MATRICES Y DETERMINANTES

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1 MATRICES Y DETERMINANTES

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3 ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices mplids correspondientes los sistems inicil finl medinte ls mtrices elementles correspondientes ls trnsformciones elementles relizds en el prtdo nterior (ebrero 99) ) L mtriz mplid de sistem inicil es: A Se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr resolver el sistem con el método de Guss: Como el rngo de l mtriz de los coeficientes del sistem trnsformdo es el de l correspondiente mtriz mplid tmbién es el sistem es comptible Como el número de incógnits es el sistem considerdo es comptible indetermindo tiene infinits soluciones dependiendo de un prámetro: t z z t t z t t t b) Ls mtrices mplids de los sistems inicil finl respectivmente son: A C

4 siendo C P P donde P P son ls mtrices elementles socids ls trnsformciones elementles de fils relizds sobre l mtriz A hst obtener l C es decir I I P P Hllr l invers de A utilizndo mtrices por bloques (ebrero 99) En primer lugr se clcul el determinnte de A pr comprobr que eiste l invers de A (det(a) -9) Se prticion l mtriz en bloques M () A C D con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Y Z T Así A A - M () X Y C D I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: M X I M Y () C X D Z () C Y D T I

5 Como M es un mtriz regulr (det(m) -) se premultiplic en l primer ecución del sistem por M - se obtiene X M - Procediendo de igul form en l segund ecución se obtiene Y M - () () Teniendo en cuent que D es regulr de l curt ecución se obtiene T D - Y despejndo Z de l tercer ecución De donde Z -D - C X - ( ) A - Se un mtriz cudrd A nn cuo determinnte tiene un vlor conocido e igul Se relizn sucesivmente ls siguientes trnsformciones : se multiplic por α l mtriz A : se cmbin entre sí ls dos primers fils : se cmbin entre sí ls dos últims columns : se divide entre β un de ls fils se multiplic por γ un de ls columns : Desde i hst n- sustituimos cd fil i por i i : Por último trsponemos l mtriz Obtener el vlor del determinnte pr ls sucesivs mtrices que se vn obteniendo l relizr ls trnsformciones indicds (Septiembre 99)

6 A α A A A C n C n A β i A A γ C j A n n A Por ls propieddes de los determinntes se deduce: trsposición A 7 det(a) det(a ) α n det(a ) -α n det(a ) α n det(a ) α n γ det(a ) α n γ det(a ) α n β β β γ det(a 7 ) α n β Se A un mtriz cudrd de orden n Medinte trnsformciones elementles de fil llegmos l mtriz unidd ) Eiste A -? Rzonr b) Sbiendo que ls mtrices elementles correspondientes ls trnsformciones elementles relizds son (en este orden) P P P epresr A - como producto de mtrices elementles (Septiembre 99) ) Sí eiste que si prtir de A con trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz I n entonces A es regulr (ls trnsformciones elementles no ltern ni el rngo ni l dimensión de l mtriz) b) I n P P P A de donde postmultiplicndo por A - A - P P P Utilizr el método de Guss pr ) Discutir l eistenci de solución del siguiente sistem de ecuciones lineles

7 9 z 9 z 9 z b) Resolver dicho sistem pr - (Septiembre 99) ) L mtriz mplid de este sistem es se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: De donde se conclue que: - Si - el rngo de l mtriz de los coeficientes es el de l mtriz mplid es luego el sistem será incomptible - Si - el rngo de l mtriz de los coeficientes es el de l mtriz mplid es que coincide con el número de incógnits luego el sistem tendrá solución únic b) Pr - l mtriz obtenid es: cuo sistem socido es: z z z z

8 Clculr A n n : A Not: Utilizr el método de inducción (Septiembre 99) A A A A A A ) ( A A A ) ( Con lo que prece que : A n n n n n n ) ( n ² Se comprobrá que efectivmente A n responde es epresión utilizndo el método de inducción mtemátic: Se demuestr que l epresión es verdder pr n pr n A A ) ( A ) (

