AUTÓMATAS FINITOS y LENGUAJES REGULARES

Transcripción

1 Dpto. de nformátic (ATC, CCA y LS. Universidd de Vlldolid. TEORÍA DE AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES ngenierí Técnic en nformátic de Sistems. Curso AUTÓMATAS FNTOS y LENGUAJES REGULARES 1. Sen A y B dos lengujes definidos sore el mismo lfeto Σ. Considérese ls prtes de cd uno de ellos, P(A y P(B respectivmente, como el conjunto de todos sus suconjuntos. Son ciertos, entonces, estos resultdos? P( A P( B P( A B P( A P( B P( A B (julio Sen L 1, L 2 y L 3 tres lengujes formles, prtir de los cules se form L y L como: L' L1 ( L2 L3 L" L L L L Compruéese si son igules. Si l respuest es negtiv, estúdiese l inclusión en mos sentidos, esto es: L' L"? L" L'? (julio Encontrr el utómt finito determinist mínimo que reconozc el siguiente lenguje: L( R (ferero Demostrr ls siguientes igulddes entre expresiones regulres: ( ( ( ( (ferero Ddo un lenguje L regulr definido soe un lfeto, demostrr que su complementrio es regulr. Otener, prtir del RFD que cept L, el que reconoce su complementrio. (junio Otener el reconocedor finito no determinist (RFN que cepte el lenguje formdo por quells cdens de ceros y unos, tles que el tercer símolo por l derech se un cero. gulmente, clculr el reconocedor finito determinist (RFD mínimo socido dicho lenguje. (junio Demostrr que si L 1 y L 2 son lengujes regulres definidos sore un mismo lfeto, entonces L=L 1 L 2 tmién lo es. Apoyándose en este resultdo pror que ddo un cierto lenguje L sore un lfeto, si L es regulr, entonces ls cdens de L con longitud pr formn un lenguje regulr. (septiemre Otener el reconocedor finito determinist (RFD mínimo pr el lenguje LR ( c( / c. (septiemre

2 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 9. Encontrr tres lengujes A, B y C que cumpln: A(B-C AB-AC. Justificr l respuest. (enero Otener l expresión regulr de los lengujes definidos por los siguientes conjuntos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (septiemre Encontrr l expresión más compct que defin l lenguje reconocido por el siguiente utómt finito determinist. A B C, E, D (septiemre Demostrr que ls cdens de dígitos que representn en deciml los nturles divisiles por dos, incluido el cero, formn un lenguje regulr. (ferero Pror si ls siguientes expresiones regulres son equivlentes o no. ( / c( / c( /( (junio En l siguiente figur se representn dos utómts finitos A1 y A2, que ceptrán sendos lengujes L1 y L2. Hllr: A1: A2: Los lengujes L1 y L2 El reconocedor finito determinist mínimo que reconozc l unión de los lengujes L1 y L2. (Septiemre

3 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 15. Demostrr que si L es un lenguje regulr, entonces L'={wL / w L} es un lenguje regulr tmién. (enero Se L un lenguje regulr definido sore un lfeto, prtir del cul se construye L' como: L x1 x2 L w1, w2 x2w1, w2 x1 L Demostrr que este lenguje L' es regulr. (ferero Otener l expresión regulr más simple posile del lenguje complementrio del que reconoce el siguiente RFN:,, (junio Se L 1. Construir un reconocedor finito determinist mínimo pr este lenguje. (septiemre Si x es un plr culquier, se denot por ss(x l conjunto de cdens otenido medinte l eliminción de un número ritrrio, incluido el cero, de símolos de ss( L ss( x x L, clculr: dich plr x. Asimismo, si L es un lenguje, ss x ss x Demostrr que si L es un lenguje regulr, entonces ss(l es un lenguje regulr. 21. Demostrr que si ss(l es regulr, en generl, L no necesrimente es regulr. 22. Hllr ss (septiemre Demostrr que si un lenguje regulr contiene cdens de l form n n, donde n es un número ritrrimente grnde, entonces deen pertenecer dicho lenguje m n cdens de l form / m n. Pr no dr lugr equívocos, conviene clrr que l expresión nterior no es pr todo m, sino pr lgúnos m. (enero

