MATRICES Y DETERMINANTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATRICES Y DETERMINANTES"

Transcripción

1 MATRICES Y DETERMINANTES

2

3 ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices mplids correspondientes los sistems inicil finl medinte ls mtrices elementles correspondientes ls trnsformciones elementles relizds en el prtdo nterior (ebrero 99) ) L mtriz mplid de sistem inicil es: A Se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr resolver el sistem con el método de Guss: Como el rngo de l mtriz de los coeficientes del sistem trnsformdo es el de l correspondiente mtriz mplid tmbién es el sistem es comptible Como el número de incógnits es el sistem considerdo es comptible indetermindo tiene infinits soluciones dependiendo de un prámetro: t z z t t z t t t b) Ls mtrices mplids de los sistems inicil finl respectivmente son: A C

4 siendo C P P donde P P son ls mtrices elementles socids ls trnsformciones elementles de fils relizds sobre l mtriz A hst obtener l C es decir I I P P Hllr l invers de A utilizndo mtrices por bloques (ebrero 99) En primer lugr se clcul el determinnte de A pr comprobr que eiste l invers de A (det(a) -9) Se prticion l mtriz en bloques M () A C D con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Y Z T Así A A - M () X Y C D I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: M X I M Y () C X D Z () C Y D T I

5 Como M es un mtriz regulr (det(m) -) se premultiplic en l primer ecución del sistem por M - se obtiene X M - Procediendo de igul form en l segund ecución se obtiene Y M - () () Teniendo en cuent que D es regulr de l curt ecución se obtiene T D - Y despejndo Z de l tercer ecución De donde Z -D - C X - ( ) A - Se un mtriz cudrd A nn cuo determinnte tiene un vlor conocido e igul Se relizn sucesivmente ls siguientes trnsformciones : se multiplic por α l mtriz A : se cmbin entre sí ls dos primers fils : se cmbin entre sí ls dos últims columns : se divide entre β un de ls fils se multiplic por γ un de ls columns : Desde i hst n- sustituimos cd fil i por i i : Por último trsponemos l mtriz Obtener el vlor del determinnte pr ls sucesivs mtrices que se vn obteniendo l relizr ls trnsformciones indicds (Septiembre 99)

6 A α A A A C n C n A β i A A γ C j A n n A Por ls propieddes de los determinntes se deduce: trsposición A 7 det(a) det(a ) α n det(a ) -α n det(a ) α n det(a ) α n γ det(a ) α n γ det(a ) α n β β β γ det(a 7 ) α n β Se A un mtriz cudrd de orden n Medinte trnsformciones elementles de fil llegmos l mtriz unidd ) Eiste A -? Rzonr b) Sbiendo que ls mtrices elementles correspondientes ls trnsformciones elementles relizds son (en este orden) P P P epresr A - como producto de mtrices elementles (Septiembre 99) ) Sí eiste que si prtir de A con trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz I n entonces A es regulr (ls trnsformciones elementles no ltern ni el rngo ni l dimensión de l mtriz) b) I n P P P A de donde postmultiplicndo por A - A - P P P Utilizr el método de Guss pr ) Discutir l eistenci de solución del siguiente sistem de ecuciones lineles

7 9 z 9 z 9 z b) Resolver dicho sistem pr - (Septiembre 99) ) L mtriz mplid de este sistem es se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: De donde se conclue que: - Si - el rngo de l mtriz de los coeficientes es el de l mtriz mplid es luego el sistem será incomptible - Si - el rngo de l mtriz de los coeficientes es el de l mtriz mplid es que coincide con el número de incógnits luego el sistem tendrá solución únic b) Pr - l mtriz obtenid es: cuo sistem socido es: z z z z

8 Clculr A n n : A Not: Utilizr el método de inducción (Septiembre 99) A A A A A A ) ( A A A ) ( Con lo que prece que : A n n n n n n ) ( n ² Se comprobrá que efectivmente A n responde es epresión utilizndo el método de inducción mtemátic: Se demuestr que l epresión es verdder pr n pr n A A ) ( A ) (

