BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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- Montserrat Fidalgo Cárdenas
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1 MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles
2 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z z * Mtriz de los coeficientes Mtriz mplid El sistem tiene solución rng rng* Voculrio: Tiene solución comptile No tiene solución incomptile
3 MTEMÁTICS º Bch José Rmón Pdrón NOTCIÓN Pr simplificr en lugr de escriir: * Suele escriirse: /*
4 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Ejemplo : z 5 z * 5 det El rngo de l mtriz es Como l mtriz *, sólo tiene fils el rngo no puede ser mor que, por lo tnto: rng rng* El sistem es comptile(tiene solución)
5 5 MTEMÁTICS º Bch José Rmón Pdrón TEOREM DE ROUCHÉ Ejemplo : z z * det 6 El rngo de l mtriz no es Pr determinr el rngo de *, orlmos el menor mrcdo en rojocon l curt column l tercer fil (en zul) Elegimos el menor mrcdo en rojo El rngo de l mtriz es Y clculmos el determinnte sí otenido El rngo de l mtriz * es Como los rngos son diferentes, el sistem es incomptile(no tiene solución) Tem : Sistems de Ecuciones Lineles
6 6 MTEMÁTICS º Bch José Rmón Pdrón REGL DE CRMER L regl de Crmersirve pr otener l solución de un sistem de necuciones con n incógnits donde rng rng* n Recordemos del tem nterior l resolución de un sistem generl c c c c Usndo l nomencltur de los determinntes, podemos ponerlo de l form siguiente: c c c c nálogmente c c c c por multiplicmos multiplicmos por Tem : Sistems de Ecuciones Lineles
7 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles REGL DE CRMER José Rmón Pdrón En generl: l situción es precid, por ejemplo si el sistem es de lo epresrímos sí: z t z t z t z t Y ls soluciones serín: z z t t Donde represent l mtriz que result de sustituir en l mtriz, l column de los coeficientes de por l column de los términosindependientes. Y, nálogmente,, z, t se otienen sustituendo en l column de los coeficientes del incógnit correspondiente por l de los términos independientes 7
8 8 MTEMÁTICS º Bch José Rmón Pdrón REGL DE CRMER Ejemplo : z 5 z det z 7 7 Tem : Sistems de Ecuciones Lineles
9 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles GENERLIZCIÓN DE L REGL DE CRMER José Rmón Pdrón Se puede utilizr l regl de Crmer si el determinnte de los coeficientes es cero? z.-vmos compror si es comptile, esto 5 z 5 es, si rngrng* 5 ( F F F) rng El menor mrcdo en rojo es distinto de cero por lo tnto rng Mirmos hor los menores de orden de *, son solmente (orldos del menor de ) diferente de cero 5 5 CONCLUSIÓN: rngrng*; es decir, el sistem tiene solución 9
10 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón GENERLIZCIÓN DE L REGL DE CRMER Como rng*, quiere decir que solo dos ecuciones son independientes, en otrs plrs: Nos está sorndo un de ls ecuciones cuál?.-vmos ver cómo podemos utilizr l regl de Crmer pr epresr l solución del sistem: En primer lugr procedemos eliminr l ecución que no vmos utilizr. El sistem entonces qued de l siguiente form: z demás, nos sor un incógnit, cuál? (ver dipositiv siguiente) L psmos l otro miemro de l iguldd nos qued el sistem siguiente: z
11 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles GENERLIZCIÓN DE L REGL DE CRMER José Rmón Pdrón Lo que nos sor siempre es L que no hemos utilizdo pr clculr el rngo
12 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón GENERLIZCIÓN DE L REGL DE CRMER.-Vmos ver l solución. El determinnte de, es hor el que hemos clculdo ntes, es decir: z 6 9 Hitulmente l solución suele epresrse sí: Pr cd vlor que le demos λotenemos un solución, es decir, el sistem tiene infinits soluciones, por eso se le llm: COMPTIBLE INDETERMINDO λ λ 9λ z
13 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS HOMOGÉNEOS José Rmón Pdrón Se llm homogéneo un sistem de ecuciones cuos términos independientes son todos cero. Ejemplo: z z z Crcterístics:.-,, z; es un solución pr culquier sistem homogéneo. Est solución se llm SOLUCIÓN TRIVIL.- Pr que teng otrs soluciones demás de l trivil dee ocurrir que: rng < nº incógnits
14 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS() José Rmón Pdrón Ejemplo : Discutir resolver el siguiente sistem en función de los vlores del prámetro z z z.-discusión:relizr un nálisis de los rngos decidir en qué csos h solución en quécsos no Igulmos cero resolvemos medinte l regl de Ruffini pr decidir el rngo de l mtriz Ls soluciones son : ; -
15 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón SISTEMS CON PRÁMETROS () En Resumen: El determinnte no es cero por lo tnto rng - ó El determinnte es cero h que nlizr más coss pr determinr el vlor del rngo el determinnte es rng - el determinnte es Como el menor siguiente no es cero, concluimos que el rng 5
