Determinantes de una matriz y matrices inversas

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Alberto San Segundo Paz
hace 7 años
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1 Determinntes de un mtriz y mtrices inverss

2 Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión x, entonces =. Si es un mtriz cudrd de dimensión x, entonces el determinnte de, denotdo por o det(), es =. El determinnte de l mtriz : el producto de los elementos menos el producto de los elementos.

3 Determinntes Ejemplo : Ddo l mtriz, hlle su determinnte. El determinnte de l mtriz, denotdo por o det() es = (-) (-) = - + =

4 Determinntes Ejemplo. Ddo l mtriz, hlle el determinnte de l mtriz. 6 5 El determinnte de l mtriz, denotdo por o det() es = -(5) 6() = - - = -

5 Determinntes Ejemplo. Determine el vlor de tl que el det(c) =. C 5 El determinnte de l mtriz C es 5 por lo tnto = 5() (-) = 5 + () - = 5 - = 5 - = 5

6 Determinnte de un mtriz de orden En el cso de mtrices cudrds de orden, tmbién podemos clculr el determinnte de l siguiente mner: Copie l primer y segund column de l mtriz su derech: + -

7 Ejercicios: B Evlúe el determinnte de: ( ) - 8 ( ) ( ) - - ( + + ) - - -

8 Ejercicios Pr qué vlor de es el determinnte igul cero en l mtriz: Copimos l primer y segund column de l mtriz l derech de l últim column: = + 6 = 8 5 = = ( + )( + ) = =, =

9 Hllr el determinnte - Método de Cofctores El cofctor del elemento ij es definido por ij = (-) i+j det(m ij ) determin el signo del resultdo determinnte de l mtriz que qued l eliminr l fil i y l column j 9

10 Hllr el determinnte - Método de Cofctores Ej. Ddo l mtriz, hlle el cofctor del elemento. Solución: El cofctor de elemento, denotdo por, es definido: ( ) det( M ) ( ) [(7) (5)]

11 Método de Cofctores Ej 6. Ddo l mtriz, hlle el cofctor del elemento El cofctor de elemento, denotdo por, es definido: ( ) det( M ) ( ) 6 5 [ () (5)] [ 6 ]

12 Teorem El determinnte de un mtriz x puede ser hlldo multiplicndo los elementos de culquier fil o column por sus respectivos cofctores y luego sumndo estos productos.

13 Método de Cofctores Ejemplo. Ddo l mtriz, hlle el determinnte de. 5 El determinnte de se obtiene multiplicndo los elementos de l primer fil por sus respectivos cofctores y luego sumndo estos productos. 5 Los cofctores correspondientes los elementos de l primer fil:, y, son clculdos continución:

14 Método de Cofctores Ejemplo. Ddo l mtriz, hlle el determinnte de. 5 El determinnte de se obtiene multiplicndo los elementos de l últim fil por sus respectivos cofctores y luego sumndo estos productos. Los cofctores correspondientes los elementos de l tercer fil se clculn continución: 5 5

15 Método de Cofctores Ejemplo. Ddo l mtriz, hlle el determinnte de por el método de cofctores Solución: Pr hllr el determinnte de l mtriz, usted puede seleccionr culquier fil o column de l mtriz. L mejor selección será l fil o column que conteng más ceros. Usremos l column. = + + = (-6)+(-7) = -66 Los cofctores y son clculdos continución: 6 5 ( ) ( ) [(8) 7(6)] [5(8) 7( )] 6 7 5

16 6 L Mtriz Invers B B ) ()( ()() ) ()( ) ()( ) ()( ()() ) ()( ) ()( B I

17 7 L Mtriz Invers Ejemplo: (cont.) Verifique que B=I. B )() ( )() ( )() ( )() ( ()() )() ( ()() )() ( B B I B

18 Hllr l mtriz invers Pr un mtriz x de l form = b c d se puede encontrr utilizndo l fórmul Ejemplo: 8

19 Hllr l mtriz invers x Pr un mtriz x, se puede encontrr mnulmente utilizndo psos. Hllr el determinnte de l mtriz.. Formr l mtriz trnspuest, t. Formr l mtriz de cofctores (mtriz djunt). Multiplicr l mtriz de cofctores por det 9

20 Hllr l mtriz invers x Ejemplo: Hllr M si Pso : Hllr det M

21 Hllr l mtriz invers x Ejemplo continudo: Hllr M si Pso : Hllr M t Intercmbir fils y columns de M

22 Hllr l mtriz invers x Ejemplo continudo: Pso : Hllr mtriz de cofctores (mtriz djunt) Hllr todos los determinntes de ls mtrices x de M t.

23 Hllr l mtriz invers x Ejemplo continudo: Pso : Hllr l invers

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