ÁLGEBRA. e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A

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1 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd ÁLGEBRA Junio 94. Comprueb que el determinnte es nulo sin desrrollrlo. Explic el proceso que sigues. [,5 puntos] Junio 94.. Considerr l mtriz A. Probr que ls mtrices de l form B = k A + r I, donde k y r son números reles e I es l mtriz unidd, conmutn con l A, es decir A B = B A [,5 puntos] x y. Discutir y resolver el siguiente sistem dependiente del prámetro x y [,5 puntos] x z Septiembre 94. Dd l mtriz n. Clculr: ) L potenci enésim A n. [ punto] b) L invers A. [,5 puntos] Septiembre 94.. Se A un mtriz cudrd. Demuestr que ls mtrices A A t y A t A son simétrics, donde A t denot l mtriz trspuest de A. Son igules?. Pon un ejemplo. [,5 puntos]. Hllr el vlor de m pr que el siguiente sistem teng infinits soluciones y clculrls x my 4z x y 7z x y z [,5 puntos] Junio 95.. Se U un mtriz cudrd n n con todos sus elementos igules, se I n l mtriz unidd n n, y se un número rel. Escribir l mtriz U I, y clculr su determinnte. [ puntos]. Discutir el siguiente sistem según los vlores del prámetro, y resolver cundo se posible x y z x y z x y z [,5 puntos] Junio 95. Encontrr tods ls mtrices A tl que A. [,5 puntos]

2 Septiembre 95.. Se dice que un mtriz n n cudrd A es ortogonl si A A t = I, donde A t es l mtriz trspuest de A e I es l mtriz unidd n n. Se pide: ) Estudir si l mtriz trspuest y l mtriz invers de un mtriz ortogonl son mtrices ortogonles. [ punto] b) Si A es ortogonl, hllr A. [ punto]. Discutir el siguiente sistem según los vlores del prámetro, y resolver cundo se posible. x y z 4x y 5 x y z 5 [,5 puntos] Septiembre 95. Clculr, sin desrrollr, el vlor del siguiente determinnte, enumerndo ls propieddes de los determinntes utilizds: [ puntos] Junio 96. Sin desrrollrlo, clculr rzondmente el vlor del determinnte de l mtriz puntos]. Deducir de hí los posibles vlores del rngo de A [ punto]. b c A b c [,5 c b Junio 96. Hllr el rngo de l mtriz A Indicr cuándo existe l invers de A [,5 puntos]. 4 según se el vlor del prámetro [ puntos]. Septiembre 96. Sen A, B y O l mtriz nul. Se pide: ) Encontrr tods ls mtrices X tles que A X = B [,5 puntos] b) Encontrr tods ls mtrices Y tles que Y B = O [ punto] Septiembre 96. Hllr el vlor o vlores de pr que el sistem indetermindo [,5 puntos]. Resolverlo en esos csos [ punto]. x y x y ( )z x y ( )z se comptible e x y z Junio 97. Discutir el sistem x y z según los vlores del prámetro x y csos en que dmit infinits soluciones [ punto]. [,5 puntos]. Resolverlo en los

3 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Junio 97. Dd l mtriz A, encontrr tods ls mtrices B tles que AB = B A [,5 puntos]; Clculr A n con n entero positivo [ punto]. Septiembre 97. Dds ls mtrices 5 A y B, hllr l mtriz X dd por AXA = B [,5 puntos]. Septiembre 97. Hllr el rngo de l mtriz B según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Junio 98. Discutir el sistem z x )z ( )y ( z )y ( x según se el vlor del prámetro [,5 puntos]. Hllr, si existe, l solución del mismo cundo = [ punto] Junio 98. Determinr, b y c pr que l mtriz c b A verifique que su trspuest A t coincide con su invers A - [,5 puntos]. Clculr en todos esos csos l mtriz A 4 [ punto]. Septiembre 98. Hllr los vlores del prámetro pr que el sistem de ecuciones z )y ( x z y x z x dmit infinits soluciones [,5 puntos]. Resolverlo en cd uno de esos csos [ punto]. Septiembre 98. Dds ls mtrices A y B, encontrr tods ls mtrices X tles que X A = X [ punto] y tods ls mtrices Y tles que YA = B [,5 puntos]. Junio 99. Ls mtrices X e Y son ls soluciones del sistem de ecuciones mtriciles 4 Y X 5 Y X. Se pide hllr X e Y [ punto] y clculr si tiene sentido X e Y (rzonr l posible respuest negtiv) [,5 puntos]. Junio 99. Discutir según el vlor del prámetro el sistem linel z x z 8y x z 7y x [,5 puntos] y resolverlo en los csos en que teng infinits soluciones [ punto].