9 Supuesto cierto pr n k se demuestr que es tmbién cierto pr k k n k Es decir h que demostrr que A k k ( ) k k k k bsándose en que A k k ( ) k k k A k A k A k ( ) k k k con lo que se obtiene lo que se querí demostrr k k ( ) k k k A () 7 Hllr (indicndo todos los psos) l invers de P donde A B son () B mtrices cudrds regulres de órdenes respectivos m n () mtrices nuls de órdenes decudos (Septiembre 99) Teniendo en cuent que P A () l invers de P h de estr prticiond de l form siguiente: Con lo que: P P - A () mm nm () B P - X Z mn nn mm nm mm nm () B Y T mn nn mn nn X mm Ymn I m () mn Znm T nn () nm I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil:

10 A X I m A Y () B Z () B T I n Como A B son mtrices regulres A - B - Se premultiplic en l primer ecución del sistem por A - se obtiene X A - I m A - Procediendo de igul form en l segund ecución se obtiene Y A - () () Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por B - se obtiene Z B - () () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene T B - I n B - De donde P - - A () mn - () nm B 8 Dd l Mtriz A ) Hllr su form de Hermite H medinte trnsformciones elementles epresr l relción entre A H como producto de mtrices elementles b) Hllr A - medinte trnsformciones elementles (ebrero 997) ) Prtiendo de A relizndo trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz H form cnónic de Hermite de A (que es l mtriz unidd I por ser A regulr): A H I

11 Pr poder relcionr A con H se hn de clculr ls mtrices elementles socids ls trnsformciones elementles relizds: I I I P P I De donde se deduce que: H P P P P A P P b) Prtiendo de I relizndo ls misms trnsformciones elementles de fils en el mismo orden que se hn hecho A pr obtener I se obtiene l mtriz A - : I A - 9 Se A B C donde B C son mtrices cudrds de orden n que conmutn C Demuéstrese emplendo el método de inducción que pr todo número ( ) p p nturl p > se verific: A B [ B ( p ) C] (ebrero 997) p p Se comprobrá que efectivmente A B [ B ( p ) C] de inducción mtemátic: Se demuestr que l epresión es verdder pr p A A (B C) (B C) B B C C B C utilizndo el método

12 B B C B [ B ( ) C] Supuesto cierto pr p k se demuestr que es tmbién cierto pr k k A B B k C p k Es decir h que demostrr que [ ( ) ] k k bsándose en que A B [ B ( k ) C] A k A k A B k [ B ( k ) C] k B ( k ) (B C) k [ C B] B [ B C ( k ) C ] B Teniendo en cuent que B C conmutn que C (): A k B k [ B ( k ) C C] B k [ B ( k ) C] con lo que se obtiene lo que se querí demostrr Clculr A trbjndo con l mtriz prticiond en bloques siendo A (ebrero 997) Se prticion l mtriz A de l form siguiente: A B I C () con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Z De donde: A A - B C I () Y T X Y I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil:

13 I C Y () C X () T B Y I Z B X Como l mtriz C es regulr eiste C - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por C - se obtiene X () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene Y C - De l primer ecución Z I Despejndo en l segund ecución T -B Y - 7 De donde se conclue que A - 7 Clculr A - trbjndo con mtrices prticionds A (Septiembre 997) Se prticion l mtriz A de l form siguiente:

14 I C A () I con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X Y Z T Con lo que: A A - I C X Y () I I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: X C Z I Y C T () Z () T I Como Z es l mtriz nul T I de l primer ecución se despej X I de l segund ecución se despej Y -C De donde se conclue que A - Ddo el sistem de ecuciones z z b Aplicr el método de Guss pr resolverlo discutir en función de los vlores de b en que csos es un sistem comptible en tles csos dr un solución del sistem medinte un proceso de sustitución regresiv (Septiembre 997) H que estudir pr qué vlores de b tiene solución el sistem L mtriz mplid de este sistem es

15 b se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: b b b De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si b - en cuo cso el sistem es comptible indetermindo (el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid es mientrs que el número de incógnits es ) Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: t t t z t I Dd l mtriz A n B () C A - siendo C cudrd regulr de orden n clculr (ebrero 998) I n Teniendo en cuent que A () en l form Con lo que: A - C X Z B nn nn nn l invers de A h de estr prticiond Y T nn nn

