo ligdo, l indutni y l orriente, se puede obtener prtir de l siguiente euión: di dφ dψ e v N (.8) dt dt dt e donde se puede estbleer:

15 Impedni serie de un red ére ψ i (.9) onde, ψ orresponde l flujo ligdo. e l euión.8 se puede estbleer que el flujo ligdo es igul l flujo mgnétio multiplido por el ftor N. Este ftor N tiene un signifido un poo diferente l que normlmente tiene en un bobin, por ejemplo, (donde orresponde l número de vuelts). r el so de puntos exteriores un ondutor, N tiene un vlor de uno (.0) y pr puntos interiores N orresponde l frión de orriente totl que es roded por un diferenil de flujo. nterior euión (teorem del flujo ligdo) nos die que existe un relión diret entre el flujo ligdo y l orriente. El flujo ligdo totl sobre un ondutor es el resultdo del flujo ligdo interno del ondutor y el flujo ligdo externo l ondutor. ey de Ampere permite lulr l fuerz mgnetomotriz (FMM), en mperios-vuelt lrededor de un tryetori errd: FMM.dl I enerrd (.0) donde, Intensidd de mpo mgnétio, A/m l istni trvés del pso de integrión, m I Corriente enerrd por l tryetori de integrión, A. Si se esoge un tryetori de integrión deud, l integrl errd se puede evlur de mner fáil. er Figur..

16 Impedni serie de un red ére FIGURA. ínes de intensidd de mpo mgnétio x reds por un orriente.5 INTENSIA E CAMO MAGNETICO EBIO A A CORRIENTE E UN SOO CONUCTOR En puntos interiores del ondutor, es deir pr vlores de x r, se tiene: x enerrd I (.) r I x x.dl I (.) r En l tryetori esogid de integrión x tiene un vlor onstnte, π x x x I (.) r

17 Impedni serie de un red ére e lo nterior se dedue que pr puntos interiores, l intensidd de mpo mgnétio se puede evlur, x π r x I (.4) r puntos exteriores, lo únio que mbi en l evluión de l euión.0 es l orriente enerrd por l tryetori de integrión, que en este so y orresponde l totlidd de l orriente I. I x.dl I x (.5) π x El mpo x pr puntos interiores y exteriores se ilustr en l Figur., donde se observ que pr vlores de x r l intensidd de mpo mgnétio vrí linelmente on l distni l entro del ondutor y pr vlores de x > r, el mpo deree y lo he de mner invers l inremento de x..6 CACUO E FUJO IGAO TOTA Tl omo quedó estbleido en l euión.9 pr lulr l indutni de un ondutor en el espio (sin efeto del suelo), hy que evlur el flujo ligdo totl que produe l orriente que irul por el ondutor. En l Figur. se ilustr este flujo ligdo totl hst un punto exterior que está un distni del entro del ondutor.

18 Impedni serie de un red ére 4 FUJO IGAO EXTERNO SUERFICIE E CONUCTOR r FUJO IGAO INTERNO FIGURA. Flujo ligdo totl debido un orriente r l evluión del flujo ligdo interno, se reliz l integrión en un tryetori rdil desde x0 hst xr, y tomndo un diferenil de áre omo se ilustr en l Figur..

19 Impedni serie de un red ére 5 x da dx FIGURA. Tryetori pr álulo de flujo ligdo interno r l evluión del orrespondiente flujo ligdo externo se reliz l respetiv integrión desde xr hst un punto externo un distni genéri y tomndo un diferenil de áre omo el que se ilustr en l Figur.4.

20 Impedni serie de un red ére 6 E x INEAS E CAMO MAGNETICO CONUCTOR l da CORRIENTE I x dx FIGURA.4 Tryetori de integrión pr álulo de flujo ligdo externo s euiones básis pr obtener el flujo ligdo totl serín: d ψ N dφ (.6) donde, B dφ B.dA (.7) ensidd de flujo mgnétio El diferenil se tom por d unidd de longitud, es deir, l.dx da dx (.8) l e ls euiones.6,.7,.8 y demás reordndo l relión que existe entre l intensidd de mpo mgnétio y l densidd de mpo mgnétio B (Bµ), un diferenil de flujo ligdo en ulquier punto se puede evlur omo:

21 Impedni serie de un red ére 7 d ψ N µ dx (.9) iendo l orrespondiente integrión se obtiene l expresión pr el flujo ligdo interno: ψ µ I 8 π interno (.0) r el flujo ligdo externo, se obtiene: µ I ψ externo (.) π r El flujo ligdo totl, será entones: µ I ψ 4 totl + π r (.) Como el flujo ligdo interno result independiente del rdio del ondutor, l euión. se puede expresr de mner que se elimine el flujo ligdo interno y quede expresdo el flujo ligdo totl en funión de un rdio fitiio (r'), que represent un ondutor sin flujo interno, donde, µ I ψ totl (.) π r - r.e (.4) r 4 Según l euión. l indutni de un ondutor ilíndrio, serí:

22 Impedni serie de un red ére 8 µ π r (.5).7 FUJO IGAO SOBRE UN CONUCTOR EBIO A UN GRUO E CORRIENTES Sobre un ondutor demás de su propi orriente, tmbién tienen influeni ls orrientes de ondutores veinos. Estos últimos ren enles de flujo que roden l ondutor sobre el que se dese lulr el flujo ligdo totl. er Figur.5 FUJO IGAO SOBRE E CONUCTOR CREAO OR A CORRIENTE I UNTO I FUJO IGAO SOBRE E CONUCTOR CREAO OR A CORRIENTE I I FIGURA.5 Flujo ligdo debido un grupo de ondutores