4 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 24. Ddo un lenguje regulr L construido sore un lfeto, demostrr que los siguientes lengujes otenidos prtir del citdo L son regulres: C x z ( L / yxz L y, z F ( L / z xy ( x L ( y M ( L z / z yx ( x L ( y (ferero Otener l expresión regulr más simple que represente l complementrio del conjunto de cdens ddo por /. (ferero Se el RFN definido por:, Q q 1,q 2 F q 1 f q, q, q f ( q, ( q, q f ( q 2, ( f 1 2 Otener: L expresión regulr más simple que se deriv de nlizr el RFN. El RFD mínimo. c L expresión regulr más simple otenid del nálisis del RFD mínimo. (septiemre Se un reconocedor finito determinist con n estdos, un solo estdo finl y cpz de reconocer, l menos, un cden de longitud estrictmente menor que n-1; se podrí concluir, entonces, que el lenguje ceptdo por este utómt es infinito? Justifíquese l respuest. (enero Pr cd un de ls siguientes relciones, dr un ejemplo, si es posile, de lengujes construidos sore el lfeto Σ = {, } que l cumpln. i L L+ L ii L = L+ L iii L L+ = L iv L = L+ = L En el supuesto cso de que no se fctile poner un ejemplo, justifíquese este hecho. (enero Demuéstrese que existe un lgoritmo (nº finito de psos pr ser si dos RFD son equivlentes o no. Pr no inducir errores, conviene clrr, que no está demostrdo que pr un lenguje regulr, el RFD mínimo se único. (ferero Ddo un RFD y dos estdos culesquier de él q 1 y q 2, se define el lenguje que distingue q 1 y q 2, denotdo por L(q 1, q 2, como el formdo por ls cdens, que 4

5 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. prtiendo de q 1, llegn un estdo finl, pero no sucede lo mismo, si lo hcen desde q 2 y vicevers. Crcterícese L(q 1, q 2 dentro de l Jerrquí de Lengujes de Chomsky. Expóngse un método sistemático pr otener L(q 1, q 2 pr un RFD ritrrio. Oténgse el lenguje L(q 1, q 3 en el siguiente RFD: (septiemre 2001 q 1 q 2 q 3 q 2 q 3 q 3 q 3 q 2 q Se Σ un lfeto con el que se formn sendos lengujes A y E. A prtir de ellos se formul l siguiente ecución X E AX, l cul dmite como solución X A E. Pruéese que culquier solución Y dee contener A E. (septiemre Pror que el lenguje L x ( / / x x no es regulr. (ferero Demostrr que el lenguje formdo por cdens de dígitos hexdecimles, que representn potencis excts de dos, es regulr. (ferero Oténgse un utómt finito determinist mínimo pr reconocer tods quells plrs, compuests por ls letrs {,,c}, que contengn l sucden. (septiemre Compruéese l vercidd de ls siguientes igulddes entre expresiones regulres: ( ( ( ( c ( (septiemre 2002 n m 36. Ddo el lenguje L n m; n, m / demostrr: L no es regulr. Verific el omeo del lem (no el lem completo. (ferero Pror que pr un utómt finito determinist M con k estdos. L (M si y sólo si M cept un cden de longitud menor que k. L (M es infinito si y solo si M cept un cden de longitud n, donde k n 2k. (ferero Se M un reconocedor finito determinist de k estdos. 5