9 Supuesto cierto pr n k se demuestr que es tmbién cierto pr k k n k Es decir h que demostrr que A k k ( ) k k k k bsándose en que A k k ( ) k k k A k A k A k ( ) k k k con lo que se obtiene lo que se querí demostrr k k ( ) k k k A () 7 Hllr (indicndo todos los psos) l invers de P donde A B son () B mtrices cudrds regulres de órdenes respectivos m n () mtrices nuls de órdenes decudos (Septiembre 99) Teniendo en cuent que P A () l invers de P h de estr prticiond de l form siguiente: Con lo que: P P - A () mm nm () B P - X Z mn nn mm nm mm nm () B Y T mn nn mn nn X mm Ymn I m () mn Znm T nn () nm I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil:

10 A X I m A Y () B Z () B T I n Como A B son mtrices regulres A - B - Se premultiplic en l primer ecución del sistem por A - se obtiene X A - I m A - Procediendo de igul form en l segund ecución se obtiene Y A - () () Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por B - se obtiene Z B - () () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene T B - I n B - De donde P - - A () mn - () nm B 8 Dd l Mtriz A ) Hllr su form de Hermite H medinte trnsformciones elementles epresr l relción entre A H como producto de mtrices elementles b) Hllr A - medinte trnsformciones elementles (ebrero 997) ) Prtiendo de A relizndo trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz H form cnónic de Hermite de A (que es l mtriz unidd I por ser A regulr): A H I

11 Pr poder relcionr A con H se hn de clculr ls mtrices elementles socids ls trnsformciones elementles relizds: I I I P P I De donde se deduce que: H P P P P A P P b) Prtiendo de I relizndo ls misms trnsformciones elementles de fils en el mismo orden que se hn hecho A pr obtener I se obtiene l mtriz A - : I A - 9 Se A B C donde B C son mtrices cudrds de orden n que conmutn C Demuéstrese emplendo el método de inducción que pr todo número ( ) p p nturl p > se verific: A B [ B ( p ) C] (ebrero 997) p p Se comprobrá que efectivmente A B [ B ( p ) C] de inducción mtemátic: Se demuestr que l epresión es verdder pr p A A (B C) (B C) B B C C B C utilizndo el método

12 B B C B [ B ( ) C] Supuesto cierto pr p k se demuestr que es tmbién cierto pr k k A B B k C p k Es decir h que demostrr que [ ( ) ] k k bsándose en que A B [ B ( k ) C] A k A k A B k [ B ( k ) C] k B ( k ) (B C) k [ C B] B [ B C ( k ) C ] B Teniendo en cuent que B C conmutn que C (): A k B k [ B ( k ) C C] B k [ B ( k ) C] con lo que se obtiene lo que se querí demostrr Clculr A trbjndo con l mtriz prticiond en bloques siendo A (ebrero 997) Se prticion l mtriz A de l form siguiente: A B I C () con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Z De donde: A A - B C I () Y T X Y I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil:

13 I C Y () C X () T B Y I Z B X Como l mtriz C es regulr eiste C - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por C - se obtiene X () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene Y C - De l primer ecución Z I Despejndo en l segund ecución T -B Y - 7 De donde se conclue que A - 7 Clculr A - trbjndo con mtrices prticionds A (Septiembre 997) Se prticion l mtriz A de l form siguiente:

14 I C A () I con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Y Z T Con lo que: A A - I C X Y () I I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: X C Z I Y C T () Z () T I Como Z es l mtriz nul T I de l primer ecución se despej X I de l segund ecución se despej Y -C De donde se conclue que A - Ddo el sistem de ecuciones z z b Aplicr el método de Guss pr resolverlo discutir en función de los vlores de b en que csos es un sistem comptible en tles csos dr un solución del sistem medinte un proceso de sustitución regresiv (Septiembre 997) H que estudir pr qué vlores de b tiene solución el sistem L mtriz mplid de este sistem es

15 b se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: b b b De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si b - en cuo cso el sistem es comptible indetermindo (el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid es mientrs que el número de incógnits es ) Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: t t t z t I Dd l mtriz A n B () C A - siendo C cudrd regulr de orden n clculr (ebrero 998) I n Teniendo en cuent que A () en l form Con lo que: A - C X Z B nn nn nn l invers de A h de estr prticiond Y T nn nn