4 Septiembre 99. Hllr en función de el rngo de l mtriz l mtriz invers A en los csos = y = [ punto]. A [,5 puntos] y clculr cundo exist 4 Septiembre 99. Disponemos de tres lingotes de distints leciones de tres metles A, B y C. El primer lingote contiene g del metl A, g del B y 6 del C. El segundo contiene g de A, 4 g de B y 5 g de C. El tercero contiene g de A, 4 g de B y 4 g de C. Queremos elborr prtir de estos lingotes uno nuevo que conteng 5 g de A, 5 g de B y 5 g de C. Cuántos grmos hy que coger de cd uno de los tres lingotes? [,5 puntos]. Junio. Hllr, si existe, un mtriz cudrd A que cumpl ls siguientes condiciones: ) Coincide con su trspuest. ) Verific l ecución mtricil A ) Su determinnte vle 9. [,5 puntos] x z Junio. Discutir el sistem de ecuciones y ( )z x ( )y z Resolverlo en todos los csos de comptibilidd [,5 puntos]. según los vlores del prámetro [ punto]. Septiembre. Dd l mtriz A, se pide: i) Hllr el vlor o vlores de pr que se cumpl l iguldd A + A + I = O, siendo I l mtriz identidd de orden y O l mtriz nul de orden [,5 puntos]. ii) Clculr en esos csos l mtriz invers de A [ punto]. Septiembre. Se A un mtriz 4 4 cuys fils, de rrib bjo son F, F, F y F 4 y cuyo determinnte vle. Se B. Clculr rzondmente: ) El determinnte de l mtriz AB [ punto] ) El determinnte de l mtriz A [,5 puntos] ) El determinnte de l mtriz cuys fils son (de rrib bjo): F + F, F, F 4 y F +F [ punto] Junio. Dds ls mtrices A e I, se pide: ) Hllr A n pr todo entero positivo n [ punto] b) Clculr, si existe, l invers de l mtriz A y l de l mtriz I + A [,5 puntos] Junio. Tenemos un mtriz cuys columns son (de izquierd derech): C, C, C y su determinnte vle. ) Se consider l mtriz A cuys columns son (de izquierd derech): C, C +C, C, clculr rzondmente el determinnte de l mtriz A cso de que est mtriz invers exist [,5 puntos]. b) Se hor l mtriz cuys columns son: C +C, C +C, C C. Rzonr l existenci o no existenci de l mtriz invers de l mism [ punto] 4