16 A A - I n B X nn Ynn () C I n () nn Znn T nn () nn I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: X B Z I n Y B T () C Z () C T I n Como C es un mtriz regulr C - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por C - se obtiene Z () Procediendo de igul form en l curt ecución T C - De l primer ecución se obtiene X I n Y de l segund ecución Y -B T -B C - De donde A - I () n nn - B C - C - Utilizndo el método de Guss discutir ( resolver cundo se posible) el siguiente sistem linel según los vlores de z t z 7 z t (ebrero 998) H que estudir pr qué vlores de tiene solución el sistem cu mtriz mplid es:

17 7 Pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre l mtriz mplid trnsformciones elementles de fils: De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si - en cuo cso el sistem es comptible indetermindo (el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid es mientrs que el número de incógnits es ) Pr - se obtiene que l solución del sistem es: t t z z z 7 t z z t Utilizndo el método de Guss discutir ( resolver cundo se posible) el siguiente sistem linel según los vlores de z z z (Septiembre 998) L mtriz mplid de este sistem es

18 pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils Como el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid son que es el número de incógnits se conclue que el sistem es comptible determindo pr culquier vlor de Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: z Clculr A - emplendo mtrices prticionds A (Septiembre 998) Se prticion l mtriz A en l form: A C I B () con lo cul l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - T Z Y X

19 Entonces: A A - () B X Y I C I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: B Z I B T () X C Z () Y C T I Como B es un mtriz regulr eiste B - Premultiplicndo por ell en l primer ecución se obtiene Z B - De l segund ecución se deduce T () De l curt se despej Y I Y de l tercer ecución se obtiene De donde se conclue que X -C Z A - 7 ) Sen dos mtrices A B E nn ( ) regulres Si A B es un mtriz ortogonl Qué relción eiste entre ls mtrices C B B t D A t A?

20 b) Indicr rzondmente si l mtriz A es un mtriz elementl c) Qué trnsformción elementl podremos efectur con l mtriz elementl sobre l mtriz A? Indicr l mtriz resultnte (Septiembre 998) ) Por ser A B cudrds regulres C D tmbién lo son Como demás A B es ortogonl se verific: (A B) t (A B) - B t A t B - A - B B t A t B B - A - B B t A t A B B - A - A I B B t A t A I C D I Con lo que se deduce que C es l invers de D vicevers b) L mtriz A no es un mtriz elementl que no es regulr Si l mtriz unidd de orden dos se le hce un trnsformción elementl l mtriz elementl que se obtiene tiene tmbién rngo (ls trnsformciones elementles no ltern el rngo ni l dimensión de l mtriz) c) L mtriz elementl (de orden ) sólo puede ctur como mtriz elementl socid un trnsformción elementl de columns con respecto l mtriz A (puesto que A tiene columns fils) En concreto está socid l trnsformción de columns consistente en intercmbir ls columns : 8 ) Hllr l invers de l mtriz A medinte l siguiente prtición por bloques

21 A b) Hllr l invers de l mtriz A medinte trnsformciones elementles (ebrero 999) ) Teniendo en cuent que B C A D () l invers de A h de estr prticiond en l form A - X Y Z T Con lo que: A A - B C X Y D () I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: B X C Z I B Y C T () D X () D Y I Como D es un mtriz regulr D - Se premultiplic en l tercer ecución del sistem por D - se obtiene X () Procediendo de igul form en l curt ecución se obtiene Y D - Como C es un mtriz regulr C - Premultiplicndo por C - de l primer ecución se obtiene Z C - () Y de l segund ecución T -C - B Y

22 De donde A - b) Prtiendo de A relizndo trnsformciones elementles de fils se obtiene l mtriz I posteriormente prtiendo de I relizndo ls misms trnsformciones elementles de fils en el mismo orden que se hn hecho A pr obtener I se obtiene l mtriz A - : A I I A - 9 Qué condiciones deben cumplir b pr que el siguiente sistem se comptible: 7 b Resolver en ese supuesto (ebrero 999) L mtriz mplid de este sistem es

