Capítulo 8: Propiedades de Lenguajes Regulares

Transcripción

1 Cpítulo 8: Propieddes de Lengujes Regulres 8.1. Identificción de lengujes no regulres Lem de Boeo Aplicciones del lem de omeo 8.2. Propieddes de Cierre Unión, Conctención, Clusur Respecto otrs operciones 8.3. Algoritmos de decisión Es L finito? Es L vcío? Pertenenci de un plr L1=L2? 1 Definición (Lenguje regulr): Un lenguje L se denomin regulr si y sólo si existe un utómt finito determinist A tl que L=L(A). Se pueden dr definiciones equivlentes, utilizndo expresiones regulres o grmátics regulres, y que estos formlismos definen l mism clse de lengujes: Grmátics regulres Grmátic linel por l izquierd Grmátic linel por l Derech Autómts Finitos Autómt Finito Determinist Autómt Finito NO Determinist Expresiones regulres Pregunts: Son los lengujes que se otienen l plicr determinds operciones lengujes regulres tmién regulres? Cómo se puede decidir (de form utomátic) si un lenguje regulr tiene cierts propieddes: si es finito, vcío, o infinito? Existe lgún método pr ser si un lenguje ddo es regulr o no? 2

2 8.1 Identificción de lengujes no regulres No todos los lengujes son regulres. Los utómts finitos sólo tienen un cpcidd limitd en el proceso de identificción de plrs: tienen un número limitdo de estdos l únic informción de l que disponen está en l estructur de este número finito de estdos Ejemplo: El lenguje L={ n n n>=0} no es regulr. Ilustrción intuitiv de este hecho: Se requerí un utómt reconocedor con infinitos estdos pr ceptr este lenguje, por lo que no puede ser regulr. Construir de mner incrementl los AFD pr los siguientes lengujes: L0={λ} L1={λ,} L2={λ,,} L3={λ,,,}... Se puede oservr que el número de estdos de los utómts ument pr cd uno de estos lengujes. No es posile encontrr utómts finitos determinists, tles que el número de estdos no umente de un lenguje Li l siguiente Li+1. Eso indic que el utómt que reconoce el lenguje L requiere un número infinito de estdos Lem de Bomeo Que crcterístics tiene un lenguje pr ser regulr/no reglur? Lengujes finitos: Todos los lengujes finitos son regulres. ( Ejercicio) Lengujes infinitos: No todos los lengujes infinitos son regulres. Considermos el lenguje regulr infinito: L={() n n 0}. El siguiente AFD A reconoce L: q0 q1 q3 q2* A reconoce ls plrs,,,... Se puede oservr lo siguiente: L plr x= se puede descomponer en tres cdens: x=u.v.w=.. (con v λ) y tods ls plrs u.v i.w, es decir,.() i., (con i 0) pertenecen L. Este hecho se repite pr tods x L con x 4. Ejemplo: =...() i. L (i 0) Ls plrs x L con x <4 no tienen est propiedd. Ejemplo: Intento 1: =..λ. i.λ L Intento 2: =λ.. λ. i. L Intento 3: =λ..λ λ.() i.λ L 4

3 L cus de este comportmiento es l siguiente: Al ceptr un plr x suficientemente grnde (como ), el utómt necesrimente tiene que entrr en un ucle q0... qi... qi... qf. Por tnto, se puede descomponer x en tres prtes u.v.w, donde: u l sucden que se cept ntes del ucle (de q0 qi) v l sucden que se cept en el ucle (de qi qi) w l sucden que se cept después del ucle (de qi qf) El utómt, l ceptr plrs similr x, podrí recorrer el ucle 0,1,2,3,... veces. Por tnto, el utómt tmién cept ls cdens que se otienen prtir de x=u.v.w eliminndo l sucden v o omeándol vris veces. L propiedd de omeo es común todos los lengujes regulres infinitos y se descrie de form generl en el Lem de Bomeo. Teorem 10 (Lem de Bomeo): Se L un lenguje regulr infinito. Entonces existe un constnte n tl que pr tod plr x L con x n existe un descomposición de x en tres sucdens, x=u.v.w verificndo ls siguientes propieddes: ) u.v n ) v >0 c) pr todo i 0: u.v i.w L. 5 Como L es regulr, existe un AFD mínimo A=(Q,,q0,f,F) con L(A)=L. Definimos n= Q. Se x=123...m L un plr ritrri del lenguje, con m n. Ddo que x L, A cept x. Se l secuenci de trnsiciones que recorre A pr ceptr x l siguiente: m q0 q1 q2... qm (con qi Q, qm F) Est cden tiene m+1 estdos (pues x tiene m letrs). Como A sólo tiene n estdos distintos y m+1>n, se sigue que en l secuenci existe por lo menos un estdo repetido: 1 m k k+1 j+1 j q0... qk... qj... qm con qk=qj. (sen qk /qj el primer estdo de l secuenci que se repite) 6