5 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Septiembre. Ddo el sistem de ecuciones dependiente del prámetro : ) Discusión del mismo en función del prámetro. [ punto] ) Resolución en los csos de comptibilidd. [,5 puntos] x y z x y z, se pide: x y z Septiembre. Dds ls mtrices: A e I ) Clculr A 4A + 4I [ punto] b) Clculr, si existe, l invers de l mtriz A [,5 puntos], se pide: ( )x ( )y Junio. ) Discute el sistem y z ( )x y z b) Hll, si existe, l solución cundo = 4. [, puntos] según el vlor del prámetro. [, puntos] b Junio. Se M ;, b.. b ) Prueb que si A, B M tmbién A+B y AB están en M. [ punto] b) Determin ls mtrices C M que verificn que C = C. [,5 puntos] Septiembre. Sen A y B ls mtrices siguientes: A B Es fácil comprobr que mbs tiene el máximo rngo, que es. Pero qué ocurre si ls combinmos linelmente? En concreto, estudi el rngo de l mtriz A + B según los vlores del prámetro. [,5 puntos] x y z Septiembre. ) Discute el sistem de ecuciones x y z x z b) Hll, si existe, l solución cundo =. [ punto] según el vlor del prámetro. [,5 puntos] Junio. Luis, Jun y Óscr son tres migos. Luis le dice Jun: Si yo te doy l tercer prte del dinero que tengo, los tres tendremos l mism cntidd. Clculr lo que tiene cd uno de ellos sbiendo que entre los tres reunen 6 euros. [,5 puntos] Junio. Buscr un mtriz cudrd X (pueden existir vris) cuyo primer elemento vlg y tl que l siguiente sum X X 6 se l mtriz nul [,5 puntos] Not: El primer elemento de un mtriz es que el está en l primer fil y en l primer column. 5

6 x y z Septiembre. Discutir el sistem de ecuciones x y z según los vlores del prámetro [,5 x y z puntos]. Entre los vlores de que hcen el sistem comptible elegir uno en prticulr y resolver el sistem que resulte l reemplzr por el vlor elegido [ punto]. Septiembre. Sen ls mtrices A 4 ; B. Vemos que mbs tienen rngo máximo, o se. 4 Determinr los vlores de c tles que l mtriz A + cb y no teng rngo [,5 puntos]. Cuál es el rngo que tienen ls respectivs mtrices sum? [ punto] Junio 4. Cundo el ño 8 Beethoven escribe su primer Sinfoní, su edd es diez veces myor que l del jovencito Frnz Schubert. Ps el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfoní Incomplet. Entonces l sum de ls eddes de mbos músicos es igul 77 ños. Cinco ños después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos ños que tení Beethoven cundo compuso su primer Sinfoní. Determinr el ño de ncimiento de cd uno de estos dos compositores. [,5 puntos] Not: Solmente se clificrán los resultdos obtenidos mtemáticmente, no los derivdos de los conocimientos histórico-musicles del exminndo. x y z 5 Junio 4. Se el sistem x z. y z Se pide clsificrlo según los vlores del prámetro [,5 puntos] y resolverlo si en lgún cso es comptible indetermindo [ punto] x y z Septiembre 4. Se el sistem homogéneo de ecuciones x y z x y z ) Determinr el vlor o vlores del prámetro pr que el sistem teng soluciones distints de l nul [,5 puntos] b) Resolver el sistem pr el vlor o vlores de hlldos en el prtdo nterior [ punto] Septiembre 4. Determinr un mtriz cudrd X que verifique AX XA siendo A [ puntos]. Luego nlizr si l mtriz X es inversible, y en el cso de serlo clculr su mtriz invers [,5 puntos] Junio 5. Ev, Mrt y Susn son tres jóvenes migs que se comprometen leer el Quijote este verno. Cd un por seprdo y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de págins cd dí hst terminr l obr. Ev leerá dirimente 5 págins más que Mrt y ést 6 págins más que Susn. Por ello Ev terminrá l obr dos semns ntes que Mrt y ést dís ntes que Susn. Se pregunt cuál es el totl de págins que tiene l versión de l inmortl obr cervntin que leen ests migs. [,5 puntos] x y z Junio 5. L tern (,, ) es siempre solución del sistem x y z independientemente del vlor del x y z prámetro. ) Indicr pr qué vlores del prámetro l citd tern es l únic solución del sistem. [,5 puntos] b) Indicr lgún vlor del prámetro, si existe, pr el cul el sistem teng lguns soluciones distints de l nul y mostrr ests soluciones. (Not: si se encuentrn vrios vlores del prámetro cumpliendo l condición pedid, pr responder est cuestión bst tomr uno solo de ellos). [ punto] 6