23 b 7 pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils b 7 b 8 b De donde se conclue que pr que el rngo de l mtriz de los coeficientes el de l mplid coincidn por lo tnto el sistem es comptible se h de cumplir que - b en cuo cso el sistem es comptible indetermindo l solución dependerá de dos prámetros Si - b procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: µ λ λ λ µ λ µ Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles z z z donde Utilizndo el método de Guss ) Discutir ls soluciones del sistem según los vlores de b) Resolver el sistem pr - (Septiembre 999)

24 ) L mtriz mplid de este sistem es pr nlizr l comptibilidd del sistem se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils Aquí se distinguen ls diferentes situciones que se pueden presentr: - Si : l mtriz correspondiente es De donde se deduce que l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo - Si : ) ( teniendo en cuent que -( - )( ) se tiene - Si - l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo - Si : l mtriz mplid correspondiente es l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo como el número de incógnits es el sistem es comptible indetermindo - Si -: l mtriz mplid es

25 l mtriz de los coeficientes tiene rngo l mplid tiene rngo luego el sistem es incomptible b) Pr - el sistem es comptible determindo según lo visto en el prtdo ) l mtriz correspondiente es Procediendo por sustitución regresiv se obtiene que l solución del sistem es: z Determinr l invers de l mtriz M en función de los vlores de utilizndo l teorí de bloques decir los vlores de que hcen que l mtriz M se regulr Not : No clculr ningun invers solo dejrls indicds ( Ejemplo : - ) M Resolver pr medinte eliminción gussin el siguiente sistem: M b siendo b ( ) t (ebrero ) Se prticion l mtriz M de l form siguiente: M C () B A

26 con lo cul l invers de M h de estr prticiond de l form siguiente: M - X Y Z T Con lo que: M M - A B X Y () C I () Z T () I Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: A X B Z I A Y B T () C Z () C T I A es regulr independientemente del vlor de C tmbién es regulr Premultiplicndo por C - en l tercer ecución se obtiene Z () De l curt ecución se deduce T I De l primer X A - Y de l segund Y -A - B T -A - B C - De donde M - - A () - A - C B C Pr el sistem que h que resolver es - - pr cd vlor de pr nlizr su comptibilidd se relizn sobre sobre l mtriz mplid del sistem trnsformciones elementles de fils

27 Como l mtriz de los coeficientes l mplid tienen rngo el número de incógnits tmbién es el sistem es comptible determindo su solución es Obtener el determinnte de orden n siguiente: nb )b (n b b (ebrero ) Teniendo en cuent ls propieddes de los determinntes se tiene:

28 b b (n ) ( n)b (n )b nb n C C i i b b (n )b nb Desrrollndo este determinnte por los elementos de l primer column se obtiene: n [(n ) n b] n [(n ) n b] n Encontrr tods ls mtrices column b pr ls cules eiste l menos un solución del sistem A b encontrr tods ls soluciones socids dichs b A (Septiembre ) H que estudir pr qué vlores de b b b tiene solución el sistem: L mtriz mplid de este sistem es b b z b

29 b b b se relizn sobre ell trnsformciones elementles de fils pr nlizr l comptibilidd del sistem: b b b 7 7 b 7 b b b b b b b b b b De donde se conclue que el sistem tendrá solución si sólo si b -b b en cuo cso por sustitución regresiv l solución del sistem es: b b 7t 7 b b t t 7 z t Utilizndo operciones con bloques hllr l invers de l siguiente mtriz: A A A donde A A son dos bloques cudrdos regulres () A (Septiembre ) Teniendo en cuent cómo está prticiond l mtriz A A A A () A siendo A A mtrices regulres de orden n l invers de A h de estr prticiond de l form siguiente: A - X nn Ynn Znn Tnn Con lo que:

30 A A - A A X nn Ynn () A I n () nn Znn T nn () nn I n Operndo con ls mtrices prticionds se obtiene el sistem mtricil: A X A Z I n A Y A T () A Z () A T I n Como A A son mtrices regulres eisten A - A - Premultiplicndo por A - en l tercer ecución se obtiene Z () De l curt ecución se deduce T A - De l primer se despej X A - Y de l segund se despej Y -A - A T -A n - A A - De donde se deduce que A - A - A A A - () A