16 A A - I n B X nn Ynn () C I n () nn Znn T nn () nn I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: X B Z I n Y B T () C Z () C T I n Como C es un mtriz regulr C - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por C - se obtiene Z () Procediendo de igul form en l curt ecución T C - De l primer ecución se obtiene X I n Y de l segund ecución Y -B T -B C - De donde A - I () n nn - B C - C - Utilizndo el método de Guss discutir ( resolver cundo se posible) el siguiente sistem linel según los vlores de z t z 7 z t (ebrero 998) H que estudir pr qué vlores de tiene solución el sistem cu mtriz mplid es:

17 7 Pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre l mtriz mplid trnsformciones elementles de fils: De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si - en cuo cso el sistem es comptible indetermindo (el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid es mientrs que el número de incógnits es ) Pr - se obtiene que l solución del sistem es: t t z z z 7 t z z t Utilizndo el método de Guss discutir ( resolver cundo se posible) el siguiente sistem linel según los vlores de z z z (Septiembre 998) L mtriz mplid de este sistem es

18 pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils Como el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid son que es el número de incógnits se conclue que el sistem es comptible determindo pr culquier vlor de Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: z Clculr A - emplendo mtrices prticionds A (Septiembre 998) Se prticion l mtriz A en l form: A C I B () con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - T Z Y X

19 Entonces: A A - () B X Y I C I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: B Z I B T () X C Z () Y C T I Como B es un mtriz regulr eiste B - Premultiplicndo por ell en l primer ecución se obtiene Z B - De l segund ecución se deduce T () De l curt se despej Y I Y de l tercer ecución se obtiene De donde se conclue que X -C Z A - 7 ) Sen dos mtrices A B E nn ( ) regulres Si A B es un mtriz ortogonl Qué relción eiste entre ls mtrices C B B t D A t A?

20 b) Indicr rzondmente si l mtriz A es un mtriz elementl c) Qué trnsformción elementl podremos efectur con l mtriz elementl sobre l mtriz A? Indicr l mtriz resultnte (Septiembre 998) ) Por ser A B cudrds regulres C D tmbién lo son Como demás A B es ortogonl se verific: (A B) t (A B) - B t A t B - A - B B t A t B B - A - B B t A t A B B - A - A I B B t A t A I C D I Con lo que se deduce que C es l invers de D vicevers b) L mtriz A no es un mtriz elementl que no es regulr Si l mtriz unidd de orden dos se le hce un trnsformción elementl l mtriz elementl que se obtiene tiene tmbién rngo (ls trnsformciones elementles no ltern el rngo ni l dimensión de l mtriz) c) L mtriz elementl (de orden ) sólo puede ctur como mtriz elementl socid un trnsformción elementl de columns con respecto l mtriz A (puesto que A tiene columns fils) En concreto está socid l trnsformción de columns consistente en intercmbir ls columns : 8 ) Hllr l invers de l mtriz A medinte l siguiente prtición por bloques

21 A b) Hllr l invers de l mtriz A medinte trnsformciones elementles (ebrero 999) ) Teniendo en cuent que B C A D () l invers de A h de estr prticiond en l form A - X Y Z T Con lo que: A A - B C X Y D () I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: B X C Z I B Y C T () D X () D Y I Como D es un mtriz regulr D - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por D - se obtiene X () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene Y D - Como C es un mtriz regulr C - Premultiplicndo por C - de l primer ecución se obtiene Z C - () Y de l segund ecución T -C - B Y

22 De donde A - b) Prtiendo de A relizndo trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz I posteriormente prtiendo de I relizndo ls misms trnsformciones elementles de fils en el mismo orden que se hn hecho A pr obtener I se obtiene l mtriz A - : A I I A - 9 Qué condiciones deben cumplir b pr que el siguiente sistem se comptible: 7 b Resolver en ese supuesto (ebrero 999) L mtriz mplid de este sistem es

23 b 7 pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils b 7 b 8 b De donde se conclue que pr que el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid coincidn por lo tnto el sistem es comptible se h de cumplir que - b en cuo cso el sistem es comptible indetermindo l solución dependerá de dos prámetros Si - b procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: µ λ λ λ µ λ µ Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles z z z donde Utilizndo el método de Guss ) Discutir ls soluciones del sistem según los vlores de b) Resolver el sistem pr - (Septiembre 999)