7 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Septiembre 5. A, B y C son tres ciuddes que formn un triángulo de mner que entre cd dos de ells hy un crreter rect que ls une. Se sbe que si se v de A B dndo l vuelt por C se hce un recorrido tres veces myor que si se v directmente de A B. Asimismo si pr ir de A C se d l vuelt por B el recorrido es el doble que si se v directmente de A C. Clculr ls distncis entre ls tres ciuddes sbiendo que l sum de ls tres distncis es igul kilómetros. [,5 puntos] Septiembre 5. Estudir según el vlor del prámetro, el sistem de ecuciones en lgún cso es comptible indetermindo. [,5 puntos] x y z x y z x y z y resolverlo si Junio 6. Se considern ls mtrices A y B donde es un número rel. ) Encontrr los vlores de pr los que l mtriz AB tiene invers. [,5 puntos] b) Ddos y b números reles culesquier, puede ser el sistem x A y comptible determindo con A l b z mtriz del enuncido?. [ punto] b b Junio 6. Se l mtriz A b b b b ) Sin utilizr l regl de Srrus, clculr el determinnte de dich mtriz. [,5 puntos] b) Estudir el rngo de A en el cso en que b. [ punto] Septiembre 6. L lig de fútbol de un cierto pís l juegn equipos doble vuelt. Este ño, los prtidos gndos vlín puntos, los emptdos punto y los perdidos puntos. En ests condiciones, el equipo cmpeón de lig obtuvo 7 puntos. Hst el ño psdo los prtidos gndos vlín puntos y el resto igul. Con el sistem ntiguo, el ctul cmpeón hubier obtenido 5 puntos. Cuántos prtidos gnó, emptó y perdió el equipo cmpeón? [,5 puntos] Septiembre 6. Teniendo en cuent que p q r 7, clculr el vlor del siguiente determinnte sin desrrollrlo p b q c r [,5 puntos] x b y b c z c x b y c z x y z 5 Junio 7. Considerr el sistem linel de ecuciones en x, y y z: mx z my z m ) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene solución únic. Clculr dich solución pr m. [ punto] b) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene infinits soluciones. Clculr dichs soluciones. [ punto] c) Estudir si existe lgún vlor de m pr el cul el sistem no tiene solución. [,5 puntos] 7

8 Junio 7. Un cjero utomático contiene 95 billetes de, y 5 euros y un totl lmcendo de euros. Si el número totl de billetes de euros es el doble que el número de billetes de, verigur cuántos billetes de cd tipo hy. [,5 puntos] Septiembre 7. Dds ls mtrices ) Comprobr que det A det A A, I 8 [,5 puntos] b b) Estudir si pr culquier mtriz M de orden se cumple que det c d M det M [ punto] c) Encontrr l relción entre los elementos de ls mtrices M cudrds de orden que stisfcen: det M I det M det I [ punto] Septiembre 7. Sen A y k t B k ) Estudir pr qué vlores de y l mtriz A tiene invers. [,5 puntos] b) Clculr A 5. [ punto] c) Hllr l mtriz invers de B. [ punto] Junio 8. Opción A. ) (,5 puntos) Sen A, B, I ls mtrices: Estudir si existe lgún vlor de pr el cul se stisfg A I B. b) ( punto) Teniendo en cuent que x y z 6 4 A, B, I. 4 5, determinr el vlor de Opción B. (,5 puntos) Ddo el sistem cundo se comptible. x y z 4 x y z x y x y z x / 4 4 y 4 z /. Discutirlo según los vlores de, y resolverlo Septiembre 8. Opción A. (,5 puntos) Hllr un mtriz y B b X c d de orden tl que A X A B siendo A Opción B. ) ( punto) Probr que b c b c c b b c x y z b) (,5 puntos) Hllr l solución del sistem de ecuciones que demás stisfce que l sum de x 4y 9z los vlores correspondientes cd un de ls incógnits es 4. 8