31 CUESTIONES TEÓRICAS ) Indicr cuáles de ls siguientes igulddes son cierts A B E nn ( ) regulres demostrándols en cso firmtivo: ) (A B) - B - A - ) I - I ) (A - ) - A ) (AB) - A - B - b) Bsándote en el prtdo nterior indic qué estructur lgebric tiene el conjunto M {A E nn ( ) / A regulr} respecto ls operciones sum producto de mtrices (ebrero 998) ) Por ls propieddes de ls inverss de ls mtrices regulres se puede comprobr que: ) (A B) - B - A - est iguldd es ciert Por ser A B regulres eisten sus inverss eiste tmbién l invers de A B ( A B A B ) que cumple: (A B) (A B) - I Premultiplicndo est iguldd por A - en primer lugr por B - posteriormente se obtiene (A B) - B - A - ) I - I est iguldd es ciert Como I es regulr su determinnte es eiste I - su determinnte es Además: I I - I I - I ) (A - ) - A est iguldd es ciert Y que por ser A regulr eiste A - como su determinnte es el inverso de el determinnte de A es distinto de por lo tnto eiste (A - ) - Y se cumple: (A) - (A - ) - I Premultiplicndo est iguldd por A se obtiene (A - ) - A

32 ) (AB) - A - B - est iguldd es fls Que A B sen regulres no implic que A B lo se b) En bse lo visto en el prtdo nterior se puede firmr que el conjunto M {A E nn ( ) / A regulr} respecto l sum de mtrices no es le intern (según ) ) respecto l producto es le intern (según )) es socitiv (por serlo el producto de mtrices) tiene elemento neutro (por )) elemento inverso (por )) luego se trt de un grupo multiplictivo) Siendo A B dos mtrices cudrds regulres de orden n indicr si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) (AB) t B t A t b) (A t ) t A c) (ka) t ka t (siendo k un esclr) d) (A B) t A t B t e) (A B) - B - A - (Septiembre 999) Teniendo en cuent ls propieddes de l trsposición de mtrices se tiene que: ) (AB) t B t A t es verdder b) (A t ) t A es verdder c) (ka) t ka t (siendo k un esclr) es verdder d) (A B) t A t B t es fls Lo que es verddero es que (A B) t B t A t e) (A B) - B - A - es verdder 7 Justificr si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) Si A es un mtriz ortogonl su determinnte es igul o b) Mtrices semejntes son tmbién equivlentes ) Mtrices equivlentes son tmbién semejntes c) H es equivlente tod mtriz A

33 (Septiembre 999) ) Si A es un mtriz ortogonl su determinnte es igul o Est es un firmción verdder que si A es ortogonl: A A t I det(a A t ) det(a) det(a t ) det (A) det(i) det(a) ± b) Mtrices semejntes son tmbién equivlentes Est es un firmción verdder que si A B son semejntes: P regulr de orden n / B P - A P P Q(P - ) regulres de orden n / B Q A P A B son equivlentes c) Mtrices equivlentes son tmbién semejntes Est firmción es fls como se puede ver con ls mtrices A B que son mtrices equivlentes pero no semejntes d) H no es equivlente l mtriz rngo es equivlente tod mtriz A Est firmción es fls H de orden que tienen diferente 8 Indicr si son verdders o flss ls siguientes cuestiones justificndo l respuest en los csos en que se pid ) Dd l mtriz A su form cnónic de Hermite es H (Justificr sin relizr cálculos) b) Un sistem homogéneo puede tener solución únic distint de l trivil (En cso de ser flso indicr cuáles pueden ser ls soluciones de un sistem homogéneo) c) El producto de dos mtrices regulres puede ser regulr o singulr (Demostrción de l respuest) d) Un mtriz simétric siempre es cudrd (Justificr l respuest)

