Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida

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1 Tem 6 El lenguje eptdo por un FA Funión de trnsiión δ p j p l Dr. Luis A. Pined ISBN: Σ Q p i p k n Pr todo en Q & Σ, δ(, ) = p Funión de trnsiión etendid δ permite moverse the un estdo otro on un símolo de entrd δ nos d un medio pr referirse o nomrr l estdo siguiente en términos del estdo tul el símolo de entrd: δ(,) = p Relión de refereni: δ(,) Estdo p Funión de trnsiión etendid Es mu onveniente ontr on un form de referirse l siguiente estdo en funión del estdo tul un den de entrd: δ * (, ) = p El estdo p l ue se lleg prtir del estdo tul un den dd L funión de trnsiión umentd δ * nos provee de este medio de refereni! Funión de trnsiión etendid Funión de trnsiión etendid δ * δ * (, ) p 1 p 01 p n1 Un estdo 0 = Λ Σ * Q p 00 p n0 n Pr todo de Q & Σ *, δ * (, ) = p 1

2 Definiión forml de δ * Operión de δ * Se M = (Q, Σ,, A, δ) un FA Definimos l funión δ * : Q Σ * Q omo sigue: Pr todo Q, δ * (, Λ) = Pr todo Q & uluier Σ * & un símolo Σ δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) δ * (, ) = 1 2 Operión de δ * Operión de δ * δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) Operión de δ * Operión de δ * δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) Pero δ * no está definid pr dens de un solo rtér: δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) Pero podemos usr l identidd de l ontenión! 2

3 Operión de δ * Operión de δ * δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) Usndo l definión de δ * : δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) Nd inusul: plimos l identidd de l ontenión Operión de δ * Operión de δ * δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) = δ(δ(δ(, ), ), ) Usndo l ondiión ási: δ * (, Λ) = Con esto hemos reduido δ * un omposiión de δs δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) = δ(δ(δ(, ), ), ) = δ(δ( 1, ), ) Operión de δ * Operión de δ * δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) = δ(δ(δ(, ), ), ) = δ(δ( 1, ), ) = δ( 2, ) δ * (, ) = δ(δ * (, ), ) = δ(δ(δ * (, ), ), ) = δ(δ(δ * (, Λ), ), ) = δ(δ(δ(δ * (, Λ), ), ), ) = δ(δ(δ(, ), ), ) = δ(δ( 1, ), ) = δ( 2, ) = 3

4 Como onseueni de l definiión de δ * Composiión de trnsiión de dens: δ * (, ) = δ * (δ * (, ), ) El lenguje eptdo por un FA Se M = (Q, Σ,, A, δ) un FA Σ * es eptdo por M Si δ * (, ) A Si un den no es eptd por M, se reh! El lenguje eptdo o reonoido por M es el onjunto: L(M) = { Σ * es eptd por M} Si L es uluier lenguge sore Σ, L es eptdo, o reonoido, por M si solo si L = L(M) Pero Está definiión no die ue L es eptdo por M si tods ls dens de L son eptds por M Si fuer sí, M podrí eptr tmién dens ue no están en L! Un FA ept un lenguje si Aept tods ls dens en L Reh tods ls dens en su omplemento Pero TEOREMA de Kleen Un lenguje L sore el lfeto Σ es regulr si sólo si eiste un FA on lfeto de entrd Σ ue ept L Relión entre FA RE Si esto es verdd ( no les uep l menor dud), ls epresiones regulres los utómts de estdos finitos son representiones euivlentes: Si un ER denot un lenguje, eiste un FA ue ept diho lenguje! ER son representiones delrtivs FA son representiones proedurles 4

5 Cdens diferenintes Cdens diferenintes n f n f Cdens diferenintes Cdens diferenintes n f n f m m p L den difereni tods ls dens de ls dens en relión l lenguje Cdens diferenintes Ejemplo: L = {w w es pr} Culuier den de longitud pr distingue ls dens de longitud pr en L, de ls dens de longitud non, ue no están en L L prte l universo de ls dens en dos lses euivlentes: Ls dens de longitud pr Ls dens de longitud non Cdens diferenintes n m Si no difereni de... f 5