9 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Junio 9. Opción A. ) [,5 puntos] Discutir y resolver en función de los vlores del prámetro m el sistem linel x y z mx m y m z mx my m z b) [ punto] Teniendo en cuent que, determinr el vlor del determinnte Opción B. ) [,5 puntos] Dd l mtriz A, clculr l invers de l mtriz b) [,5 puntos] Estudir pr qué vlores del prámetro, existe un único polinomio stisfce P (), P (), P ( ). n A. P(x) bx cx que. Septiembre 9. Opción A. ) [,5 puntos] Sen ls mtrices A, I de orden. Hllr l relción entre los b c prámetros, b y c pr que se verifique que A I A. b) [ punto] Clculr, en función de los vlores del prámetro k, el rngo de l mtriz B. 5 k Opción B. ) [,5 puntos] Resolver el siguiente determinnte sin utilizr l regl de Srrus: b c c b c b c b c b 4 b) [,5 puntos] Pr M, clculr n M con n.. Junio. ) Estudir pr qué vlores de el determinnte de l mtriz el determinnte de l mtriz A. (,5 puntos) A es no nulo. Pr, obtener b) Sen ls mtrices A y B. Clculr el rngo de AB T. ( punto) Junio. x ) Estudir pr qué vlores de x, l mtriz invers de coincide con su opuest. (,5 puntos) 5 x b) Dos hermnos de tercero y curto de primri ibn cmino del colegio con sus mochils crgds de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lmentb del peso que trnsportb y el otro le dijo: De qué te quejs? Si yo te cogier un libro, mi crg serí el doble que l tuy. En cmbio si te dier un libro, tu crg igulrí l mí Cuántos libros llevb cd hermno? ( punto) 9

10 Septiembre. ) Discutir y resolver cundo se posible el siguiente sistem linel: (,75 puntos) x y x y z y z b) Existe lgún vlor del prámetro pr el cul el vector se solución del sistem nterior? (,75 puntos) Septiembre. cos α senα Dd l mtriz A senα cos α β T ) Estudir si existen vlores de α y β pr los cules l mtriz A se simétric. Será l mtriz B A A igul l mtriz identidd en lgún cso? ( punto) b) Rzonr cuál es l relción entre el determinnte de A y el de B. (,75 puntos) x c) Discutir y resolver cundo se posible el sistem B y. (,75 puntos) z Junio. ) (,5 puntos) Estudir pr qué vlores de el determinnte de l mtriz A α α tiene rngo α máximo. b) (,5 puntos) Siendo Junio. A l invers de l mtriz A, clculr A pr. cos sen cos sen ) ( punto) Sen ls mtrices A sen cos y B. Estudir qué vlores de y sen cos hcen que se ciert l iguldd: det A det A det B 4 b) (,5 puntos) Utilizr ls propieddes de los determinntes pr clculr el vlor de b4 c d 4 con, b, c, d Septiembre. Se l mtriz A. T ) (,75 puntos) Clculr el determinnte de l mtriz AA con T A l trspuest de A. b) (,75 puntos) Estudir pr qué vlores del prámetro se stisfce l ecución T c) ( punto) Obtener l invers de A cundo se posible. 4 A A con A det A Septiembre. (,5 puntos) Utilizr ls propieddes de los determinntes pr obtener los vlores de y b que stisfcen simultánemente ls ecuciones

11 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd b b y b b Junio. x y z Sen un número rel y el sistem linel x y z x y z ) (,5 puntos) Clcule el determinnte de l mtriz de los coeficientes y determine pr qué vlores de el sistem nterior es incomptible, comptible determindo y comptible indetermindo. b) ( punto) Resuelv el sistem nterior en el cso Junio. ) (,5 puntos) Comprueb que l mtriz M es inversible y clcule su invers, donde M b) ( punto) Encuentre ls mtrices A y B que cumplen ls siguientes ecuciones 4 8A 5B, A B Septiembre. ) (,5 puntos) El determinnte de l mtriz A que prece continución es A Sin utilizr l regl de Srrus, determine cuánto vle el determinnte de l mtriz B siguiente (enuncie ls propieddes que utilice): B 4 sen x cos x b) ( puntos) Se C l siguiente mtriz: C cos x sen x sen x x Determine los vlores de x pr los que l mtriz C tiene invers y clculrl cundo se posible. Septiembre. ) (,5 puntos) Determine pr qué vlores de m el siguiente sistem de ecuciones: mx y 6z x my 4z x my 6z m es comptible determindo, comptible indetermindo o incomptible. b) ( punto) Se sbe que un mtriz simétric B de dimensión tiene como determinnte. Determine el t t determinnte de l mtriz B B donde B denot l trspuest de B.