34 e) A B A B A B E nn ( ) f) A A A E nn ( ) g) A t A A E nn ( ) h) A B B A A B E nn ( ) (ebrero ) ) Dd l mtriz A H su form cnónic de Hermite es Est firmción es fls un mtriz su form cnónic son equivlentes (igul rngo dimensión) ésts dos no lo son b) Un sistem homogéneo puede tener solución únic distint de l trivil Esto es flso Un sistem homogéneo siempre dmite por lo menos l solución l trivil en el cso de dmitir sólo un solución (sistem comptible determindo) será l trivil c) El producto de dos mtrices regulres puede ser regulr o singulr El producto de dos mtrices regulres del mismo orden es siempre un mtriz regulr que det(a B) det(a) det(b) Y si det(a) det(b) entonces det(a) det(b) d) Un mtriz simétric siempre es cudrd Esto es cierto Pr que un mtriz pued ser simétric por definición h de ser cudrd e) A B A B A B E nn ( ) Esto es flso Por ejemplo si A A B A B B entonces f) A A A E nn ( ) Esto es flso lo que es cierto es que A / A

35 g) A t A A E nn ( ) Esto es cierto por ls propieddes de los determinntes h) A B B A A B E nn ( ) Est firmción es fls el producto de mtrices en generl no es conmuttivo Por ejemplo si A B entonces A B mientrs 7 que B A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

AX = B. X es la matriz columna de las variables:

AX = B. X es la matriz columna de las variables: ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:

Más detalles

UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

MATRICES 2º BACHILLER

MATRICES 2º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DIDÁCTICA MATRICES º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Reconocer informciones que se puedn representr medinte mtrices.. Operr con mtrices.. Reconocer

Más detalles

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems

Más detalles

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1 TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo:

Más detalles

INVERSA DE UNA MATRIZ

INVERSA DE UNA MATRIZ NVES E UN TZ l igul que pr hllr determinntes, restringiremos nuestro estudio mtrices cudrds utiliremos l mtri identidd de orden n ( n ). Podemos demostrr que si es culquier mtri cudrd de orden n, entonces

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3 . DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic

Más detalles

Curso ON LINE Tema 5. x + y + z = 5 1200x + 600y = 2000 + m z 1200x = 3 m z

Curso ON LINE Tema 5. x + y + z = 5 1200x + 600y = 2000 + m z 1200x = 3 m z Curso ON LINE Tem 5 Un gente inmobilirio puede relir tipos de operciones: vent de un piso nuevo, vent de un piso usdo lquiler. Por l vent de cd piso nuevo recibe un prim de. Si l operción es l vent de

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

Determinantes de una matriz y matrices inversas

Determinantes de una matriz y matrices inversas Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

Guía Práctica N 13: Función Exponencial

Guía Práctica N 13: Función Exponencial Fuente: Pre Universitrio Pedro de Vldivi Guí Práctic N : Función Eponencil POTENCIAS ECUACIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Sen, b lr {0} m, n. Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS

Más detalles

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS]

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] 009 CETis 6 Ing. Gerrdo Srmiento Díz de León [FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseñ como fctorizr polinomios Pr fctorizr polinomios hy vrios métodos: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Scr fctor común:

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

3 Sistemas de ecuaciones lineales

3 Sistemas de ecuaciones lineales Solucionrio Sistems de ecuciones lineles CTIVIDDES INICILES.I. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones. ) c) 6 ), λ, λλ R, c) Sistem incomptible,.ii. En cd cso, escribe un sistem de ecuciones cu solución

Más detalles

Ejemplo. Con el Método de Gauss resuelva el sistema de ecuaciones lineales del problema planteado al inicio de este capítulo

Ejemplo. Con el Método de Gauss resuelva el sistema de ecuaciones lineales del problema planteado al inicio de este capítulo 65 4.3 Método de Guss El método de Guss es similr l método de Guss-Jordn. Aquí se trt de trnsformr l mtriz del sistem un form tringulr superior. Si esto es posible entonces l solución se puede obtener

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese EJERCICIOS DE ALGEBRA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. II Antonio López Grcí Angeles Juárez Mrtín Jun Fernández Mese Índice Temático CAPÍTULO : MATRICES..... MATRIZ...... GRAFOS Y MATRICES... 8.. OPERACIONES

