Teoría de Lenguajes. Transductores y Máquinas Secuenciales Generalizadas

Transcripción

1 Teorí de Lengujes Trnsductores y Máquins Secuenciles Generlizds José M. Sempere Deprtmento de Sistems Informáticos y Computción Universidd Politécnic de Vlenci Trnsductores 1. Preliminres lgericos 2. Relciones rcionles y reconociles. 3. Trnsducciones rcionles. 4. Trnsductores. 5. Máquins de Moore y de Mely.. Equivlenci y minimlidd. Biliogrfí J. Berstel. Trnsductions nd Context-Free Lnguges. Teuner Studienücher Informtik S. Eilenerg. Automt, Lnguges nd Mchines (Vol. A. Acdemic Press P. Grcí, E. Segrr, T. Pérez, J.M. Sempere,, J. Ruiz, M. Vázquez de Prg. Apuntes sore l Teorí de Autómts y Lengujes Formles. Editoril UPV. Servicio de Pulicciones SPUPV

2 Preliminres lgericos (I Un monoide <M, > es un estructur lgeric que cumple ls condiciones: (1 es un ley de composición intern: ( u,v M u v M (2 es socitiv: ( u,v,w M (u v w = u (v w (3 Existe un elemento neutro λ: ( u M u λ = λ u = u (L no existenci del elemento neutro define un semigrupo en lugr de un monoide Ddo el monoide M, un suconjunto A M es un sumonoide de M si A 2 A y λ A. Definimos A 0 = {λ} y A n+1 = A n A. A* = U n 0 A n A + = U n 1 A n Si se cumple pr el monoide M que M=A* entonces A es un sistem de generdores de M. Un monoide está finitmente generdo si tiene un sistem de generdores finito. Un monoide M generdo por A es lire si cd elemento de M sólo dmite un posile descomposicion prtir de los elementos de A. Preliminres lgericos (II Se <M, > un monoide. Un suconjunto A M diremos que es reconocile (o regulr si existe un monoide finito N, un morfismo α:n M y un suconjunto P N tl que A = α -1 (P. Denotmos por Rec(M l fmili de suconjuntos reconociles de M Se <M, > un monoide. L fmili de suconjuntos rcionles de M, Rt(M, es l menor fmili de suconjuntos de M, R tl que (1 R (2 m M, {m} R (3 si A, B R entonces (A B R y AB R (4 si A R entonces A* R Teorem (Kleene: Se A un lfeto. Rt(A* = Rec(A* Proposición (McKnight: Se M un monoide finitmente generdo. Entonces Rec(M Rt(M

3 Preliminres lgericos (III Sen <M 1, > y <M 2, > dos monoides. Entonces <M 1 M 2, > es un monoide donde se define como elemento neutro <λ,λ> (los elementos neutros de M 1 y de M 2 y l operción se define como (u,v (x,y = (ux, vy Teorem (Mezei: Sen M 1 y M 2 dos monoides y M = M 1 M 2. Entonces B Rec(M sii B es un unión finit de conjuntos de l form A 1 A 2 con A 1 Rec(M 1 y A 2 Rec(M 2 Relciones rcionles y reconociles Un relción R M 1 M 2 puede verse como l plicción R: M 1 P(M 2 Sen X e Y dos lfetos. Un relción rcionl (reconocile sore X e Y es un suconjunto rcionl (reconocile del monoide (X* Y* Rec(X* Y* denot el conjunto de relciones reconociles sore X e Y Rt(X* Y* denot el conjunto de relciones rcionles sore X e Y Proposición (1 Rec(X* Y* Rt(X* Y* (2 Si A,B Rec(X* Y* entonces AB Rec(X* Y*