6 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. Demostrr que si M cept un cden de longitud n, con n k, entonces L(M es infinito. Supóngse que el lenguje L es finito y se se que 2045 pertenece L. Qué se puede decir cerc del número de estdos de culquier reconocedor finito determinist pr L? (septiemre Ddo L p { x ( c / x x x 1}, demostrr que no es regulr. A c continución tómese el siguiente lenguje L N { x ( c / x x x 1}, c pror que no es regulr, pero verific el lem de omeo de los lengujes regulres. (septiemre Ddo el utómt finito no determinist: q 1 q 2,q 4 q 3,q 4 q 2 q 3 q 3,q 4 q 4 q 2,q 4 Hállese: El reconocedor finito determinist mínimo. El lenguje generdo, pero no su expresión regulr, sino l crcterístic diferencidor de sus cdens. c L expresión regulr de su lenguje complementrio. (Enero 2003 n 2m m n 41. Demuéstrese L { / m, n 0} no es regulr. (Enero Un plíndromo es un cden que se lee igul de izquierd derech, que de derech izquierd. Pr un lfeto ritrrio, pruéese que no es un lenguje regulr. (Ferero Considérese el siguiente reconocedor finito determinist: A Q,, q0, f, { q f } / f ( q0, f ( q f, Demuéstrese que el cierre positivo de culquier cden no vcí ceptd por dich máquin constituye un suconjunto del lenguje generdo por el utómt. (Ferero Ddo el lfeto Σ={,,c}, con el cul se formn los siguientes lengujes, indíquese justificdmente cuáles son regulres: Plrs que contienen exctmente tres es. 6

7 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. Plrs con el número de es igul l de es menos uno. c Plrs con dos es como máximo. d Plrs con un cntidd de es igul l producto del número de es por el de ces. e Plrs con un c como mínimo. (Julio Demuéstrese si son cierts o no ls siguientes igulddes entre expresiones regulres: ( rs r r r( sr r ( x y ( x y c ( ( d ( c ( c (Julio Oténgse justificdmente l expresión regulr de los siguientes lengujes definidos con del lfeto Σ={,, c}: i Plrs con un número impr de s. ii iii Cdens con un número pr de s o impr de s (o ms. Plrs de Σ, que de precer un, ést dee ir ntecedid por un y seguid de un c. (Ferero Demuéstrese que el siguiente lenguje L construido prtir de otro regulr L, es tmién regulr. L n2n 1 / 123 2n L (Ferero 2004 n n 48. Sen 1 L / n 1 y L w ( / 1 2 w w. Es L? (Julio L 1?. Es L2 L Pr todo lenguje forml L se verific que L L L? (Julio Demuéstrese o refútese l siguiente firmción: Todo suconjunto de un lenguje regulr es un lenguje regulr tmién (Julio Constrúyse el AFD mínimo pr el lenguje L w ( tod " " está entre dos " es" (Enero

8 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 52. Estúdiese l pertenenci los lengujes regulres del siguiente conjunto: i j L ( i j ( i, j 1 (Enero Sen A y B dos lengujes formles y l operción, denotd por el superíndice, que d como resultdo su inverso o reflejdo. Verifíquese si se cumplen ests igulddes: ( A B A B ( A B A B c ( A A d ( A ( A e ( A ( A (Ferero Simplifíquense, si es posile, ls expresiones regulres que vienen continución: i ii iii iv ( ( ( ( ( ( ( (Ferero Constrúyse el AFD mínimo pr el complementrio del lenguje: L w( / w 2m 1 w 2n; m, n (Ferero Oténgse l expresión regulr y el reconocedor finito determinist más simples socidos l lenguje formdo por los números nturles expresdos en se 4, cuy últim cifr no h precido nteriormente. Teng presente que el lenguje no dmite cdens con ceros innecesrios l izquierd. (Enero Demuéstrese que el lenguje formdo por tirs de letrs, cuy longitud es un número primo, no es un lenguje regulr. (Enero Clcúlese el utómt finito determinist mínimo, que reconozc el mismo lenguje que el siguiente utómt finito no determinist: 8