4 x puede descomponerse en tres sucdens: x=u. v. w = 1...k. k+1...j. j+1...m que cumplen lo siguiente: ) u.v n: L primer repetición de un estdo ocurre ovimente en los n+1 primeros estdos. Por tnto, u.v=1...k. k+1...j tiene como mucho n símolos. ) v >0: Entre los dos estdos repetidos hy por lo menos un k+1 j trnsición:...qk... qj... Por tnto, v= k+1...j tiene por lo menos un símolo. c) u.v i.w L pr i 0: se oserv del grfo de trnsición k+1... j u.v 0.w= 1...k.j+1...m L u.v i.w= 1...k.(k+1...j) i.j+1...m L 1 q0... k j+1 m qk=qj... qm+1 Lo que demuestr el teorem Aplicción del Lem de Bomeo Pr que sirve el lem de omeo? Pr demostrr que ciertos lengujes no son regulres. Oservción: El lem no sirve pr demostrr que un lenguje es regulr. (Proporcion un condición necesri pero no suficiente.) Pr demostrr que un lenguje no es regulr st pror que no cumple el lem de omeo. Ests demostrciones son siempre por contrdicción. Los psos son los siguientes: 1. Se supone que L es regulr y, por tnto, dee cumplir el lem de omeo. 2. Se elige un vlor genérico n (no especificdo) pr l constnte. 3. Se seleccion un plr x L (en función de n) con x n 4. Se descompone x en u.v.w, tl que u.v n y v >0, de tods ls forms posiles. 5. Se demuestr que pr tods ests descomposiciones existe siempre i tl que u.v i.w L. 6. Si se consigue demostrr que pr tods ests descomposiciones existe siempre i, tl que u.v i.w L, L no cumple el lem y, por tnto, no es regulr. 8

5 Ejemplo: L={ m 2m m N, m 0} 1. Supongmos que L se regulr. 2. Se n=n l constnte del lem 3. Seleccionmos l plr x con x= N 2N L ( x =3N>n) 4. Descomponemos x=u.v.w de tods ls forms posiles, tles que u.v n y v >0: Tods ls descomposiciones tienen l form: k. j. N-k-j 2N con k 0 ; j 1 5. considermos l plr u.v 0.w de ests composiciones: u.v 0.w= u.w= k. N-k-j 2N = N-j 2N con k 0 y j 1 Por tnto, u.v 0.w L (y que 2(N-j) 2N). 6. Por tnto, L no cumple el lem y no puede ser regulr. Ejercicios: 1. Es el lenguje L={yy -1 y {,} * } regulr? 2. Se el lenguje L={ n m c m m,n 1}. Demuestr que L no cumple el lem de omeo. 3. Se el lenguje L={ n m c m m,n 1} { m c n m,n 0}. Cumple L el lem de omeo. Es L un lenguje regulr? 4. Es el lenguje L={ m m=σ n i=0(i), n 0} regulr? Propieddes de Cierre Unión, conctención y cierre Teorem 1: Ddos dos lengujes regulres L1 y L2, los lengujes L1 L2, L1L2 y L1 * tmién son regulres. Si L1 y L2 son regulres, existen dos expresiones regulres r1 y r2 tles que: L1=L(r1) y L2=L(r2) Por definición de ls operciones de cierre, conctención y sum de expresiones regulres: L1 L2 = L(r1) L(r2) = L(r1+r2) L1L2= L(r1)L(r2) = L(r1r2) L1 * = L(r1) * =L(r1 * ) Es decir, existen expresiones regulres que descrien los lengujes L1 L2, L1L2 y L1 * y, por tnto, estos lengujes son regulres. 10

6 8.2.2 Otrs operciones Teorem 2: Ddo un lenguje regulr L definido, su complemento L tmién es regulr. Ddo que L es regulr, existe un AFD A=(Q, Σ, q0, f, F), tl que L(A) = L. Consideremos el utómt A =(Q, Σ, q0, f, Q-F). Este utómt A cept exctmente tods ls plrs del lenguje universl Σ * que el utómt A rechz. Por tnto: L(A ) = Σ * - L(A) = Σ * - L = L. Ejemplo: Σ={,}, L=L(*)={ n n 0} q0 A: q1*, q2, q0* A : q1 q2*,, L(A )={ n n 0} { n x n 0,x {,}*, x >0} = L 11 Teorem 3: Ddos dos lengujes regulres L1 y L2 definidos, el lenguje L1 L2 tmién es regulr. ) No constructiv: Por ls leyes de Morgn: L1 L2= L 1 L 2 (L operción de intersección se puede reducir ls operciones complemento y unión.) ) Constructiv: Ddo que L1 y L2 son regulres, existen dos AFDs: A1=(Q1, Σ, q01, f1, F1) y A2=(Q2, Σ, q02, f2, F2) tles que L(A1)=L1 y L(A2)=L2. Considérese el utómt: A=(Q1 Q2, Σ, (q01,q02), f, F1 F2) donde: f((p,q),)=(f1(p,), f2(q,)) Evidentemente, L(A)= L1 L2, por lo que L1 L2 es un lenguje regulr. Ejercicio: Sen L1={x x {,}* y x tiene por lo menos un sucden } y L2={() n n 0} Aplicndo l demostrción del último teorem, construye un AFD pr el lenguje L1 L2. 12