23 Impedni serie de un red ére 9 r el álulo del flujo ligdo totl sobre un ondutor debido un grupo de orrientes, se puede utilizr l euión. pr l evluión del flujo ligdo totl debido su propi orriente. El álulo del flujo ligdo sobre el ondutor debido otrs orrientes, se puede her on l euión., pero evludo desde un distni hst un distni l entro del ondutor: µ I ψ externo (.6) π Tl omo se ilustr en l Figur.5, solmente se v onsiderr un grupo de dos orrientes tundo sobre un ondutor y prtir del resultdo se he l orrespondiente generlizión. ψ ψ + ψ (.7) µ I µ I ψ + π r π (.8) iendo l siguiente desomposiión, µ ψ I + I + I + I (.9) π r Como l sum de orrientes debe ser ero, se puede expresr I en funión de I. Agrupndo términos l euión.9 se puede expresr de l siguiente mner: µ ψ I + I + I (.0) π r

24 Impedni serie de un red ére 0 En l euión nterior el último término tiende ero, undo se evlú el flujo ligdo hst un punto muy lejdo. euión.0 qued reduid : µ ψ I + I (.) π r Generlizndo l nterior euión, µ ψ i I + I I i I n (.) π i i ri in nterior euión orresponde l flujo ligdo por unidd de longitud sobre un ondutor genério i (ψ i ), debido un grupo de n orrientes..8 INUCTANCIA E UNA INEA TRIFASICA CONSIERANO SUEO IEA Iniilmente se v onsiderr el so de un líne monofási, que trnsport un orriente I, y se enuentr sobre un suelo idel (ondutividd infinit). Sobre l superfiie del terreno idel, el mpo mgnétio, redo por l orriente del ondutor, es tngente. er Figur.6.

25 Impedni serie de un red ére CORRIENTE I INEAS E CAMO MAGNETICO CORRIENTE IMAGEN FIGURA.6 Corriente sobre un suelo perfetmente ondutor r umplir on l nterior ondiión de borde, el suelo se puede reemplzr por un orriente imgen situd un distni h del ondutor que trnsport l orriente y on un direión ontrri. r un red trifási se puede plir el mismo reurso de ls orrientes imágenes. er Figur.7.

26 Impedni serie de un red ére I b b I Ib b b' ' bb' ' b' ' FIGURA.7 b' -Ib ' -I -I íne trifási y orrientes imágenes r lulr el flujo ligdo sobre los ondutores,b,, se utiliz l euión. inluyendo l ontribuión de ls orrientes imágenes. El flujo ligdo sobre el ondutor, serí: ψ µ I π r + I + I - I b b b b - I - I (.) euión. se puede utilizr pr evlur el flujo ligdo pr ls dos fses restntes. El resultdo se puede expresr mtriilmente:

27 Impedni serie de un red ére I I I r r r b b b b b b b b b b b b b π µ ψ ψ ψ (.4) I I I b b b bb b b b ψ ψ ψ (.5) nterior euión tiene l mism form de l euión.9 ( i ψ ). Se onluye que l mtriz de indutnis pr un líne trifási sobre suelo idel, es l siguiente:

28 Impedni serie de un red ére 4 b r µ π b b r b b b b b b b r b b (.6) euión.5 esrit en form ompt, Ψ b b. I b (.7) orrespondiente generlizión de un elemento de l mtriz de indutnis pr un líne de n ondutores serí: ij ii µ i i π ri µ i π j ij pr i j (.8) (.9) permebilidd mgnéti µ pr el ire se tom igul l del vío. Este vlor orresponde : -7 µ m µ µ 0 4 π x 0 0, (.40) m π Km.9 MATRIZ E REACTANCIAS INUCTIAS E UNA RE TRIFASICA

29 Impedni serie de un red ére 5 euión.7 puede llevrse un euión fsoril que relione ls íds de potenil on ls orrientes, ψ ψ j w dt (t) d (t) (.4) euión.4 se puede onvertir en un relión entre ls diferenis de potenil en los ondutores y ls orrientes de líne, I I I r r r w j b b b b b b b b b b b b b π µ (.4) I I I X X X X X X X X X j b b b bb b b b (.4) s diferenis de potenil y orrientes en ls dos euiones nteriores son vribles fsoriles. euión.4 en form ompt: I. X b b b (.44)

30 Impedni serie de un red ére 6.0 INTERRETACION E A MATRIZ E INUCTANCIAS interpretión de d uno de los términos de l mtriz de indutnis pr un líne trifási se ilustr en l Figur.8. b b bb b b I ' b Ib b bb b' I FIGURA.8 b ' Ciruito indutivo pr líne trifási os términos de l digonl prinipl orresponden ls indutnis propis de d fse o de d ondutor, pr el so de un ondutor por fse. os términos fuer de l digonl prinipl orresponden ls indutnis mutus entre fses.. INUCTANCIAS ARA RE TRIFÁSICA TRANSUESTA En un red trifási undo los ondutores no tienen un disposiión geométri equiláter, ls indutnis propis no son extmente igules

31 Impedni serie de un red ére 7 entre si. Similrmente suede on ls indutnis mutus. El blne de ls tres fses puede logrrse, intermbindo l posiión de los ondutores intervlos regulres lo lrgo de l líne. r el so de un líne trifási de un solo iruito, l líne se divide en tres trmos, tl omo se ilustr en l Figur.9. I TRAMO # TRAMO # TRAMO # b I b bb b bb b bb b I b b FIGURA.9 Cilos de trnsposiión En l Figur.9 ls posiiones geométris se representn por ls letrs,b y. r el primer trmo, l relión entre voltjes y orrientes es: ψ ψ ψ b b bb b b I I I (.45) r el segundo trmo,

32 Impedni serie de un red ére 8 ψ ψ ψ b b bb b b I I I (.46) r el terer trmo, ψ ψ ψ b b bb b b I I I (.47) El flujo ligdo por unidd de longitud sobre d ondutor pr tod l longitud de l líne se puede evlur omo el promedio de los flujo ligdos que tiene d ondutor en los tres trmos. ψ ψ ψ + bb + b b + b b b + + b + bb + b + b + b I + b + b + b + I + + bb I (.48) Se observ en l mtriz de indutnis pr líne trnspuest que los términos de l digonl prinipl son igules entre si, lo mismo que ls