24 ) L mtriz mplid de este sistem es pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils Aquí se distinguen ls diferentes situciones que se pueden presentr: - Si : l mtriz correspondiente es De donde se deduce que l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo - Si : ) ( teniendo en cuent que -( - )( ) se tiene - Si - l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo - Si : l mtriz mplid correspondiente es l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits es el sistem es comptible indetermindo - Si -: l mtriz mplid es

25 l mtriz de los coeficientes tiene rngo l mplid tiene rngo luego el sistem es incomptible b) Pr - el sistem es comptible determindo según lo visto en el prtdo ) l mtriz correspondiente es Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: z Determinr l invers de l mtriz M en función de los vlores de utilizndo l teorí de bloques decir los vlores de que hcen que l mtriz M se regulr Not : No clculr ningun invers solo dejrls indicds ( Ejemplo : - ) M Resolver pr medinte eliminción gussin el siguiente sistem: M b siendo b ( ) t (ebrero ) Se prticion l mtriz M de l form siguiente: M C () B A

26 con lo cul l invers de M h de estr prticiond de l form siguiente: M - X Y Z T Con lo que: M M - A B X Y () C I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: A X B Z I A Y B T () C Z () C T I A es regulr independientemente del vlor de C tmbién es regulr Premultiplicndo por C - en l tercer ecución se obtiene Z () De l curt ecución se deduce T I De l primer X A - Y de l segund Y -A - B T -A - B C - De donde M - - A () - A - C B C Pr el sistem que h que resolver es - - pr cd vlor de pr nlizr su comptibilidd se relizn sobre sobre l mtriz mplid del sistem trnsformciones elementles de fils

27 Como l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo su solución es Obtener el determinnte de orden n siguiente: nb )b (n b b (ebrero ) Teniendo en cuent ls propieddes de los determinntes se tiene:

28 b b (n ) ( n)b (n )b nb n C C i i b b (n )b nb Desrrollndo este determinnte por los elementos de l primer column se obtiene: n [(n ) n b] n [(n ) n b] n Encontrr tods ls mtrices column b pr ls cules eiste l menos un solución del sistem A b encontrr tods ls soluciones socids dichs b A (Septiembre ) H que estudir pr qué vlores de b b b tiene solución el sistem: L mtriz mplid de este sistem es b b z b

29 b b b se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: b b b 7 7 b 7 b b b b b b b b b b De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si b -b b en cuo cso por sustitución regresiv l solución del sistem es: b b 7t 7 b b t t 7 z t Utilizndo operciones con bloques hllr l invers de l siguiente mtriz: A A A donde A A son dos bloques cudrdos regulres () A (Septiembre ) Teniendo en cuent cómo está prticiond l mtriz A A A A () A siendo A A mtrices regulres de orden n l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X nn Ynn Znn Tnn Con lo que:

30 A A - A A X nn Ynn () A I n () nn Znn T nn () nn I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: A X A Z I n A Y A T () A Z () A T I n Como A A son mtrices regulres eisten A - A - Premultiplicndo por A - en l tercer ecución se obtiene Z () De l curt ecución se deduce T A - De l primer se despej X A - Y de l segund se despej Y -A - A T -A n - A A - De donde se deduce que A - A - A A A - () A

31 CUESTIONES TEÓRICAS ) Indicr cuáles de ls siguientes igulddes son cierts A B E nn ( ) regulres demostrándols en cso firmtivo: ) (A B) - B - A - ) I - I ) (A - ) - A ) (AB) - A - B - b) Bsándote en el prtdo nterior indic qué estructur lgebric tiene el conjunto M {A E nn ( ) / A regulr} respecto ls operciones sum producto de mtrices (ebrero 998) ) Por ls propieddes de ls inverss de ls mtrices regulres se puede comprobr que: ) (A B) - B - A - est iguldd es ciert Por ser A B regulres eisten sus inverss eiste tmbién l invers de A B ( A B A B ) que cumple: (A B) (A B) - I Premultiplicndo est iguldd por A - en primer lugr por B - posteriormente se obtiene (A B) - B - A - ) I - I est iguldd es ciert Como I es regulr su determinnte es eiste I - su determinnte es Además: I I - I I - I ) (A - ) - A est iguldd es ciert Y que por ser A regulr eiste A - como su determinnte es el inverso de el determinnte de A es distinto de por lo tnto eiste (A - ) - Y se cumple: (A) - (A - ) - I Premultiplicndo est iguldd por A se obtiene (A - ) - A