4 Trnsducciones rcionles (I Un trnsducción τ de X* en Y* es un función τ: X* P(Y* Definimos el dominio de τ como el conjunto dom(τ = { f X* : τ(f } Definimos l imgen (o rngo de τ como el conjunto im(τ = { g Y* : f X*, g τ(f } Extensión de l trnsducción conjuntos τ ( A = Uτ ( f A X * f A Grfo de l relción R={ (f,g X* Y* : g τ(f } Trnsducciones rcionles (II Un trnsducción τ: X* P(Y* es rcionl si su grfo R es un relción rcionl sore X e Y Dd l trnsducción rcionl τ: X* P(Y* definid por su grfo R, entonces l relción R -1 ={(g,f : (f,g R} define un trnsducción τ -1 : Y* P(X* que tmién es rcionl. En generl se cumple que τ(τ -1 (B B y que τ -1 (τ(a A Dds dos trnsducciones rcionles τ 1, τ 2 : X* P(Y* con grfos R 1 y R 2 entonces (τ 1 τ 2 (f = τ 1 (f τ 2 (f con un grfo R 1 R 2 U (τ 1 τ 2 (f = τ 1 (f 1 τ 2 (f 2 con un grfo R 1 R 2 U f 1 f 2 = f τ 1+ (f = {τ 1 (f1 τ 1 (f n : n 1, f 1 f n =f } con un grfo R 1 +

5 Trnsducciones rcionles (III Dd l trnsducción rcionl τ: X* P(Y* definid por su grfo R, entonces l trnsducción revers socid τ, τ r : X* P(Y*, se define como τ r (f = (τ(f r r Dd l trnsducción rcionl τ: X* P(Y* entonces τ(a es rcionl si A es rcionl (l trnsducción rcionl de un lenguje regulr es regulr Teorem (Elgot y Mezei Sen X, Y y Z tres lfetos y τ: X* P(Y* y τ :Y* P(Z* dos trnsducciones rcionles. Entonces, l trnsducción τ τ : X* P(Z* es rcionl. Trnsductores (I Un trnsductor se define por l tupl T=(Σ, Γ, Q, δ, q 0, F donde Σ, Γ son dos lfetos (de entrd y slid Q es un conjunto finito de estdos δ Q Σ* Γ* Q es un relción finit de trnsición q 0 Q es un estdo inicil F Q es un conjunto de estdos finles L representción gráfic de un trnsductor es similr l de un utómt finito con l slvedd que ls rists del grfo están etiquetds de l form x/y con x Σ* e y Γ* Ejemplo 1/1 q 0 q 1 001/1 0/0

6 Trnsductores (II Sen S 1 y S 2 dos relciones sore Q Σ* Γ* Q. Definimos l composición de ls dos relciones como sigue S 1 S 2 = {(q, x, y, p : (q, x 1, y 1, r S 1, (r, x 2, y 2, p S 2, x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 } Dd l relción S definid sore Q Σ* Γ* Q definimos ls potencis de S como sigue: 1 S 0 = { (q,x,y,p : q Q } 2 S n+1 = S n S 3 S* = n 0 S n Dd l relción S definid sore Q Σ* Γ* Q y ddos los estdos q, p Q definimos Ψ S (q,p = { (x,y : (q,x,y,p S } Ddo Q Q definimos Ψ S (q,q = p Q Ψ S (q,p Trnsductores (III Ddo el trnsductor T=(Σ, Γ, Q, δ, q 0, F definimos l función de trnsducción f T : Σ* P(Γ* como sigue f T (x = { y : (x,y Ψ δ* (q 0,F} Teorem. Un trnsducción τ : Σ* P(Γ* es rcionl sii l puede relizr un trnsductor T. Es decir, x Σ* τ(x = f T (x Corolrio. Tod trnsducción rcionl τ : Σ* P(Γ* l puede relizr un trnsductor T=(Σ, Γ, Q, δ, q 0, F de form que δ Q (Σ λ (Γ λ Q y demás F={q f } tl que q f q 0 y si (p, u, v, r δentonces p q f y r q 0