7 Teorem 4: Ddo un lenguje regulr L, su lenguje inverso L -1 tmién es regulr. Ddo que L es regulr, existe un expresión regulr r tl que L(r)=L. Pr demostrr que L -1 es regulr construiremos un expresión regulr r -1 tl que L(r 1 )=L -1 prtir de r: Si r =, o r= o r=λ, entonces r -1 =r Si r=r1+r2, entonces r -1 = r1-1 +r2-1 Si r=r1r2, entonces r -1 = r2-1 r1-1 Si r=r1 *, entonces r -1 =(r1-1 ) * Por construcción, L(r -1 )=L -1. Teorem 5: Ddos dos lengujes regulr L1 y L2, el lenguje diferenci L1-L2 tmién es regulr. Por ls leyes de Morgn: L1-L2=L1 L 2. Y se h demostrdo que tnto el complemento de un lenguje regulr como l unión de dos lengujes regulres son regulres. 13 Definición (homomorfismo): Sen Σ y Γ lfetos. Se llm homomorfismo un función h:σ Γ*, tl que sign un plr de Γ* cd símolo de Σ. Est definición se puede extender pr definir l función h pr plrs de Σ: w=12...n Σ* h(w)=h(1)h(2)...h(n) Γ* Definición (imgen homomórfic): Ddo un lenguje L Σ* y ddo un homomorfismo h:σ Γ*, se llm imgen homomórfic de L respecto h l lenguje definido de l siguiente mner: h(l)={h(w) w L}. 14

8 Teorem 6: Sen Σ y Γ dos lfetos y se L un lenguje regulr definido sore Σ. Se h:σ Γ* un homomorfismo. Entonces l imgen homomórfic de L respecto h tmién es regulr. Ddo que L es regulr, existe un expresión regulr r tl que L(r)=L. Pr demostrr que h(l) es regulr construiremos recursivmente un expresión regulr r tl que L(r )=h(l) prtir de r: Si r = o r=λ, entonces r =r Si r =, Σ, entonces r =(h()) Si r=r1+r2, entonces r = r1 +r2 Si r=r1r2, entonces r = r1 r2 Si r=r1 *, entonces r =(r1 ) * Es decir, se sustituye cd símolo Σ en r por l cden h(). r es un expresión regulr que represent h(l), por lo que h(l) es regulr. Ejemplo: Σ={,}, L=L(*c*) y h()=c, h()=c, h(c)=c h(l)=l((c)*(c)(c)*) Algoritmos de Decisión Es L vcío? Teorem 7: Ddo un lenguje regulr L, existe un lgoritmo pr decidir si dicho lenguje es vcío. Considérese el utómt finito determinist mínimo que cept L. L es vcío si y sólo si el AFD mínimo no tiene estdos finles Es L infinito? Teorem 8: Ddo un lenguje regulr L, existe un lgoritmo pr decidir si dicho lenguje es infinito. Considérese el digrm de trnsiciones del AFD A mínimo tl que L(A)=L. L es infinito si y sólo si existe un ciclo en un nodo de este utómt. 16

9 8.3.3 w pertenece L? Teorem 9: Ddo un lenguje regulr L, existe un lgoritmo pr decidir si un plr w pertenece l lenguje. Considérese el digrm de trnsiciones del AFD A tl que L(A)=L. Simulmos el funcionmiento del utómt tomndo como entrd l plr w. Si el estdo en el que termin l simulción es un estdo finl, entonces w L; en otro cso, w no pertenece L L1=L2? Teorem 10: Ddos dos lengujes regulres L1 y L2, existe un lgoritmo pr decidir si dichos lengujes son equivlentes, es decir, si L1= L2. ) Ddo que L1 y L2 son regulres, existen dos AFD mínimos A1 y A2 tles que L(A1)=L1 y L(A2)=L2. Los dos lengujes son equivlentes si A1 y A2 son isomorfos (igules slvo renomrmiento de estdos). ) Construye un AFD A pr L3=(L1 L 2 ) ( L 1 L2). L1=L2, si y solo si L3 es vcío. 17