32 ) (AB) - A - B - est iguldd es fls Que A B sen regulres no implic que A B lo se b) En bse lo visto en el prtdo nterior se puede firmr que el conjunto M {A E nn ( ) / A regulr} respecto l sum de mtrices no es le intern (según ) ) respecto l producto es le intern (según )) es socitiv (por serlo el producto de mtrices) tiene elemento neutro (por )) elemento inverso (por )) luego se trt de un grupo multiplictivo) Siendo A B dos mtrices cudrds regulres de orden n indicr si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) (AB) t B t A t b) (A t ) t A c) (ka) t ka t (siendo k un esclr) d) (A B) t A t B t e) (A B) - B - A - (Septiembre 999) Teniendo en cuent ls propieddes de l trsposición de mtrices se tiene que: ) (AB) t B t A t es verdder b) (A t ) t A es verdder c) (ka) t ka t (siendo k un esclr) es verdder d) (A B) t A t B t es fls Lo que es verddero es que (A B) t B t A t e) (A B) - B - A - es verdder 7 Justificr si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) Si A es un mtriz ortogonl su determinnte es igul o b) Mtrices semejntes son tmbién equivlentes ) Mtrices equivlentes son tmbién semejntes c) H es equivlente tod mtriz A

33 (Septiembre 999) ) Si A es un mtriz ortogonl su determinnte es igul o Est es un firmción verdder que si A es ortogonl: A A t I det(a A t ) det(a) det(a t ) det (A) det(i) det(a) ± b) Mtrices semejntes son tmbién equivlentes Est es un firmción verdder que si A B son semejntes: P regulr de orden n / B P - A P P Q(P - ) regulres de orden n / B Q A P A B son equivlentes c) Mtrices equivlentes son tmbién semejntes Est firmción es fls como se puede ver con ls mtrices A B que son mtrices equivlentes pero no semejntes d) H no es equivlente l mtriz rngo es equivlente tod mtriz A Est firmción es fls H de orden que tienen diferente 8 Indicr si son verdders o flss ls siguientes cuestiones justificndo l respuest en los csos en que se pid ) Dd l mtriz A su form cnónic de Hermite es H (Justificr sin relizr cálculos) b) Un sistem homogéneo puede tener solución únic distint de l trivil (En cso de ser flso indicr cuáles pueden ser ls soluciones de un sistem homogéneo) c) El producto de dos mtrices regulres puede ser regulr o singulr (Demostrción de l respuest) d) Un mtriz simétric siempre es cudrd (Justificr l respuest)

34 e) A B A B A B E nn ( ) f) A A A E nn ( ) g) A t A A E nn ( ) h) A B B A A B E nn ( ) (ebrero ) ) Dd l mtriz A H su form cnónic de Hermite es Est firmción es fls un mtriz su form cnónic son equivlentes (igul rngo dimensión) ésts dos no lo son b) Un sistem homogéneo puede tener solución únic distint de l trivil Esto es flso Un sistem homogéneo siempre dmite por lo menos l solución l trivil en el cso de dmitir sólo un solución (sistem comptible determindo) será l trivil c) El producto de dos mtrices regulres puede ser regulr o singulr El producto de dos mtrices regulres del mismo orden es siempre un mtriz regulr que det(a B) det(a) det(b) Y si det(a) det(b) entonces det(a) det(b) d) Un mtriz simétric siempre es cudrd Esto es cierto Pr que un mtriz pued ser simétric por definición h de ser cudrd e) A B A B A B E nn ( ) Esto es flso Por ejemplo si A A B A B B entonces f) A A A E nn ( ) Esto es flso lo que es cierto es que A / A

35 g) A t A A E nn ( ) Esto es cierto por ls propieddes de los determinntes h) A B B A A B E nn ( ) Est firmción es fls el producto de mtrices en generl no es conmuttivo Por ejemplo si A B entonces A B mientrs 7 que B A