16 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón SISTEMS CON PRÁMETROS () Pr cd uno de los csos nteriores, tenemos que ver cuánto vle rng* sí poder ser si el sistem es comptile o no Cso: rng Como l mtriz * tiene fils columns, el rngo mor quepuede tener es como tmpoco puede tener rngo menor que l mtriz, se conclue que: rng*. SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO Cso: rng * 9 rng* SISTEM INCOMPTIBLE 6
17 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Cso: rng * Tods ls fils son igules, el rngo entonces es rng* SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO 7
18 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Fltrá hor resolver los csos de comptiilidd (cso cso ) Cso : rng rng* Coincide con el número de incógnits, podemos plicr directmente l regl de Crmer, eso si, pr un vlor de genérico porque no nos dicen cuánto vle ( ) ( ) ( ) ( ) nálogmente se clculn ls incógnits, z 8
19 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Fltrá hor resolver los csos de comptiilidd (cso cso ) Cso : rng rng* En relidd solo nos qued un ecución (tods son igules) z Sólo nos serviráentonces un de ls incógnits. Su solución se epres dándole un vlor (prmétrico) dos de ls incógnits poniendo l otr en función de ells λ, µ, z λ µ 9
20 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Ejemplo : Discutir resolver el siguiente sistem en función de los vlores del prámetro K k 7 k En este cso es más sencillo empezr por * ( que es cudrd) * k 7 k k 8k 7 k k 9k 6 Igulmos el resultdo resolvemos l ecución de segundo grdo k 9 ± 9 ( ) 6 k 9k 6 k k Es decir, el determinnte de l mtriz mplid vle en estos dos csos, en los demás es diferente de
21 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón SISTEMS CON PRÁMETROS () En resumen: k El determinnte no es cero por tnto rng*. k ó k -, rng* no es h que nlizr más k k- 7 * rng* 7 * rng*
22 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Pr cd uno de los csos h que nlizr si coincide el rngode * con el de l mtriz Cso: k rng* L mtriz, solo tiene dos columns luego no puede tener rngo : rng rng* SISTEM INCOMPTIBLE k Cso: rng* L mtriz tiene rngo porque culquier menor que elijmos no es cero, por ejemplo: SISTEM COMPTIBLE
23 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles SISTEMS CON PRÁMETROS () José Rmón Pdrón Cso: rng* L mtriz tiene rngo porque culquier menor que elijmos no es cero, por ejemplo: SISTEM COMPTIBLE Fltrá hor resolver los csos de comptiilidd (cso cso ) Como el rngo es, tenemos que desprecir un ecución, en mos csos puede ser l tercer porque no influe en el cálculo de los rngos Nos qued entonces el sistem con ecuciones incógnits que resolveremos por el método que quermos
24 MTEMÁTICS º Bch José Rmón Pdrón FORM MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES Un sistem de ecuciones llev prejds tres mtrices: Tem : Sistems de Ecuciones Lineles 5 z 5 8 z z 5 z X 5 8 C MTRIZ DE LOS COEFICIENTES INCÓGNITS TÉRMINOS INDEPENDIENTES Este sistem puede epresrse en form mtricil sí: 5 8 z 5 C X
25 MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles José Rmón Pdrón FORM MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES Si l mtriz tiene invers, podemos despejr X del siguiente modo X C X C X C Es decir, hemos reducido nuestro prolem clculr l mtriz invers de los coeficientes después un multiplicción de mtrices L solución del sistem es z 5 7 5
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Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Un ecución linel con dos incógnits x
INVERSA DE UNA MATRIZ
NVES E UN TZ l igul que pr hllr determinntes, restringiremos nuestro estudio mtrices cudrds utiliremos l mtri identidd de orden n ( n ). Podemos demostrr que si es culquier mtri cudrd de orden n, entonces
Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:
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el blog de mate de aida CSI: sistemas de ecuaciones. pág
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Relación 3. Sistemas de ecuaciones
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Ecuaciones de 1 er y 2º grado
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MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero
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TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems
a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n
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Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de ecuaciones:
S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S. M É T O D O D E G A U S S. S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S Un sistem de tres ecuciones
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Integración de funciones racionales
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Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0
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