9 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. Q\Σ 0 1 p {p, q} {p} q {r, s} {t} r {p, r} {t} s Ø Ø t Ø Ø (Ferero Se define l operción (lt sore dos cdens de idéntic longitud (x, y como: n n / x 1 2 n y 1 2 lt( x, y Esto se puede extender lengujes, de tl mner que: lt( L 1, L 2 lt( x, y / x L 1 y L 2. Demuéstrese que si se prte de lengujes regulres, el resultdo de est operción es otro lenguje regulr. (Ferero A prtir del método expuesto pr llevr co el nálisis de un utómt finito j determinist (AFD, clcúlese l expresión regulr más simple de ij en función j1 de otrs de idéntic nturlez pero de un grdo menor ( hk, es decir, con el superíndice igul j-1. (Julio Se L un lenguje y uno de los crcteres del lfeto con el que se form L. Se define el lenguje cociente de L entre el crácter, que se denot por, : L/ w / w L. Demuéstrese que este lenguje sí otenido es regulr, si el de prtid (L lo es. Análogmente, lléguese l mism conclusión, si l extrcción del crácter se hicier por el extremo izquierdo, lo que se denot por: \L w/ w L. (Julio Oténgse l expresión regulr y el reconocedor finito determinist más simples socidos l lenguje formdo por los números en inrio nturl que continene l menos un uno y que de her vrios, estrán seprdos un cntidd pr de dígitos. Esto incluye l distnci cero, es decir, puede her dos unos seguidos. Téngse presente que el lenguje no dmite cdens con ceros innecesrios l izquierd. Si se mplise l se del sistem de numerción otr con más crcteres, podrí extenderse l expresión regulr y el RFD nteriores este nuevo lfeto? (Enero Considérese un AFN sin trnsiciones lmd y con un estdo finl solmente, l cul se le ñde, precismente, los siguientes rcos lmd: Del estdo finl l inicil. Del inicil culquier estdo lcnzle desde él. n 9

10 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. c De culquier estdo que pudier llegr l finl, hst el propio finl. d Del inicil l finl. Descriir el lenguje socido l RFN que surgirí de plicr cd cso por seprdo en función del lenguje del utómt originl. (Enero Oténgse l expresión regulr y el reconocedor finito determinist más simples socidos l lenguje formdo por its, cuy lectur de derech izquierd d como resultdo un número en inrio nturl múltiplo de cutro. Téngse en cuent que, diferenci con otros ejercicios, no hy restricción con respecto los ceros que no contriuyn l vlor numérico de l cden. Asimismo, no pierd de vist, que l lectur de l entrd sigue siendo de izquierd derech. (Ferero Considérese un trnsformción h de cd crácter de un lfeto Σ en un tir concret de símolos de otro lfeto Π. Esto podrí contemplrse como un plicción: h :. Si se plicse est operción un plr, se tendrí otr plicción: w h( w h( 1 h( 2 h( 1 2 n n Si se extendiese lengujes, el resultdo serí: h( L h( 1 h( 2 h( n / 1 2n L. Demuéstrese, entonces, que si L es regulr, el resultdo de est operción es regulr. (Ferero Verifíquese el cumplimiento, o no, de l siguiente firmción. Ddo un lenguje regulr L, que se puede poner como L L 1 L2, entonces L 1 y L 2 son regulres tmién. (Julio Oténgse un AFD mínimo pr el lenguje formdo por s y s, tl que sus cdens cumpln con l condición de que tod dee estr precedid y seguid por l menos un. (Julio Estúdiese l relción de inclusión e iguldd entre los conjuntos representdos por ls siguientes expresiones regulres: c (Enero Un homomorfismo h plicdo un lfeto Σ consiste en trnsformr cd uno de sus crcteres en un cden, en generl, compuest por símolos de otro lfeto Π, que ocsionlmente podrí coincidir con Σ. Si se plicse est operción un plr, se tendrí que: 10

11 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. h( 1 2 n h( 1 h( 2 h( n ; donde,, 1 2 n h ( L h( w / w L Extendido lengujes serí: L operción contrri serí llevr co el homomorfismo inverso, esto es: h 1 ( L w / h( w L ; donde L Clcúlese, entonces, el homomorfismo inverso del lenguje L 00 1, siendo que proviene de plicr l trnsformción h ( 01 y h ( 10. El resultdo es un lenguje regulr todví más sencillo que el de prtid, pero, recuérdese, que no st con dr este dto, si no que hy demostrrlo. (Enero Constrúyse el AFD mínimo que reconozc l lenguje formdo prtir del lfeto,, que grup sólo ls plrs que empiezn y terminn por, pero que nunc tienen dos es seguids. Asimismo, oténgnse dos expresiones regulres de este lenguje, lo más simples posiles, un en l que prezc el operdor unión, y, otr, en l que no. (Ferero Se define el operdor P sore un lenguje L, y se denot por P(L, como quel que d como resultdo el siguiente conjunto de plrs: P( L xy /( y 0 x L;( y 1 x L. Verifíquese si est operción es cerrd dentro l ctegorí de lengujes regulres. En cso firmtivo, constrúyse un RFN que reconozc P(L prtir de un L regulr. (Ferero Se l clse de lengujes formles: Σ ΣΣ ; donde Σ es un determindo lfeto y represent culquier de los elementos de este conjunto. Verifíquese si ls operciones de unión, intersección, cierre y complemento son cerrds en l est clse. (Julio Dd l expresión regulr y el utómt:,, Compruéese si mos tienen socido el mismo lenguje. (Julio Existe lgún lenguje forml L finito que cumpl que: c c L L? E infinito? (enero