7 Trnsductores (IV Ddos dos trnsductores T=(Σ 1, Γ 1, Q 1, δ 1, q 1, F 1 y S=(Σ 2, Γ 2, Q 2, δ 2, q 2, F 2 diremos que son equivlentes, denotdo por T 1 T 2, si se cumplen ls siguientes condiciones 1 ( x Σ 1* Σ 2* f T (x = f S (x 2 ( x Σ 1* - Σ 2* f T (x = 3 ( x Σ 2* - Σ 1* f S (x = Teorem. Ddos dos trnsductores T 1 y T 2, es indecidile estlecer si T 1 T 2 Máquins secuenciles con función de slid (Máquins de Moore y de Mely Un máquin secuencil (determinist con función de slid se define por l tupl M=(Σ, Γ, Q, f, g, q o Σ y Γ son los lfetos de entrd y slid respectivmente Q es el conjunto de estdos q 0 es el estdo inicil f: Q Σ Q es l función de trnsición g es l función de slid y se puede definir de diverss forms ( Si g: Q Σ Γentonces M es un máquin de Mely ( Si g: Q Γentonces M es un máquin de Moore

8 Representción de ls máquins de Mely L representción de ls máquins de Mely es idéntic l de los trnsductores (con l slvedd de l inexistenci de estdos finles M=(Σ, Γ, Q, f, g, q o Si f(q, = p y g(q, = entonces tendremos el siguiente rco etiquetdo q / p Representción de ls máquins de Moore L representción de ls máquins de Moore es idéntic l de los utómts finitos (con l slvedd de estdos finles M=(Σ, Γ, Q, f, g, q o Si g(q = entonces tendremos el estdo q lo representmos por q/ q/ Funciones de entrd/slid Tomemos l máquin de Mely M=(Σ, Γ, Q, f, g, q o. M reliz l función de entrd/slid T M : Σ* Γ* definid de l siguiente form ( T M (λ = λ ( T M ( 1 2 n = g(q 0, 1 g(q 1, 2 g(q n-1, n con f(q 0, 1 2 i = q i 1 i n Tomemos l máquin de Moore M=(Σ, Γ, Q, f, g, q o. M reliz l función de entrd/slid T M : Σ* Γ* definid de l siguiente form ( T M (λ = g(q 0 ( T M ( 1 2 n = g(q 0 g(q 1 g(q n con f(q 0, 1 2 i = q i 1 i n

9 Equivlencis (I Sen M=(Σ, Γ, Q M y N=(Σ, Γ, Q N, f N, g N, q N dos máquins de Mely (ó dos máquins de Moore. Diremos que M y N son equivlentes (denotándolo por M N si x Σ* T N (x = T M (x Un máquin (de Mely o de Moore diremos que está reducid si ( Todos sus estdos son ccesiles desde el estdo inicil ( L función de slid f es supryectiv Proposición. Pr tod máquin de Mely o de Moore existe un máquin reducid equivlente. Equivlencis (II Sen M=(Σ, Γ, Q M y N=(Σ, Γ, Q N, f N, g N, q N dos máquins de Mely y de Moore respectivmente. Diremos que M y N son csi-equivlentes (denotándolo por M N si x Σ* T N (x = g N (q N T M (x Proposición. Dd un máquin de Moore N=(Σ, Γ, Q N, f N, g N, q N existe un máquin de Mely M=(Σ, Γ, Q M tl que M N L definición de M es como sigue Q M = Q N f M = f N q M = q N ( q Q M ( Σ g M (q, = g(f N (q, Ejemplo N q/0 p/1 M /1 q p /0 /0 /1

10 Equivlencis (III Proposición. Dd un máquin de Mely M=(Σ, Γ, Q M existe un máquin de Moore N=(Σ, Γ, Q N, f N, g N, q N tl que N M L definición de N es como sigue Q N = Q M Γ ( [q,] Q N ( Σ f N ([q,], = [f M (q,,g M (q,] q N = [q M,] pr lgún símolo tomdo ritrrimente ( [q,] Q N g N ([q,] = Ejemplo M q /1 p /0 /1 /0 N [q,0]/0 [p,1]/1 [p,0]/0 [q,1]/1 Minimlidd Dd un máquin M=(Σ, Γ, Q M denotmos por M[q], pr cd estdo q Q, l máquin reducid y equivlente (Σ, Γ, Q M, q Dd un máquin M=(Σ, Γ, Q M denotmos por M l relción definid como sigue: ( q, p Q q M p M[q] M[p] Dd un máquin M=(Σ, Γ, Q M diremos que es mínim sii M ={(q,q : q Q }