12 SOLUCIONES Junio 94. Se bs en l propiedd: si un líne le summos un combinción linel de ls demás prlels, el determinnte no vrí. Sum l primer column (por ejemplo) ls prlels ell y todos sus elementos son igules cero, con lo que el determinnte será cero. Junio 94.. Construye l mtriz B y comprueb que A B = B A. Si,, : el sistem es comptible determin- 4 do. Soluciones: x, y, z Si =, : el sistem es incomptible Si = : el sistem es comptible indetermindo. Soluciones: x, y, z = k Septiembre 94. ) A n b) Septiembre 94. t A n t t t t t t. A A (A ) A A A A A t t t t t t t A A A (A ) A A A A es simétric es simétric No tienen por qué ser igules: A A t A t A. Puede comprobrse con l mtriz A 9k k. m = 6. Soluciones: x, y k, z 5 5 unio U I U I (n ) ( ) n. Si, : sistem comptible determindo. Soluciones: x, y, ( )( ) z Si = : sistem incomptible. Si = : sistem comptible indetermindo. Soluciones: x = k, y = k, z = Junio 95. A x x y y Septiembre 95.. ) Sí, son ortogonles. b) A. Si, : sistem comptible determindo. 5 5 Soluciones: x, y, ( ) Si = ó = : sistem incomptible. Septiembre 95. Junio 96. A. Si = b = c: rg (A) = ; en culquier otro cso: rg (A) =. Junio 96. Si, : rg (A) = A Si = : rg (A) = Si = : rg (A) = Septiembre 96. ) X b) Y b b Septiembre 96. Si = : el sistem es comptible indetermindo. Soluciones: x =, y =, z = k Junio 97. Si, : sistem comptible determindo Si = : sistem incomptible Si = : sistem comptible indetermindo Soluciones: x = k, y = k, z = k. Junio 97. B b c b A n Septiembre X z ( ) Septiembre 97. Si, : rg B = Si = ó = rg B = Junio 98. Si, : sistem comptible determindo Si = : sistem incomptible Si = : sistem incomptible. Pr = el sistem es comptible determindo y sus soluciones son: x =, y =, z =.

13 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Junio 98. =, b =, c = (b y c distinto signo) 4 I A ; A 4 Septiembre 98. Tiene infinits soluciones cundo = y cundo =. Pr = : x = k, y = k, z = k Pr = : x = k, y =, z = k Septiembre 98. b b X Y Junio 99. X Y X pues X =. Y pues Y : Y Junio 99. Si, : sistem comptible determindo Si = : sistem incomptible Si = : sistem comptible indetermindo. Soluciones: x = + k, y = k, z = k Septiembre 99. Si, : rg A = Si = ó = : rg A = Pr = : A Septiembre grs del A, 5 grs del B y 5 grs del C. Junio. 5 A Junio. Si, : sistem comptible determindo. Soluciones: x, y, z Si = : sistem comptible indetermindo. Soluciones: x = k, y =, z = k Si = : sistem incomptible. Septiembre. i) = ii) A Septiembre. ) ) ( B A B A ) 6 A ) Junio. ) Pr n = : A n pr n = : A n pr n : A n b) A pues A =. (I + A) = Junio. ) A = 6 ; A = 6 b) En este cso: A pues A = Septiembre. ) Si : sistem comptible determindo. Si = : sistem comptible indetermindo. b) Pr : x =, y = +, z = Pr : z, y, x Septiembre. ) El resultdo es l mtriz nul b) 4 4 A Junio. ) Si, : sistem comptible determindo Si =, : sistem incomptible b) 75 x, 5 y, 5 6 z Junio. ) Comprueb que l sumr y multiplicr dos mtrices de M sus resultdos tmbién pertenecen M.