33 Impedni serie de un red ére 9 indutnis mutus. Teniendo en uent ls nteriores onsideriones, l mtriz de indutnis tiene l siguiente form, S M M M S M (.49) b M M S nuev euión mtriil de los flujos ligdos en funión de ls orrientes de líne serí, ψ ψ b ψ S M M M S M M M S I I I b (.50) s expresiones pr S y M son ls siguientes, S µ π. r.r b b b..r (.5) M µ π b b.... b b (.5) Al término fses o MG... b b se le denomin distni medi geométri entre Al término.r. se le denomin el rdio medio geométrio de l red o r b r R MG, que pr el so de ondutores igules es equivlente l rdio medio geométrio del ondutor (0,7788*r pr ondutor mizo).

34 Impedni serie de un red ére 0. INUCTANCIAS E SECUENCIA ARA INEA TRIFASICA Tl omo se indió en el iruito equivlente indutivo de un líne trifási, éste onstituye un sistem opldo. Un iruito mgnétio on oples difiult muho los álulos que se hgn sobre el sistem de poteni. Si l líne es ompletmente trnspuest o se puede sumir omo tl, l trnsformión de omponentes simétris ofree un lterntiv muy trtiv on el fin de simplifir el iruito indutivo. relidd es l de que muy pos línes son ompletmente trnspuests, pero se puede sumir pr poder utilizr de mner senill l trnsformión de omponentes simétris. efiniendo los flujos ligdos sobre ls fses y ls orrientes de líne en funión de los flujos ligdos de seueni y de ls orrientes de seueni, ψ b T. ψ 0 (.5) b T. I (.54) I 0 Reemplzndo ls euiones.5 y.54 en l euión.50, T. 0 0 ψ b.t.i (.55) remultiplindo por T - en mbos miembros de l euión nterior, - ψ T.b.T.I 0 (.56) 0 0

35 Impedni serie de un red ére S M M M S M M M S 0 (.57) M S M S M S 0 (.58) euión.58 orresponde l mtriz de indutnis de seueni. mtriz es ompletmente digonl, lo ul indi que en el dominio de ls omponentes de seueni existen tres iruitos indutivos independientes. er Figur.0. euión.56 quedrí omo, I I I ψ ψ ψ (.59)

36 Impedni serie de un red ére S M M M S M 0 0 M M S 0 0 I S ' I0 0 b Ib M S M b' I I M S ' I FIGURA.0 Indutnis de seueni indutni de seueni positiv y negtiv pr un líne trifási, serí: µ π. b b.. b.. b b.. r.r b..r b (.60) r un líne, l nterior euión se puede proximr : µ π b. r.r b..r b µ MG π R MG 0, MG R MG m Km (.6) indutni de seueni ero serí: 0 µ π. b b b..... b b. r.r b.r b. (.6) iendo un ordenmiento de l euión nterior,

37 Impedni serie de un red ére 0 µ π 9. b b. b.. b b..b. r.rb.r (.6) Mtemátimente un distni medi geométri ( MG ) entre un grupo de elementos de un onjunto on otro grupo de elementos de otro onjunto, se define omo l ríz n-ésim de tods ls distnis posibles, entre d uno de los elementos del primer onjunto on los elementos del segundo onjunto. En l Figur. se observn ls distnis posibles entre un onjunto de elementos y otro onjunto de 5 elementos. d e b f g FIGURA. istnis posibles entre onjuntos de y 5 elementos r el so ilustrdo l MG está definid omo: MG 0 d e f g b bd be bf. bg (.64) El onepto de MG se puede plir tmbién más de dos onjuntos de elementos. r el so de tres onjuntos unitrios, omo es el so de un líne trifási de un ondutor por fse, l distni medi geométri orresponde l ríz úbi de ls distnis entre elementos.

38 Impedni serie de un red ére 4 iendo uso del onepto de l distni medi geométri, l euión.6 puede ser esrit de l siguiente mner: donde, e µ e π R MG.MG 0 (.65) es l distni medi geométri entre ls orrientes de los ondutores de fse y sus respetivs imágenes. MG es l distni medi geométri entre fses. R MG orresponde l rdio medio geométrio. to que normlmente se obtiene de ls tbls de fbrintes de ondutores. Un interpretión, er de un red trifási on retorno por tierr, que se puede her prtir de l expresión de l indutni de seueni ero, serí l de un red equivlente que tiene omo sistem de retorno un ondutor fitiio situdo un distni igul e. er Figur.

39 Impedni serie de un red ére 5 I b b I I b b I Ib b Ib b b' ' bb' ' e e b' e b' CONUCTOR FICTICIO E RETORNO -Ib ' -I ' -I FIGURA. íne trifási on ondutor de retorno equivlente. IMEANCIA SERIE E UNA RE CON RETORNO OR TIERRA CONSIERANO SUEO REA st hor se h onsiderdo el suelo on uns rterísitis ideles, es deir de un ondutividd infinit. rtiendo del heho de que no es posible resolver el problem teniendo en uent ls rterístis desigules de l superfiie del suelo, y ps on diferentes resistividdes, Crson estudió el problem onsiderndo l tierr omo un plno sólido semi-infinito y homogéneo. s soluiones que obtuvo Crson son orreiones ls que se hn obtenido onsiderndo suelo idel. s expresiones de impedni serie desrrollds por Crson pr un ondutor genério i son ls siguientes:

40 Impedni serie de un red ére 6 r l impedni propi del ondutor, Z ii R i + R ii + w µ j π r i i i + X ii Ω Km (.66) r ls impednis mutus, donde, Ri ri Z ij Rij + w µ j π i j ij + X ij Resisteni AC del ondutor en Ω/Km Ω Km (.67) Rdio orregido del ondutor i. RMG de tbls de fbrinte. i i istni del ondutor i su imgen i j istni del ondutor i l imgen del ondutor j ij istni del ondutor i l ondutor j s nteriores definiiones se pueden observr en l Figur.