12 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 75. Clcúlese un expresiones regulr lo más simple posile pr cd uno de estos dos lengujes formdos con letrs es y es solmente: Cdens que no contienen l sucden. Aquells plrs que de precer un prej de es, dee estr inmeditmente seguid de un prej de es. (enero Ddo el lenguje L,,,,, clcúlese tods ls plrs de longitud menor que cutro pertenecientes L. (ferero Se l operción plicd un plr, que d como resultdo: i Eliminción de tods ls es, si en l cden originl hí un número pr de ells. ii Lo mismo con ls es, si l cntidd inicil de ls misms er impr. Est operción es cerrd sore el conjunto de los lengujes regulres? (ferero Constrúyse el utómt finito determinist mínimo socid l siguiente expresión regulr: Si se pudier, simplifíquese est expresión su form más simple posile. 79. Ddo un y un lfeto Σ, se define el conjunto de lengujes: Σ / Σ (ferero 2009 Es cerrd est fmili respecto de l unión?, l intersección? o el complemento? (julio Compruéese l vercidd de ests igulddes entre expresiones regulres: (julio

13 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 81. Oténgse un utómt finito determinist mínimo pr un lenguje compuesto por plrs de con un número impr de es y pr de es simultánemente. (enero Oténgse un expresión regulr, lo más simple posile, pr cd uno de estos lengujes:,, 2 " " 83. Clcúlese el utómt finito determinist mínimo pr el lenguje: ú 3 (ferero Considérese ls cdens dentro del lfeto Σ,, cuyo segmento más lrgo de es es impr. Este conjunto es un lenguje regulr? 85. Se A el utómt finito de l figur, cuyo lenguje se le plic l siguiente trnsformción:,. Clcúlese el utómt finito determinist mínimo socido l lenguje. q1 q2 q 3 (julio Dd l fmili de lengujes Σ /, verifíquese si es cerrd frente l s operciones de unión, cierre y conctención. (ferero Se el utómt finito de l figur y l expresión regulr. Oténgse el AFD mínimo pr. 13

14 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. q1 q2 λ λ q 3 (ferero Se define un operción sore un plr, como quell que sustituye cd por, si el número de es pr; por el contrrio, si l cntidd de es impr, ls quedn como estn. Compruéese si est operción es cerrd dentro de los lengujes regulres. (ferero Constrúyse el AFD mínimo que reconozc l siguiente expresión regulr: (julio Ddo un, Σ,,,, se define un lenguje socido cd estdo como: Σ /,, Clcúlese, entonces:,, En función de los resultdos nteriores, verifíquese si l fmili de lengujes constituye un recurimiento o un prtición, o ningun de ls dos coss. Si fuer el cso, cómo podrí constituirse dich fmili de lengujes en un conjunto cociente?. Anlícese si l unión e intersección nteriores drín el mismo resultdo sore un AFD mínimo. Recuerde que no st con responder ests cuestiones escuetmente, sino que hy que justificrls decudmente, y que, en cso contrrio, no se vlorrá. (julio

15 Autómts y Lengujes Regulres. 3º.T. nformátic de Sistems. Universidd de Vlldolid. 91. Se l fmili de los lengujes finitos y l de los cofinitos, que son quellos cuyo complementrio es finito. Si se fij un mismo lfeto y dos lengujes ritrrios L y L respectivmente finito y cofinito, justifíquese l vercidd o flsedd de: Todo lenguje regulr pertenece. L L d L Σ e L c L L (julio