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:

Más detalles

75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I GUÍA DE PROBLEMAS 2005 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I GUÍA DE PROBLEMAS 2005 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A. Métodos Directos 75. ANÁLISIS NUMÉRICO I FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES GUÍA DE PROBLEMAS 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resolver el sistem linel A x = b utilizndo eliminción

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems

Más detalles

Propiedades de los números

Propiedades de los números Propieddes de los números Qué son los números? qué propieddes tienen? L primer de ls pregunts ry con l filosofí... vmos ver qué podemos contestr con respecto l segund pregunt. Lo primero que tenemos que

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES º BACHILLER OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Mnejr los métodos de resolución de sistems de dos/tres ecuciones con dos/tres incógnits (reducción, sustitución e igulción.. Profundizr

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (http://dirium.usl.es/guillermo) Deprtmento de Economi e Hª Económic. Universidd de Slmnc. Actulizdo : -- Sobre el estilo utilizdo Mthemtic ls slids (Output) por defecto

Más detalles

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8 POTENCIAS. Hll sin clculdor +.. Simplific utilizndo ls propieddes de ls potencis: b c ) 0 b c. Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio y simplific: ). Resuelve sin utilizr

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v ) º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un

Más detalles

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti Solucionrio Mtrices números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert con pertur de

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistems de ecuciones lineles º) L sum de ls tres cifrs de un número es 8, siendo l cifr de ls decens igul l medi de ls otrs dos. Si se cmbi l cifr de ls uniddes por l de ls centens, el número ument en

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Algoritmos matemáticos sobre matrices:

Algoritmos matemáticos sobre matrices: Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos

Más detalles

OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Cuadrado: P = a + a + a + a a

OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Cuadrado: P = a + a + a + a a OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Potenci es l form brevid de escribir un multiplicción de fctores igules. n = (n veces) = Perímetro de un polígono es l

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos Aplicción de l Mecánic Cuántic sistems sencillos Antonio M. Márquez Deprtmento de Químic Físic Universidd de Sevill Curso 15- Problem 1 Clcule los vlores promedio de x y x pr un prtícul en el estdo n =

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - S - 59 7 Mtemátis ISSN: 988-79X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees

Más detalles

OPERACIONES CON FRACIONES

OPERACIONES CON FRACIONES LEY DE SIGNOS OPERACIONES CON FRACIONES SUMA Y RESTA: Si se sumn dos números con el mismo signo, se sumn los vlores solutos y se coloc el signo común (+) + (+) = + 8 (-) + (-) = - 8 Si se sumn dos números

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

TEMA VI: ACIDOS Y BASES

TEMA VI: ACIDOS Y BASES www.selectividd-cgrnd.com TEMA VI: ACIDOS Y BASES 1.- El ácido clorocético (ClCH COOH) en concentrción 0,01M y 5 C se encuentr disocido en 1%. Clculr: ) L constnte de disocición de dicho ácido. b) El ph

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ;

1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ; RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO.- Obtener, sin clculdor, el vlor de en ls siguientes epresiones: ) (/) = 7/; 7/= / =(/) =(/) -, por tnto =- b) = ; ( ) = = =, por tnto =-/ y

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

7. Programación lineal y SIMPLEX

7. Programación lineal y SIMPLEX 7. Progrmción linel y SIMPLEX Definición de problems de progrmción linel. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de ls dos fses. Análisis de sensibilidd y problem dul Progrmción Linel Técnic de modeldo

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto.

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto. Polinomios Mtemátic º Año Cód. 0- P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t R o s i t o Dpto. de Mtemátic POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile,

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = 001 1 = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.

EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = 001 1 = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique. ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes EJEROS UNDDES : MTRES Y DETERMNNTES (Jun-96) Encuenre un mriz

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

DETERMINANTES. Determinantes

DETERMINANTES. Determinantes Determinntes DETERMINANTES Autores: Jun Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristin Steegmnn Pscul (csteegmnn@uoc.edu), Ángel Alejndro Jun Pérez (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

51 EJERCICIOS DE VECTORES

51 EJERCICIOS DE VECTORES 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l

Más detalles