41 Impedni serie de un red ére 7 i Xij ij j ij ii j i FIGURA. Geometrí de torre pr dos ondutores genérios s orreiones en l impedni mutu Rij, X ij dependen del ángulo θ ilustrdo en l Figur., de l distni entre el ondutor i y l imgen del ondutor j, demás de depender de l resistividd y de l freueni. r el so de ls orreiones en l impedni propi se utilizn ls misms expresiones pr ls orreiones en l impedni mutu hiendo el ángulo θ igul 0 y l distni i j en l distni del ondutor su imgen, es deir en *h. s orreiones pr impednis mutus son: R ii µ.w.. π 4 w.0-4. Ω Km (.68) X µ π -4 ij.w..q.q 4 w.0 Ω Km (.69)

42 Impedni serie de un red ére 8 En ls dos euiones nteriores w orresponde l freueni ngulr (rd/seg) y los términos y Q vlores dimensionles uys expresiones son ls siguientes: π k - k. osθ +. os θ * 0, k 4 k k. os θ π k +. θ.sen θ + -. os 4θ (.70) donde, k π k k. osθ Q - 0, k. osθ -. os θ + k k. θ k. os4θ -.sen4θ -. +, k.8x 0 - (.7) f. i j. (.7) ρ - X ij θ sen (.7) i j s euiones pr y Q orresponden los primeros términos de un serie infinit. os términos que se hn indido en ls euiones.70 y.7 dn un buen preisión pr todos los álulos que se hgn bj freueni..4 AROXIMACIÓN E EWIS ARA CÁCUO E IMEANCIA SERIE A BAJA FRECUENCIA Un proximión que se onsider práti pr álulos bj freueni es l denomind proximión de ewis. Est proximión onsider

43 Impedni serie de un red ére 9 solmente el primer término en l serie de pr el álulo de R. r el álulo de l orreión X onsider los dos primeros términos pr Q. s euiones.66 y.67 onsiderndo l proximión de ewis quedrín: -4 π w µ i i Z ii Ri + 4 w.0. + j + x - 0, π ri k Ω Km (.74) Reemplzndo el vlor de k de uerdo l euión.7, se lleg l siguiente expresión: Z ii R i + ρ 658,86-4 w µ f π x 0 x w + j (.75) π ri Rn r un freueni industril de 60 hz y definiendo, e 658,86 ρ f m pr ρ en Ω.m f en hz (.76) Z ii R i j 0,0754 e Ω (.77) ri Km r ls impednis mutus, Z ij Rn + w µ e j π ij 0,059 + e j 0,0754 ij Ω Km (.78)

44 Impedni serie de un red ére 40.5 AS IMEANCIAS E SECUENCIA CONSIERANO A AROXIMACION E EWIS r un red trifási l mtriz de impednis serie Z b tendrí l siguiente form: Z b R + Rn Rn Rn R b Rn + Rn Rn R Rn Rn + + Rn e r wµ j π e b e e b e r b e b e e b e r (.79) Si l líne es ompletmente trnspuest o se onsider omo tl, l mtriz de impednis tendrá l form: donde, Z S Z S Z M Z M Z b Z M Z S Z M (.80) Z M Z M Z S w µ e R + Rn + j (.8) π R MG Z M Rn + w µ j π e MG (.8) s impednis de seueni de uerdo l proximión de ewis serín:

45 Impedni serie de un red ére 4 Z Z R + w µ MG j π R MG (.8) w µ Z0 R + Rn + j e π R MGx MG (.84) Si se omprn ls euiones nteriores, on ls euiones.6 y.65 se onluye que l impedni de seueni positiv no se ve fetd por el sistem de retorno, es deir que ls onsideriones que se hgn del suelo (idel o no), no fet el resultdo. impedni de seueni ero, por el ontrrio, si se ve fetd por el sistem de retorno. vriión de l impedni de seueni ero, teniendo en uent l influeni de un suelo rel, se ve reflejd en l modifiión de l distni e. En este so, est distni y no orresponde l distni medi geométri entre ls orrientes de ondutores y sus orrespondientes imágenes, sino que se evlú prtir de l euión.76. o nterior serí equivlente onsiderr un líne on un ondutor fitiio de retorno, situdo un distni de los ondutores de fse igul e 658,86 ρ / f metros..6 IMEANCIA E UNA RE ARA CONUCTORES EN AZ os ondutores en hz se pueden mnejr mtemátimente omo ondutores independientes, y luego medinte un proeso de reduión, onsiderndo que están en prlelo, se redue l líne un de tipo equivlente de un ondutor por fse. Un método simple onsiste en reduir el hz un ondutor equivlente ntes de empezr ulquier álulo.

46 Impedni serie de un red ére 4 r l determinión del equivlente pr un hz de ondutores, onsideremos, por ejemplo un fse formd por un hz de tres ondutores (er Figur.4). I I I I T FIGURA.4 z de tres ondutores relión entre ls íds de voltje lo lrgo de los tres ondutores y ls respetivs orrientes de líne está dd por l siguiente euión: Z Z Z Z Z Z Z Z Z I I I (.85) Suponiendo que ls tres orrientes son igules entre si, l difereni de potenil ( ) se puede lulr omo el promedio de ls tres diferenis de potenil sobre los tres ondutores, + + Z +Z +Z +Z + Z +Z 9 + Z + Z + Z x I T (.86)

47 Impedni serie de un red ére 4 Utilizndo ls euiones.75 y.78 pr expresr d término Z ij, R + Rn + w µ j π 9 r.r.r. e..... x I T (.87) Según l euión nterior el rdio equivlente pr representr el hz de tres ondutores serí: (.88) R MG 9 r r. r El rdio equivlente ( R MG ) pr diferentes onfiguriones de hz de ondutores se ilustrn en l Figur.5. d d d r d A r R MG r.d R MG r.d 4 n n- R MG,0905 r.d FIGURA.5 iferentes tipos de hz de ondutores R MG n r A En l Figur.5 l expresión pr el R MG del hz de ino ondutores es generl, o se que se puede plir ulquier tipo de hz on l ondiión que el rdio A esté definido.

