MATE3012 Lección 2.2. Solución de Sistemas Lineales por Matrices. 18/02/2013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26

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1 MATE Lección. Solución de Sistems Lineles por Mtrices 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

2 Actividdes. Teto: Cpítulo 8 - Sección 8. Solución de Sistems Lineles por educción de englones. Ejercicios de Práctic: Págins, ; problems impres l 7. Asignción.: Págin, problems 8 8 eferencis del Web: esolviendo de Sistems por Guss-Jordn (You tube) Using Mtrices to Solve Sstems of Equtions; Prt A: Setting Up Sstem & Doing ow Opertions Eliminción Gussin Mtrices: 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

3 Sistems de Ecuciones Lineles Un sistem de ecuciones lineles en vribles es un conjunto de ecuciones lineles que tienen vribles. (,) es l solución por que. L solución de un sistem de ecuciones lineles en vribles es el pr ordendo que stisfce cd un sus ecuciones. () () () () (,) L solución de un sistem de dos ecuciones en dos vribles es el punto de intersección de sus gráfics. 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

4 Método de Sustitución esuelv los sistems: (-, ) ( ) Solución: (-, ) Not: Use este método cundo se fácil despejr por un de ls vribles. 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

5 Ejemplo esuelv los sistems: (-, ) ( ) 7 Solución: (-, ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

6 Análisis de l Ofert Demnd (Suppl nd Demnd) L ofert (suppl )de un rtículo es l cntidd de un rtículo que los productores están dispuesto cobrr un precio p. L demnd (demnd) de un rtículo es l cntidd de un rtículo que los consumidores están dispuesto pgr un precio p. Cundo el precio de un rtículo sube, l ofert ument pero l demnd bj. Cundo el precio del rtículo disminue, l demnd ument, pero l ofert bj. 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 6 de 6

7 Ecuciones de Ofert Demnd Ls ecuciones de ofert demnd muestrn l cntidd () de uniddes de un rtículo que se ofrecerán o demndrán un precio (p). Típicmente l ofert crece mientrs que l demnd decrece. L primer coordend del punto de equilibrio es l demnd u ofert de equilibrio. Est es l cntidd que se demndrá se ofrecerá en el precio de equilibrio. Punto de Equilbrio L segund coordend del punto de equilibrio es el precio de equilibro o el precio en el que l mism cntidd que se demnd se ofrecerá. Ofert Demnd 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 7 de 6

8 Ejemplo Encuentre l demnd precio de equilibrio si ofert l demnd pr un rtículo en dólres está dd por: Demnd Ofert p Solución: esuelv el sistem: p p p 8 Pr hllr p, sustitu = 6 en culquier de ls dos ecuciones originles: p p (6 ) El punto de equilibrio es (6, ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 8 de 6

9 Método de Eliminción esuelv: Multiplicr un ecución por un constnte Sumr mbos ldos de dos ecuciones ( ( ) ) () ( ) 8 6 Sustituir el vlor de encontrdo en culquier de ls ecuciones originles o versiones equivlentes () - = Solución =, 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 9 de 6

10 Solución de Sistems con tres o más vribles Un solución de sistems de tres o más vribles es un solución común de cd un de sus ecuciones Ejemplo: (, -, -) NO es solución de Por que 8 () () ( ) ( ) ( ) ( )?? 8 No Si () ( ) ( )? No Sin embrgo, (, -, -) si lo es. () () ( ) ( ) ( ) ( )?? 8 Si Si () ( ) ( )? Si 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

11 Ejemplo Identifique l solución del sistem ) {(-, -, -)} b) {(-, -, -)} c) {(-, -, -)} d) { } Solución es b) {(-, -, -)} 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

12 epresentción de un sistem por un mtri umentd 9 7 L mtri umentd que lo represent es: // Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

13 Ejemplo Cuál sistem es representdo por l mtri? ) b) c) Solución es c) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

14 Operciones elementles por fils Son regls pr obtener mtrices equivlentes: Intercmbir dos fils del sistem Intercmbi fil fil Multiplicr (dividir) un fil por un constnte distinto de. Multiplic - l fil eemplr un fil por l sum (diferenci) de es fil culquier otr del sistem. 7 Multiplic -7 por fil se le sum fil 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

15 Estrtegi Generl pr esolver sistems con mtrices Psos seguir: Pso : Convertir sistem un mtri umentd Pso : Usr ls operciones elementles por fils pr convertir l mtri umentd un mtri de l form reducid Pso : Convertir l mtri umentd reducid un sistem de ecuciones El Método de Guss-Jordn 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

16 Ejemplo esuelv: 7 9 Solución: Primero eprese como un mtri umentd: // Prof. José G. odrígue Ahumd 6 de 6

17 Ejemplo eemplce = -, = en (): eemplce = en (): Solución: =, = -, = 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 7 de 6

18 Estrtegi pr reducir mtrices Pso : Convertir = Pso : Convertir = = Pso : Convertir = Pso : Convertir = = Pso : Convertir = Pso 6: Convertir = = 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 8 de 6

19 Ejemplo 6 Identifique l operción por fil que se llev cbo pr ir de l primer mtri l segund: ) b) c) d) Solución es ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 9 de 6

20 Ejemplo 7 Identifique l operción por fil que se llev cbo pr ir de l primer mtri l segund: ) b) c) d) Solución es c) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

21 Ejemplo 8 Use mtrices pr resolver: 8 Solución: (-, ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

22 Ejemplo 9 Use el método de Guss-Jordn pr resolver: Solución: (-, ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

23 esuelv por el método de Guss-Jordn Ejemplo Si el sistem se trduce un mtri umentd se reduce form tringulr, se obtiene: =, = -, = Solución: (,, ) 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

24 Problems Verbles con Sistems Psos seguir: Pso Identifique ls vribles Pso Estblec el sistem Pso esuelv el sistem Pso Eprese solución Ejemplo: El costo de producir uniddes de un producto está ddo por C = +. Si los rtículos se venden $ cd uno, cuántos deberán producirse fin de logrr un utilidd (gnnci) semnl igul $ más el % de los costos de producción? Pso Identifique vribles: = número de uniddes del producto g = gnnci (utilidd) semnl 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

25 Pso Estblec sistem Ejemplo L gnnci (utilidd) es l diferenci de l vents menos los costos de producción. De mner que l producir vender rtículos: Gnnci = Vent $ Costo Gnnci = + % del Costo g = + g = +.( + ) g = Por tnto, el sistem es: g =. g = g = +. Pso esuelv sistem. Pso Eprese solución Debe producirse uniddes del producto. Esto logrrá un gnnci de $ =, = 8// Prof. José G. odrígue Ahumd de 6

26 Actividdes. Teto: Cpítulo 8 - Sección 8. Solución de Sistems Lineles por educción de englones. Ejercicios de Práctic: Págins, ; problems impres l 7. Asignción.: Págin, problems 8 8 eferencis del Web: esolviendo de Sistems por Guss-Jordn (You tube) Using Mtrices to Solve Sstems of Equtions; Prt A: Setting Up Sstem & Doing ow Opertions Eliminción Gussin Mtrices: 8// Prof. José G. odrígue Ahumd 6 de 6

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