14 b) C C Septiembre. Si, : rg (A+ b) = Si = ó = : rg (A+ B) = Septiembre. ) Si, : sistem comptible determindo Si = : sistem incomptible Si = : sistem comptible indetermindo. 5 b) x, y, z 6 6 Junio. Luis:, Jun:, Óscr: Junio. X 4 Septiembre. Si, : sistem comptible determindo Si = : sistem incomptible Si = : sistem comptible indetermindo Por ejemplo, pr = : x =, y =, z = Septiembre. c =, c = 6. El rngo es. Junio 4. Beethoven nció en 77 y Schubert en 797. Junio 4. Si y 5: sistem comptible determindo. Si = : sistem comptible indetermindo. Soluciones: x = 5, y =, z = Si = 5: sistem incomptible. Septiembre 4. ) ; 4 b) Pr : x y z Pr : 4 Septiembre 4. X. 4 X es inversible: Junio 5. 4 págins. X 4 x, 8 Junio 5. ) Pr y b) Pr = y pr =. Pr = : x, y, 4 6 y, z z Pr = : Septiembre 5. A, B x, y, z d kms ; A, C 4 d B, C 5 kms. d kms ; Septiembre 5. Si : el sistem es comptible determindo Si : el sistem es comptible indetermindo. Ls soluciones son: x, y, z. Junio 6. ) AB tiene invers, b) No, A tiene un rngo máximo y el nº de incógnits es tres. Junio 6. ) A b) rg A b b Septiembre 6. prtidos gndos, emptdos y perdidos Septiembre 6. Junio 7. ) m y m. Si m : x, y, z 5 b) m. x, y, z c) m Junio 7. 5 billetes de, 5 de y de 5 Septiembre 7. ) Clculr y comprobr b) Sí se cumple (demostrr) b c) M c Septiembre 7. ) A no tiene invers en ningún cso. b) A 5 es l mtriz nul. k k t c) B k Junio 8. Opción A. ) b) Opción B. Pr y : sistem incomptible Pr : sistem comptible indetermindo Soluciones: x, y, z 7 7 Pr : sistem comptible determindo Soluciones: x, y, z Septiembre 8. 9 Opción A. X 6 7

15 Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd Opción B. ) Aplicr propieddes de los determinntes b) x, y 4, z 5 Junio 9. Opción A. ) Pr m y m : comptible determindo m Soluciones: x ; y ; z m m Pr m : incomptible Pr m : comptible indetermindo Soluciones: x ; y ; z b) Opción B. ) n b) Septiembre 9. Opción A. ) b, c b) Si k : rgb. Si k : rgb Opción B. ) n I si n es pr b) M M si n es impr Junio. ) Pr y T b) rg AB Junio. ) x b) 7 y 5 libros. Septiembre. ) - Si : Sistem comptible determindo. Soluciones: x ; y ; z - Si : Sistem incomptible b) No. Septiembre. ) α kπ, β. Cundo β b) B A c) - Si β : Sistem comptible determindo. Soluciones: x ; y ; z β - Si β : Sistem incomptible Junio. ) ; b) d bc Septiembre. ) 4 b) c) A pr Septiembre. 5, b ;, b Junio. ) A b) Pr y : comptible determindo Pr : comptible indetermindo Pr : incomptible x, y, z Junio. ) M es inversible porque M 5 5 M b) A 6 6, B 5 9 Septiembre. ) B b) C x sen x cos x C cos x sen x sen x sen x cos x sen x cos x x x x Septiembre. ) Pr m : comptible determindo Pr m : incomptible Pr m : incomptible b) t B B 4 Junio. ), b) A 5

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