48 Impedni serie de un red ére 44.7 IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFÁSICA E UN CIRCUITO CON UN CABE E GUARA Cundo un líne tiene bles de gurd terrizdos, el retorno por tierr se ve fetdo por l preseni de estos ondutores. El efeto de los ondutores de gurd es ofreer un mino lterno pr l irulión de orrientes de seueni ero y por eso únimente fet l impedni de seueni ero. r determinr l expresión orrespondiente onsideremos todos los oples que están presentes entre ls fses y el ble de gurd. er Figur.6. El iruito trifásio se liment on un fuente de voltje de seueni ero. r obtener l impedni de seueni ero ( Z 0 ) bst on determinr l relión / I 0 0. Io Zs Io Zm Zs Io Zs Zfg + - o Igo Zg FIGURA.6 íne trifási de un iruito y un ble de gurd

49 Impedni serie de un red ére 45 difereni de potenil en ls fses es igul 0 y se puede evlur en un de ls tres rms, 0 Z s. I 0 + Z M. I 0 - Z fg. I g (.89) 0 En l rm orrespondiente l ble de gurd, Z fg. I 0 I g 0 (.90) Z g Reemplzndo.90 en.89 se obtiene l relión pr l impedni de seueni ero, Z Z ( + Z ) - fg Z Z Z - fg 0E S M 0 (.9) Z g Zg.8 IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFASICA E UN CIRCUITO CON OS CABES E GUARA En l Figur.7 se observ los oples de impednis que se presentn entre ls tres fses de un iruito y los dos bles de gurd.

50 Impedni serie de un red ére 46 Io Zs Io Zm Zs Io Zs + - o Igo Zg Zfg Zfg Igo Zgg Zg FIGURA.7 íne trifási de un iruito y dos bles de gurd euión de voltjes sobre un mll orrespondiente un de ls fses, 0 ( Z 0 + Z M ) I 0 - Z fg. I g (.9) 0 euión de voltjes sobre uno de los bles de gurd, Z fg I g 0. Z g Z fg. I 0 - Z gg. I g0 _ I g0 I 0 (.9) Z g + Z gg impedni de seueni ero será entones, 6 Z 6 Z ( + ) - fg Z - fg Z 0E Z S Z M 0 (.94) Zg + Z gg Z g + Z gg.9 IMEANCIA E SECUENCIA CERO E UNA RE TRIFASICA E OS CIRCUITOS CON OS CABES E GUARA

51 RIMER CIRCUITO SEGUNO CIRCUITO Impedni serie de un red ére 47 Un líne trifási de dos iruitos on dos bles de gurd y los oples de impedni se observ en l Figur.8. Zs Zs Zs Zp Io Zs Io Zm Zs Io Zs + - o Zfg Igo Zg Zfg Zfg Igo Zgg Zg FIGURA.8 íne trifási de dos iruitos y dos bles de gurd r este so existe ople de seueni ero entre los dos iruitos trifásios. r el so de que no existiern los bles de gurd o estuviern isldos, este ople serí de. Z. euión de voltjes sobre un fse del primer iruito serí: 0 ( Z S + Z M ) I O - Z fg. I g 0 (.95)

52 Impedni serie de un red ére 48 euión de voltjes sobre uno de los bles de gurd, Z fg Z fg. I 0 - Z gg. I g 0 Z g. I go _ I g 0 I (.96) Z g + Z gg 0 impedni de seueni ero pr d iruito serí entones: 6 Z 6 Z ( + ) - fg Z - fg Z 0E Z S Z M 0 (.97) Zg + Z gg Z g + Z gg El voltje que pree induido sobre el iruito bierto serí, Z. I - Z Z 6 Z - fg Z g + Z. I ind 0 fg I g0 0 gg (.98) Se onluye entones que el ople de seueni ero entre iruitos serí, Z M 0E Z 6 Z - fg Z g + Z gg Z M 0 6 Z - Z g + Z fg gg (.99) red de seueni ero pr est onfigurión de líne se ilustr en l Figur.9.

53 Impedni serie de un red ére 49 Z 0E M Z 0E Z 0E REFERECIA E SEC. CERO FIGURA.9 Red de seueni ero pr líne doble iruito y dos bles de gurd red de l Figur.9 es generl pr un red trifási, que teng hst dos iruitos.

54 +++ CAACITANCIA E UNA RE AÉREA Un red formd por un solo ondutor tiene ls rterístis de un ondensdor donde un pl es un ilindro metálio y l otr pl es l superfiie del terreno (er Figur.) FIGURA. Configurión ilindro plno de un red Cundo l red tiene un distni onsiderble, el efeto pitivo tre omo onseueni un nivel de voltje en vío, en el extremo de rg, superior l nivel de voltje de l fuente. (Figur.) pitni de l red normlmente no se onsider pr distnis orts (d<80 Km). ero pr distnis myores hy que onsiderr su efeto, y que l inyeión de retivos por prte de l red l sistem,

55 Cpitni de un red ére 5 empiez ser onsiderble, hst el punto que ls redes de myor nivel de voltje, deben ser ompensds medinte retores. r llegr un modelo pitivo de un red trifási se vn seguir los siguientes psos: Como un red trifási está formd por un serie de ondutores, d uno de éstos se onsider omo portdor de un rg linel uniformemente distribuid. Se plnte un expresión generl pr lulr l difereni de potenil entre dos puntos en el espio debido un distribuión linel de rg. Aplindo l metodologí de ls rgs imágenes, un red trifási sobre un suelo ondutor se onsider equivlente, un sistem ompuesto de ls rgs reles de los ondutores de fse y sus respetivs imágenes de rg. Se plnte pr un red trifási de un ondutor por fse l relión entre voltjes induidos y ls rgs de los mismos. s pitnis soids un red preen expresds desde el punto de vist mtriil. Se plnte un interpretión físi de l mtriz de pitnis de un red. Se luln ls pitnis de seueni pr un red sin onsiderr el efeto de los bles de gurd y suponiendo que hy trnsposiión omplet.