6 Cdens diferenintes Cdens diferenintes f n f n m m p Tods ls todos ls son euivlentes en relión l lenguje w l p Cdens diferenintes Se L un lenguje en Σ & Σ * Se L/ un onjunto de dens tl ue: L/ = { Σ * L} Dos dens & son difereniles on respeto L si L/ L/ Tod den tl ue L & L o vievers, distingue (diferení) & on respeto L Si L/ = L/, & son indistinguiles (euivlentes) on respeto L Cdens diferenintes Pr mostrr ue nd son diferenintes on respeto L Enontrr tl ue L PERO L o Enontrr tl ue L PERO L Entones está en L/ o L/ pero no en mos! Cdens diferenintes Ejemplo: L = {w w es pr} Culuier den de longitud pr distingue ls dens de longitud pr en L, de ls dens de longitud non, ue no están en L L/ = { Σ * L} Si es non tmién es non ( es pr) & L Lem: Cdens diferenintes Se L Σ * & M = (Q, Σ,, A, δ) es un FA ue reonoe L. Si & son dens en Σ * difereniles on respeto L (en relión l den difereninte ), entones: δ * (, ) δ * (, ) Un estdo es eptor pero no el otro! 6

7 Prue del lem Un estdo es eptor pero no el otro: δ * (, ) δ * (, ) Los estdos lndos prtir de on & on son, respetivmente: δ * (, ) = δ * (δ * (, ), ) δ * (, ) = δ * (δ * (, ), ) Prue del lem Ahor ien, si es un den difereninte: δ * (δ * (, ), ) δ * (δ * (, ), ) Entones: δ * (, ) δ * (, ) Esto es: & llevn M desde estdos diferentes! Teorem Supongmos ue L Σ * pr iert n, h n dens en Σ *, tles ue uluier pr formdo por ests den es distinguile (diferenile) on respeto L. Entones, todo FA ue reono L dee tener undo menos n estdos. Cdens diferenintes 1 n m 2 f p w l n p Prue del teorem Supongmos ue 1, 2,, n son n dens, tles ue uluier pr formdo por ésts es distinguile on respeto L Entones, si M = (Q, Σ,, A, δ) es un FA on menos de n estdos NO todos los estdos δ * (, 1 ) δ * (, 2 ). δ * (, n ) son diferentes! Prue del teorem Y ue pr lgún i j, δ * (, i ) = δ * (, j ) Pero, ddo ue i & j son difereniles on respeto L, se sigue del lem ue M no puede reonoer L 7

8 Cundo un lenguje no es regulr? El teorem de ls dens diferenintes nos permite determinr undo un lenguje no es regulr Si eiste un número infinito de dens tles ue uluier pr formdo por ls misms es distinguile on respeto L, uluier FA ue epte L dee tener un número infinito de estdos... Pero l F de FA uiere deir FINITOS Por lo tnto, ningún FA puede eptr un lenguje on un número infinito de dens diferenintes! Un lenguje no eptdo por un FA El lenguje pl sore Σ = {0, 1} no se ept por ningún FA por lo tnto, no es regulr Plíndrome: ev m ve Plíndromes: Λ, 0, 1, 0110, Prue: Mostrmos ue uluier pr de dens & en {0, 1} * son difereniles on respeto pl Un lenguje no eptdo por un FA Cso 1: = & se = r Entones = r es un plíndrome Si = 0101 & = 1111 = r = 1010 & = (pl) Pero no lo es: = = r distingue de pr uluier Culuier den puede distinguirse de tods ls demás de su mism longitud on respeto pl Un lenguje no eptdo por un FA Cso 2: & sumimos < Se = 1 2 donde 1 = Busmos un tl ue: pl pero pl Culuier de form: = ww r r stisfe pl Esto es: = ww r r (i.e. P r ) Un lenguje no eptdo por un FA Seleionmos w (segurndonos ue pl): ww r r pl o 1 2 ww r r pl Considermos ue 1 = por lo ue 1 podrí ser (e.g. 2 ww r r ) Esogemos un w tl ue w = 2 pero 2 ww r pl Por lo mismo st on ue w 2 (en so de ue identlmente w pl ue www r serí un plindrom) Un lenguje ue no es eptdo por un FA Cso 2: & sumimos < (e.g. = 010 & = 10101) Esogemos w = 10 (i.e. w 2 ) Conseuentemente = ww r r (i.e. ww r = ) Pero = 1 2 = 1 2 ww r r (i.e ) 8

9 Cd den se puede diferenir on respeto pl 1 n w m. l 2 n f p p Cdens diferenidors Cuánts lses diferentes h en un lenguje? Pr L = {w w es pr} h dos lses de dens: pres nones Un sól den (pr) st pr distinguir ls dos lses Cdens diferenidors Cuánts lses diferentes h en un lenguje? Pr el lenguje de ls plíndromes: Neesitmos un pr lsifir d den on respeto pl H un número infinito de dens pr d un de ells podemos onstruir un plindrome H n lses de dens on respeto pl, d un de ells on un sól den! Los lengujes eptdos por FA CFL RL = L(M) CSC lengujes sin restriiones Pl 9

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