56 Cpitni de un red ére 5. IFERENCIA E OTENCIA ENTRE OS UNTOS EBIO A UNA ISTRIBUCIÓN INEA E CARGA Considerndo un trmo de ondutor (Figur.) de longitud l. x da ds x Q SUERFICIE GAUSSIANA l FIGURA. Superfiie gussin rodendo un ondutor rgdo superfiie gussin lrededor de un trmo de ondutor tiene ls siguiente rterístis: El flujo elétrio en ls rs irulres es ero porque no hy línes de mpo en est direión. En l superfiie ilíndri l densidd de flujo elétrio ( x ) es onstnte. Esto permite evlur on filidd l euión de l ey de Guss. ψ.da q Q q.l (.) E sup erfiie enerrd donde, ψ E Flujo elétrio

57 Cpitni de un red ére 5 ensidd de flujo elétrio, C/m² q Crg linel por unidd de longitud, Q/m Sobre l superfiie ilíndri l densidd de flujo elétrio es onstnte y será igul : x q (.) π x El mpo elétrio en l superfiie gussin depende de l permitividd elétri del medio (ire), ε. Est permitividd o onstnte dielétri se -9 F puede sumir proximdmente omo l del vío ( ε ε 0 x 0 ). 6 π m E x q π ε x /m (.) difereni de potenil en el ire debido un distribuión linel de rg se puede evlur prtir de l euión. y reordndo que el mpo elétrio se lul omo el grdiente del potenil multiplido por (-). En l Figur. se observ l tryetori seguid en l integrión del mpo elétrio pr evlur l difereni de potenil entre los puntos y.

58 Cpitni de un red ére 54 FIGURA. Tryetori de integrión pr el mpo elétrio v E. dx dx π ε x q (.4) v q π ε (.5). CAACITANCIAS E INEA TRIFASICA r determinr l pitni de un red trifási, hy que onsiderr el efeto del suelo. FIGURA.4 ínes de mpo elétrio pr ondutor sobre un superfiie pln metáli

59 Cpitni de un red ére 55 Sobre l superfiie del suelo el mpo elétrio es perpendiulr. distribuión de rgs sobre l superfiie del suelo se puede reemplzr por un rg imgen. er Figur.4. Un red trifási formd de un ondutor por fse sobre un suelo ondutor es equivlente l sistem de rgs y rgs imágenes que pree en l Figur.5. q b b q qb b b' ' bb' ' b' -qb b' ' -q -q ' FIGURA.5 Condutores rgdos e imágenes de rg pr red trifási euión.5 permite lulr l difereni de potenil entre d ondutor y su imgen debido l superposiión de ls seis rgs (q, qb, q, -q, -qb, -q) q π ε r + qb b b + q r - q - qb b b - q (.6)

60 Cpitni de un red ére 56 n q π ε b + qb + q b r (.7) Igulmente se puede evlur bn y n Expresndo en form mtriil, n bn n r π ε b b b b r b b b b b r b b q qb q (.8) n bn n b b bb b b q qb q (.9) euión.9 esrit en form ompt,. Q (.0) b b b mtriz b se denomin de oefiientes pitivos de Mxwell. e l euión.0 se onluye l form de lulr l mtriz de pitnis,

61 Cpitni de un red ére 57 C b - b (.). INTERRETACION FISICA E A MATRIZ E CAACITANCIAS r omprender on myor filidd el signifido físio de l mtriz de piddes es onveniente llevr l euión (8) l dominio fsoril y en vez de rgs, determinr l euión mtriil pr orrientes pitivs. i dq dt r r I j w q (.) orrespondiente euión mtriil pr ls orrientes fsoriles de desplzmiento (orrientes pitivs), serí: r I b j w [ ] r Cb b (.) r un sistem iruitl genério l euión nterior tiene l form: r I r [ Y ] donde, I etor de orrientes de inyeión nodles Y Mtriz de dmitnis nodl etor de voltjes nodles (.4) os elementos de l mtriz tienen signifidos bien definidos:

62 Cpitni de un red ére 58 os elementos de l digonl prinipl, se determinn omo l sumtori de ls dmitnis de ls rms que están onetds l nodo respetivo. os elementos fuer de l digonl prinipl, se determinn omo el inverso negtivo de l dmitni de onexión de los nodos orrepondientes l fil y olumn respetiv. Si el iruito es ompletmente pitivo, los elementos de l mtriz [Y ] sern suseptnis pitivs. s reliones entre mtriz y iruito serán omo se ilustr en l Figur.6. -C C Cb C Cb Cbb Cb C Cb C C+Cb+C -Cb b -Cb C+Cb+C Cb+Cbb+Cb FIGURA.6 Relión entre mtriz C b y iruito pitivo.4 CAACITANCIA ARA UNA INEA TRIFASICA CON TRANSOSICION Cundo un red, debido l disposiión simétri de ls fses y un grn longitud, pierde l rterísti de ser trifási blned.

63 Cpitni de un red ére 59 trnsposiión de fses es un ión remedil, est onsiste en que d fse oupe ls tres posiiones geométris posibles de ls disposiión que se teng. Relmente l trnsposiión se he sobre muy pos reds. OSICION OSICION b OSICION TRAMO # TRAMO # TRAMO # FIGURA.7 Trnsposiión de un red trifási En l Figur.7 ls letrs,b, representn l disposiión geométri de los ondutores y los números,, los respetivos ondutores en l red. mtriz [ b ] que depende de l geometrí de l red, v ser l mism en los tres trmos. r el primer trmo, l relión entre voltjes y rgs es: b b bb b b q q q (.5) r el segundo trmo, b b bb b b q q q (.6) r el terer trmo,

64 Cpitni de un red ére 60 b b bb b b q q q (.7) El voltje sobre los ondutores,, se puede evlur omo el promedio de los respetivos voltjes en los tres trmos. b + bb b + b b b + + b b + bb + + b + b + b + + b + + bb + b q q q (.8) mtriz [ b ] de l euión.8 present ls siguientes rterístis: os elementos de l digonl prinipl son igules entre si y se evlun omo el promedio ritmétio de los elementos de l mtriz [ b ] de l red sin trnsposiión. os elementos fuer de l digonl prinipl son igules entre si y se evlún omo el promedio ritmétio de los elementos de l mtriz [ b ] diferentes l digonl prinipl. mtriz resultnte present l siguiente form genéri,

65 Cpitni de un red ére 6 S M M b M S M (.9) M M S relión mtriil entre los voltjes y ls rgs present pr red trnspuest l siguiente form, b S M M M S M M M S q qb q (.0) os términos S y M son los siguientes, S π ε. b b. r.rb.r (.) M π ε b b.... b b (.) Al término b.. b, l igul omo se hizo on l indutni, se le denomin distni medi geométri entre fses o MG y el término.r. r b r pr un red de ondutores igules es equivlente l rdio físio.

66 Cpitni de un red ére 6.5 RAIO MEIO GEOMETRICO Y ISTANCIA MEIA GEOMETRICA ARA CONUCTORES EN AZ d r h FIGURA.8 Condutores en hz Cundo en un red preen hes de ondutores (so de l líne de 500 k) l representión mtriil de todos los ondutores drí lugr mtries de un orden elevdo. Un mner de simplifir el problem es reduir el hz de ondutores un ondutor equivlente. Con fines de demostrión onsideremos un red monofási de dos ondutores en hz. er Figur.8. r Req FIGURA.9 Condutor equivlente desde el punto de vist pitivo

67 Cpitni de un red ére 6 Aplindo l euión.9 l nterior red formd por dos ondutores, q q (.) Suponiendo que los dos voltjes son igules ( tmbién son igules ( ) y ls rgs q q ) y lulndo el voltje omo el promedio del q resultnte en los dos ondutores, result l siguiente relión entre el voltje y l rg: π ε 4. 4 r.....r. q. π ε RMG q (.4) e uerdo l euión nterior el rdio equivlente pr representr un hz de dos ondutores pr álulo de pitnis, serí: RMG r.d (.5) expresión generlizd pr álulo del rdio equivlente de un hz de n ondutores tiene l mism form que pr álulo de indutnis (er Figur.5). úni difereni onsiste en el rdio que se onsider. r álulo de indutnis se tom el R MG que es el rdio orregido l onsiderr el flujo interno. r álulo de pitnis se tom el rdio exterior del ondutor. El rdio equivlente pr ondutores en hz en álulo de pitnis tiene l siguiente form:

68 Cpitni de un red ére 64 r A FIGURA.0 z de ondutores genério n - RMG n r A n (.6).6 CAACITANCIAS E SECUENCIA E UNA RE TRIFASICA TRANSUESTA En l interpretión físi de l mtriz de pitnis que pree en l Figur.6 se observ que desde el punto de vist pitivo los tres ondutores de fse están opldos. Un herrmient mtemáti de permite desoplr en tres iruitos pitivos independientes desopldos es l trnsformión en omponentes simétris. T b. (.7) 0 T. Q Q (.8) b 0

69 Cpitni de un red ére 65 Reemplzndo ls euiones.7 y.8 en l euión.0, finlmente result un euión mtriil donde ls vribles en el dominio de ls omponentes de seueni están desoplds, 0 S + M 0 0 S 0 - M 0 S M q0 q q (.9) iendo el mismo desrrollo que se hizo pr ls indutnis de seueni, se lleg ls expresiones pr ls pitnis de seueni. C C π ε MG RMG 55,55 MG RMG Km nf (.0) donde, e C 0 π ε e RMG. MG π ε (.) e RMG. MG Es l distni medi geométri entre ls rgs de los ondutores y sus respetivs imágenes. Corresponde l mism distni que se definió pr indutni on suelo idel. MG Es l distni medi geométri entre fses. Igul l definiión heh pr indutnis. RMG Corresponde l rdio medio geométrio. r un fse ompuest por un solo ondutor equivle l rdio físio del respetivo ondutor.

70 RERESENTACION CIRCUITA E INEAS E TRANSMISION En los dos pítulos nteriores se hn obtenido ls mtries Z b y Y b por unidd de longitud, lo mismo que ls mtries Z 0 y Y 0 en el dominio de ls omponentes simétris. Un primer proximión pr representr iruitlmente un líne, serí l de un onexión en sd del elemento que se obtuvo pr representr l líne por unidd de longitud. Est representión se observ en l Figur 4.. TRAMO E Km [R] [X] [C] FIGURA 4. Representión de líne trifási on elementos opldos en sd representión iruitl de l Figur 4. se puede reduir tres iruitos monofásios, si se he un desomposiión en redes de seueni. Un iruito monofásio pr ulquier de ls tres seuenis se ilustr en l Figur 4..

71 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 67 FIGURA 4. Ciruito monofásio de un líne representión iruitl de l Figur 4. se onsider generl pr ulquier líne y se he medinte prámetros uniformemente distribuidos. ependiendo de l longitud de l líne, est se suele lsifir en tres tipos: íne ort de menos de 80 Km de longitud. íne medi entre 80 y 40 Km de longitud. íne lrg de más de 40 Km. r sos donde no se requier muh preisión línes hst de 00 Km se podrín onsiderr omo de longitud medi. longitud de ls línes depende básimente del nivel de tensión l ul deben trnsmitir poteni. Un riterio prátio, pero no generlizdo, es el de que un líne debe tener omo mínimo Kv por d Km de longitud. 4. INEAS E TRANSMISION CORTAS r un líne de trnsmisión ort se puede onsiderr despreible el efeto pitivo. r este so solo se tendrí resisteni e indutni por unidd de longitud y pr tod l longitud de l líne bstrí on

72 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 68 multiplir por l distni los prámetros obtenidos por unidd de longitud. El iruito equivlente pr líne ort se observ en l Figur 4.. R X I S I R R Q R S R CARGA FIGURA 4. Cuiruito equivlente monofásio pr líne ort En el iruito nterior R y X representn l resisteni y retni totl de l líne. r este so l orriente de l fuente y de l rg son ls misms. S y R orresponden los voltjes de l fuente y de l rg respetivmente. regulión de un líne de trnsmisión y en generl pr ulesquier punto de un red se define omo el porentje de vriión de l mgnitud del voltje en vío (sin rg) on respeto l mgnitud del voltje plen rg y pr un determindo ftor de poteni de l rg. % Reguli n R, vío - R, plen rg R, plen rg 00% (4.) r el iruito orrespondiente l Figur 4., l regulión por definiión serí: Reg S - R R 00% (4.)

73 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 69 r líne ort l regulión se puede lulr hiendo un serie de suposiiones. En l Figur 4.4 se observ el digrm fsoril de voltjes y orriente pr este tipo de líne. Se h supuesto un rg del tipo R-, es deir on un ftor de poteni en trso. S R R I.X I I.R FIGURA 4.4 igrm fsoril de voltjes y orriente pr líne ort El ángulo de desfse δ entre el voltje S y R es muy pequeño pr líne ort, se puede suponer entones que l mgnitud del voltje de l fuente es igul su proyeión sobre el eje horizontl. Con ests onsideriones l relión entre los voltjes de l fuente y l rg serí: S R + I.(R. os θ + X. osθ ) (4.) donde, θ es el ángulo de desfse entre l orriente y el voltje en l rg. regulión de voltje quedrí expresd omo: Reg I (R.os θ + X.sen θ ) 00% R (4.4)

74 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 70 Reg donde, R (R.os θ + X.sen θ ) 00% R.os θ R es l poteni trifási de rg. (4.5) En l euión 4.5, el voltje R depende de l poteni R. Un buen proximión es onsiderr el voltje de l rg omo proximdmente el voltje nominl de operión de l líne. Con ests onsideriones l regulión se puede expresr on l siguiente expresión: R (R.os θ + X.senθ ) Reg 00% os θ donde, es el voltje de líne nominl de operión. (4.6) euión 4.6 orresponde l mner lási de álulo de regulión. Un mejor en el álulo de regulión serí expresr el voltje de l rg en funión de l propi poteni de rg ( R f ( R ) ). el iruito que se ilustr en l Figur 4. y tomndo omo refereni de voltje R : R + jq R R S δ. - R + j X R * (4.7) ( R + j Q ).(R - j X) R S -δ - R (4.8) R (R. R + X.Q + R )+ j (R.Q - X.R ) R. S -δ (4.9) R R

75 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 7 En l euión 4.9 se puede eliminr el ángulo δ l tomr mgnitud de ls expresiones fsoriles en mbos miembros y luego elevr l udrdo. El resultdo es l siguiente euión: ( + X.Q ) + ( )(. +Q ) 0 4 R + (R.R ) - S R R + X R (4.0) R R soluión pr R serí: donde, A B R A - + A - B (4.) (R.R + X.Q ) - S (4.) R ( R + X ).( R +Q ) (4.) R e est mner el álulo de regulión se puede evlur prtir de l euión INEAS E TRANSMISION E ONGITU MEIA En l líne de longitud medi y es neesrio onsiderr el efeto pitivo. representión iruitl pr este tipo de líne se he medinte un iruito I nominl. Este iruito I está onstituido por l impedni serie y por el efeto pitivo distribuido en dos prtes igules en los extremos de l líne. Este iruito se observ en l Figur 4.5.

76 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 7 R X I S I R R Q R S R Y/ Y/ CARGA FIGURA 4.5 Ciruito I nominl de un líne de longitud medi os prámetros en el iruito I nominl pr línes de longitud medi se obtienen multiplindo los prámetros por unidd de longitud por l distni totl de l líne. r el álulo de regulión, el voltje de vío en l rg y no es el voltje de l fuente, omo suede on l líne de longitud ort, sinó un frión de l mgnitud del voltje de l fuente. Est frión es myor que uno pr un líne de longitud medi. 0. R S (R.Y/ ) +( - X.Y/ ) (4.4) En l Figur 4.6 se observ el digrm fsoril de voltje y orriente pr un líne de longitud medi en vío.

77 Representión iruitl de línes de trnsmisión éres 7 I S R X I 0 I 0 S Io.X Io.R S Y/ Y/ R 0 R 0 FIGURRA 4.6 igrm fsoril de voltje y orriente pr líne en vío de longitud medi En un líne de este tipo se umple que X «R, rzón por l ul el voltje de vío en l rg puede ser myor que el voltje de l fuente. El voltje R plen rg ( R ) se puede lulr prtir de un expresión que relione diho voltje on l poteni en l rg, R + j Q R R S δ -. R + j X R - j R *.Y/ (4.5) ( R + j Q - j R.Y/).(R - J X) R S -δ - R (4.6) R ((R. + X.Q )+( - ) + j ((R.Q - ) - ) -δ R X.Y/) R X. R R.Y/. R R. S (4.7) R R Eliminndo de l euión nterior el ángulo δ se lleg l siguiente euión: A. R 4 R + B. + C 0 (4.8) donde, A (R.Y/ ) + ( - X.Y/ ) (4.9)